2018届黄浦区高考数学二模试卷(附答案)

黄浦区2018年高考模拟考

数学试卷

(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2018.4

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ． 2．不等式|1|1x ->的解集是 ．

3

．若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ．

4．已知ABC ?的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ．

5．已知向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，且3b =r

，则a b ?r r = ．(结果用数值表示)

6．方程33log (325)log (41)0x x

?+-+=的解x = ．

7．已知函数2sin cos 2()1

cos x x f x x

-=

，则函数()f x 的单调递增区间是 ．

8．已知α是实系数一元二次方程2

2

(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．

9．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人． 10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 11．已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n n

n

a a n k a +-=-

=-L ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．

12．已知函数2

()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)

(0)(1)

f f f --的

最小值是 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的

答( )．

(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件

14． 二项式40

3

x x 的展开式中，其中是有理项的项数共有 答( ). (A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项

15．实数x y 、满足线性约束条件3,

0,0,10,x y x y x y +≤??

≥≥??-+≥?

则目标函数23w x y =+-的最大值是

答( )．

(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2- (D ) 3

16．在给出的下列命题中，是g

g

g

假命题的是 答( )．

(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =?+-?∈u u u r u u u r u u u r

，

则点A B C 、、必共线

(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r

都可以表示为

(R)c a b λμμλ=+∈r r r

、，且表示方法是唯一的

(C )已知平面向量OA OB OC

u u u r u u u r u u u r

、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ， 则ABC ?是等边三角形

(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r

、

、、，使得其 中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写

出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 在

四棱锥

P ABCD

-中，

PA ABCD

⊥平面，

,,1,

AB AD BC AD BC

⊥=

P

2,45

CD CDA

=∠=．

(1)画出四棱锥P ABCD

-的主视图；

(2)若PA BC

=，求直线PB与平面PCD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知10,(010)

OA OB x x

==<<

米米，线段BA CD

、线段与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．

(1)求θ关于x的函数解析式；

(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知动点(,)

M x y到点(2,0)

F的距离为

1

d，动点(,)

M x y到直线3

x=的距离为2d，且1

2

6

d

d

=.

(1)求动点(,)

M x y的轨迹C的方程；

(2)过点F作直线:(2)(0)

l y k x k

=-≠交曲线C于P Q

、两点，若OPQ

?的面积3

OPQ

S

?

=(O是坐标系原点)，求直线l的方程.

20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数22, 10,

()=1, 0 1.

x x f x x x --≤

(1) 求函数()f x 的反函数1

()f

x -；

(2)试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)

若方程

()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足:

123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 定义：若数列{}n c 和{}n d

满足*10,0,N n

n n c d n +>>=

∈且c ，则称数列{}n d 是数列

{}n c 的“伴随数列”.

已知数列{}n b 是数列{}n a 的伴随数列，试解答下列问题： (1)若*(N )n

n b a n =∈

，1b ={}n a 的通项公式n a ；

(2)若*

11(N )n n n b b n a +=+∈，11b a 为常数，求证：数列2n n b a ???????? ???????

是等差数列； (3)

若*1N )n n

b n +=∈，数列{}n a 是等比数列，求11a b 、的数值．

黄浦区2018年高考模拟考

数学试卷参考答案和评分标准

2018.4

说明：

1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.

1．2 2．(,0)(2,)-∞+∞U 3．[2,2]- 4．

4

π

5．6- 6．2

7．3[,],Z 88k k k ππππ-+∈ 8．3

(3]4- 9．140 10．516

11．50 12．3.

二、选择题．

13．()A 14．()B 15．()D 16．()D

三、解答题． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 解 (1)主视图如下：

(2) 根据题意，可算得1,2AB AD ==. 又1PA BC ==，

按如图所示建立空间直角坐标系， 可得，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B C D P .

