13.1-13.2_平方根与立方根复习--
平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
平方根、算术平方根、立方根例题解说第一部分：知识点解说1、学前准备【旧知回首】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，假如一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
即若 x2 a ，( a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有 x a ，（a 0 ）。
（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必定是一个非负数（a0 ）。
（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有x a ，（ a 0 ）。
此中x a 叫做 a 的算术平方根。
（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点： 在此后的计算题中，像 22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2） ，此中 5 的算术平方根。
4. 几种重要的运算：①aba ?b a 0, b 0,a ?b ab a 0,b 0② aa0),a a 0,b0)b(a 0,bb(abb③( a ) 2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a ） ★★★ 若a b 0 ，则 ( a b ) 2 a ba ba b5. 立方根（1）立方根的定义： 一般地，假如一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
即若x 3 a ，则 x 叫做 a 的立方根。
即有 x3a 。
（2）立方根的性质：（ 3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：3ab 3 3,3 3b3ab③ a ? b a ?a 3 3a a3a (b 0), 3 (b 0) b3 3b bb④ 3 3 3 3 ，3 3( a ) a (a能够为任何数）, a a （- a）-a 第二部分：例题解说题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1.求平方根、算术平方根、立方根。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
平方根、立方根和二次根式的知识要点
平方根的式子
（或一元二次方程）
平方根的定义
立方根的定义
定义
算术平方根
X2=4
2
X2=5
X2=a
正数
（互为相反数）2=同一个正数
一个正数有两个平方根，且互为相反数
有算术平方根，
（正数）3=一个正数正数有一个正的立方根
002=00有Fra bibliotek个平方根，就是它本身
有算术平方根，
03=00有一个立方根，就是0
5、最简二次根式的条件：
（1）被开方数不能含有开得尽的因数。
（2）被开方数不能含有分母。
负数
（任何数）2≠负数
负数没有平方根，即 a≥0、 ≥0
无
（负数）3=一个负数负数有一个负的立方根
二次根式的知识要点：
3、二次根式的乘除法：
归纳：系数相乘、相除，被开方数相乘、相除。注意：“同类”、“对应”的思想方法
4、二次根式的加减：
解法：把每一项二次根式化成最简根式，然后找同类项（同类根式）进行合并，不是同类项的照写。
平方根立方根背诵表
平方根立方根背诵表
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊平方根立方根背诵表。
说起这个平方根立方根啊，是不是有时候觉得脑袋都大啦？其实呀，只要咱们掌握了规律，也没那么可怕！
先看看平方根，像 1 的平方根就是 1 和 1 ，这很简单对吧？2 的平方根呢，就是约等于 1.414 和 1.414 。
3 的平方根约是 1.732 和 1.732 。
4 的平方根就很清楚啦，是 2 和 2 。
再来说说立方根，1 的立方根还是 1 ，这个好记。
2 的立方根约是 1.260 。
3 的立方根约是 1.442 。
可别觉得记这些数字很枯燥哦，咱们要是能熟练掌握，做题的时候那可就像开了挂一样顺溜！
你想想，考试的时候，别人还在那里苦思冥想，咱们一下子就能算出答案，多牛呀！
而且哦，平时生活中说不定也能用上呢。
比如说算个什么体积、面积啥的。
其实呀，多背几遍，多做几道题，这些数字就会乖乖地待在咱们的脑袋里啦。
每次背的时候，可以把它们想象成一个个可爱的小精灵，和它们交上朋友，这样就更容易记住啦。
怎么样，是不是觉得平方根立方根也没那么可怕啦？咱们一起加油，把这个背诵表拿下！。
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算
初中数学知识归纳平方根与立方根的运算平方根和立方根都是数学中常见的概念，它们在数学运算中起着重要的作用。
本文将对初中数学中关于平方根和立方根的知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。
一、平方根的运算平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。
平方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些平方根的性质和运算规则：1. 平方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^2 = b，则称a为b的平方根，记作√b，其中√b≥0。
2. 平方根的运算法则：a) 非负数的平方根都是非负数，即√a ≥ 0。
b) 平方根和平方的运算互为逆运算，即(√a)^2 = a。
c) 平方根符号√可以消去平方符号^2，即√(a^2) = a（其中a≥0）。
d) 平方根的运算满足乘法法则，即√(ab) = √a * √b。
e) 平方根的运算满足除法法则，即√(a/b) = √a / √b（其中b≠0）。
二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根。
立方根的运算可以通过开方的方式进行。
下面是一些立方根的性质和运算规则：1. 立方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^3 = b，则称a为b的立方根，记作³√b，其中³√b≥0。
2. 立方根的运算法则：a) 实数的立方根是实数，即³√a是一个实数。
b) 立方根和立方的运算互为逆运算，即(³√a)^3 = a。
c) 立方根符号³√可以消去立方符号^3，即³√(a^3) = a。
d) 立方根的运算满足乘法法则，即³√(ab) = ³√a *³√b。
e) 立方根的运算满足除法法则，即³√(a/b) = ³√a / ³√b（其中b≠0）。
三、平方根和立方根的综合运用平方根和立方根在实际生活和数学问题中经常被使用，下面举几个例子说明它们的综合运用：1. 体积问题：当我们计算一个立方体的边长时，可以通过求边长的立方根来获取。
平方根与立方根复习课件
平方根的运算：可以通过乘法和除法来计算平方根。
平方根的性质
非负性：平方根 的结果总是非负 的。
唯一性：对于给 定的数，其平方 根是唯一的。
定义域：平方根 的定义域是实数 集。
值域：平方根的 值域是非负实数 集。
平方根的运算
平方根的定义与性质 平方根的运算规则 平方根与算术平方根的区别 平方根在实际问题中的应用
