均匀系热力学关系勒让德变换的对偶对称性
统计力学中的勒让德变换
统计力学中的勒让德变换阎玉立;张印杰【摘要】勒让德变换是理论物理学中一个重要的工具,多变量函数的勒让德变换有明显的对称性.系综是统计力学教学中的核心内容.利用勒让德变换的无量纲性,从微正则系综的特性函数熵的勒让德变换出发,类比的定义了配分函数的勒让德变换.同时得到各种系综的特性函数和配分函数以及它们之间的关系和相应的热力学公式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)010【总页数】4页(P5-7,23)【关键词】勒让德变换;系综;特性函数【作者】阎玉立;张印杰【作者单位】河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002【正文语种】中文【中图分类】O414.2在经典力学[1]、热力学和统计力学[2，3]等本科生和研究生的物理课程中勒让德变换经常应用，经典力学中拉格朗日函数和哈密顿函数的关系用勒让德变换表达，热力学中内能和自由能、吉布斯函数等状态函数的关系用勒让德变换表达.虽然勒让德变换经常被应用，但它总作为新的方法出现，并且这些应用过程中都没有体现勒让德变换的对称性[4，5].有人介绍了单变量函数的勒让德变换，从代数方法、几何方法两个方面讨论了勒让德变换的性质，解释了变换的对称性和一些结构问题[6].我们把勒让德变换推广到多变量函数的勒让德变换，得到变换的对称性及偏微商的关系，并且应用到经典力学和热力学中[7].在统计力学中，系综的变化相应于热力学中对熵进行勒让德变换[3].本文研究勒让德变换在统计力学中的应用.从微正则系综的基本关系出发，利用勒让德变换的无量纲性，从熵的勒让德变换类比地定义了配分函数的变换，从而导出了其他几种系综的特性函数和配分函数及它们之间的关系和相应的热力学公式.多变量函数：Φ=Φ(x1，x2,…,xn)，其中xi(i=1，2，…，n)为独立变量.为方便，假设Φ在N维空间都是光滑和可导的，在每一点都有si=∂Φ∂xi=∂iΦ，则如果将函数Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的m(m≤n)个独立变量xj(j=1，2,…,m)用其对应变量sj代替，通过勒让德变换构成一个新函数Ψ，Lj:Φ(x1,x2,…,xm,xm+1,…,xn)→Ψ(s1,s2,…,sm,xm+1,…,xn),考虑式(1)，则dΨ=∑mj=1(sjdxj+xjdsj)-∑ni=1sidxi ,j=1,2,…,m；i=1,2,…,n;m≤n,化简得任意给定一组变量就唯一决定一个函数，不同函数实质上是用它的独立变量组来区分的.因此任一函数的微分形式可表为把式(4)前半部分同式(3)比较得xj=∂Ψ∂sj，与sj=∂Φ∂xj可以看出变换前后对应的两个变量是互相关联的.另外式(2)可改写为变换前后的两个函数是等效的，勒让德变换具有明显的对称性[7].系综方法是统计力学教学中的核心内容，一般研究3种系综:微正则系综、正则系综和巨正则系综.自变量数目为n的体系，相互等价的特性函数的数目N为[7]对具有3个自变量的均匀系统，等价特性函数的数目有8个，即共有8种系综.本文从微正则系综的基本关系出发，利用熵的勒让德变换，类比的定义了配分函数的变换，同时得到各种系综的特性函数和配分函数.微正则系综的特性函数是熵，相应的热力学公式：如果从熵开始经勒让德变换到其他函数是很困难的.由于历史原因，勒让德变换的变量并不总是成对出现的，例如，一个系统的能量E与温度的倒数(β=1/kT，k为玻耳兹曼常量)是成对的，然而关于温度的日常经验是如此普遍，温度经常用于很多关系中，比方熟悉的方程：F=E-TS，这个方程把自由能和熵联系起来，但也遮掩了β和E之间的对称性.如果我们定义无量纲的量：S′=S/k，F′=βF，它们之间的二元性可以完美的表示为F′(β)+S′(E)=βE.