0基于向量方法的通用涡旋型线生成研究
通用型线电动涡旋压缩机的结构设计及动态仿真
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刷直流电机的电动涡旋压缩机与传统的涡旋压缩
机相 比 在 结 构 上 体 积 更 小、效 率 更 高、制 冷 量 更
收稿日期:
２０１６ ０４ ２８
基金项目:国家自然科学基金资助项目(
５１３７５５１５);重庆市前沿
与应用基础研究项目(
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流体力学中的涡涡动力学
流体力学中的涡旋动力学引言涡旋动力学是流体力学中的一个重要分支，研究流体中旋转性质和涡旋的生成、演化以及相互作用。
涡旋在自然界和工程领域中都具有广泛的应用，如天气系统中的龙卷风、海洋中的涡旋和航空航天领域中的涡轮机等。
本文将介绍涡旋的定义、形成机制以及其在流体力学中的重要性。
涡旋的定义和特性涡旋是一种流体中的局部旋转流动，其特点是流体的速度场在空间上出现剧烈的变化，流动的速度向心性很强。
涡旋通常以旋涡线和旋涡面来描述，旋涡线是指流体中流线的曲线，旋涡面是垂直于旋涡线的一面。
涡旋的旋转方向决定了旋涡线的旋转方向，由外向内的旋转称为正的旋涡，由内向外的旋转称为负的旋涡。
涡旋的核心区域速度较大，称为涡心区；核心区域外围速度逐渐减小，称为边界区；涡旋的周围速度较小、流动相对稳定，称为环境区。
涡旋的大小可以通过核心区域的半径来描述，常用的指标有涡旋半径和涡旋面积。
涡旋的形成机制涡旋的形成和演化是由于流体力学中的各种复杂效应相互作用的结果。
涡旋可以通过以下几种机制形成。
1. 惯性悬浮颗粒聚集机制当流体中含有一定浓度的颗粒时，颗粒的惯性作用会使其在流动中产生集聚现象，形成颗粒聚集区域。
这种集聚区域的速度差异会产生旋转流动，形成涡旋。
2. 旋转物体产生涡旋机制当流体中有旋转物体存在时，旋转物体表面的摩擦力会使流体发生旋转流动，形成涡旋。
例如风车叶片旋转时，周围的气流会产生涡旋。
3. 流体相互作用产生涡旋机制当两个流体相互作用时，由于速度和压力的差异，会形成涡旋。
例如两个不同速度的流体相互接触时，产生的剪切力会形成旋涡。
4. 受力不平衡产生涡旋机制当流体受到的外力不平衡时，会形成旋转流动，形成涡旋。
例如风吹过山峰、建筑物等不规则物体时，流体与障碍物之间的相互作用会产生涡旋。
涡旋的运动方程涡旋的运动可以通过涡量的运动方程来描述。
涡量是流体力学中描述涡旋的重要物理量，表示单位质量流体所围绕某点旋转的程度。
涡量的运动方程可以表示为：$$ \\frac{D\\omega}{Dt} = (\\omega \\cdot \ abla) \\cdot \\mathbf{V} + \ u \ abla^2 \\omega $$其中，$\\omega$是涡量，$\\mathbf{V}$是速度场，u是扩散系数，abla是向量的梯度算子，$\\frac{D\\omega}{Dt}$表示涡量的时间导数。
涡旋盘的检测
ＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ ＡＮＤ ＭＡＲＫＥＴ
涡 旋 盘 的 检 测
褚超林
（上海海立新能源技术有限公 司，上海 ２０１２０６）
摘 要 ：主要 介 绍 了涡 旋 压 缩 机 的 工 作 原 理 ，其 核 心 零 部 件 涡旋 盘 的 加 工精 度 要 求 ，对 涡旋 盘 的 轮 廓 度 进 行 检 测 的 设 备 及 检 测 的 方 法 ，并 对 已加 工 的 涡 旋 盘 轮 廓 度 进行 测 量评 价 。 关 键 词 ：涡旋 压 缩机 ；涡 旋 型 线 ；三 坐 标 测 量仪 ；编 程 ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—８５５４．２０１８．０２．０５６
天 和 电子 工 业 ，各 种 复 杂 零 件 的 研 制 和生 产 需 要 先 进 的检 测 技
一 般来说 ，涡旋盘加工定 位基准 要与检 测基准重 合 ，根据
