2018年天津市十二校联考高考二模数学(理)试题及答案
2018年天津市南开区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值为（）A．11B．24C．36D．493．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）A．B．C．2D．34．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24D．486．（5分）下列命题中，正确的是（）A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0D．若cosα≠，则α≠7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）A．233B．282C．466D．6508．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝．13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，则|EA|•|EB|＝．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i【解答】解：＝．故选：B．2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值为（）A．11B．24C．36D．49【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝2x+3y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+，的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，3），此时z＝2×1+3×3＝11，故选：A．3．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵b＝，c＝2，cos B＝，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：5＝a2+4﹣2×，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或﹣（舍去）．故选：D．4．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）＝log0.5（2﹣x）（2+x）＝log0.5（4﹣x2），设t＝4﹣x2，则y＝log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t＝4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t＝4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24D．48【解答】解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，∴e＝＝＝5，解得a2＝1，∴c＝5，∴|F1F2|＝2c＝10，∵3|PF1|＝4|PF2|，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝|PF2|＝x，由双曲线的性质知x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝×6×8＝24．故选：C．6．（5分）下列命题中，正确的是（）A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0D．若cosα≠，则α≠【解答】解：对于A，lna＞lnb时，a＞b＞0，∴10a＞10b，充分性成立；10a＞10b时，a＞b，lna＞lnb不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要条件，A错误；对于B，命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”，它的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，∴B错误；对于C，设f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，即x＞sin x在（0，+∞）上恒成立；它的否定命题：存在x0＞0，使得x0＜sin x0是假命题，C错误；对于D，α＝时，cosα＝是真命题，∴它的逆否命题：若cosα≠，则α≠也是真命题，D正确．故选：D．7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）A．233B．282C．466D．650【解答】解：S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，可知a4＝4，a5＝6，a6＝8，a7＝6，a8＝8，a9＝10，a10＝8，a11＝10，a12＝12，即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，…数列{a n}的前25项和：2+2×4+3（6+8+10+12+14+16+18）+20＝30+3×＝282．故选：B．8．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3【解答】解：如图，∵，，+2λ+＝，∴，得．∴，∴＝＝设，则．当t＝，即，也就是时，•取最小值．故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为160．【解答】解：在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同，则，即n＝160，即总体中的个体数为160，故答案为：16010．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是24．【解答】解：由程序框图知；第一次循环k＝1，p＝1•1＝1；第二次循环k＝2，p＝1•2＝2；第三次循环k＝3，p＝2•3＝6；第四次循环k＝4，p＝4•6＝24．不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p＝24．故答案为：24．11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为﹣80．【解答】解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•，令﹣＝0，求得r＝3，∴展开式的常数项为×（﹣8）＝﹣80，故答案为：﹣80．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝2．【解答】解：由已知三视图得到几何体为长方体割去一个角，如图所以其体积为•a﹣•a•••＝，解得a＝2，故答案为：2．13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，则|EA|•|EB|＝1．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），∴ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，∴x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．把直线l：（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2﹣3t+1＝0，∴t1+t2＝3，t1t2＝1．∴|EA|•|EB|＝t1t2＝1．故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是（2，2.375）．【解答】解：由函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），则g（x）＝g（﹣x），g（x+2）＝﹣g（x），g（x+4）＝﹣g（x+2）＝g（x），函数g（x）的周期为4，x∈[0，2]时，g（x）＝，则在区间[﹣2，0]上，有g（x）＝，分别作出函数y＝g（x）在[﹣2，2]的图象，并左右平移4个单位，8个单位，…，可得y＝g（x）的图象，再作y＝（）|x|+a的图象，注意上下平移．当经过A（1，2.5）时，a＝2.5﹣0.5＝2，经过B（3，2.5）时，a＝2，5﹣0.53＝2.375．则平移可得2＜a＜2.375时，图象共有4个交点，即F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点．故答案为：（2，2.375）．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）＝1+cos2x+a sin2x＝sin（2x+θ）+1，tanθ＝．∵x＝是函数的对称轴，∴2×+θ＝，k∈Z．∴θ＝kπ，那么tan（kπ）＝tan＝，∴a＝．（Ⅱ）由可知（Ⅰ）函数f（x）＝2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]上，∴2x+∈[，]上，∴﹣1≤sin（2x+）≤1．故得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[﹣1，3]．16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C93种结果，而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，有C21C32种结果．“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，有C22C41种结果，其中它们之间是互斥事件，∴P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．∴X的分布列为：X的数学期望EX）＝＝1．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点为O，连接OD由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC1B1，且OA＝．所以∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C所成的角，即∠ADO＝45°．所以OD＝．所以侧棱的长为2．（Ⅱ）如图，以O为原点，OC为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（1，，﹣），设＝x，y，z）是平面ABD的一个法向量，则由，取z＝﹣1，得＝（，﹣，﹣1），面BCD的一个法向量＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝＝﹣．而所求二面角为锐角，即二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．（Ⅲ）∵＝（﹣1，0，），∴点C到面ABD的距离为：d＝＝．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．【解答】（I）证明：当n≥2时，＝+2．∴﹣＝2.＝2，∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为2．∴＝2+2（n﹣1）＝2n，∴S n＝．∴n≥2时，a n＝S n﹣S n＝﹣＝﹣．﹣1∴a n＝．（II）证明：n≥2时，b n＝2（1﹣n）a n＝．∴n≥3时，＝＜＝，∴b22+b32+b42+..