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空间解析几何 PPT
x
空间直角坐标系
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
Ⅰ
o
y
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组 (x, y, z).
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C , O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向 量同方向的单位向量.
例1
化简
ar
r b
5(
1
r b
r b
3ar
)
解
ar
r b
5(
1
r b
r2 b
3ar
)
5
2
5
(1
3)ar
(1
5
1
5)
r b
25
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必 是平行四边形.
uuur uuur uuur
OP xi,OQ yj,OR zk
H
k
uuuur uuur uuuur OM ON NM
ioj
uuur uuur uuur
(OP OQ) OR x P
K
M
Q
y
N
xi yj zk
这个式子称为向量
图6-15
uuuur OM 的坐标分解式，
x﹑i y﹑j zk 称为向量
uuur
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uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
直的条件，有
1g 1g 1g 0,
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
第一节 空间解析几何的基本知识.
(2) p 0, q 0 时, z 0
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
第六讲空间解析几何.
向量代数与空间解析几何1、向量的坐标表示及其线性运算(1) a(a x，a y，a z)a x i a y j a z k2 a y a z，方向余弦第六讲空间解析几何cos —-,cos-,cos —a a aa a已知点M i(X i，y i，Z i), M 2(x2, y2，Z2)M i M 2(2)线性运算(X2 x i, y2 y i，z2 z i)a (a x，a y ,a z),b (b x，b y,b z)a b (a x b x，a ya( a x，a y，a z) (3)向量的数量积。
向量积b y，a z b z)数量积a b a b cos(a, b) a (b)a b (a)ba xb x a y b y a z b z性质满足交换律、结合律、分配律2.平面及其方程已知平面过点M (x o、y o、z o), n A, B, C为的法矢量。
1>2> 点法式:一般式:A(x-x o)+B(y-y o)+C(z-z o)=OAx+By+Cz+D=P A、B、C不全为零。
3> 截距式:x y - 1 , a, b, c分别为平面在x轴、y轴、a b cz轴上的截距。
n i n2n 11 n 2 n 1 n 2点M （x o 、y o 、Z 0）到平面Ax+By+Cz+D=（的距离为 ,Ax 0 By 。
Cz 。
DB 2C 2xoy 平面, z 0, n (0,0,1)yoz 平面 x 0, n (1,0,0)xoz 平面, y 0, n (0,1,0)习题4.13求通过点P （2, -1，-1），Q （ 1, 2，3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。
Qp 1,9, 1,3所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0例 2、求垂直 xoy 平面且过 M 1 （2, -1, 0）, M 2 （3, 0, 5）的平面方程k M 1M 2(x -2 ) + ( y + 1 ) = 0得平面方程：x -y -3 = 0QP n 1 27i 3j 9kp174 例 4.13 4.14解: 3, 4，已知平面的法矢量n j 2,3, 5解：n k , n M 1M 23.曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形1.球面设P0 X0,y0,z0是球心，R是半径，P X, y, z是球面上任一点，则P o P R，即2、3、4、5、6、2X X0椭球面旋转曲面y y。
空间解析几何复习课 PPT
a
b
d
b
a
a
b
c
a
b
d
(3) 向量与数的乘法：
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, a与a 同向，| a | | a |
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a 反向， | a || | | a |
（1）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
（3）马鞍面
x2 y2 z 2 p 2q
( p 与 q 同号 )
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
a {X1, Y1, Z1} b {X2, Y2, Z2}
a b {X1 X2, Y1 Y2, Z1 Z2} (X1 X2)i (Y1 Y2) j (Z1 Z2)k
a b {X1 X2, Y1 Y2, Z1 Z2} (X1 X2)i (Y1 Y2) j (Z1 Z2)k
X1X 2 Y1Y2 Z1Z2
X12 Y12 Z12
X
2 2
Y22
Z22
X1X 2 Y1Y2 Z1Z2 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c
||
a
||
b
|
sin
其中
为a
与b
的夹角
c的方向既垂直于 a，又垂直于b ，指向符合
最新文档-1空间解析几何15814-PPT精品文档
a
b
2
数量积的坐标表达式
a aa
a b a x b x a y b y a z b z
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
ab 0
a x b x a yb y a zb z 0
求|ab|.
4
解： ab 2(a b )(a b )
a a2abbb
a2 2 abco b s2
(2 )2223co 3 s3 2
4 17
ab 17
例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) ,B ( 3 , 4 , 5 ) C ( 2 ,, 4 , 7 ) ,求三
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作 cab (叉积)
b a
几何意义：右图三角形面积
cab
S＝
1 2
ab
a b
性质
(1) aa0 (2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b
ax ay az bx by bz
运算律
直的单位向量.
