中考数学专题二：一次函数探究
2020年中考数学二轮专题——一次函数的图象与性质(含详细解答)
2020年中考数学二轮专题——一次函数的图象与性质一、基础过关1. (2019益阳)下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是( ) A. y ＝4x B. y ＝－4x C. y ＝x －4 D. y ＝x 22. (2019扬州)若点P 在一次函数y ＝－x ＋4的图象上，则点P 一定不在．．( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 一次函数y ＝－2x ＋4图象与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，4) B ．(4，0) C ．(2，0) D ．(0，2)4. (2019荆门)如果函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数)的图象不经过第二象限，那么k ，b 应满足的条件是( ) A. k ≥0且b ≤0 B. k >0且b ≤0 C. k ≥0且b <0 D. k >0且b <05. (2019陕西)在平面直角坐标系中，将函数y ＝3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴交点的坐标为( )A. (2，0)B. (－2，0)C. (6，0)D. (－6，0)6. (2019辽阳)若ab <0且a >b ，则函数y ＝ax ＋b 的图象可能是( )7. (2019绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a ，10)在同一直线上，则a 的值等于( ) A. －1B. 0C. 3D. 48. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 和y ＝－13x 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋y ＝b x ＋3y ＝0的解是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－1C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3第8题图9. 如图，一次函数y 1＝mx －3与y 2＝－x －1图象的交点A 的纵坐标为2，则m 的值是( ) A. 53B. －53C. 1D. －1第9题图10. 已知点(－2，y 1)，(1，0)，(3，y 2)都在一次函数y ＝kx －2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系为( ) A. 0<y 1<y 2 B. y 1<0<y 2 C. y 1<y 2<0D. y 2<0<y 111. (2019临沂)下列关于一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＞0)的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. y 随x 的增大而减小 C. 图象与y 轴交于点(0，b ) D. 当x ＞－bk时，y ＞012. 一次函数y ＝(k －2)x ＋2k ＋4的图象如图所示，则点(3－k ，6＋k )所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限第12题图13. (2019邵阳)一次函数y 1＝k 1x ＋b 1的图象l 1如图所示，将直线l 1向下平移若干个单位后得直线l 2，l 2的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.下列说法中错误的是( )A. k 1＝k 2B. b 1<b 2C. b 1>b 2D. 当x ＝5时，y 1>y 2第13题图14. (2019潍坊)当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是________．15. 已知一次函数y＝kx＋2k＋3(k≠0)，不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为______．16. (2019烟台)如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c 的解为________．第16题图17. (2019 乐山)如图，已知过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P(－1，a)．(1)求直线l1的解析式；(2)求四边形P AOC的面积．第17题图二、能力提升1. (2019锦江区一诊)若关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. (2019杭州)已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是()3. (2019桂林)如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－4，0)，B (－2，－1)，C (3，0)，D (0，3)，当过点B 的直线l 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为( )第3题图A. y ＝1110x ＋65B. y ＝23x ＋13C. y ＝x ＋1D. y ＝54x ＋324. 如图，将直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点A (2，－4)，且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P ，使得P A ＋PB 的值最小，则点P 的坐标为__________．第4题图三、满分冲关1. (2019攀枝花)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，2)，动点P 在y ＝33x 的图象上运动(不与O 重合)，连接AP .过点P 作PQ ⊥AP ，交x 轴于点Q ，连接AQ .(1)求线段AP 长度的取值范围；(2)试问：点P 运动过程中，∠QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由； (3)当△OPQ 为等腰三角形时，求点Q 的坐标．第1题图2. (2019遂宁模拟)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县政府部门决定，招标一工程队负责完成一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知1台A型和2台B型挖掘机同时施工1小时共挖土70立方米，2台A型和3台B型挖掘机同时施工1小时共挖土120立方米．每台A型挖掘机一个小时的施工费用是350元，每台B型挖掘机一个小时的施工费用是200元．(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时各挖土多少立方米？(2)若A型和B型挖掘机共10台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过13400元．问施工时有哪几种调配方案？且指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用为多少元？3. (2019雅安模拟)某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需花费39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．(1)求采购A型空调和B型空调每台各花费多少元；(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？参考答案一、基础过关1. B【解析】对于函数y＝4x和y＝x－4，y总随x的增大而增大，不符合题意，A、C均错误；对于函数y＝－4x，∵k＝－4<0，∴y总随x的增大而减小，B正确；对于函数y＝x2，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，D错误．2. C【解析】∵－1<0，4>0，∴一次函数不经过第三象限，∴点P一定不在第三象限．3. A【解析】令x＝0，得y＝－2×0＋4＝4，则函数与y轴的交点坐标是(0，4)．4. A【解析】∵y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，当k＝0，b≤0时成立；当k＞0，b≤0时成立．综上所述，k ≥0，b ≤0.5. B 【解析】∵函数y ＝3x 向上平移6个单位后可得函数y ＝3x ＋6，∴将y ＝0代入y ＝3x ＋6，可得3x ＋6＝0，解得x ＝－2，∴平移后的图象与x 轴交点的坐标为(－2，0)．6. D 【解析】∵ab ＜0，∴a ，b 异号，∵a ＞b ，∴a ＞0＞b ，∴函数y ＝ax ＋b 的图象经过第一、三、四象限．7. C 【解析】∵点(1，4)，(2，7)，(a ，10)在同一直线上，∴设这条直线的解析式为y ＝kx ＋b ，将点(1，4)，(2，7)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝42k ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝1.∴这条直线的解析式为y ＝3x ＋1，将(a ，10)代入得3a＋1＝10，解得a ＝3.8. C 【解析】当y ＝1时，－13x ＝1，解得x ＝－3，则点P 的坐标为(－3，1)，∴关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋y ＝b x ＋3y ＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1.9. B 【解析】∵当y 2＝2时，－x －1＝2，解得x ＝－3，∴A (－3，2)．