+b n+12＜+……+＜+＝﹣＜．19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程：（a＞b＞0），由抛物线x2＝4的焦点（0，），则b＝，椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝，∴椭圆E的方程：；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x+3）．联立，整理得（1+3k2）x2+18k2x+27k2﹣6＝0，△＝（18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）＞0，解得k2＜．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1＝k（x1+3），y2＝k（x2+3）．∵F（﹣2，0），C（x1，﹣y1）．∴＝（x1+2，﹣y1），＝（x2+2，y2）．∵（x1+2）y2﹣（x2+2）（﹣y1）＝（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）＝k[2x1x2+5（x1+x2）+12]，＝k（++12）＝＝0．∴＝λ，则直线BC过椭圆的左焦点F，由题意可知：S＝|MF||y1|+|MF||y2|＝|MF||y1+y2|＝|k（x1+x2）+6k|＝＝≤＝．当且仅当k2＝＜，取“＝”成立，∴k2＝时，△MBC面积取得最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．【解答】解（Ⅰ）由题意知，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+．若存在x∈[，e]使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，只需a小于或等于2lnx+x+的最大值．设h（x）＝2lnx+x+（x＞0），则h′（x）＝．当x∈[，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．由h（）＝﹣2++3e，h（e）＝2+e+，h（）﹣h（e）＝2e﹣﹣4＞0，可得h（）＞h（e）．所以，当x∈[，e]时，h（x）的最大值为h（）＝﹣2++3e，故a≤﹣2++3e．（Ⅱ）证明：构造函数G（x）＝，（0＜x＜x2）．G′（x）＝lnx﹣ln，∵，0＜x＜x2．∴，∴G（x）＜0∴函数G（x）＝，（0＜x＜x2）单调递减．∴G（x）＞G（x2）＝0∴G（x1）＞G（x2）＝0，⇒＞0∴；（Ⅲ）证明：令H（x）＝1﹣xf′（x）＝1﹣xlnx﹣x，则H′（x）＝﹣lnx﹣2 x∈（0，e﹣2）时，H′（x）＞0，x∈（e﹣2，+∞）时，H′（x）＜0∴H（x）＝1+e﹣2．令m（x）＝，，x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，∴m（x）＞m（0）＝1+e﹣2∴（1﹣xf′（x））＜m（x）＝．∴（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．。
2018年天津市河北区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1} 2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．23．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x24．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4 5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．146．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝17．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．168．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．2018年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则集合（∁R A）∩B 等于（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1}【解答】解：∁R A＝{x|x≤0}；∴（∁R A）∩B＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱，其中侧棱长为1，底面时边长为2的正三角形，∴几何体的体积V＝＝．故选：A．3．（5分）命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为∃x0≤x02，故选：C．4．（5分）二项式（x﹣）6的展开式的第二项为（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项：＝﹣12x4．故选：D．5．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2+3＝9．即目标函数z＝3x+y的最大值为9．故选：C．6．（5分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0）分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．x2﹣＝1D．x2﹣y2＝1【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN＝60°，在Rt△BMN中，|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，即有|BN|＝2a cos60°＝a，|MN|＝2a sin60°＝a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得﹣＝1，即为a2＝b2，由A（﹣1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，则a＝b＝1，∴双曲线的标准方程：x2﹣y2＝1，故选：D．7．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1B．6C．9D．16【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为＝1，∴ab＝a+b，∴ab﹣a﹣b＝0，∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，∴a﹣1＝；∴a﹣1＞0，∴＝+9（a﹣1）≥2＝6，当且仅当＝9（a﹣1），即a＝1±时取“＝”（由于a＞1，故取a＝），∴的最小值为6；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m．则以下三个结论：①m∈[1，2）；②a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；③关于x的方程f（x）＝x+m恰有三个不相等的实数解．正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：作出函数的图象如图，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2），故（1）正确；设y＝m与函数y＝f（x）的交点自左至右依次为a，b，c，d，由﹣2﹣lnx＝1，得x＝e﹣3，由﹣2﹣lnx＝2，得x＝e﹣4，∴c∈（e﹣4，e﹣3]，又﹣2﹣lnc＝2+lnd，∴cd＝e﹣4，∴a+b+c+d＝﹣2+c+在（e﹣4，e﹣3]上是递减函数，∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），故（2）正确；设斜率为1的直线与y＝lnx+2相切于（x0，lnx0+2），则由，可得x0＝1，则切点为（1，2），此时直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），即y＝x+1，∴当m＝1时，直线y＝x+m与函数y＝f（x）有4个不同交点，即关于x的方程f（x）＝x+m有四个不等实根，故（3）错误．∴正确结论的个数是2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是30．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1满足条件i＜6，执行循环体，i＝3，S＝6满足条件i＜6，执行循环体，i＝5，S＝16满足条件i＜6，执行循环体，i＝7，S＝30不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．10．（5分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为1．【解答】解：∵复数＝＝为纯虚数，故有a﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C，2b＝3c，则cos C的值为．【解答】解：△ABC中，若B＝2C，则sin B＝sin2C，∴sin B＝2sin C cos C，由正弦定理得b＝2c cos C，∴cos C＝；又2b＝3c，∴b＝c，∴cos C＝＝．故答案为：．12．（5分）若点P（3，m）在以F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于4．【解答】解：∵抛物线（t为参数）上，∴y2＝4x，∵点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，∴m2＝4×3＝12，∴P（3，2）∵F（1，0），∴|PF|＝＝4，故答案为4．13．（5分）由曲线y＝与直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积是．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积S＝＝＝．故答案为．14．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足＝，＝5，则λ的值为．【解答】解：分别以边AD，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（0，4），C（2，4），D（4，0）；设P（x，y），则：，；∵；∴（x﹣4，y）＝λ（﹣2，4）①，x2+y2﹣4y＝5②；∴由①得x＝4﹣2λ，y＝4λ，带入②得：（4﹣2λ）2+16λ2﹣16λ＝5；解得，或；据题意知0≤λ≤1；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x＝sin2x cos+cos2x sin+cos2x cos﹣sin2x sin+sin2x＝＝sin2x+＝．∴T＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴[]．∵当，即0时，函数f（x）单调递增，当，即时，函数f（x）单调递减，且f（0）＝，f（）＝2，f（）＝﹣．∴函数f（x）的最大值和最小值分别为2，﹣．16．（13分）某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案；两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个问题中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（Ⅱ）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意可知甲公司至少能答案对1题．