平方根和立方根 的应用实例
平方根与立方根的定义和性质
回顾解题思路与方法
平方根与立方根的应用举例
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平方根与立方根的求解方法
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常见题型及解题技巧知识解决实际问题？
解题思路&问题建模：首先明确题目要求，然后根据平方根与立方根的定义和性质，建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题。
平方根与立方根 复习课件
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引言
课程背景
平方根与立方根的定义 平方根与立方根的运算规则 平方根与立方根的应用场景 平方根与立方根在数学中的重要性
立方根复习
立方根的定义
立方根的概念：求一个数的立 方等于另一个数的运算
立方根的符号：用“x^1/3” 表示
立方根的性质：正数的立方根 是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根是0
立方根的运算：求立方根的方 法有多种，包括直接计算、查 表、利用已知数的立方根等
立方根的性质
中考复习初中数学平方根与立方根复习重点整理
中考复习初中数学平方根与立方根复习重点整理在初中数学的学习中，平方根与立方根是一个非常重要的概念和知识点。
在中考中，这也是一个重要的考察内容，因此我们有必要对平方根与立方根的相关知识进行复习整理。
本文将详细介绍平方根与立方根的定义、性质以及应用题的解题思路，帮助大家更好地复习和应对中考数学考试。
一、平方根的定义与性质1. 平方根的定义平方根是数学中的一个重要概念，指的是某个数的二次方等于这个数。
设 a 是一个非负实数，如果存在一个非负实数 b，使得 b 的平方等于 a，则称 b 是 a 的平方根。
用符号√a 表示 a 的平方根。
2. 平方根的性质（1）非负实数的平方根是唯一的，即一个非负实数的平方根只有一个。
（2）非负实数的平方根与非负实数的大小关系相同，即若 a < b，则√a < √b。
二、立方根的定义与性质1. 立方根的定义立方根是数学中的一个重要概念，指的是某个数的三次方等于这个数。
设 a 是一个实数，如果存在一个实数 b，使得 b 的立方等于 a，则称 b 是 a 的立方根。
用符号³√a 表示 a 的立方根。
2. 立方根的性质（1）实数的立方根不一定是唯一的，一个实数可能有一个或两个复数立方根。
（2）实数的立方根与实数的大小关系相同，即若 a < b，则³√a <³√b。
三、平方根与立方根的性质应用1. 平方根与立方根的运算（1）平方根与立方根的运算可以用指数运算来表示，即√a = a^（1/2），³√a = a^（1/3）。
（2）平方根与立方根的运算可以与其他数学运算结合，例如加法、减法、乘法、除法等。
2. 平方根与立方根的应用题解题思路（1）确定已知条件，明确要求。
（2）根据已知条件和要求，建立方程。
（3）利用平方根和立方根的性质进行方程的转化和求解。
（4）验证解的合理性，得出最终结论。
四、例题练习1. 求下列各数的平方根和立方根：（1）√16（2）³√272. 已知 a^2 + b^2 = 10，且 a > 0，b > 0，求 a 与 b 的平方根的和。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。
它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。
本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。
它表示一个数的平方根。
对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。
例如，√25 = 5，因为 5² = 25。
1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。
例如，√25 = 5，√0 = 0。
（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。
例如，√9 = 3 < √16 = 4。
（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。
例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。
2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。
（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。
（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。
二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。
它表示一个数的立方根。
对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。
例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。
1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。
其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。
（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。
例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。
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0.236
已知 5.25 1.738, 52 .5 3.744 , 则 5250的值是
3
17.38
掌 握 规 律
a
3
3
2
a
a 0
a a
3
a a a为任何数
3
a为任何数
2
3
已知a o, 求 a a 的值
3
3
已知m n, 求 （m n） （n m） 的值
若x2=9, 则 x=3．
1 1 2． 的算术平方根是± 2 4
3．0.01是0.1的平方根 4． 5.
16 =±4．
81的平方根是±9．
6 3,
3
93
平方根与立方根的概念错解剖析 6．算术平方根等于本身的数是0． 7．平方根等于本身的数是1和0． 8．8的立方根是±2． 9．立方根等于本身的数是1和0．
13.3 平方根与立方根 复习
回顾 & 思考 ☞
算术平方根 表示方法 平方根 立方根
3
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
a
≠
0
a的取值
正数
a≥
0 没有 0,1
a a≥ 0
0 没有 0
a
a 是任何数
0 负数（一个） 0,1,-1
性 质
0 负数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
a 1
（C）
（D）|a|-1
(D )
10、 已知 x 有意义,则x一定是 A.正数 C. 非负数 B. 负数
D. 非正数
11.若 3
m n 0 ，则m与n的关系是（ C）
3
2
A .m=n=0 B.m=n C.m=-n D.mn=1
12. 若 x 5 ,则 x ±5 ;
13.当 x 4 4 x ,且 y - 4 y4 0 .