术 ；同时 为 应 对 全 球 竞 争 ，生 产 现 场 非 常 重 视 提 高 加 工 效 率 和 工 件 的装 配 特 点 ，确 定 涡 旋 型 线 ＢＥＳＴＦＩＴ特 性 ，ＢＥＳＴＦＩＴ是 将
０ 引 言
是基于以下 的客观要求发展起来的 。
电动 汽 车 行 业 处 于 大 力 发 展 阶 段 ，特 别 是 国 家 公 布 “十 三
我 司用 于 涡 盘轮 廓 测 量 的仪 器 是 德 国蔡 司 公 司 的 ＰＲＩＳＭＯ
五 ”计 划 中 ，新 能 源 汽 车 是 其 中 的一 项 重 要 内 容 。新 能 源 汽 ｎａｖｉｇａｔｏｒ ７系列高精度 三坐标 测量机 ，并配 备 了 ＶＡＳＴ万能测
度 ，涡旋盘 的 型 线精 度 是 影 响 涡 旋 压 缩机 制冷 量 的最 主 要 价 。 由于 该 型 号 设备 具 有 自动 温 度 补 偿 功 能 ，使 其 在 检 测 过 程
涡旋线曲线方程
涡旋线曲线方程涡旋线是一种美妙的曲线，它的形状像是一条螺旋形的线条，具有非常独特的美感。
涡旋线的曲线方程是一种数学公式，可以用来描述涡旋线的形状和特征。
在本文中，我们将介绍涡旋线的曲线方程及其相关知识。
一、什么是涡旋线？涡旋线是一种特殊的曲线，它的形状像是一条螺旋形的线条。
涡旋线的特点是它的每一个点都沿着一个螺旋形的路径运动，这个路径的形状非常独特，具有非常美妙的几何形态。
涡旋线在自然界中非常常见，例如龙卷风、旋涡等都是涡旋线的形态。
二、涡旋线的曲线方程涡旋线的曲线方程是一种数学公式，可以用来描述涡旋线的形状和特征。
涡旋线的曲线方程可以表示为：r = a + bθ其中，r表示涡旋线上某一点到原点的距离，θ表示该点与x轴正方向的夹角，a和b是常数，分别表示涡旋线的起始半径和螺旋线的密度。
涡旋线的曲线方程非常简单，但是它的形状却非常复杂。
涡旋线的形状取决于常数a和b的取值，不同的取值会产生不同的涡旋线形态。
例如，当a=0，b=1时，涡旋线的形状就像是一条无限长的螺旋形线条；当a=1，b=1时，涡旋线的形状就像是一条从原点开始的螺旋形线条。
三、涡旋线的应用涡旋线在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，涡旋线是一种非常重要的曲线，它可以用来研究复杂的几何形态和运动规律。
在物理学中，涡旋线可以用来描述流体的运动状态，例如龙卷风、旋涡等都是涡旋线的形态。
除此之外，涡旋线还被广泛应用于艺术和设计领域。
涡旋线的形态非常美妙，可以用来设计各种各样的艺术品和装饰品。
例如，涡旋线可以用来设计各种各样的壁纸、地毯、服装等，都可以展现出涡旋线的美妙形态。
总之，涡旋线是一种非常独特的曲线，它的形态非常美妙，具有非常广泛的应用价值。
涡旋线的曲线方程是一种简单而又重要的数学公式，可以用来描述涡旋线的形状和特征。
相信在未来的日子里，涡旋线会有更加广泛的应用和发展。
涡旋真空泵型线设计
涡旋真空泵型线设计10-lPa）和不易仿制等优点，在国外已广泛应用于半导体和薄膜行业型线部分是涡旋真空泵设计的关键，该文结合工程实际需要对其理论和实际型线进行研究，在此基础上，分解抽象出型线各部分的几何模型，并基于AutoCAD编制出型线设计的LISP程序，从而建立型线参数化设计模型该模型提高了设计效率，有利于产品系列化：涡旋真空泵；型线理论；参数化设计1涡旋型线理论如所示，涡旋真空泵是一种新型的无油机械真空泵，其结构简单，密封性能好，极限真空度高。
涡旋真空泵工作过程主要依靠一对涡旋盘来实现，涡旋盘的外轮廓线为涡旋型线，它必须做成共轭曲线。
因为加工方便，有效容积大的原因大多采用圆的渐开线作为涡旋盘的共轭曲线，它是用无限短的圆弧连接成的曲率连续变化的光滑曲线。
胡焕林（1940-），男，江苏常州人，合肥工业大学教授，硕士生导师。
涡旋型线有理论型线和实际型线之分，处于理论型线下的一对涡旋盘始终相互啮合而实际型线必须要考虑加工和工作时的情况，通过对涡旋面齿端型线和壁厚的修正，并选定工作间隙和公差等一系列措施来满足正常工作需要1.1涡旋齿端型线的修正在涡圈加工过程中，由于渐开线始端的曲率半径较小，刀具圆和涡圈始端发生干涉，将涡圈始端切削掉一部分，从而不利于保证加工精度，产生余隙容积影响真空度的获得。