将A (－3，2)代入y 1＝mx －3中，得2＝－3m －3，解得m ＝－53.10. B 【解析】∵点(1，0)在一次函数y ＝kx －2的图象上，∴k －2＝0，∴k ＝2>0，∴y 随x 的增大而增大，∵－2<1<3，∴y 1<0<y 2.11. D 【解析】∵k ＜0，b ＞0，根据一次函数图象性质可得y 随x 的增大而减小，图象过第一、二、四象限，当x ＝0时，y ＝b ，∴函数与y 轴交于点(0，b )，则A 、B 、C 选项正确；当y ＝0时，x ＝－bk ，与x轴交于点(－b k ，0)，根据函数图象可得，当x ＞－bk时，y ＜0，D 项错误．12. A 【解析】由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k －2<02k ＋4>0，解得－2<k <2，∴3－k ＞0，6＋k ＞0，∴点(3－k ，6＋k )所在的象限为第一象限．13. B 【解析】∵一次函数y 1＝k 1x ＋b 1的图象l 1向下平移若干个单位得到l 2的表达式y 2＝k 2x ＋b 2，∴k 1＝k 2，b 1＞b 2，当x ＝5时可以看出y 1＞y 2，∴B 选项错误．14. 1＜k ＜3 【解析】∵直线y ＝(2－2k )x ＋k －3经过第二、三、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－2k ＜0k －3＜0，解得1＜k ＜3.15. (－2，3) 【解析】∵y ＝kx ＋2k ＋3＝k (x ＋2)＋3，当x ＝－2时，y ＝3，∴不论k 为何值，该函数的图象都经过点A (－2，3)．16. x ≤1 【解析】将点P (m ，3)代入y ＝x ＋2，得3＝m ＋2，∴m ＝1.∴点P 坐标为(1，3)．由题图可知，x ＋2≤ax ＋c 的解即为直线y ＝ax ＋c 的图象在直线y ＝x ＋2的上方时x 的取值范围，且包含交点的横坐标，∴x ＋2≤ax ＋c 的解为x ≤1.17. 解：(1)∵点P (－1，a )在直线l 2：y ＝2x ＋4上， ∴2×(－1)＋4＝a ，即a ＝2， 则点P 的坐标为(－1，2)．设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∴将点B (1，0)，P (－1，2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0－k ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝1.∴直线l 1的解析式为y ＝－x ＋1； (2)∵直线l 1与y 轴相交于点C ， ∴C 点的坐标为(0，1)， 又∵直线l 2与x 轴相交于点A ， ∴A 点的坐标为(－2，0)，则AB ＝3，∴S 四边形P AOC ＝S △P AB －S △BOC ＝12×3×2－12×1×1＝52.二、能力提升1. A 【解析】∵关于x 的一元二次方程mx 2－2x －1＝0无实数根，∴m ≠0且(－2)2－4m ×(－1)＜0，∴m ＜－1，∴一次函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．2. A 【解析】令ax ＋b ＝bx ＋a ，即(a －b )x ＝a －b ，∵a ≠b ，∴解得x ＝1，即这两个一次函数图象交点的横坐标为1，4个选项都满足. A 选项中，两函数图象都经过第一、二、三象限，若当x <1时，位于上方的图象是y 1，由y 1的图象可知a >0，b ＞0，由y 2的图象可知a >0，b ＞0，两结论不矛盾，故A 正确；B 选项中，如果经过第一、二、三象限的图象是y 1，由y 1的图象可知a >0，b ＞0，由y 2的图象可知a >0，b <0，两结论相矛盾，故B 错误；C 选项中，两函数图象都经过第一、二、四象限，若当x <1时，位于上方的图象是y 1，由y 1的图象可知，a ＜0，b ＞0，由y 2的图象可知，a >0，b ＜0，两结论相矛盾，故C 错误；D 选项中，如果经过第二、三、四象限的图象是y 1，由y 1的图象可知a ＜0，b ＜0，由y 2的图象可知a <0，b >0，两结论相矛盾，故D 错误．3. D 【解析】S 四边形ABCD ＝S △ACD ＋S △ACB ＝12×7×3＋12×7×1＝14，12S 四边形ABCD ＝7.当直线l 过点D 时，设BD 所在直线的解析式为y ＝mx ＋n ，将点B (－2，－1)，D (0，3)代入易得y ＝2x ＋3，∴BD 所在直线与x 轴交于点(－32，0)，∴S △ABD ＝12(－32＋4)×(3＋1)＝5，∴直线l 与直线CD 相交．如解图所示，过点B 作直线交CD 于点E ，交AC 于点F .设直线l 所表示的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点B (－2，－1)代入y ＝kx ＋b ，得－2k ＋b ＝－1，b ＝2k －1，∴y ＝kx ＋2k －1.由题意易得直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k －1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4－2kk ＋1y ＝5k －1k ＋1，∴E (4－2k k ＋1，5k －1k ＋1)．令y ＝kx ＋2k －1＝0，得x ＝1－2k k ，∴直线l 与x 轴的交点坐标为F (1－2kk ，0)．S △BCE ＝S △BCF ＋S △CEF ＝12×1×(2k －1k ＋3)＋12×(2k －1k ＋3)×5k －1k ＋1＝7，解得k ＝54，∴直线l 的表达式为y＝54x ＋32.第3题解图4. (23，0) 【解析】如解图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′，交x 轴于点P ，则点P 即为所求，设直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线的解析式为y ＝－x ＋a ，把A (2，－4)代入可得a ＝－2，∴平移后的直线的解析式为y ＝－x －2，令x ＝0，则y ＝－2，即B (0，－2)，∴B ′(0，2)，设直线AB ′的解析式为y ＝kx＋b ，把A (2，－4)，B ′(0，2)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝2k ＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝2，∴直线AB ′的解析式为y ＝－3x ＋2，令y＝0，则x ＝23，∴P (23，0)．第4题解图三、满分冲关1. 解：(1)如解图①，过点A 作AH ⊥OP 于点H ，则AP ≥AH ， ∵点P 在y ＝33x 的图象上， ∴∠HOQ ＝30°，∠HOA ＝60°. ∵A (0，2)，∴AH ＝AO ·sin60°＝3， ∴AP ≥3；第1题解图①(2)是．理由如下：①如解图②，当点P在第三象限时，由∠QP A＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠QAP＝∠POQ＝30°；第1题解图②②如解图③，当点P在第一象限的线段OH上时，由∠QP A＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°，∴∠QAP＝180°－∠POQ＝30°；第1题解图③③如解图④，当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QP A＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°，∴Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ＝∠POQ＝30°；第1题解图④(3)设P (m ，33m )， ∵A (0，2)，∴OP 2＝4m 23，AP 2＝4m 23－43m 3＋4.在Rt △APQ 中，∵∠QAP ＝30°， ∴PQ 2＝(AP ·tan30°)2＝4m 29－43m 9＋43，AQ 2＝(AP cos30°)2＝16m 29－163m 9＋163， ∵在Rt △AOQ中，OQ 2＝AQ 2－OA 2＝16m 29－1639m ＋43＝169(m －32)2， ∴Q (4m －233，0)．①当OP ＝OQ 时，则43m 2＝169m 2－163m 9＋43，解得m ＝23±3，∴Q 1(23＋4，0)，Q 2(23－4，0)； ②当OP ＝PQ 时，则43m 2＝49m 2－43m 9＋43，解得m ＝32或m ＝－3， 当m ＝32时，点Q 与点O 重合，舍去， ∴m ＝－3， ∴Q 3(－23，0)；③如解图④，当QO ＝QP 时， 则169m 2－163m 9＋43＝49m 2－43m 9＋43， 解得m ＝3或m ＝0，当m ＝0时，点P 与点O 重合，舍去， ∴m ＝ 3. ∴Q 4(233，0)．综上所述，当△OPQ 为等腰三角形时，点Q 的坐标为(23＋4，0)或(23－4，0)或(－23，0)或(233，0)．2. 解：(1)设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝702x ＋3y ＝120， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30y ＝20. 