解
c
ab
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 1j0 5k,
bx by bz 1 1 2
|c |120 5255
c0
|
c c |
2
j
5
15k.
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 |a| 2,|b|3,
空间解析几何精ppt课件
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
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直的条件，有
1g 1g 1g 0,
解得 : 1: 1，于是经过直线 l 且与平面 垂直的平
面方程为
y z 1 0,
所求的射影直线方程为
x y z 0,
y
z
1
0.
• 重点、难点 • 2-4
（三）常见的曲面
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
重点
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面 五种常见的二次曲面
（四）二次曲面的一般理论
坐标变换 利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简 二次曲面的方程
坐标变换
c11 c12 c13
i,
j,
k
i,
j,
k
c21
c22
c23
,
c31 c32 c33
x c11x + c12 y + c13z x0 ,
1 2
,
1 4
,
4
.
1 3 1 2 4 0,
24 4
于是
x 2 y 1 z 2 1 1
是所求的一条直母线.
同法可求出属于 族的另一条直母线为
x4 y2 z
2
12
(此时 2).
曲线族生成曲面
例3.4.7 求与两直线 y , z c 与 x , z c(c ) 均 相交，且与双曲线xy c , z 也相交的动直线所产生 的曲面方程.
直线的参数方程
平面与直线位置关系
• 直线与平面平行 • 平面与平面平行 • 两直线异面的判定
平面束
• 定理2.3.1 设两个平面
1 : A1x B1 y C1z D1 0, 2 : A2x B2 y C2z D2 0
交于一条直线 ，则以l 为轴的共轴平面束方 程是
A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0,
c的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i (azbx
axbz ) j
(axby aybx )k
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
[abc]
(a
b)
c
ax bx
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z 2 p 2q
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
直纹曲面
习题4
x2 y2 =z 上, 试求平行于平
16 4
面 3x 2y 4z 1=0 的直母线方程.
解 依题意,
族直母线
x 4
y ,
2
x 4
y 2
z的方向向量为
依公式(2.4.9)，直线 l 与平面 的夹角 满足
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,
l
:
x
y
z
1
0
在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l与
的夹角.
解 直线 l的方向向量为1,1,11,1,1 20,1,1 为简单起见，取为v 1,1,1. 又平面 的法向量n 1,1,1.
向量模长的坐标表示式 | a| ax2 a y2 az2
向量方向余弦的坐标表示式
cos cos
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a||
b|
cos
ay by
az bz
cx cy cz
• 重点 • 1-2，1-4，1-5
（二）直线和平面方程
平面方程 直线方程 平面与直线位置关系
平面束 距离、夹角 异面直线
平面的点位式方程
x x0 y y0 z z0
X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
已知一个平面过空间中的一点 M 0 x0, y0, z0
且其法向量为 n X ,Y , Z 则平面的点法式方程为：
X x x0 Y y y0 Zz z0 0
空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
柱面由它的准线和母线方向所确定
x x
l
y y m
z z n
,
F x, y, z ,
G x, y, z .
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的准线和顶点所确定
设点 Px, y, z 不是顶点P0 ,则点P 在锥面上当且仅当由
点P0 与P 所确定的直线必与准线 相交于某点P x, y, z ,
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c||
a||
b|
sin
其中 为a与b的夹角
因此
x x
F
x x
x, y,
y y y y
z ,Βιβλιοθήκη z z z z,G x, y, z .
(3.2.3)
.
旋转曲面方程
点 P x,y,zS 当且仅当存在点 P1 x1,y1,z1 ,使得点 P
位于过点 P1 的纬圆上, 因此有
x
x0
2
y
y0
2
z
z0
2
x1
x0
2
y1
y0
2
z1
z0
2
,
l
x
x1
m
y
y1
n
z
z1
0,
F x1, y1,z1 0,
G x1, y1,z1 0.
(3.3.1)
从上述方程组中消去 x1, y1, z1 ,便得到旋转曲面S 的一般 方程.
Z
P1
P0
Y
O
X
五种常见的二次曲面
x2
y2
z2
1
a2 b2 C2
x2 a2
y2 b2
z2 c2
y
c21x
+
c22
y
+
c23 z
y0 ,
z
c31x
+
c32
y
+
c33 z
z0.
课后作业： P122 1,3,5
选做：9
4-2 课件、作业
。。。
• 两异面直线之间的距离
uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
（一）向量代数
向量的表示 方向余弦 内积 外积 混合积
3、向量的表示法
向量的分解式：
a
a
x
i
a
y
j
az
k
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk
向量的坐标表示式： a {ax , a y , az }
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
其中 , 是不全为零的任意实数.