因此，必须对涡旋始端型线进行修正如所示用2段圆弧光滑连接涡圈内侧和外侧渐开线，半径为R的圆弧称为修正圆弧，半径为r的圆弧称为连接圆弧Mo是连接圆弧和涡圈外侧渐开线的接点，Mi是修正圆弧和涡圈内侧渐开线的接点，U称为修正系数，按直角三角形三边关系及渐开线啮合原理可得到各参数之间的关系，并基本可以消除余隙容积。
1.2涡旋壁厚的修正与油封泵不同，无油真空泵的工作腔没有油，工作过程产生的热量无法导出，使涡圈热变形的问题非常突出。
静涡盘一般有冷却机构，变形较小，而动涡盘因无冷却措施，自中心向周边热变形逐渐增大，如果不采取措施会导致两涡盘接触，使泵的工作稳定性下降，并可能产生动涡盘卡塞因此，应修正动涡圈壁厚，即在其达到工作温度时涡圈相互不碰撞的前提下，使两涡盘侧隙最小。
基于泛函的通用涡旋型线几何理论研究
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｎ Ｇｅ ｍ ｅ ｒｃ Ｔｈｅ ｒｅ ｏ ｃ ｏ ＩＰｒ ｆｌ ｓＢａ ｅ ｓ ａ ｃ ｏ ｏ ｔ ｉ ｏ ｉ ｓｆ ｒ Ｓ ｒ ｌ ｏ ｅ ｓ ｄ ｏｎ ｉ
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（． １ 重庆工商大学 ， 重庆 ４ ０ ６ ； ． ０ ０ ７ ２ 西安交通大 学 ， 陕西西 安 ７ ０ ４ ） １０ ９ 摘 要 ： 在涡旋型线设计研 究中 ， 针对 单一型线 的限制性 ， 出以泛 函理 论为基础 的新 型涡旋型线设计思路 ， 提 分析 了
平面 曲线 的啮合 理论 ， 对共 轭啮合涡旋型线 的解析包 络原理进行 了研究 ， 到 了通用 涡旋 型线 的共 轭啮合 特征型线 ， 得 利用 Ｔ ｙ ｒ 数思想 ， 出通用涡旋型线 的新 形式 ， 涡旋型 线 的压缩行 程容 积 、 ａｌ 级 ｏ 得 就 型线方 程 、 曲率 （ 径 ） 半 以及 型线长 度等基本几何性 质 ， 在笛 卡尔坐标系下做 了较详尽 的阐述和 推导 ， 出了坐标 、 得 向量 和 Ｔ ｙ ｒ ａｌ 级数等 三种 形式下 的涡 ｏ
ｔ ｅ ｎ ｎ ｈｂ ｓｄｎｔｒ ｏ ｅｂｓ ｅｍｅ ｙｏ ｓｒｌｐｏ ｌ ａ ｏ ｅａｍ ｒ ｄｔｉｄｅｐ ｓｉ ｎ ｅ ｖｔｎ ｉ ｅ ｕ ）ａｄｌ ￣ ・ａｅ ａ ｅ ｆｈ ａｉ ｇｏ ｔ ｆ ｃｏ ｒｆｅ ｈ ｓ ｎ ｏｅ ｅａｅ ｘ ｏｉｏ ａｄｄｒ ａｏ ， ｎｔ ｒ ｅ ｕ ｔ ｃ ｒ ｌ ｉｓ ｄ ｌ ｔｎ ｉ ｉ ｈ
涡旋特征和轨迹演化的可视化研究
涡旋特征和轨迹演化的可视化研究引言涡旋是自然界中一种非常常见的流体现象，它在大气、海洋、河流、湖泊等自然环境中广泛存在。
涡旋不仅是一种重要的流体动力学现象，也在工程领域具有重要的应用价值。
对涡旋特征和轨迹演化的研究有助于更好地理解自然界中的流体运动规律，同时也可以为工程领域提供重要的参考和指导。
本文将对涡旋特征和轨迹演化进行可视化研究，通过建立数学模型和进行计算机模拟，探索涡旋的形成、发展和演化规律，并通过可视化手段展现其特征和轨迹的演化过程。
涡旋特征的研究涡旋是一种流体中局部范围内的旋转结构，其特征主要包括旋转速度、面积、强度和稳定性等。
对涡旋特征的研究可以帮助我们更好地理解其在流体中的行为和演化规律。
在进行涡旋特征的研究时，我们将建立数学模型描述其运动规律，并通过数值计算和实验数据进行验证。
我们可以利用流体力学方程描述涡旋的运动规律，其中包括连续性方程、动量方程和能量方程等。
通过这些方程，我们可以计算涡旋的旋转速度、面积和强度等特征参数。
我们可以利用计算流体动力学（CFD）方法进行数值模拟，模拟涡旋在不同流体环境中的运动和演化过程。
通过数值模拟，我们可以得到涡旋的轨迹和特征参数，并与实验数据进行对比和验证。
我们还可以通过实验室实验和野外观测等手段获取涡旋的实际运动数据，从而验证数值模拟结果和数学模型的准确性。