答：每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土20立方米；(2)设m 台A 型挖掘机参与施工，施工总费用为W 元，则有(10－m )台B 型挖掘机参与施工，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧30×4m ＋20×4（10－m ）≥1080350×4m ＋200×4（10－m ）≤13400，解得7≤m ≤9，∴共有三种调配方案：①调配7台A 型、3台B 型挖掘机施工；②调配8台A 型挖掘机、2台B 型挖掘机施工；③调配9台A 型挖掘机、1台B 型挖掘机施工；依题意，得：W ＝350×4m ＋200×4(10－m )＝600m ＋8000，∵600＞0，∴W 随m 的增大而增大，∴当m ＝7时，即选择方案①时，W 取得最小值，最小值为12200元．即调配7台A 型挖掘机，3台B 型挖掘机的施工费用最低，最低费用为12200元．3. 解：(1)设A 型空调和B 型空调每台各需x 元、y 元，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝390004x －5y ＝6000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9000y ＝6000， 答：采购A 型空调每台需花费9000元，采购B 型空调每台需花费6000元；(2)设购买A 型空调a 台，则购买B 型空调(30－a )台，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（30－a ）9000a ＋6000（30－a ）≤217000， 解得10≤a ≤1213， ∵a 为整数，∴a ＝10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购A 型空调10台，B 型空调20台，方案二：采购A 型空调11台，B 型空调19台，方案三：采购A 型空调12台，B 型空调18台；(3)设总费用为W 元，W＝9000a＋6000(30－a)＝3000a＋180000，∴当a＝10时，W取得最小值，此时W＝210000，答：采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．。
中考数学《一次函数》专题练习含答案解析
一次函数一、选择题1．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（）A．甲的速度随时间的增加而增大B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面2．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为6600米D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元二、填空题5．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为元．型号A B单个盒子容量（升）23单价（元）566．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要s能把小水杯注满．7．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．三、解答题8．“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：型号进价（元/只）售价（元/只）A型1012B型1523（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．9．已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？10．某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？11．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？（3）什么情况下A套餐更省钱？12．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：甲种原料（千克）乙种原料（千克）原料型号A产品（每件）93B产品（每件）410（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？一次函数参考答案与试题解析一、选择题1．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（）A．甲的速度随时间的增加而增大B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面【考点】一次函数的应用．【分析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．【解答】解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误；B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．故选D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．2．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，再利用函数图象横坐标，得出甲先到达终点．【解答】解：在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．故选C．【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题的数量关系速度=路程后÷时间的运用，解答时理解函数的图象的含义是关键．3．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为6600米D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度【考点】一次函数的应用．【分析】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（3800﹣2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．【解答】解：A、根据图象可知，在40～60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间为：60﹣40=20分钟，故正确；B、根据图象可知，当t=40时，s=2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40=70（米/分钟），故B正确；C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；D、小明休息后的爬山的平均速度为：（3800﹣2800）÷（100﹣60）=25（米/分），小明休息前爬山的平均速度为：2800÷40=70（米/分钟），70＞25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题．4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为200件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D．第30天的日销售利润是750元【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=﹣x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：，解得：，∴z=﹣x+25，当x=10时，y=﹣10+25=15，故正确；C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，把（0，100），（24，200）代入得：，解得：，∴y=，当t=12时，y=150，z=﹣12+25=13，∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元），750≠1950，故C错误；D、第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．故选：C【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．二、填空题5．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为29元．型号A B单个盒子容量（升）23单价（元）56【考点】一次函数的应用．【分析】设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数为个，分两种情况讨论：①当0≤x＜3时；②当3≤x时，利用一次函数的性质即可解答．【解答】解：设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数为个，①当0≤x＜3时，y=5x+=x+30，∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元；②当3≤x时，y=5x+﹣4=26+x，∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最小值，最小值为29元；综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为29元．故答案为：29．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式，利用一次函数的性质解决最小值的问题，注意分类讨论思想的应用．6．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要5s能把小水杯注满．【考点】一次函数的应用．