因此我们把式(7)改写为微分形式[3]：如果我们从无量纲的量S′出发，用勒让德变换得到其他无量纲的量，3对对应的变量为β，E ；α，N；γ，V.为了把无量纲的量最终表达为统计力学中的特性函数，我们还需知道β、α、γ的常用表达.由热力学公式dS=1T dE+pT dV-μT dN，则比较式(9)与式(10)得则式(9)变为d ln Ω=d(Sk)=βdE+βpdV-βμdN，从上式得β=(∂ln Ω∂E)V，N，p=1β (∂ln Ω∂V)E，N，和μ=-1β(∂ln Ω∂N)E，V.从Sk (E，V，N)出发经勒让德变换到其他函数，并类比定义配分函数的变换.与Sk (E，V，N)函数等效的特性函数的数目共有7个，令x1↔E，x2↔V，x3↔N，s1↔β，s2↔γ，s3↔α.3.1.1 微正则系综的特性函数是熵，从Sk (E，V，N)出发改变一个变量的勒让德变换有3种，即有3种特性函数，对应3种系综.设变量变换为E→β，即系统与外界之间只有能量的交换，由式(5)得上式改写为Ψ1(β，V，N)=βE-Sk(E，V，N)，把β=1/kT代入，得令Ψ1=βF，则有F+TS=E，即熟悉的热力学方程.F(T，V，N)为自由能函数，正则系综的特性函数.由式(3)，可得函数的微分方程dΨ1=Edβ-γdV-αdN，再考虑γ=βp，α=-βμ，有若把Ψ1=βF代入上式，则有dF=-SdT-pdV+μdN，即我们熟悉的自由能的微分方程.设变量变换为V→γ，即系统与外界之间只有力的相互作用，得到一种新的系综，由式(5)得Ψ2(E，γ，N)+Sk (E，V，N)=γV.设变量变换为N→α，即系统与外界之间只有粒子数的交换，得到一种新的系综，由式(5)得Ψ3(E，V，α)+Sk (E，V，N)=αN.3.1.2 从Sk (E，V，N)出发改变两个变量的勒让德变换有3种，即有3种特性函数，对应3种系综设变量变换为E→β，V→γ，即系统与外界之间只有能量的交换和力的相互作用，由式(5)得Ψ4(β，γ，N)+Sk (E，V，N)=βE+γV，令Ψ4=βG，把β=1/kT，γ=βp代入，得G+TS=E+pV，G为吉布斯函数，即熟悉的热力学引入的物理量. 设变量变换为E→β，N→α，即系统与外界之间只有能量的交换和粒子数的交换，由式(5)得Ψ5(β，V，α)+Sk (E，V，N)=βE+αN，令Ψ5=βJ，把β=1/kT，α=-βμ代入，得J+TS=E-μN， J(T，V，μ)为巨热力学势，正是巨正则系综的特性函数.设变量变换为V→γ，N→α，即系统与外界之间只有力的相互作用和粒子数的交换，由式(5)得Ψ6(E，γ，α)+Sk (E，V，N)=γV+αN.3.1.3 从Sk (E，V，N)出发改变3个变量的勒让德变换有1种，即有1种特性函数，对应1种系综设变量变换为E→β，V→γ，N→α，即系统与外界之间不仅有能量、粒子数的交换，也有力的相互作用，由式(5)得Ψ7(β，γ，α)+Sk (E，V，N)=βE+γV+αN.最后一种勒让德变换改变3个变量，即能量、粒子数、体积都改变得到的是零系综，因此实际上只有7种系综分布.由式(8)再考虑β=1/kT，微正则系综的配分函数为Ω(E，V，N)=eSk=eβTS.设变量变换为E→β，特性函数由Sk (E，V，N)经勒让德变换到Ψ1(β，V，N)：相应的，则配分函数Ω(E，V，N)变换到配分函数：即正则系综的配分函数.同理，类比特性函数其他勒让德变换可得相应系综的配分函数.设变量变换为V→γ，配分函数变换为 A(E，γ，N)=∑EΩ(E，V，N)e-γV.设变量变换为N→α，配分函数变换为 B(E，V，α)=∑EΩ(E，V，N)e-αN.设变量变换为E→β，V→γ，配分函数变换为C(β，γ，N)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-γV.