涡旋轨迹的演化研究涡旋的轨迹演化是指涡旋在流体中的运动过程，包括其形成、发展和消亡过程。
涡旋轨迹的演化研究可以帮助我们更好地理解其在流体中的运动规律和动力学特征。
在进行涡旋轨迹的演化研究时，我们可以利用可视化技术将其轨迹进行实时、动态地展示，以便更直观地观察其运动规律和特征变化。
我们可以利用计算机模拟方法重现涡旋在不同流体环境中的轨迹演化过程。
通过建立数学模型和进行数值计算，我们可以模拟出涡旋在不同流场中的运动轨迹，并将其以三维动态图像进行展示。
我们可以利用流体可视化技术对涡旋轨迹进行实时观测和记录，以便更直观地观察其运动规律和特征变化。
基于小生境遗传算法的通用涡旋型线优化研究
（ ． ｎ ｉ ｅｉ ｅ ａｃ ｅｔ ｒ ａｔ Ｏｌ ｅｏｅ ｅｈｏ ｇ ｎ ｑｉｎ￣ ｏ ｎ ｔ ｄｃ ｔ ｎ １ Ｅ ｇｎ ｒ ｇＲ ｓ ｒ Ｃｎｅｆ ｓ ｉＲ ｃｖｒ Ｔｃｎｌ ｙａｄＥ ｕ ， ｅ ｎ ｅ ｈ ｒｏ Ｗ ｅ ｙ ｏ ｐ ｅ ｆＭｉｉｒ ｏ Ｅ ｕａｉ ， ｓ ｙｆ ｏ
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中图分类号 ：Ｈ ５ Ｔ ４７ 文献标识码 ： Ａ
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２０ 年第６ 总２２ ０８ 期（ １ 期）
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基于小生境遗传算法 的通 用涡旋 型线优化研 究 术
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基于向量方法的通用涡旋型线生成研究*摘要：以向量计算作为研究工具，针对单一型线设计不利于实际多性能需求的柔性化设计，利用Taylor级数思想和微分几何理论推导出基于泛函的通用涡旋型线方程。
通过平面曲线啮合理论和泛函通用型线方程，得出型线向量在其啮合点处的法线和切线方向分解后的向量大小的关系，并证明其沿啮合点法线方向分解的向量大小可以用泛函通用型线方程表示。
这种向量表示方法在型线生成时省去求积分的繁琐，有助于系数变化时生成的型线特性的研究。
用向量计算的方式推导出涡旋型线啮合条件，便于在MA TLAB上生成涡旋型线及共轭型线，因为向量矩阵的表示在运算中更符合MA TLAB的计算规则，加快了运算速度，有助于通用涡旋型线的研究设计。
关键词：向量方法通用涡旋型线向量表征啮合型线中图分类号：TH45Research on Conjugate Meshing Theory of General Scroll Profiles basedon Vector MethodWANG Licun12ZHANG Guojin12WANG Xudong1NIE Xin2ZHANGXianming1(1. Engineering Research Center for Waste Oil Recovery Technology and Equipment of Ministry ofEducation Chongqing Technology and Business University, Chongqing, 400067;2. College of Mechanical Engineering, Chongqing University of Technology, Chongqing, 400054)Abstract: In terms of vectors method as a research tool, aiming at the restriction of single profile, the general scroll profiles equation based on functional analysis was given by using Taylor series and differential geometry theory. Through planar curve meshing