甲，乙公司各答对1题的概率为：•（）2•＝，甲公司答对2题，乙公司全答错的概率为：•（）3＝，∴甲、乙两家公司共答对2道题的概率为＝．（II）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2•＝，P（X＝2）＝•（）2•＝，P（X＝3）＝（）3＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝3×＝2．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，C1D＝CD＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC ⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，所以，，设平面DBB的法向量为，由即令y＝1，则，x＝0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB 1D的法向量为．设，λ∈[0，1]，则，．若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点．18．（13分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的过程为d，∵a1＝1，且a1，a2，a4+2成等比数列．∴＝a1•（a4+2），即（1+d）2＝1×（1+3d+2），化为：d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1．其中d＝﹣1时，a2＝0，舍去．∴d＝2．a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（Ⅱ）设b n＝＝，∴n为偶数时，＝＝16，b2＝8；n为奇数时，＝＝，b1＝．∴数列{b n}的奇数项是首项为，公比为．数列{b n}的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n}的前2n项和T2n＝+＝．19．（14分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足F1为线段BF2的中点，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N 两点，在x轴上是否存在P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）∵F1为BF2的中点，AB⊥AF2，∴Rt△ABF2中，BF22＝AB2+AF22，（4c）2＝（）2+a2，又a2＝b2+c2，∴a＝2c，故椭圆的离心率e＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，得c＝a，于是F2（a，0），B（﹣a，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r＝a，所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，所求椭圆方程为+＝1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝k（x﹣1）和3x2+4y2＝12，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，则x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2），+＝（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则（+）•＝0，故x1+x2﹣2m+k（y1+y2）＝0，即x1+x2﹣2m+k2（x1+x2﹣2）＝0，﹣2m+k2（﹣2）＝0，由已知条件知k≠0，∴m＝＝，∴0＜m＜，故m的取值范围是0＜m＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有＞﹣1，求a的取值范围；（Ⅲ）设a∈（3，4），x n＝，n∈N*，求证：|f（x n+1）﹣f（x1）|＜．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），令f'（x）＝0，则x2﹣ax+a﹣1＝0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x＝1或x＝a﹣1，因为a＞2，所以a﹣1＞1当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，a﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数当x∈（a﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数（Ⅱ）设x1＞x2，则不等式等价于f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1整理得到f（x1）+x1＞f（x2）+x2令即函数g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，，不等式恒成立．而，所以，因为a＞2，所以（Ⅲ）因为a∈（3，4），由（Ⅰ）可以知道当x∈（1，a﹣1）时，函数f（x）为减函数，而，x1＝2∈（1，a﹣1），那么x n+1＜x1所以f（x n+1）＞f（x1）所以|f（x n+1）﹣f（x1）|＝f（x n+1）﹣f（x1）由（Ⅱ）知道所以．。
2018届天津市南开区高三二模理科数学试卷及答案
南开区2018-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类） 05本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷l至2页，第II卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：l.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科p涂在答题卡上；2．每小题选出答案赢，翊铅笔把答题．f上对应题翻的答案标号涂关．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.本卷共8小题，每小题5分，共40分，参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数242(1)412ii i i+----=（ ）． (A)0 (B)2 (C) -4i (D) 4i(2)“1sin 2a =”是“1cos 22a =”的( )， (A)充分丽不必要条件 (B)必要两不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)如果执行右面的程序框图，那么输出的S=( )。
(A) 22 (B) 46(c) 94 (D)190(4)偶函数()f x 在区间[]0,a （a>0）上是单凋函数，且(0)()0f f a ⋅<．则方程()0f x =在区间[],a a -内根的个数是( ). (A)l (B)2 (C)3 (D)0(5)若(11nx -的展开式中第三项系数等于6，则n 等于( )． (A)4 (B)8 (C) 12 (D) 16(6)在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ．C 的对边，22232,sin sin sin 2C A B C A =+-=sinBsinC ，则cosC=( )．(A)18 (B)716( D)716-(7)设圆22:3C x y +=，直线:360l x y +-=，点00(,)P x y ∈l ，若存在点Q ∈C ，使 60OPQ ∠=。
（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )．(A)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)[]0,1 (D)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(8)如图，在△ABC 中，2CM MB =，过点M 的直 线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若,AP mAB AQ nAC ==，则mn+m 的最小值为( )．(A) (B) (C)6 (D)2南开区2013～2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上．(9)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是____件．(10) 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为____．(11)设集合{}{}|237,|121A x xB x m x m=-≤=+≤≤-，若A B A=，则实数m的取值范围是________．(12)己知抛物线的参数方程为244x ty t⎧=⎨=⎩（t为参数）．焦点为F．准线为1l ,直线2l 的参数方程为11,2,x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(m 为参数)．若直线 2l 与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，是1AM l ⊥，垂足为M ，则△AMF 的面积是________．(13)如右图，AB 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE垂直，垂足是D ．割线EC 交圆D 于B ，C ，且62BDC ∠=，108DBE ∠=，则∠OEC=_______．(14)设函数 []()121,0,1f x x x =--∈，定义 1'()(),,()(()),1n n f x f x f x f f x n -=⋅⋅⋅==， 2，3，…．函数()()n g x f x x =-有8个零点．则n=_______.三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (15)（本小题满分13分）已知函数 2()sin(2)sin(2)2cos 66f x x x x ππ=++-+．(I)求f(x)的最小正周期及最大值： ( TI)求使f(x)≥2的x 的取值范围， (16)（本小题满分13分）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同）．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中． （I)求第二次取出红球的概率；( II)求第三次取出自球的概率；(Ⅲ)设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的分布列和数学期望． (17)（本小题满分13分）如图，直四棱1111ABCD A BC D -的底面为正方形，P 、O 分别是上、下底面的中心，点E是AB 的中点，1AB kAA =． (I)求证：1//A E 平面PBC:(II)当k =PA 与平面PBC 所成角的正弦值： (III)当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为∆PBC 的重心？(18)（本小题满分13分）已知函数()4f x x =++，数列{}n a 满足：111,(),n n a a f a n N *+==∈，数列121,,b b b -321,,n n b b b b --⋅⋅⋅-是首项为l ，公比为13的等比数列．(1)求证：数列为等差数列(II)若n n c b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .； (19)（本小题满分14分）设双曲线22:12x C y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，垂直子x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q.( I)求直线1A P 与直线2A Q 的交点M 的轨迹E 的方程；(lI)设点T(2，0)．过点F(1，0)作直线l 与(I)中的轨迹E 交于不同的两点名A 、B ，设FA FB λ=，若[]2,1λ∈--，求TA TB +的取值范围。