设变量变换为E→β，N→α，配分函数变换为Ξ(β，V，α)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-αN，即巨正则系综的配分函数.设变量变换为V→γ，N→α，配分函数变换为D(E，γ，α)=∑EΩ(E，V，N)e-γVe-αN.设变量变换为E→β，V→γ，N→α，配分函数变换为M(β，γ，α)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-γVe-αN.对正则系综的配分函数式(16)，两边取对数，ln Z(β，V，N)=βTS-βE=-β(E-TS)，再考虑式(15)有正则系综的配分函数和特性函数的关系：则正则系综的特性函数F=-kTln Z(β，V，N)，这是正则系综里面重要的热力学量的表达式.再考虑式(14)有 d ln Z=-dΨ1=-Edβ+βpdV-βμdN，则有正则系综的热力学公式：E=-(∂lnZ∂β)V，N，p=1β(∂lnZ∂V)β，N，μ=-1β(∂lnZ∂N)β，V与我们在统计力学中学过的一样.同理，类比于特性函数的勒让德变换，从Ω(E，V，N)出发可以得到其他系综的配分函数和特性函数之间的关系及相应的热力学公式.通过介绍多变量函数的勒让德变换在统计力学中的应用，可以更进一步的理解勒让德变换的对称性及应用的广泛性.从以上的介绍，特性函数的变换和配分函数的变换与统计力学中的介绍相统一，从数学的角度，在统计力学中从一种系综到另一种系综不过是在进行变量变换的勒让德变换，而勒让德变换不会改变系统的性质，所以从这个观点来看，这些系综是等价的.如果能在学课程之前了解勒让德变换，会对学生学习统计力学有很大帮助.【相关文献】[1] 周衍柏.理论力学教程[M].3版.北京:高等教育出版社，2009:231-237.[2] 汪志诚.热力学统计物理[M].4版.北京:高等教育出版社，2008:51-70.[3] David chandler.现代统计力学[M].鞠国兴,译.北京:高等教育出版社，2013:61-63.[4] 李英德.常用数学工具在热力学关系式证明中的应用[J].大学物理，2009，28(2):24-27.[5] 汤引生，李英.麦氏恒等式与麦氏关系式证明与应用[J].商洛学院学报，2010，24(6):92-94.[6] R.K.P.Zia， Edward F.Redish， Susan R.McKay.Making Sense of the Legendre Transform[J].Am J Phys,2009,77(7):614.[7] 阎玉立，张印杰.认识勒让德变换[J].大学物理，2013，32(11):8-11.。
勒让德变换公式
勒让德变换公式以勒让德变换公式是数学分析中的一种重要工具，它在信号处理、泛函分析、微分方程等领域有着广泛的应用。
该公式是由法国数学家亨利·勒让德于1811年提出的，可以将函数在不同的域之间进行变换，从而帮助我们更好地理解和处理问题。
在介绍以勒让德变换公式之前，我们需要先了解一些基本概念。
在数学中，函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
我们可以将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以是连续的，也可以是离散的。
而变换则是将一个函数通过某种方式转换成另一个函数的过程。
以勒让德变换公式是一种线性变换，它可以将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
在时域中，函数表示随时间变化的信号，而在频域中，函数表示信号的频率分布。
这种变换对于处理信号和波动问题非常有用，可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