theory and general scroll profiles equation, we proved the department vector size relationship between normal and tangent direction of scroll profile in its meshing point, also its normal vector size can be expressed by general scroll profiles equation. In building of scroll profiles, this vector expression saves hassle of quadrature by coefficient changes. Derive the conjugation meshing condition by vector method is easy to build scroll profiles and conjugated profiles based on the MATLAB, for vector method is in line with the calculation ruled of MATLAB, which can speed up the calculations, contribute to research on profiles of the scroll compressor designing.Key words:Vector method; General Scroll Profiles; Vector expression; Meshing Profiles0前言1905年法国人Leon Creux以可逆转的涡旋膨胀机为题目申请美国专利，首先提出了涡旋*基金项目：国家自然科学基金项目（51375515）、重庆市科技攻关计划项目（CSTC2011AC6086）和重庆工商大学青年博士基金资助项目（1152005）原理[1]。
直到20世纪70年代，由于高精度数控加工技术的快速发展，能源危机以及温室效应的出现，使得涡旋型线的加工能够实现[6]，涡旋机械得以迅猛发展，并广泛应用于泵、空调及制冷系统，同时作者正在研究应用于废油自由化技术及装备工程研究中心滤油机真空制冷系统及产品中。
涡旋压缩机以结构简单紧凑、体积小、重量轻、振动噪声低、效率高、可靠性强等显著优点，被公认为技术最先进的第三代压缩机[2-6]。
涡旋压缩机的设计关键技术主要是对动静涡旋盘的型线进行研究，虽然目前国内外针对涡旋型线设计理论的通用化研究有了一定进展，给出了通用化涡旋型线的数学模型，但在型线生成过程中都要利用积分运算，型线方程式也很复杂，比较繁琐，不利于通用型线生成的研究[2-8]。
用向量计算作为研究计算工具，推导泛函通用涡旋型线方程和通用涡旋型线的啮合条件，证明其沿啮合点法线方向分解的向量大小可以用泛函通用型线方程表示，这种表示方法在生成型线点集时省去了求积分的繁琐，有助于研究系数变化下泛函通用型线方程生成型线的特征。
1基于泛函的通用涡旋型线在笛卡尔坐标中，一条平面曲线的表达有显函数方程、隐函数方程、参数方程等形式。
对基于泛函的通用涡旋型线，不采用曲线的一般参数的方法表示，而采用以平面曲线的切向角为参数的曲率半径固有方程表示[3]。
根据Taylor级数思想和平面曲线弧微分固有方程理论[2]，以平面曲线切向角参数φ作为曲线函数的自变量，用基于曲率半径弧函数固有方程的多项式形式表示通用涡旋型线，从而建立用弧函数和切向角参数表征的曲率半径的自然方程，即是基于泛函的通用涡旋型线。
其微分几何关系如图1所示，以向量表达来推导的关于弧函数和切向角参数的通用涡旋型线方程过程如下[9]。
M图1 泛函通用涡旋型线的微分几何关系图中：错误！未找到引用源。
T(s)-------切线向量错误！未找到引用源。
N(s)-------法线向量ρ (φ)------曲率半径错误！未找到引用源。
-----弧长参数错误！未找到引用源。