天津市十二重点中学2018届高三下学期毕业班联考(二)理科综合试题-(1)
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）理科综合能力测试生物部分理科综合能力测试分为物理、化学、生物三部分，共300分，考试用时150分钟。
本部分为生物试卷，本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分,共80分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上，答卷时，考生务必将卷Ⅰ的答案填涂在答题卡上，卷Ⅱ答在答题纸上，卷Ⅱ答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本试卷共6题，每题6分，共36分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项正确。
1．下图为真核细胞蛋白质合成和转运的示意图。
下列叙述正确的是A．图中由双层膜包被的结构只有①B．图中与胰岛素合成有关的结构有①②③④⑤C．若②合成的是呼吸酶，则该酶在⑥中发挥作用D．若②合成的是染色体蛋白，则该蛋白会运送到①⑤⑥中2．下图为植物细胞代谢的部分过程简图，①〜⑦为相关生理过程。
下列有关叙述错误．．的是A．若植物缺Mg，则首先会受到显著影响的是③B．②的进行与⑤⑥密切相关，与③⑦无直接关系C．叶肉细胞中③发生在类囊体膜上，④发生在叶绿体基质中D．叶肉细胞③中02的产生量等于⑥中02的消耗量，则一昼夜该植物体内有机物的总量不变3．下列关于生物科学研究方法和相关实验的叙述，不．正确的是A．同位素标记法：肺炎双球菌转化实验和T2噬菌体侵染大肠杆菌实验B．对比实验法：探究酵母菌呼吸方式和探究酶的最适温度C．模型构建法：DNA双螺旋结构的发现和研究种群数量变化规律D．假说一演绎法：基因分离定律的发现和果蝇白眼基因位于X染色体上的发现4．生态浮床是指将植物种植于浮于水面的床体上，充分利用各种生物有效进行水体修复的技术。
下图为生态浮床示意图，请据图分析下列说法错误．．的是A．立体的生态浮床可以为食草性鱼类提供食物和栖息环境B．浮床植物减少了藻类植物对光能的获取而抑制了浮游藻类的生长C．浮床植物能吸收水体中的有机污染物，有效修复水体污染D．污水中的重金属通过食物链转移，营养级越高重金属含量往往越高5．从唾液腺细胞中提取全部mRNA，以此为模板合成相应的单链DNA（T-cDNA），利用该T-cDNA与来自同一个体浆细胞中的全部mRNA（J-mRNA）进行分子杂交。
天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学(理)试题含答案
2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}20A x x x =-≤，{}1B x x =<，则AB 为（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0- 2.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <4.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()2:3220l m x my -+-，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A ．2π B ．38π C. 4πD ．58π6.已知定义在R 上的函数()cos f x x x =+，则三个数31log 47a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，129log 517b f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >> C.b c a >> D ．c b a >>7.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在双曲线上，且12//MN F F ，1212MN F F =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，1125FQ F N =，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．52C.2 D8.已知定义在[)1,+∞上的函数()4812,12,1,2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列说法中正确的个数有（ ）①关于x 的方程()()102nf x n N -=∈有24n +个不同的零点； ②对于实数[)1,x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立； ③在[)1,6上，方程()60f x x -=有5个零点；④当()1*2,2n n x n N -⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4.A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.i 为虚数单位，设复数z 满足346ii z+=，则z 的虚部是 ． 10.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线23cos ,23sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）相交于两点A 、B ，则AB = ．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.若49nnx dx -=⎰（其中0n >），则()21nx -的展开式中3x 的系数为 ．13.已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为 ． 14.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，45ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰CD 上的动点，则3PA BP +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos cos A B a b +=（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）已知sin 4sin a CA=，ABC ∆的面积为b 的值.16. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求3个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求二面角E AF B --的余弦值；（Ⅲ）若M 为线段DE 上的一点，且满足直线AM 与平面ABF所成角的正弦值为15，求线段DM 的长. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S a S a =-+，（a 为常数，0a ≠，1a ≠）. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a S =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，()()1111n n n n a c a a ++=++.若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意*n N ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围.19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()()2,00F c c >，过点2,0a E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆交于x 轴上方的A ，B 两点，且122F A F B =. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点()(),0H m n m ≠在1AF C ∆的外接圆上，求nm的值. 20.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞.使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()22?k m k n ++⎡⎤⎣⎦，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD 6-8:CDB 二、填空题 9.12-10.2 11. 23π12.28013.2三、解答题15. 解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()sin sin A B B C +=， 又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴sin B =0B π<<∴3B =.