【分析】一次函数的首先设解析式为：y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得其解析式，再由y=11，即可求得答案．【解答】解：设一次函数的首先设解析式为：y=kx+b，将（0，1），（2，5）代入得：，解得：，∴解析式为：y=2x+1，当y=11时，2x+1=11，解得：x=5，∴至少需要5s能把小水杯注满．故答案为：5．【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关键．7．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．【考点】一次函数的应用．【分析】根据函数图象，分别求出线段OA和射线AB的函数解析式，即可解答．【解答】解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，1千克苹果的价钱为：y=10，设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），把（2，20），（4，36）代入得：，解得：，∴y=8x+4，当x=3时，y=8×3+4=28．当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），30﹣28=2（元）．则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是分别求出线段OA和射线AB 的函数解析式．三、解答题8．“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：型号进价（元/只）售价（元/只）A型1012B型1523（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出方程解答即可；（2）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出函数解答即可．【解答】解：（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，可得：10x+15（100﹣x）=1300，解得：x=40．答：A文具为40只，则B文具为100﹣40=60只；（2）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，可得（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）≤40%[10x+15（100﹣x）]，解得：x≥50，设利润为y，则可得：y=（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）=2x+800﹣8x=﹣6x+800，因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元．【点评】此题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出方程和不等式，根据函数是减函数进行解答．9．已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．【解答】解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，∴m=9，∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，∴（5﹣3）n+9=12.6，解得：n=1.8．∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）∵13.4＜16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．【点评】本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次函数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键10．某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，依题意得：，解之得：．答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，依题意得：a≤（330﹣a）×2，解得：a≤220，设获得的利润为W元，则W=70a+40（330﹣a）=30a+13200，根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大当W取最大值时a=220，即W=19800元．所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．11．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？（3）什么情况下A套餐更省钱？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；（3）根据（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B套餐，大于收费相同的时间选择A套餐解答．【解答】解：（1）A套餐的收费方式：y1=0.1x+15；B套餐的收费方式：y2=0.15x；（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；（3）由0.1x+15＜0.15x，得到x＞300，当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．【点评】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．12．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：原料甲种原料（千克）乙种原料（千克）型号A产品（每件）93B产品（每件）410（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的做为不等量关系可列不等式组求解；（2）可以分别求出三种方案比较即可．【解答】解：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品由题意得：，解得：30≤x≤32的整数．∴有三种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；（2）方法一：方案（一）A，30件，B，20件时，20×120+30×80=4800（元）．方案（二）A，31件，B，19件时，19×120+31×80=4760（元）．方案（三）A，32件，B，18件时，18×120+32×80=4720（元）．故方案（一）A，30件，B，20件利润最大．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料360千克，乙种原料290千克，做为限制列出不等式组求解，然后判断B生产的越多，A少的时候获得利润最大，从而求得解．。
专题二 一次函数与二元一次方程组问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题二一次函数与二元一次方程组问题【知识点总结】一、二元一次方程与一次函数的关系若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．二、用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：1、先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；2、建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；3、写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.三、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：1、写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；2、把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；3、解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．【针对训练】1、在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为；（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为；（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在．解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），故答案为（2，4）；（2）设点A坐标为（x，y），由题意可得：，∴，∴点A坐标为（2，1）；（3）∴点A（x，0），∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），∴AB＝|mx|，∴AB＝OA，∴|x|＝|mx|，∴m＝±1；（4）∴点A（x，y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，∴，∴x＝0，∴点A在y轴上，故答案为：y轴上．