以勒让德变换公式可以用以下形式表示：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，F(s)表示在频域中的函数，s是复数变量，f(t)表示在时域中的函数，t是实数变量。
这个公式可以将时域中的函数f(t)通过积分的方式转换到频域中的函数F(s)。
通过这个公式，我们可以将一个复杂的时域函数转换成频域中的简单函数，从而更好地分析和处理问题。
以勒让德变换公式具有很多重要的性质和应用。
首先，它是线性的，也就是说，对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，以勒让德变换公式可以将它们的线性组合转换为频域中的线性组合。
其次，它是可逆的，也就是说，我们可以通过逆变换将频域中的函数转换回时域中的函数。
这使得我们可以在时域和频域之间自由切换，根据具体问题选择更合适的分析方法。
以勒让德变换公式在信号处理中有着广泛的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和能量分布，从而帮助我们更好地理解和处理信号。
例如，在音频处理中，我们可以将声音信号通过以勒让德变换公式转换到频域中，然后进行滤波、降噪等处理，最后再将处理后的信号通过逆变换转换回时域，从而获得清晰的声音效果。
勒让德变换推导热力学函数
勒让德变换推导热力学函数勒让德变换是热力学中常用的一种数学工具，用于在不同的热力学量之间进行转换。
其中最常见的应用就是在内能、熵、焓和自由能之间进行转换。
下面我们以内能和熵为例，来推导勒让德变换的公式。
设内能U是一个关于熵S和体积V的函数，即U=U(S,V)。
我们现在要求得一个新的函数F，使得它也是一个关于S和V的函数，但是它的全微分形式为dF=TdS-VdP，其中T是温度，P 是压强。
为了达到这个目的，我们可以对U做一个勒让德变换。
首先，我们对U关于S求偏导数，得到dU=（∂U/∂S）dS+（∂U/∂V）dV。
我们希望得到的dF 的形式为dF=TdS-VdP，因此我们需要把上式中的dV转化为dP。
这可以通过对U关于V求偏导数来实现，即（∂U/∂V）=T（∂S/∂V）-P。
将其代入上式得到：dU=（∂U/∂S）dS+T（∂S/∂V）dV-PdV根据热力学基本方程式dU=TdS-PdV，我们可以将上式简化为：dU= TdS-（P-T（∂S/∂V））dV我们希望得到的dF的形式为dF=TdS-VdP，因此我们需要让上式中的-PdV变为-VdP。
这可以通过对上式中的P-T（∂S/∂V）做勒让德变换来实现。
我们定义一个新的函数F=F(S,P)，使得：dF=（∂F/∂S）dS+（∂F/∂P）dP根据定义，我们有：∂F/∂S=T∂F/∂P=V因此，我们可以将上式中的-PdV转化为-VdP，得到：dU= TdS-VdP这就是勒让德变换的公式，它使得我们可以在内能和熵之间进行转换。
类似地，我们可以对其他热力学量进行勒让德变换，从而实现它们之间的转换。
对偶造句 .doc
对偶造句1.采用原对偶内点算法求解该模型，建立梯度矩阵及海森矩阵线性组合的矢量化计算公式。
2.面目标跟踪采用对偶空间转换算法等方法。
3.基于光流计算的通用变分模型，建立小位移光流场计算的对偶方法。
4.一个阈函数的对偶函数及反函数也是一个阈函数。
5.此外，对偶合器节能效果的理论计算和实测进行了比较。
6.数值结果表明，组成耦合器的光纤半径比对偶模和奇模的传播常数都有明显的影响。
7.指出热力学关系具有勒让德变换的对偶对称性。
8.给出一个含有规则化项的原始权空间的约束最大优化问题，应用核技巧来解决其对偶问题。
9.在斗殴故意问题上，文章主张主观上的对偶性仅是对客观斗殴行为的一种说明，这种故意不是本罪主观方面要件中的故意内容。
10.从轧机变刚度定义出发，指出变刚度控制和厚度控制存在着对偶性关系。
11.考虑基于外心对偶剖分的椭圆型与抛物型方程的有限体积元法。
12.针对具有对偶方块角形结构大系统多目标规划模型，充分利用模型本身的信息进行求解。