（２）由已知及正弦定理4c = 又S ΔABC =3B π=∴12sin ac B = 得6a =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得 b =16. （1）令A 表示事件“3个人来自于两个不同专业”，1A 表示事件“3个人来自于同一个专业”，2A 表示事件“3个人来自于三个不同专业”，351103311()3120C C p A C +==23521011130()3120C C C p A C ==则由古典概型的概率公式有1207933331111)()(1)(10531053221=+--=--=C C C C C C C A P A p A p ； （2）随机变量X 的取值为：0，1，2，3则12035330)0(1073===C C C X p ， 12063321)1(1073===C C C X p ， 12021312)2(1073===C C C X p , 1201303)3(1073===C C C X p ,3563211108()0123120120120120120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， 且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FOBD O =，BDEF FO BDEF BD 平面平面⊂⊂,∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒， ∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，ABCD AC ABCD BD 平面平面⊂⊂,∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,BD AC ==∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)()()(,0,1,0,0,1,0,AB D F -，∴()()()1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =-=-=-，)0,2,0(==设平面AEF 的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅02033222y z x令1,121==z x 则，得)1,0,1(=m设平面ABF 的法向量为),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅030332222y x z x ，令1,3,1222===z y x 则，得)1,3,1(=n所以 510,m cos ==>=<n 又因为二面角B AF E --为钝角， 所以二面角B AF E --的余弦值为510-（3）设),3,,0()3,1,0(λλλλλ-=-===)10(≤≤λ)3,1,3()3,,0()0,1,3(λλλλ---=-+--=+=DM AD AM 则所以 15302424532|||||,AM cos |2=++⋅==><λλn AM n 化简得01482=-+λλ 解得：)(431413舍或---=λ所以213-=DM . 18. 解：（1）-1-1-1(1),2(1)n n n n n n S a S a n S a S a =-+∴≥=-+时，11),(n n n n n a a a S S a aa ----∴=+ 11,=nn n n a a a a a a --∴=且 0,1a a ≠≠ ∴数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列n n a a ∴=（2）由n n n b a S =+得，1=2b a22=2+b a a 323=2++b a a a因为数列{}n b 为等比数列，所以2213=b b b ，22322+=2(2++)a a a a a a （） 解得1=2a . (3)由（2）知111122(21)(21)11(1)(1)22n n n n n n n n c c +++⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒=++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ +1112121n n n c =-++ 所以2231+1111111=+1+1+1+---2221+1222+1n n n T ++++11131-23+1<n =， 所以21233λλ≤+，解得1-13λλ≥≤或.19. 解：(1)由12=2,F A F B 得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+ 整理，得223a c =，故离心率3c e a == (2) 解法一：(i)由（I ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写222236x y c +=设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即(3)y k x c =-.由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c =-⎧⎨+=⎩消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=.依题意，2248(13)033c k k ∆=->-<<，得 而 21221823k cx x k +=+ ①22212227623k c c x x k -=+ ②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③联立①③解得2129223k c c x k -=+，2229223k c cx k +=+将12,x x代入②中，解得k =解法二：00(,),A x y 设利用中点坐标公式求出200,)22a x y c B +（，带入椭圆方程 2022202220023622236a x y c c x y c⎧+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩（）（） 消去20y，解得00=0x y ⎧⎪⎨=⎪⎩解出k =(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知1230,2c x x ==当3k =-时，得)A，由已知得(0,)C . 线段1AF 的垂直平分线l的方程为222c y x ⎫-=-+⎪⎝⎭直线l 与x 轴的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.直线2F B的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩， 由0,m ≠解得533m c n c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故n m=20. (1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==①11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增。
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1. 已知集合＝，＝，则为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式求得集合、，根据交集的定义写出．【解答】集合＝＝，＝＝，则＝＝．2. 已知，满足不等式组，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值．【解答】由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点，由图可知，直线＝经过点时取到最大值，经过点时取到最小值，联立，解得，∴的最小值为＝，3. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】负值＝，＝，＝，判断条件成立，执行＝＝，＝＝，＝；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件不成立，算法结束，输出．此时＝，不成立．故判断框中应填入的条件是．4. 已知为实数，直线＝，：＝，则“＝”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据直线平行的等价条件，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当＝时，两直线方程分别为直线＝，＝满足，即充分性成立，当＝时，两直线方程分别为＝，和＝，不满足条件．当时，则，由得＝得＝或＝，由得，则＝，即“＝”是“”的充要条件，5. 已知函数＝的最小正周期为，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【解答】∵函数＝的最小正周期为，∴，得＝，则＝，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则＝＝，∵图象关于轴对称，∴，则，，当＝时，，则或，即的一个值可能为，6. 已知定义在上的函数＝，则三个数＝，＝（），＝，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】求出的导数，得到函数在上为单调增函数，再求出、的范围，则答案可求．【解答】定义在上的函数＝是偶函数，时，＝，＝，∴在时递增，∵，，又＝，＝（），＝，∴，故选：．7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】运用双曲线的对称性由条件可设的坐标，由向量共线定理可得的坐标，再由，在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率．【解答】由＝，可得＝，由，可设，设，∴，∵，∴，解得，，∵，在双曲线上，∴，消去整理可得，∴．8. 已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程＝有个零点④当，时，函数的图象与轴围成的面积为A. B. C. D.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可．【解答】作出函数的图象，如图：当＝时，方程等价为＝，∴对应方程根的个数为个，而＝个，∴ ①错误；由不等式等价为，在恒成立，作出函数的图象如图，则不等式恒成立，∴ ②正确；由函数表达式可知＝，＝，＝．由＝得，设，则＝，∴在上，方程＝有个零点，∴ ③错误；令＝得，＝，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为：＝，∴ ④错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.________为虚数单位，设复数________满足________，则________的虚部是【答案】,,,,【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由，得．∴的虚部是．以直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，（为参数）相交于两点________、________，则________＝________．【答案】,,,,【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把直线极坐标方程、曲线参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】把直线极坐标方程化为普通方程是＝，曲线参数方程化为普通方程是＝，圆心为，半径为，圆心到直线＝的距离为，则弦长＝．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．【答案】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为，圆锥的高为，故四分之一球的体积为：，半圆锥的体积为：，故组合体的体积；若________________＝（其中________），则________________的展开式中________的系数为________．【答案】,,,,,,【考点】微积分基本定理定积分二项式定理及相关概念【解析】由微积分基本定理求得，代入，写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．【解答】由＝，如图，得＝，即＝．∴＝，．由＝，得＝．∴的展开式中的系数为．已知________________，二次三项式________________+________对于一切实数________恒成立，又________，使________________＝成立，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】反证法与放缩法【解析】由条件求得，＝，由此把要求的式子化为，利用基本不等式即可求出答案．