2、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图∴：在∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：∴ADC∴∴CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图∴，可得到结论；∴ADC∴∴CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图∴，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图∴，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若∴DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．解：（1）理由：∴∴ACB＝90°，∴∴ACD＝∴BCE＝90°，又∴∴ADC＝90°，∴∴ACD+∴DAC＝90°，∴∴BCE＝∴DAC，且∴ADC＝∴BEC＝90°，∴∴ADC∴∴CEB；（2）如图，过点O作ON∴OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME∴x轴NF∴x轴，由（1）可得：∴NFO∴∴OEM，∴，∴点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∴tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∴设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∴CDP＝90°时，如图，过点P作PH∴BC，交BC延长线于点H，∴∴ADC+∴CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∴∴BAP＝∴B＝∴H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∴将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∴AEP＝90°，∴∴AEB＝∴PEH＝90°，且∴BAE+∴AEB＝90°，∴∴BAE＝∴PEH，且∴B＝∴H＝90°，AE＝EP，∴∴ABE∴∴EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∴CPD＝90°时，如图，过点P作PH∴BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∴将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∴AEP＝90°，∴∴AEB＝∴PEH＝90°，且∴BAE+∴AEB＝90°，∴∴BAE＝∴PEH，且∴B＝∴EHP＝90°，AE＝EP，∴∴ABE∴∴EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∴∴DPC＝90°，∴∴DPN+∴CPH＝90°，且∴CPH+∴PCH＝90°，∴∴PCH＝∴DPN，且∴N＝∴CHP＝90°，∴∴CPH∴∴PDH，∴，∴∴x＝∴点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，∴DPC为直角三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC∴x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN∴x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）∴AC∴x轴，点A（5，0），∴点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，∴OM＝6﹣2t，∴OM∴AN，MN∴x轴，∴四边形MOAN为平行四边形，∴OM＝AN，∴6﹣2t＝3t，解得，t＝，∴当MN∴x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF∴x轴，交OB于E，交AC于F，∴EF∴x轴，BM∴AN，∴AOE＝90°，∴四边形EOAF为矩形，∴EF＝OA＝5，EO＝F A，∴BM∴AN，∴∴BDM∴∴ADN，∴＝＝，∴EF＝5，∴DE＝2，DF＝3，∴BM∴AN，∴∴BDE∴∴ADF，∴＝＝，∴＝，∴OB＝6，∴EO＝F A＝，∴CF＝AC﹣F A＝，∴CD＝＝．4、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE∴y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∴CGF＝∴ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：∴点D坐标（2，4）（2）∴直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴点B（0，8），点A（4，0），∴直线y＝x+3交y轴于点C，∴点C（0，3），∴AE∴y轴交直线y＝x+3于点E，∴点E（4，5）∴点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，∴BC＝AE＝AC＝BE，∴四边形ACBE是菱形；（3）∴BC＝AC，∴∴ABC＝∴CAB，∴∴CGF＝∴ABC，∴AGF＝∴ABC+∴BFG＝∴AGC+∴CGF∴∴AGC＝∴BFG，且FG＝CG，∴ABC＝∴CAB，∴∴ACG∴∴BGF（AAS）∴BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，∴a＝±，∴点G在线段AB上∴a＝，∴点G（，8﹣2）5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S∴ACE＝S∴ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与∴APD全等，求点F的坐标．解：（1）∴直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，∴令y＝0，则3x﹣6＝0，∴x＝2，∴D（2，0）；（2）如图1，∴直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，∴令y＝0．∴x+2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），∴AD＝4，联立直线l1，l2的解析式得，，解得，，∴C（4，6），∴S∴ACD＝AD•|y C|＝×4×6＝12，∴S∴ACE＝S∴ACD，∴S∴ACE＝12，直线l1与y轴的交点记作点B，∴B（0，2），设点E（0，m），∴BE＝|m﹣2|，∴S∴ACE＝BE•|x C﹣x A|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12，∴m＝﹣2或m＝6，∴点E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如图2，∴当点F在直线l1上方时，∴以A、P、F为顶点的三角形与∴APD全等，∴∴、当∴APF'∴∴APD时，连接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），∴OB＝OA＝OD，∴∴ABO＝∴DBO＝45°，∴∴ABD＝90°，∴DB∴l1，∴∴APF'∴∴APD，∴PF'＝PD，AF'＝AD，∴直线l1是线段DF'的垂直平分线，∴点D，F'关于直线l1对称，∴DF'∴l1，∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，∴F'（﹣2，4），∴、当∴P AF∴∴APD时，∴PF＝AD，∴APF＝∴P AD，∴PF∴AD，∴点D（2，0），A（﹣2，6），∴点D向左平移4个单位，∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6），∴F（﹣3，3），∴当点F在直线l1下方时，∴∴P AF''∴∴APD，由∴∴知，∴P AF∴∴APD，∴∴P AF∴∴P AF''，∴AF＝AF''，PF＝PF''，∴点F与点F'关于直线l1对称，∴FF''∴l1，∴DF'∴l1，∴FF'∴DF'，而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），∴F''（1，﹣1），即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S∴AOP：S∴AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求∴APC的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，∴点A（2，0），点B（﹣4，3），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE∴x轴于E，过P作PD∴x轴于D，∴PD∴BE，∴S∴AOP：S∴AOB＝2：3，∴＝，∴点B（﹣4，3），∴BE＝3，∴PD∴BE，∴∴APD∴∴ABE，∴＝＝，∴PD＝2，当y＝2时，x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），则AP＝2，AB＝CA＝3，过点P作HP∴AC交AC的延长线于点H，则AH＝AP＝，PH＝AP sin60°＝，∴APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；设点C（x，y），则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…∴，CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…∴，联立∴∴并解得：x＝，y＝，故点C（，）．7、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线是，当点P在C点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线表达式是．