13.本文继承了应用力学对偶体系的辛数学方法，将它应用于陀螺转子动力学中。
14.本算法从一个对偶森林向另一个对偶森林迭代。
15.同时，我们还建立了对偶理论及相关的鞍点理论。
16.这种方法使对偶单纯形法这一理论体系得以完善。
17.讨论了偏序线性空间的代数对偶空间上的端单调线性泛函的延拓性。
18.偶像不是拿来认识的，偶像应该是用心底里面真正的欣赏、敬仰，然后通过自己的努力去超越他，才能够是对偶像的真正致敬。
羽泉19.本文讨论了二元等重码的对偶距离分布和对偶重量分布。
20.比如基本工整、对偶对仗、起兴比喻、环复回应、押韵意象等等。
21.在此基础上得到了允许小波的对偶表示。
22.讲究全篇的对偶辞采，争取一句的奇特警策；在情景上一定尽力刻画形貌，在用辞上一定尽力要求新颖。
23.不用说，品牌可以是一比巨大的财产。
他的主要价值，即在对偶像符号的两项和含义的垄断。
此垄断在法律上若取产权的形态，便是只是产权。
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
第二章均匀物质的热力学性质
第二章 均匀物质的热力学性质1.18．麦克斯韦关系在第一章中，我们根据热力学的基本规律引进了三个基本的热力学函数物态方程、内能和熵，并得到在两个邻近的平蘅状态之间内能、熵和体积之差的关系dU=TdS-pdV (18．1)(18．1)式是热力学的基本微分方程。
在本章中我们将从这基本微分方程出发，通过数学推演得出系统各种平衡性质的相互关系。
这是热力学应用的一个重要方面。
我们将会看到所得到的热力学关系是非常普遍的，可以应用于处在平衡状态的任何热力学系统。
将U 看作变量S,V 的函数U=(S,V)，其全微分为dV V U dS S U dU S V ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂= 上式和(18．1)式对于任意的dS 和dV 都相等，故有P V U T S U S V−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂, (18.2) 考虑到求偏导数的次序可以交换,即SV U V S U ∂∂∂=∂∂∂22，还可以得到以下关系 V SS p V T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂ (18.3) 在上面的推导中我们取S,V 为自变量。
我们可以通过勒让德(Legendre),将自变量换为其它变量。
这里先对勒让德变换作一简单的介绍。
设L 是变量x,y 的因数，L=L(x,y)．函数L 的全微分为(18.4)Ydy Xdx dL +=其中yL Y X L X ∂∂=∂∂=,一般来说也是X, y 的函数。
作变换 Xx L L −= (18.5)求(18．5)式的微分,有xdX Xx dL L d −−=将(18．4)式代入，得函数L 的全微分为Ydy xdX L d +−= (18.6)根据(18．6)式，可以把L 看作是以X 和y 为自变量的函数。
其偏导数为Y yL X X L =∂∂−=∂∂, (18.7) 变换(18.5)称为勒让德变换。
·如果作勒让德变换H=U+Pv (18.8)H 就是在1.6所引进的焓。
第16讲球函数-勒让德函数