【解答】∵已知，二次三项式对于一切实数恒成立，∴，且＝，∴．再由，＝，可得＝，∴＝，即＝，∴，∵，当且仅当时取等号故的最小值为，已知直角梯形________中，________________，________＝，________＝，________＝，________＝，________是腰________上的动点，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立坐标系，设出的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．【解答】分别以，为，轴，建立直角坐标系：如图示：，∵＝，＝，＝，是腰上的动点，∴，，，，则设，故，，故，故，而＝＝，故的最小值是，三、解答题：本大题6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．【考点】三角形的面积公式【解析】（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值．【解答】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．（1）求个人来自两个不同专业的概率；（2）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．【答案】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，利用列举法能求出个人来自两个不同专业的概率．（2）随机变量有取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【解答】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．如图，四边形与均为菱形，＝，且＝＝．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）设与交于点，连结推导出，且为的中点，，由此能证明平面．（2）连结，由、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）设，，则＝，利用向量法能求出线段的长．【解答】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．已知数列的前项和满足＝，为常数，，（1）求的通项公式；（2）设＝，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．【答案】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．【考点】数列的求和【解析】（1）时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．利用等比数列的通项公式可得．（2）＝，可得：＝，＝，＝，利用等比数列的性质可得．（3）由（2）可得：．，利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于轴上方的，两点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．【答案】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由，可得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．由题意知椭圆的方程可写为＝，设直线的方程为＝，设，，则它们的坐标满足方程组，整理，得＝．再由根的判别式和根与系数的关系求解．解法一：当时，得，线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．由此可以推导出值．解法二：由椭圆的对称性可知，，三点共线，由已知条件能够导出四边形为等腰梯形．由此入手可以推导出值．【解答】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．已知函数，＝的最大值为．（1）求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当＝时，令＝，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）假设存在，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，根据函数的单调性判断即可．【解答】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．试卷第21页，总21页。
天津市河东区2018届高三高考二模数学理科试题(含精品解析)
河东区 2018年高考二模考试数学试卷（理工类）参考公式：球的表面积公式球的体积公式，R表示球的半径．如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。
如果事件A、B相互独立，那么P(A●B)=P(A) ●P(B)。
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内．1. 是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：先化简复数即得复数在复平面上对应的点所在象限.详解：由题得，因为复数-1-i对应的点在第三象限，故答案为：C点睛：(1)本题主要考查复数的运算及复数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.2. 执行图1所示的程序框图，则S的值为（）图1A. 16B. 32C. 64D. 128【答案】D【解析】分析：模拟程序框图运行即得解.详解：模拟程序的运行，可得i=1，S=1，执行循环体，S=2，i=2，满足条件i≤4，执行循环体，S=8，i=4满足条件i≤4，执行循环体，S=128，i=8此时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为128．故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对程序框图等基础知识的掌握能力.(2)模拟程序运行时，要注意把好输出关，在输出时，看清条件.3. 若实数x,y满足条件，,则z=2x-y的最大值为（）A. 10B. 6C. 4D. -2【答案】B【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z的最大值即可．详解：先根据实数x，y满足条件，画出可行域如图，因为z=2x-y，所以y=2x-z,所以直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.由图知，当直线z=2x﹣y过点A（3，0）时，直线的纵截距最小，z最大值为6．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对线性规划等基础知识的掌握能力. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z 最大.4. 设x∈R，则“|x|-1＞2x”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析：先分别解不等式|x|-1＞2x和，再根据充要条件的定义和不等式的解集判断充要性得解.详解：当x＞0时，由|x|﹣1＞2x得x﹣1＞2x，得x＜﹣1，此时无解，当x≤0时，由|x|﹣1＞2x得﹣x﹣1＞2x，得x＜﹣，综上不等式|x|-1＞2x的解为x＜﹣.由得x+1＜0得x＜﹣1，所以不等式的解为x＜-1.因为，则“|x|﹣1＞2x”是“”的必要不充分条件，故答案为：A点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和充要条件的判定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)判定充要条件常用的方法有定义法、集合法和转化法.本题利用的就是集合法，因为，则“|x|﹣1＞2x”是“”的必要不充分条件.,则“”是“|x|﹣1＞2x”的必要不充分条件.5. 双曲线方程为其中,双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据双曲线的渐近线与圆相切求出a的值，再求c,最后求双曲线的离心率. 详解：由题得双曲线的渐近线为，即由于双曲线的渐近线与圆相切，所以所以点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的计算，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.公式法就是先根据已知条件求出和,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.方程法就是把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程,再把该方程化为关于离心率的一次或二次方程，直接计算出离心率.本题使用的是公式法.6. 函数在下列区间单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据条件利用降幂公式和诱导公式化简函数的解析式，结合三角函数单调性的性质进行求解即可．详解：f（x）=cos2（π﹣x）﹣==cos（﹣2x）=﹣sin2x，由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，当k=0时，函数的单调递增区间为[，]，∵（，）⊆[，]，∴（，）是函数的一个单调递增区间，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法.（2）本题是一个易错题，分解函数为根据复合函数的单调性原理，要求f(x)的单调性，就是求正弦函数的减区间，所以2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z,这里不是求正弦函数的增区间.7. 已知正实数a,b,c满足当取最小值时，a+b-c的最大值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：由条件可得c=a2﹣ab+4b2，代入，利用基本不等式求最小值，可得a=2b，c=6b2，代入a+b ﹣c，利用配方法求最值．详解：正实数a，b，c满足a2﹣ab+4b2﹣c=0，可得c=a2﹣ab+4b2，.当且仅当a=2b取得等号，则a=2b时，取得最小值，且c=6b2，∴a+b﹣c=2b+b﹣6b2=﹣6b2+3b=当b=时，a+b﹣c有最大值为．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查基本不等式和二次函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. (2)解答本题的关键是观察分析已知联想到消元，先得到c=a2﹣ab+4b2，代入消去c.转化的思想是高中数学中最普遍的数学思想，利用它可以把复杂变简单，把陌生变熟悉,从而突破解题障碍，完成解题目标.8. 已知函数f(x)满足，当x∈[0,1]时，f(x)=x,若在区间（-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），由于当x∈[0，1]时，f（x）=x，可得f（x+1）=x+1．利用f（x）+1=，可得f（x）=，方程f（x）﹣mx﹣x=0，化为f （x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0），可得k MN=．即可得出．