（2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使∴DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，OP所在的直线是y轴；当点P在C点时，∴∴AOC＝∴BOC＝45°，∴A′点的位置关系是点B，OP所在的直线表达式是y＝x．故答案为：A，y轴；B，y＝x．（2）连接OD，∴正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，∴＝＝．由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∴OA′D＝90°．∴A′D＝1．设点P（x，2），P A′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．解得x＝．所以P（，2），∴OP所在直线的表达式是y＝3x．（3）存在．若∴DPQ的周长为最小，即是要PQ+DQ为最小．∴点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1），∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，，解得，∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+．当y＝0时，x＝．∴点Q（，0）．8、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE ＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别与x轴交于A（6，0），∴b＝6，∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，∴B（0，6），∴OB＝6，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）设BC的解析式是y＝kx+b，∴解得，直线BC的解析式是：y＝3x+6；（2）存在．理由如下：如图1中，∵S△BDF＝S△BDE，∴只需DF＝DE，即D为EF中点，∵点E为直线AB与EF的交点，∴∴点E（，）∵点F为直线BC与EF的交点，∴∴点F（，）∵D为EF中点，∴+，∴a＝0舍去，a＝（3）K点的位置不发生变化．理由如下：如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠OPB＝∠PQC，∵PB＝PQ，∴△BOP≌△PCQ（AAS），∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，∴AC＝QC＝6+m，∴∠QAC＝∠OAK＝45°，∴OA＝OK＝6，∴K（0，﹣6）．9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠PAE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×8×8﹣×（2m﹣8）×（2m﹣8）＝16m﹣2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝4，∴2m﹣8＝4，∴m＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．10、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ 的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，∵AB＝AC，∴AC＝5，∴C（2，0），设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B与点C代入，得，∴，∴BC的直线解析式为y＝﹣2x+4；（2）过点Q作MQ⊥y轴，与y轴交于点M，过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，∵Q点横坐标是t，∴MQ＝t，∵MQ∥OC，∴，∴，∴BQ＝t，∵AP＝BQ，∴AP＝t，∵AB＝5，∴PB＝5﹣t，在等腰三角形ABC中，AC＝AB＝5，BC＝2，∵AB×CF＝AC×OB，∴CF＝OB＝4，∵EQ∥CF∴∴EQ＝2t，∴S＝×（5﹣t）＝（0≤t≤2）；（3）如图3，∵将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，∴AH＝AB＝5，AE＝EH，∴OH＝BH﹣OB＝1，∵EH2＝EO2+OH2，∴AE2＝（4﹣AE）2+1，∴AE＝＝EH，∴OE＝，∴点E（﹣，0）∵EH＝FH＝，∴OF＝∴点F（0，）∴直线EF解析式为y＝x+，直线BE的解析式为：y＝3x+4，∴﹣2x+4＝x+，∴x＝，∴点G（，）∴BG＝＝，∵BG＝AP，∴AP＝1，设点P（a，a+4）∴1＝∴a＝﹣，∴点P（﹣，），∴直线PG的解析式为：y＝x+，∴3x+4＝x+，∴x＝﹣1，∴点T（﹣1，1）∴BT＝＝11、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第三章 函数 第二节 一次函数 课时2 一次函数的实际应用
(1)写出 y 与 x 之间的函数解析式； 解：由题意可得，当 0≤x≤20 时，y＝2x， 当 x>20 时，y＝20×2＋(x－20)×2.6＝2.6x－12，
2x(0≤x≤20)， 综上可得，y＝2.6x－12(x>20).
(2)小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份
交费金额 30 元 34 元 小明家这个季度共用水多少立方米？
(2)图象型：提取两个满足题意的点的坐标利用待定系数法求解． 注：若为分段函数，需分段求解，并写出各段自变量的取值范围．
设问二：求最值 (1)利用不等式确定自变量的取值范围； (2)自变量的端点处可能为最值； (3)根据一次函数的增减性确定最值． 注：最优方案本质也是求解最值的问题．
设问三：方案设计 (1)方案个数：根据限定的自变量取值范围，自变量取到几个值，就有几 种方案； (2)两种方案比较：根据解析式分类讨论，比较两个方案在不同取值下的 最优结果．
解：(1)甲书店：y＝0.8x(x>0)． 乙书店：当 0<x≤100 时，y＝x.
当 x>100 时，y＝100＋0.6(x－100)＝0.6x＋40. x（0<x≤100），
∴y＝0.6x＋40（x>100）.
(2)当 0<x≤100 时，选择甲书店可以享受优惠，而选择乙书店不会优惠．因 此选择甲书店购书更省钱． 当 x>100 时， 若 0.8x>0.6x＋40，即 x>200，则选择乙书店购书更省钱． 若 0.8x＝0.6x＋40，即 x＝200，则选择甲、乙两书店购书花费相同． 若 0.8x<0.6x＋40，即 x<200，则选择甲书店购书更省钱． 综上所述，当 0<x<200 时，选择甲书店购书更省钱；当 x＝200 时，选择 甲、乙两书店购书花费相同；当 x>200 时，选择乙书店购书更省钱．
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练函数及其图象1、坐标与象限定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。
水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。
这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。
解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：第1步，列表。
表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第2步，描点。
在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第3步，连线。
按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
1、结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
2、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数