适用于求过已知直线的平面方程
距离、夹角
点到直线的距离
uuuuuur d M0M v .
v
M d
M0
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面 图2.8
Ax By Cz D 0之间的距离为
Ax By Cz D d
A2 B2 C 2
1g 1g 1g 0,
解得 : 1: 1，于是经过直线 l 且与平面 垂直的平
面方程为
y z 1 0,
所求的射影直线方程为
x y z 0,
y
z
1
0.
• 重点、难点 • 2-4
（三）常见的曲面
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
重点
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面 五种常见的二次曲面
（四）二次曲面的一般理论
坐标变换 利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简 二次曲面的方程
坐标变换
c11 c12 c13
i,
j,
k
i,
j,
k
c21
c22
c23
,
c31 c32 c33
x c11x + c12 y + c13z x0 ,
1 2
,
1 4
,
4
.
1 3 1 2 4 0,
24 4
于是
x 2 y 1 z 2 1 1
是所求的一条直母线.
同法可求出属于 族的另一条直母线为
x4 y2 z
2
12
(此时 2).
曲线族生成曲面
例3.4.7 求与两直线 y , z c 与 x , z c(c ) 均 相交，且与双曲线xy c , z 也相交的动直线所产生 的曲面方程.
直线的参数方程
平面与直线位置关系
• 直线与平面平行 • 平面与平面平行 • 两直线异面的判定
平面束
• 定理2.3.1 设两个平面
1 : A1x B1 y C1z D1 0, 2 : A2x B2 y C2z D2 0
交于一条直线 ，则以l 为轴的共轴平面束方 程是
A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0,
c的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i (azbx
axbz ) j
(axby aybx )k
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
[abc]
(a
b)
c
ax bx
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z 2 p 2q
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
直纹曲面
习题4
x2 y2 =z 上, 试求平行于平
16 4
面 3x 2y 4z 1=0 的直母线方程.
解 依题意,
族直母线
x 4
y ,
2
x 4
y 2
z的方向向量为
依公式(2.4.9)，直线 l 与平面 的夹角 满足
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,
l
:
x
y
z
1
0
在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l与
的夹角.
解 直线 l的方向向量为1,1,11,1,1 20,1,1 为简单起见，取为v 1,1,1. 又平面 的法向量n 1,1,1.
向量模长的坐标表示式 | a| ax2 a y2 az2
向量方向余弦的坐标表示式
cos cos
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a||
b|
cos
ay by
az bz
cx cy cz
• 重点 • 1-2，1-4，1-5
（二）直线和平面方程
平面方程 直线方程 平面与直线位置关系
平面束 距离、夹角 异面直线
平面的点位式方程
x x0 y y0 z z0
X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
已知一个平面过空间中的一点 M 0 x0, y0, z0
且其法向量为 n X ,Y , Z 则平面的点法式方程为：
X x x0 Y y y0 Zz z0 0
空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
柱面由它的准线和母线方向所确定
x x
l
y y m
z z n
,
F x, y, z ,
G x, y, z .
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的准线和顶点所确定
设点 Px, y, z 不是顶点P0 ,则点P 在锥面上当且仅当由
点P0 与P 所确定的直线必与准线 相交于某点P x, y, z ,
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c||
a||
b|
sin
其中 为a与b的夹角
因此
x x
F
x x
x, y,
y y y y
z ,Βιβλιοθήκη z z z z,G x, y, z .
(3.2.3)
.
旋转曲面方程
点 P x,y,zS 当且仅当存在点 P1 x1,y1,z1 ,使得点 P
位于过点 P1 的纬圆上, 因此有
x
x0
2
y
y0
2
z
z0
2
x1
x0
2
y1
y0
2
z1
z0
2
,
l
x
x1
m
y
y1
n
z
z1
0,
F x1, y1,z1 0,
G x1, y1,z1 0.
(3.3.1)
从上述方程组中消去 x1, y1, z1 ,便得到旋转曲面S 的一般 方程.
Z
P1
P0
Y
O
X
五种常见的二次曲面
x2
y2
z2
1
a2 b2 C2
x2 a2
y2 b2
z2 c2
y
c21x
+
c22
y
+
c23 z
y0 ,
z
c31x
+
c32
y
+
c33 z
z0.
课后作业： P122 1,3,5
选做：9
4-2 课件、作业
。。。
• 两异面直线之间的距离
uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
（一）向量代数
向量的表示 方向余弦 内积 外积 混合积
3、向量的表示法
向量的分解式：
a
a
x
i
a
y
j
az
k
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk
向量的坐标表示式： a {ax , a y , az }
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
其中 , 是不全为零的任意实数.
适用于求过已知直线的平面方程
距离、夹角
点到直线的距离
uuuuuur d M0M v .
v
M d
M0
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面 图2.8
Ax By Cz D 0之间的距离为
Ax By Cz D d
A2 B2 C 2