φ----------切向角参数错误！未找到引用源。
k-----------曲率错误！未找到引用源。
C----------曲率中心M----------型线上的切点假设在笛卡尔坐标中以弧长参数为变量的泛函通用涡旋型线向量表达式为：错误！未找到引用源。
(1) 在小范围内，记错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
与x轴的夹角（见图1），则有：错误！未找到引用源。
(2)错误！未找到引用源。
(3) 于是，由错误！未找到引用源。
和Frenet公式得曲率是错误！未找到引用源。
(4) 则曲率半径是错误！未找到引用源。
(5) 错误！未找到引用源。
(6) 对上式（6）积分有错误！未找到引用源。
(7) 根据曲线微分关系错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
，积分后可以推出通用泛函通用涡旋型线向量表达式错误！未找到引用源。
是：错误！未找到引用源。
(8)错误！未找到引用源。
(9) 这样，我们在局部上建立了用已知切向角参数φ为自变量的曲率半径弧函数向量来表达原来曲线的公式。
结合式（7）（8）（9）可知，只要错误！未找到引用源。
是关于切向角参数φ的多项式或者分段多项式，那么弧长s(φ)和泛函通用涡旋型线P就是简单闭合曲线，具有封闭性，并且可积分[4]。
同时，如果错误！未找到引用源。
是递增函数，那么弧长s(φ)和泛函通用涡旋型线P就具有渐开性质。
此时，曲线P就满足了涡旋型线的涡旋特性。
涡旋型线是由几何共轭型线构成的，通过以上的公式推导和几何理论证明可知，根据Taylor级数思想和平面曲线弧微分固有方程理论，得到共轭曲线可取函数类通用涡旋型线表达式为[5]：错误！未找到引用源。
（10）其中错误！未找到引用源。
为待定系数，都为常数，错误！未找到引用源。
是切向角参数。
式（10）即为基于泛函的通用涡旋型线方程。
它为现有可取函数类通用涡旋型线的集成表征形式，包含了现有涡旋型可取函数类的所有型线，当系数参数取不同值时，可得到不同的涡旋型线。
通过切向角参数错误！未找到引用源。
的弧函数高次多项式形式来近似表征任意共轭函数曲线，因此式（10）可以表示任意涡旋型线。
2涡旋型线向量表征原理涡旋压缩机是依靠作相对公转平动的一对涡旋盘进行工作，可认为其中的一个涡旋盘固定不动（即静涡旋盘），而另外一个涡旋盘围绕静涡旋盘中心做公转平动运动（即动涡旋盘）。
由于动静涡旋盘上面的涡旋齿是始终垂直于涡旋盘底板平面，因此涡旋齿的型线在底板平面的投影是平面曲线，从而可以简单的将涡旋齿的啮合转化为平面曲线之间的啮合[6][10]。
涡旋齿相互啮合时，动静涡旋盘上的型线瞬时接触，一对型线的正确啮合要满足以下条件[8]共轭型线是连续光滑的；两共轭型线相互啮合时，相对应的两个共轭点重合，且两曲线在接触点处相切，即在接触点处有公共切线和公共法线；随着动涡旋盘的运动，啮合点沿着涡旋齿的型线连续的移动，不可能发生嵌入或分离现象，因而啮合点的切向方向即为动涡旋盘的整体运动方向。
在以上平面曲线啮合条件的分析下可以用解析几何的向量表征方法建立和求解两型线啮合的模型及啮合条件，具体内容如下。
L1L2图2 型线啮合的向量表征模型在图2中，以静涡旋齿的中心点O建立坐标系xOy，曲线l是静涡旋齿的内侧型线（以下简称静盘型线）且与坐标系错误！未找到引用源。
固连；坐标系错误！未找到引用源。
'表示动涡旋齿，O'是动涡旋齿的中心点，曲线l’是动涡旋齿的外侧型线（以下简称动盘型线）且与坐标系错误！未找到引用源。
'固连。
曲轴旋转向量O'O也与坐标系错误！未找到引用源。
'固连，OO’=R or是曲轴的偏心距，θ是曲轴的转角。
随着曲轴旋转向量O'O的不断变化，带动了动涡旋齿的外侧型线l'运动，使其与静涡旋齿的内侧型线l不断啮合，当曲轴转角是错误！未找到引用源。
时，点M是两型线的瞬时啮合点。
由于曲线能够正确啮合，故两曲线在啮合点的切线和法线的方向一致。
过点错误！未找到引用源。
做啮合点处两型线的切线t和法线n，即切线错误！未找到引用源。