数学物理方法第十章球函数参考教材：梁昆淼《数学物理方法》（第四版）球函数♦轴对称问题和勒让德多项式♦转动对称问题和连带勒让德函数♦一般问题和球函数♦本章小结轴对称问题和勒让德多项式♦轴对称拉普拉斯方程的求解♦勒让德多项式♦勒让德多项式的母函数和递推公式♦勒让德多项式的性质♦勒让德多项式的应用轴对称拉普拉斯方程的求解0=∆u 0)1()''(2=+−R l l R r 0)1('2"2=+−+R l l rR R rΘΘ=Θ++Θ有界)(),0(0sin )1()''(sin πθθl l±Θ=Θ++Θ−有界)1(0)1(]'')1[(2l l x θcos =x )(|θf u a r ==1−−+=l l l l rB r A R )(x P l =Θ∑∞==)(cos )(l l l P r R u θ∑∞==)(cos )()(l l l P a R f θθ勒让德多项式♦定义♦一般表示♦具体形式♦级数表示♦微分表示♦积分表示的本征函数有界刘问题—斯±Θ=Θ++Θ−)1(0)1(]'')1[(2l l x ∑−−−−−=kl l k l xk l k l k k l x P 2)!2()!(!2)!22()1()(l lll lx dx d l x P )1(!21)(2−=∫+−−=dz x z z i x P l lll 12)()1(2121)(π♦代数表达式♦图象勒让德多项式的代数表达式)92cos 204cos 35()33035()()cos 33cos 5()35()()12cos 3()13()(cos )(1)(6412481481321341221210++=+−=+=−=+=−====θθθθθθx x x P x x x P x x P x x P x P llll k l l kl x dxd l x k l k l k k l x P )1(!21)!2()!(!2)!22()1()(22−=−−−−=∑−勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象母函数和递推公式♦母函数–定义：u(x, r) =∑ P l (x) r l–形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2–推导–应用♦递推公式–基本递推公式–证明–应用母函数的推导∑∞=)(),(ll rx P r x u ∑∫∞+−−=12)()1(2121),(lCl l lrdz x z z i r x u π∑∫∞−−−=2)(2)1(21ll l l Cx z r z xz dz iπ)(2)1(11221x z r z Cxz dz i−−−∫−=πr z x z dziC)1()(21221−−−=∫π2211|11221r xr zri i z z +−=−=−=ππ)211(12r xr rz +−±=±奇点：母函数的应用2211)(),(r rx r x P r x u ll +−==∑∞1)1(11)1(),1(00=⇒=−==∑∑∞∞l l ll P r rr P r u ll l l ll P r rr P r u )1()1()1(11)1(),1(00−=−⇒−=+=−=−∑∑∞∞∑∑∞∞−−=+==22!)!2(!)!12()1(11)0(),0(kkll rk k rr P r u+===⇒−−12,02,)0(!)!2(!)!12()1(k l k l P k k l k 1!)!1(!!0)12(531!)!12()2(642!)!2(=−=−⋅⋅=−⋅⋅=k k k k基本递推公式)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+)(')()1()('1x xP x P k x P k k k ++=+)(')(')(1x P x xP x kP k k k −−=)()()(')1(12x kP x kxP x P x k k k −−=−0)(0=<x P k递推公式的证明20211)(),(rrx r x P r x u ll +−==∑∞2/3201)21()(),(r rx r x rl x P r x u l l r +−−==∑∞−∑∑∞−∞+−=+−+−−=−0122/3220)()21()21()21)()()(l l ll r l x P r rx r rx r rx r x r x P r x （[][]∑∑∞+−∞++−=−01112l l l l l ll l llr P l r lxP rP l rP rxP 111)1(2)1(−+−−+−+=−k k k k k P k kxP P k P xP 0)12()1(11=++−+−+k k k P k xP k P k递推公式的应用)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+xx xP x P k =−=⇒=0)()(00113)()(3)(212012−=−=⇒=x x P x xP x P k x x x P x xP x P k 293215123)(2)(5)(32−=−=⇒=勒让德多项式的性质♦奇偶性P l(-x) = (-1)l P l(x)♦零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
第二章 均匀介质的热力学性质
8
二，自变量的替换
1，选取T，V作为U的自变量
U U T ,V U U dU dT dV T V V T
S S dU T dT T p dV T V V T
6
总结：根据热力学函数的定义及热力学基本方程 写出该函数的全微分，把自变量分为两组（S,T） （P,V）,总是从中各选一个作为自然变量，而其它 两个变量可以用函数的偏微分来表示，并进而得出 一组热力学量的偏微分关系。
7
§2.2 麦氏关系的应用
一，麦氏关系
Ｓ
Ｖ
Ｐ
Ｔ
纵向取负号
T p V S S V T V p s S p S p V T T V S V p T p T
p TdS CV dT T dV T V V TdS C p dT T dp T p T T TdS CV dp C p dV p V p V
16
证明：
p TdS CV dT T dV T V
焦耳定律
10
对非理想气体，以范氏气体为例：
a p 2 v b RT v R R a p p T 2 v b v T v v b RT a u p p 2 T p v b v v T T v
T H H V p Sp pS S p s
2 2
4
三，自由能
F U TS dF TdS pdV TdS SdT dF SdT pdV F F (T ,V ) 的全微分，自然变量（T,V） F F p S V T T V
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，
＝２ Ｙ
勒 让 德 变 换 对 置换 （ Ｙ ，２甘 （ ， ｌ戈 ） 持 不 变 ， 换 式 中 对 应 的变 量 为 对 偶 量 ， 让 ， ｌｙ ） 一 戈 ，２ 保 置 勒
德 变换具有对偶 对称性 ． 均匀系热力学关 系可 以从热 力 学第一 定律 的基 本形 式经 勒让德 变
蚤 ＝Ｊｂ 系常＋Ｖ１ｃ ＝ 个 子链 的点 同函 詈 １ｃ关 ） ＝￣／ 三式 像条节 ， 类数 ｏ 、 ａ ａｉ ｓ ． ［Ｔ ｉ ｐ 使
上述展 开在数学上 已经穷尽 了热力学关 系 的所有 基本表 达式 ， 它进 一步 的关 系只不 其
过 是 所 有 这 表 式 的 涫 化 结 果 ．
ａ表示 ， 这样 更符合 对称 性和数学上 的简 洁性 ． 热力学关 系 的展开式形 成逻辑链 ， 由热力学 函数 （ Ｇ， 日） Ｕ， Ｆ， 开始 ， 经过求 导数得 到各
类 数 由 函 口 （
“ 一 ” 归 ．
一（ ， 一 ｐ ５ ）
， ， ） 拿 ， ， ， 一（ ， ｋ ） ｃ Ｖｓ 而 ｖ
一
Ｃｖ
＝ ＝ ＝
（
一 ～Ｖ￣， ａ ｐ’ ｓ
一上
一一Ｖ＝ ｓ 一 一ｋ 一
上
＝（ ） （ ｓ 卉
ｃ （ ｐ上ｓ 一 ：ｐ 。） ｐ 糍＝ Ｓ一Ｖ， 一 ２ ａ ＝Ｖ ８一 ￣ 一Ｓ ａ 塑 ｐ ８ ’ 等一 ａ ａ ＿ｐ ｓ 。 Ｖ