中考数学频考点突破--二次函数与一次函数1．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？2．已知抛物线C：y1=a（x﹣h）2﹣1，直线L：y2=kx﹣kh﹣1（1）试说明：抛物线C的顶点D总在直线y2=kx﹣kh﹣1上；（2）当a=﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值；（3）当0＜a≤2，k＞0时，若在直线L下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为正整数的点，求k的取值范围．3．某商场以每千克40元的价格购进某种海鱼，计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种海鱼销售量y（kg）与每千克降价x （元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y关于x的函数表达式；（2）商场在销售这种海鱼中要想获利2090元，则这种海鱼每千克应降价多少元？共销售了多少千克这种海鱼？4．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3)，与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y=x+b.（1）求二次函数图象的顶点坐标.（2）求不等式ax2+2x+c⩽x+b的解.5．在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）.（1）若a=1，当x=−1时，y=4.求y的函数表达式.（2）写出一题a，b的值，使函数y=ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标.（3）已知，二次函数y=ax2+bx+2的图象和直线y=ax+4b都经过点（2，m），求证a2+b2≥12.6．已知，如图：直线AB过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，点B的坐标为(1，1)．（1）求直线AB和抛物线的函数解析式；（2）如果抛物线上有一点D，使得S△AOD=S△BCO，求点D的坐标．7．（1）化简：4aa2−1+a−1 a+1；（2）已知二次函数y=ax2+43(a≠0)与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，求a的值．8．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3<m<－1)，与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m 为何值时，△BCQ的面积最大？9．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x 轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．10．如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y= ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．11．抛物线y=x2与直线y=x+2交于A,B两点，点A在第二象限，求（1）A、B两点的坐标；（2）△AOB的面积12．某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克40元．经市场调查发现，日销量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝70时，y＝80；x＝60时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用350元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？13．如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b交于点A(2，0)和点B.（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>−x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围.14．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C （0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标；（2）求一次函数和二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．15．为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．采购数量（件）12…A产品单价（元/件）14801460…B产品单价（元/件）12901280…1y1与x的关系式；（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的119，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．16．如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）直线y2=kx+b过B、C两点，请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）解：设y=kx+b ，由图象可知，{20k +b =2030k +b =0， 解之，得： {k =−2b =60 ，∴y=﹣2x+60（2）解：p=（x ﹣10）y =（x ﹣10）（﹣2x+60） =﹣2x 2+80x ﹣600， ∵a=﹣2＜0， ∴p 有最大值，当x=﹣ 80−2×2=20时，p 最大值=200．即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）由待定系数法求一次函数解析式。
初二数学下册：【一次函数】性质，6大考点＋例题解析，抓紧记！
初二数学下册：【一次函数】性质，6大考点＋例题解析，抓紧记！考纲要求：1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式．2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质，平移的方法．3．体会一次函数与一元一次方程不等式的关系。
4.一次函数的与三角形面积的问题.命题趋势：一次函数是中考的重点，主要考查一次函数的定义、图像、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题.中考数学一次函数知识梳理：一、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．二、一次函数的图像与性质1．一次函数的图像(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-b/k,0)的一条直线．(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图像是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．2．一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜0，下移|b|个单位．三、利用待定系数法求一次函数的解析式四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx ＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．2．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．3.一次函数的平移y＝kx＋b遵循左加右减原则如果向左平移a个单位，可得y＝k(x+a)＋b如果向上平移a个单位，可得y＝kx＋b+a 通过以上对一次函数的整体了解和综合的学习，快速掌握一次函数，就从下面的六大考点出发，每个考点的精髓和解题的技巧唐老师都在例题的下方给大家进行了总结，记得一定要牢记。
2022年中考数学一轮复习课件 第二讲 函数专题之一次函数的图像与性质
-2
-3
k＜0，b＞0⟺ 过一、二、四象限
-4
k ＜ 0，b=0⟺ 过二、四象限和原点
-5
k ＜ 0，b＜0⟺ 过二、三、四象限
一次函数
一轮复习
【注意】一次函数的图像是与坐标轴不平行的一条直线,其中正比例函数是过原
点的直线,一次函数的图像是一条直线,但直线不一定是一次函数的图像,如x=a,
y=b分别是与y轴,x轴平行的直线,但不是一次函数。
(
)
A. x<3
B. x<5
C. x＞3
D. x＞5
一轮复习
例10.一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图像如图所示,则关于x的不等式
kx+2b<0的解集是
.
例11.将函数y=3x+1的图像平移,使它经过点(1,1),则平移后的图像对应的函数表达
式是
.
一轮复习
例12．一次函数y＝x－b的图像，沿着过点（1，0）且垂直于x轴的直线翻折后经
5
下列选项中，描述准确的是（
）
A．①②正确，③错误
B．①③正确，②错误
C．②③正确，①错误
D．①②③都正确
一轮复习
1
例20．若以二元一次方程x＋3y＝b的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝﹣3x＋
b﹣1上，则常数b的值为_____．
一轮复习
1、一次函数
（7）一次函数图像与坐标轴所围成的三角形的面积
-2
-3
-4
y2=2 + 2
-5
一轮复习
例13．若一次函数y=-x+m的图像经过点 (-1,2)，则不等式-x+m≥2的解集为（
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2016年中考总复习专题二一次函数探究一、一次函数的性质：1）.一次函数y=kx+b(k≠0)①系数k的重要意义; ②b=0时函数为正比例函数; ③函数图像经过的象限及增减性。