详解：设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（x+1）=x+1．∵f（x）+1=，可得f（x）=，方程f（x）﹣mx﹣x=0，化为f（x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0），可得k MN=．∵在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣x=0有两个不同的实根，∴，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查了函数解析式的求法、函数的图像和性质和零点问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理转化的能力、数形结合的思想方法. (2)解答本题有三个关键点，其一是能求出f（x）=，它用到了代入法.其二是能够准确画出函数f(x)的图像，它考查了学生的作图能力，其三是数形结合分析得到,它考查了学生数形结合的能力.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在题中横线上．9. 集合A={x|}，B={x|x-a≥0}，A∩B=A,则a的取值范围是_____________.【答案】.【解析】分析：先化简集合A和B,再根据A∩B=A求出实数a的取值范围.详解：由题得，因为A∩B=A,所以A所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)本题是一个易错题，一定要注意取等问题，不要把等号漏掉了.到底要不要取等，最好的方法是直接把取等的这个值代入已知检验，看是否满足题意即可.如：a=1时，，满足A所以可以取等.10. 在极坐标系中，点与圆的圆心的距离为_________.【答案】2.【解析】分析：先把点的坐标化成直角坐标，把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再求解.详解：由题得点P的坐标为，因为，所以所以圆心的坐标为（2,0），所以点P到圆心的距离为，故答案为：2点睛：（1）本题主要考查极坐标化直角坐标，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)公式，不要记错了，不要死记硬背，要理解公式的推导.11. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。
2018年天津市部分区高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={1，2，3}，集合B={x∈N|x-1＞0}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{1，3}C．{2，3}D．{1，2，3}2．(★)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A．1364B．340C．84D．603．(★)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-4y的最小值为（）A．B．-3C．-4D．-64．(★)要得到函数y= sin（x- ）的图象，只需将函数y= sin（2x- ）图象上所有点的横坐标（）A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度5．(★★)存在实数x，使|x-1|-|x-3|≤a成立的一个必要不充分条件是（）A．-2≤a≤2B．a≥2C．a≥-2D．a≥-66．(★★★)已知函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x≤0时，f（x）=-x 3+ln （1-x）．记a=f（log 36），b=f（log 48），c=f（log 510），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．(★★)设F 1，F 2分别是双曲线- =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F 1作直线F 1P与圆x 2+y 2=a 2相切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足= （+ ），| |= ，则双曲线的方程为（）A．-=1B．-=1C．-=1D．-=18．(★★★)在平面直角坐标系内，如果两点P、Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P、Q）是函数y=f（x）的一对“奇点”（奇点（P、Q）与（Q、P）看作是同一奇点）．已知函数f（x）= ，恰有两对“奇点”，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，0）B．（-∞，1）C．（0，1）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．(★★)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z= ∈R，则复数z= ．10．(★★★)曲线y=ae x+2的切线方程为2x-y+6=0，则实数a的值为．11．(★★)已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm 3．12．(★★★)天津大学某学院欲安排4名毕业生到某外资企业的三个部门A、B、C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作的方法有种（用数字作答）．13．(★★★)在直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，则直线l被曲线C截得的弦的长为．14．(★★★)在△ABC中，AB=6 ，AC=6，∠BAC= ，点D满足= ，点E在线段AD上运动，若=λ+μ，则3λ+ 取最小值时，向量的模为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(★★★)已知函数f（x）=cos 2ωx+ sin2ωx- （ω＞0）的图象上相邻的最高点间的距离是π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A，B，C满足sinAsinC-sin 2C=sin 2A-sin 2B，求f（A）的取值范围．16．(★★★)某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧队和理想队的构成数据如表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有．（Ⅰ）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（Ⅱ）记选出的4名大学生中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．男（名）17．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PD=CD=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF；（Ⅱ）若三棱锥A-BDP的体积为，求直线BD与平面DEF所成角的正弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D-BP-C的余弦值．18．(★★★★★)已知抛物线x 2=4y的焦点与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C的上顶点为A，过A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于另一点B，线段AB 的中点为M，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于点N，△ABN的面积为k，求k的值．19．(★★★★)已知数列{a n}的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列{a n}的前n项和为S n，且a 6=2S 3，a 2+a 3=a 5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n= ，求数列{b n}的前n项和T n．20．(★★★★)已知函数f（x）=lnx-e x+2，h（x）=f（x）+e x-ax-2，若函数h（x）有两个零点x 1，x 2（x 1＞x 2），a∈R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅲ）求证：x 1x 2＞e 2．。
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2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x x =-≤，{}1B x x =<，则A B 为（ ） A ．[)0,1 B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．(]1,0-2.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．53.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <4.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()2:3220l m x my -+-，则“1m =”是“12//l l ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A ．2π B ．38π C. 4π D ．58π6.已知定义在R 上的函数()cos f x x x =+，则三个数31log 47a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，129log 517b f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C.b c a >> D ．c b a >>7.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在双曲线上，且12//MN F F ，1212MN F F =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，1125F Q F N =，则该双曲线的离心率是（ ） A．12B ．52 C.2 D8.已知定义在[)1,+∞上的函数()4812,12,1,2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列说法中正确的个数有（ ） ①关于x 的方程()()102n f x n N -=∈有24n +个不同的零点； ②对于实数[)1,x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立； ③在[)1,6上，方程()60f x x -=有5个零点；④当()1*2,2n n x n N -⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4. A ．0 B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.i 为虚数单位，设复数z 满足346ii z+=，则z 的虚部是 ． 10.