( 4) 2 =-4
4、“9的平方根是
3 ”的表达式是（A
）
A. 9 3, B. 9 3, C. 9 3, D. 9 3
5、
81 的平方根是（ C ） A. 9, B.9, C. 3, D.3
19 的值是在(
C )
6．估算
A. 2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6、一个自然数 a的算术平方根是k， 2 3 那么a+1的立方根是_______ 1 k
7.如果A
a 2b 3
a 3b是a 3b的算术 1 a 为1 a 的立方
2 2
平方根，B
2 a b 1
根，求A B的平方根。
自我测试：
（1）（-2）2的平方根是 ±2 ，算术平方根 是 2 ；
时，
(2)
2
2
(1 2) 2 1
2
3
125 -5
3
2
27 8
9 0 4
4 ( 3) 27
3
4
3
3
(3) (2) ( 2) -3
3 2 3
1.你能求出下列各式中的未知数x吗？
(1) （x－1）2＝4
(3) x 7
( 4) x 1 3
算术平方根等于它本身的数是 0、1 ， 算术平方根和平方根相等的数是 0 ；
你在本节课上有那些收获？
A、1个
B、2个 C、3个 D、4个
2.下列说法正确的是( B ) 2 A. 是无限不循环小数; 3 B. 2 是无限不循环小数; C.无限小数都是无限不循环小数;
1 D. 12 是无限不循环小数; 4
3、下列各式中,正确的是( C ) A. 16 =±4 C. 27 =-3
3
B.± 16 =4 D.
10.若
(a) 5, 则a=-5.
2
下列说法正确的是（B ）
A. 16的平方根是 4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根
D. a 一定没有平方根
2
8是 64
的平方根
64的平方根是 ±8
不 要 搞 错 了
64的值是 8
64的平方根是
8
4
64的立方根是
解下列方程：
（2） 16 的平方根是 ±2 ，算术平方 根是 2 。
（3）若x2=25，则 x= ±5 ，若 x 2 =5，则 x= ±5 ； （4）若（x-1）2=25，则x= 6或－4 ，
（5）若一个数的一个平方根为-3，则另一个 平方根为 3 ，这个数是 9 。
（6）若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1， 1 则a= ，这个正数为 ； 16 （7）平方根等于本身的数是 0 ，
7 B． 7 D． 343 C． A． B． 8 8 512 8 2 8．若 a 25，b 3 ，则 a b （D ）
A. 8 C．±2 B．±8 D．±8或±2
7 7．若 a 3 ，则a 的值是（ B 8 7
3
）
9、下列各数中，不一定有平方根的是 （ D ） （A）x2+1 （B）|x|+2
是本身
回顾 & 思考 ☞ 你知道平方根、立方根联系和区别吗？
平方根 定义 表示 开方 若x2=a(a≥0),则x叫a 的平方根。 立方根 若x3=a(a是任意数）,则 x叫a 的立方根。
x a
求一个非负数平方根 的运算叫开平方
x
3
a
求一个数立方根的运算 叫开立方
平方根与立方根的概念错解剖析 1．36的平方根是6．
3
x4
y 2
（y 3） 125
3
2 3 27 ） 125 0 （x 3
x 1
当方程中出现立方时，一般都有一个解
掌握规律
已知 1.7201 1.311, 17 .201 4.147 , 那么0.0017201的平方根是 0.04147
已知 2.36 1.536 , 23 .6 4.858 , 若 x 0.4858 , 则x是
x 196
2
x 14
5 x 2
x 2 3或x 2 3
不 要 遗 漏
4 x 25
2
（x 2） 3
2
9(3 y) 4
2
1 2 yห้องสมุดไป่ตู้ 2 或y 3 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
解下列方程：
x 8
3
x 2
2 x 128
2 3
1、已知 a 3, 4a 2b 4, 求a b的值.
2.若数m的平方根是5a 1和a 19, 求m的值
1.下列说法中正确的有（ A ） （1）一个数的算术平方根一定是正数 （2）100的算术平方根是10，记作
a 2的算术平方根是a （4）
100 10 2 ( 3.14) 2的算术平方根是 3.14 （3）
2.你能求出下列各式中的未知数x吗？ （1） x3＝343
（2）（x－1）3＝125
（3） 3 （4）3
x 2 x2 4
1、如果
x 2 2 ，那么x =
。 。
2、如果 x 2 x 2 ，那么x =
3.若
x 25, y (5)
2 3
3
则x+y=_______
4.一个自然数的平方是b,那么比这个自然 数大1的数是__________ b 1 5一个自然数的算术平方根是a， 2 a 1 则下一个自然数的算术平方根是_________.