券＝ ） 一 ， 一 ＝ｃ ＝ ） 一 （ （ ａ 蓦 ＝ ｓ 一Ｆ （ ｒ ａ １ ： ６ ９ ２ Ｖ ） 拿 一 ＝ ） ａ 一 ＝ Ｇ ａｒ一 ＝豢 （ ， ｋ — Ｐ ＝ａ 筹＝ Ｖ０ 。 ２ ｖ Ｖ ）
换 导 出 ， 种对偶对称 性必然也表现 在按照数学展开 的热力学形式 中． 这
ｄＨ ＝ Ｔ ｄＳ ＋ Ｖ ｐ ， ｄ
ｄ ＝一 Ｓ Ｔ—ｐ Ｖ， ｄ ＝一 Ｓ Ｔ ＋ Ｖ ｐ Ｆ ｄ ｄ Ｇ ｄ ｄ
Ｕ ＋ Ｇ ＝ Ｆ ＋ Ｈ
（） ３
特 性 函数 的 一 阶偏 导 （ 态参 量 为 （ ， ， ） ： 状 ｐ， ． ） ｓ
维普资讯
第 １ ８卷第 ４期 ２０ ｏ２年 １ ０月
— — — —
苏
州
大
学
学
报（ 自然科 学 ）
基
墨 Ｑ』』 型 ｌ ！ 竖 ！！ 』 匹
曼 ２
；
文 章 编 号 ：０ ０２７ （０２ ０－０ ２０ １０－０３ ２ ０ ）４０６ —５
均 匀 系 热 力 学 关 系 勒 让 德 变 换 的 对 偶 对 称 性
陈 钢
（ 苏州 大 学 理 学 院物理 系 ， 江苏 苏 州 ２ ５０ ） １０ ６
摘
要 ： 出热 力学 关 系具 有勒 让 德变换 的对偶 对称 性 ． 据 对偶 关 系 给 出热 力 学 变 量 的 指 根
对偶 变换 表 ， 给 出完 整 的对偶 变 换方 案 ． 并 关键 词 ： 勒让 德 变换 ； 对偶 对称 性 ； 热力 学关 系
Ｔ ： ａ Ｕ Ｔ
：
ａＨ
Ｓ
：
（
５＝（ ＝（ ） ｒ
） （） ４
ｐ＝ （
＝（
ｐ＝（
・
收稿 日期 ＂０ ２—０ —１ － ０ ２ ４ ０
作 者简 介 ： 陈钢 （９ ８一） 男 ， 江杭 州人 ， １５ ， 浙 硕士 ， 副教 授 ， 主要 从 事基 础 物理 教学 ．
苏
州
大
学
学
报（ 自然 科学 ）
第 ｌ 卷 ８
Ｉ
Ｉ
－
Ｉ
争
＼
．
图 １ 对 偶 表
ｎｉ
２ 对 偶 变量 的 变换 和对 偶 表
经 笔 者 数 年 分 析 排 列 ， 力学 量 可 以恰 当地 放 进 一 张 表 中 ， 为 对 偶 表 （ 图 １ 利 用 热 称 见 ） 对偶 表可 以方便准确 地对 热力学关 系式进 行对偶置换 ．
．
２ １ 对 偶 表 的 对 偶 对 称 轴 ．
对偶表中有三条实线轴规定为（ ｌ０ ， ３， ０ ， ２０ ）两条虚线轴规定为（ Ⅱ２， 中 Ｏ ￣ ２Ⅱｌ Ⅱｌ ）其 ｌ０ 、 和 Ⅱ 对称轴在对偶图上直接画出， ３ ２ ０ 对称轴为过对偶表中心垂直于对偶表 的轴 （ 如图 ２ 所示）
，
．
维普资讯
＝ 一
％ ／Ｔ
．
—
—
ｋ ｙ ｖ
ｃ ／ Ｔ 一 ｓ ｖ
展 开 关 系具 有 非 常 明显 的规 律 性 ， 同类 函数 具 有 完 全 对 称 的结 构 形 式 ． 了 准确 地 表 现 热 力 为 学 关 系 展 开 式 的对 称 性 ， 热 力 学响应 函 数 用 宗 量 表 示 ． 如 ， 量 ａ ， 不 是 用 单 纯 变 量 各 例 宗 Ｖ而
维普资讯
第 ４期
陈
钢： 均匀 系热力 学关 系勒 让德变 换 的对偶 对称性
：
．
１
ａ Ｐ， ） 一 （
特 性 函 数 的二 阶混 合 偏 导 （ 一 类 响应 函数 为 （ ， ， 第 ａ １
＝ ＝ 一
，
）： ）
＝
（ ） ＝ （ Ｔ ８
中 图 分 类 号 ： ４４ ０ １ 文献 标识 码 ： Ａ
１ 勒 让 德 变换 和 热 力 学关 系
由两个 变数描写 的均匀体系勒让德 变换 为
（ ｌ ｙ ） ＝ （ ｌＸ ）＋ｘ ｙ Ｙ ， ２ Ｘ ，２ ｌ ｌ＋ｘ Ｙ ２２
且 有
（） １
蓑一，薏一 ，
热力学基本方程勒 让德变换 ：
１
０Ｈ ２
＝
（ ） Ｖ ８ ，＝ （ ）
＝
筹 （） （ ＝舅ｒ ＝
１
＋
ａ＝ ＝（） （） （ 一 ｒ ５ 嚣 ：８ ） Ｖ
ｐｓ ａ ８
特 函 的 阶 导第 类 应 数 （，，， ） 性 数 二 偏 （二 响 函 为争了ｋ ｓ） Ｃ Ｖ ： ｖ