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线23cos ,23sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）相交于两点A 、B ，则AB = ．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.若49nn x dx -=⎰（其中0n >），则()21nx -的展开式中3x 的系数为 ．13.已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为 ． 14.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，45ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰CD 上的动点，则3PA BP +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos A B a b +=（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）已知sin 4sin a CA=，ABC ∆的面积为b 的值. 16. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求3个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求二面角E AF B --的余弦值；（Ⅲ）若M 为线段DE 上的一点，且满足直线AM 与平面ABF所成角的正弦值为，求线段DM 的长. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S a S a =-+，（a 为常数，0a ≠，1a ≠）.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a S =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，()()1111n n n n a c a a ++=++.若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意*n N ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围.19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()()2,00F c c >，过点2,0a E c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与椭圆交于x 轴上方的A ，B 两点，且122F A F B =.（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点()(),0H m n m ≠在1AFC ∆的外接圆上，求nm的值. 20.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞.使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()22?k m k n ++⎡⎤⎣⎦，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD 6-8:CDB 二、填空题9.12- 10.2 11. 23π 12.280 13.三、解答题15. 解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin B A B A B C +=，∴()sin sin A B B C +=， 又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴sin B =02B π<<∴3B π=.（２）由已知及正弦定理4c =又 S ΔABC =3B π=∴ 12sin ac B = 得6a =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得 b =16. （1）令A 表示事件“3个人来自于两个不同专业”，1A 表示事件“3个人来自于同一个专业”，2A 表示事件“3个人来自于三个不同专业”，351103311()3120C C p A C +==23521011130()3120C C C p A C ==则由古典概型的概率公式有1207933331111)()(1)(10531053221=+--=--=C C C C C C C A P A p A p ； （2）随机变量X 的取值为：0，1，2，3则12035330)0(1073===C C C X p ， 12063321)1(1073===C C C X p ， 12021312)2(1073===C C C X p , 1201303)3(1073===C C C X p ,()0123120120120120120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， 且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，BDEF FO BDEF BD 平面平面⊂⊂, ∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒， ∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，ABCD AC ABCD BD 平面平面⊂⊂,∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,BD AC ==∵DBF ∆为等边三角形，∴OF∴)()()(,0,1,0,0,1,0,AB D F -，∴()()()1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =-=-=-，)0,2,0(==DB EF设平面AEF 的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅02033222y z x n AF令1,121==z x 则，得)1,0,1(=m设平面ABF 的法向量为),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅030332222y x z x n AF ，令1,3,1222===z y x 则，得)1,3,1(=n 所以 510,m cos ==>=<n 又因为二面角B AF E --为钝角， 所以二面角B AF E --的余弦值为510-（3）设),3,,0()3,1,0(λλλλλ-=-===)10(≤≤λ)3,1,3()3,,0()0,1,3(λλλλ---=-+--=+=DM AD AM 则所以 15302424532|||||,cos |2=++⋅==><λλn AM 化简得01482=-+λλ 解得：)(431413舍或---=λ 所以213-=DM . 18. 解：（1）-1-1-1(1),2(1)n n n n n n S a S a n S a S a =-+∴≥=-+时，11),(n n n n n a a a S S a aa ----∴=+11,=nn n n a a a a a a --∴=且 0,1a a ≠≠ ∴数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列n n a a ∴=（2）由n n n b a S =+得，1=2b a22=2+b a a 323=2++b a a a因为数列{}n b 为等比数列，所以2213=b bb ，22322+=2(2++)a a a a a a （） 解得1=2a .(3)由（2）知111122(21)(21)11(1)(1)22n n n n n n n n c c +++⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒=++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+1112121n n n c =-++所以2231+1111111=+1+1+1+---2221+1222+1n n n T ++++11131-23+1<n =，所以21233λλ≤+，解得1-13λλ≥≤或.19. 解：(1)由12=2,F A F B 得2211EF F B 1EF FA 2==， 从而22a 1a 2cc c c -=+整理，得223a c =，故离心率c e a ==(2) 解法一：(i)由（I ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写222236x y c +=设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即(3)y k x c =-.由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c=-⎧⎨+=⎩ 消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=.依题意，2248(13)0c k k ∆=-><<，得而 21221823k cx x k +=+ ①22212227623k c c x x k-=+ ②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③联立①③解得2129223k c c x k -=+，2229223k c cx k+=+ 将12,x x代入②中，解得3k =-.解法二：00(,),A x y 设利用中点坐标公式求出200,)22a x y c B +（，带入椭圆方程 2022202220023622236a x y c c x y c⎧+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩（）（） 消去20y，解得00=0x y ⎧⎪⎨=⎪⎩解出3k =- (依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知1230,2c x x ==当3k =时，得)A，由已知得(0,)C . 线段1AF 的垂直平分线l的方程为222c y x ⎫-=-+⎪⎝⎭直线l 与x 轴的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AFC ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 直线2F B的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩， 由0,m ≠解得53m c n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故n m= 20. (1) 由题意得()'ln 1g x x =--，令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减.所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e ee ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+== ①11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x -=，故()f x 在(0,)+∞单调增 ②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增。