1. （2015•江苏盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A．（1）求点A的坐标；（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=x 和y=﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC=OA，求△OBC的面积．2.（2015，广西河池）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉:太阳花6元/盆，绣球花10元/盆,若一次购买绣球花超过20盆时,超过20盆的部分绣球花打8折.(1)分别写出两种花卉的付款金额y(元)关于购买量x(盆)的函数关系式；(2)为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花的数量不超过绣球花数量的一半,两种花卉各买多少盆时,总费用最少．．．．．．．．？．．．．．，最少总费用多少元二、一次函数的图像：1）. ①一次函数的图像过（0，b ）)0,(k b，可以确定图像与坐标轴的交点②特殊的直线：y=x+b,y=-x+b ③两直线平行，k 值相等，两直线垂直，k 1k 2=-11.（2015•广东梅州）如图，已知直线y =﹣x +3分别与x ，y 轴交于点A 和B ．（1）求点A ，B 的坐标； （2）求原点O 到直线l 的距离；（3）若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标．2. （2015•浙江丽水）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数函数图像的一部分如图所示.（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分；（3）问甲、乙两人何时相距360米？3. （2015•四川南充）反比例函数与一次函数交于点A （1，2k －1）（1）求反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x 轴交于点B ，且△AOB 的面积为3，求一次函数的解析式．4. （2015•四川成都）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于()1,A a ，B 两点.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标及PAB ∆的面积.5．（2015•乌鲁木齐）一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y 1（km ），小轿车的路程y 2（km ）与时间x （h ）的对应关系如图所示． （1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y 1与x 的函数关系式； ②当x ≥5时，求y 2与x 的函数解析式； （3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？6.（2015•山东日照）如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地路程y（千米）与行驶时间x（小时）时间的函数关系图象．（1）填空：甲、丙两地距离千米．（2）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.（2015•山东德州,第22题10分）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象求y与x的函数关系式；（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？8.有一项工作，由甲、乙合作完成，工作一段时间后，甲改进了技术，提高了工作效率．设甲的工作量为y甲（件），乙的工作量为y乙（件），甲、乙合作完成的工作量为y（件），工作时间为x（时）．y与x之间的部分函数图象如图①所示，y乙与x之间的部分函数图象如图②所示．（1）分别求出甲2小时、6小时的工作量．（2）当0≤x≤6时，在图②中画出y甲与x的函数图象，并求出y甲与x之间的函数关系式．（3）求工作几小时，甲、乙完成的工作量相等．（4）若6小时后，甲保持第6小时的工作效率，乙改进了技术，提高了工作效率．当x=8时，甲、乙之间的工作量相差30件，求乙提高工作效率后平均每小时做多少件．三、一次函数的实际应用：1、(2015年四川省广元市) 经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在某一交通时段，为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？2.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟）某地区为了鼓励市民节约用水，计划实行生活用水按阶梯式水价计费，每月用水量不超过10吨（含10吨）时，每吨按基础价收费；每月用水量超过10吨时，超过的部分每吨按调节价收费．例如，第一个月用水16吨，需交水费17.8元，第二个月用水20吨，需交水费23元．（1）求每吨水的基础价和调节价；（2）设每月用水量为n吨，应交水费为m元，写出m与n之间的函数解析式；（3）若某月用水12吨，应交水费多少元？3. （2015•河北）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？2016年中考总复习专题二一次函数探究一、一次函数的性质：1）.一次函数y=kx+b(k≠0)①系数k的重要意义; ②b=0时函数为正比例函数; ③函数图像经过的象限及增减性。
1. （2015•江苏盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A．（1）求点A的坐标；（2）设x 轴上有一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交y=x 和y=﹣x+7的图象于点B 、C ，连接OC ．若BC=OA ，求△OBC 的面积．解：（1）∵由题意得，，解得，∴A（4，3）；（2）过点A 作x 轴的垂线，垂足为D ，在Rt△OAD 中，由勾股定理得，OA===5．∴BC=OA=×5=7．∵P（a ，0），∴B（a ，a ），C （a ，﹣a+7），∴BC=a ﹣（﹣a+7）=a ﹣7，∴a ﹣7=7，解得a=8，∴S △OBC =BC•OP=×7×8=28．2.（2015，广西河池）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉:太阳花6元/盆，绣球花10元/盆,若一次购买绣球花超过20盆时,超过20盆的部分绣球花打8折.(1)分别写出两种花卉的付款金额y(元)关于购买量x(盆)的函数关系式；(2)为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花的数量不超过绣球花数量的一半,两种花卉各买多少盆时,总费用最少．．．．．，最少总费用多少元．．．．．．．．？ 解:(1)太阳花:y=6x; 绣球花:y= 10x(0≤x≤20); 200+8(x-20)(20＜x)(2)设购买绣球花x 盆,则购买太阳花90-x 盆.根据题意可得:90-x≤,解得60≤x≤90,结合(1)中的结果,y 总=6·(90-x)+200+8(x-20),得y 总=2x+580,当x=60时,即购买绣球花60盆,购买太阳花30盆时,费用最小,最小费用为700元.二、一次函数的图像：1）. ①一次函数的图像过（0，b ）)0,(k b，可以确定图像与坐标轴的交点②特殊的直线：y=x+b,y=-x+b ③两直线平行，k 值相等，两直线垂直，k 1k 2=-11.（2015•广东梅州）如图，已知直线y =﹣x +3分别与x ，y 轴交于点A 和B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求原点O 到直线l 的距离；（3）若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标．解：（1）对于直线y =﹣x +3，令x =0，得到y =3；令y =0，得到x =4，∴A （4，0），B （0，3）；（2）直线整理得：3x +4y ﹣12=0，∴原点O 到直线l 的距离d ==；（3）设M 坐标为（0，m ）（m ＞0），即OM =m ，若M在B 点下边时，BM =3﹣m ，∵∠MBN ′=∠ABO ，∠MN ′B =∠BOA =90°，∴△MBN ′∽△ABO ，∴=，即=，解得：m =，此时M （0，）；若M 在B 点上边时，BM =m ﹣3，同理△BMN ∽△BAO ，则有=，即=，解得：m =．此时M （0，）．2. （2015•浙江丽水）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数函数图像的一部分如图所示.（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分；（3）问甲、乙两人何时相距360米？解：（1）甲行走的速度为：150530÷=（米/分）.（2）补画s 关于t 函数图象如图所示（横轴上对应的时间为50）：（3）由函数图象可知，当12.5t =和50t =时，0s =；当35t =时，450s =，当12.535t ≤≤时，由待定系数法可求：20250s t =-，令360s =，即20250360t -=，解得30.5t =.当35<50t ≤时，由待定系数法可求：301500s t =-+，令360s =，即301500360t -+=，解得38t =.∴甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.3. （2015•四川南充）反比例函数与一次函数交于点A （1，2k －1）（1）求反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x 轴交于点B ，且△AOB 的面积为3，求一次函数的解析式．①、当一次函数过A (1,1)和B (6,0)时，得： 解得：∴一次函数的解析式为y =－②、当一次函数过A (1,1)和B (－6,0)时，得： 解得： ∴一次函数的解析式为y =4. （2015•四川成都）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于()1,A a ，B 两点.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标及PAB ∆的面积.（1）由已知可得，143a=-+=，1133k a =⨯=⨯=， ∴反比例函数的表达式为3y x=，联立43y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得13x y =⎧⎨=⎩ 或31x y =⎧⎨=⎩，所以()3,1B 。