于是，有(1,0,1),(1,1,0),(0,2,1)PB CD PD =-=-=-u u u r u u u r u u u r

. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r

，

则0,0,n CD n PD ??=???=??r u u u r r u u u r 即0,20.

x y y z -+=??-=? 令2z =，可得1,1y x ==，故平面PCD 的一个法向量为(1,1,2)n =r

.

设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为θ，则||3

sin ||||n PB n PB θ?==r u u u r r u u u r .

所以直线PB 与平面PCD

所成角的大小为arcsin .

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)根据题意，可算得弧BC x θ=?(m )，弧10AD θ=(m ). 又30BA CD BC CD +++=弧弧，

于是，10101030x x x θθ-+-+?+=，

所以，210

(010)10

x x x θ+=<<+.

(2) 依据题意，可知2211

1022

OAD OBC y S S x θθ=-=?-扇扇

化简，得2550y

x x =-++

25

225

()2

4

x =--+

. 于是，当52x =(满足条件010x <<)时，max 2254y =(2

m ).

答 所以当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为225

4

平方米.

19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)

结合题意，可得12|3|d d x ==-.

又12d d =

3=，化简得 22

162

x y +=. 因此，所求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程是22

162

x y +=. (2) 联立方程组22

1,62

(2),x y y k x ?+

=???=-?

得2

2

2

2

(13)121260k x k x k +-+-=.

设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则21222

12212,13126,130.k x x k k x x k ?+=?+?-?=?+?

?>???

于是，弦||

PQ==

点O到直线l

的距离d=.

由

OPQ

S

?

=

=

42

210

k k

-+=，解得1

k=±，且满足0

?>，即1

k=±都符合题意.

因此，所求直线的方程为2020

x y x y

--=+-=

或.

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解(1)

2

2,10,

()=

1, 0 1.

x x

f x

x x

--≤<

?

?

-≤≤

?

Q

∴当10

x

-≤<时，()2,0()2

f x x f x

=-<≤

且.

由2

y x

=-，得

1

2

x y

=-，互换x y

与，可得1

1

()(02)

2

f x x x

-=-<≤.

当01

x

≤≤时，2

()1,()0

f x x f x

=-≤≤

且-1.

由21

y x

=-

，得x=x y

与

，可得1()10)

f x x

-=-≤≤.

1

1

, 0<2,

2

()

10.

x x

f x

x

-

?

-≤

?

∴=

-≤≤

(2) 答函数图像上存在两点关于原点对称.

设点00000

(,)(01)(,)

A x y x

B x y

<≤--

、是函数图像上关于原点对称的点，

则00

()()0

f x f x

+-=，即2

00

120

x x

-+=，

解得

00

1(1,)

x x

==舍去，且满足01

x

<≤.

因此，函数图像上存在点1,2(12)

A B

-和关于原点对称.

(3) 考察函数()

y f x

=

与函数y=

当1

2

x

-≤≤-

时，有()

f x≥4240

x ax

---=，解得

2+2x a =-

，且由21+2a -≤-≤

，得02a ≤≤.

当1x <≤

时，有()f x <

240ax -=，化简得 22(4)40a x ax ++=，解得2

4=0+4a x x a =-

，或(

当02a ≤≤

时，24024

a

a -<-<+). 于是，123224,,024

a

x x x a a =-=-=++. 由

32212()

x x x x -=-，得

22

442=2(+)+442a a a a a -++

，解得32

a -±=.

因为312a -=

<-

，故32

a -=

不符合题意，舍去；

02a <=

<，满足条件.

因此，所求实数a =

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 解 (1)

根据题意，有*10,0,N n n n a b a n +>>=

∈且.

由*(N )n

n b a n =∈

，1b =

111n a a b +=

===*N n ∈.

所以n a =*N n ∈． 证明 (2) Q *11(N )n n n b b n a +=+

∈

，*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，

∴11n n b a ++

=

=

11

n n b a ++=*

N n ∈．

∴2

2

111n n n n b b a a ++????-= ? ?????

，*

N n ∈．

∴数列2n n b a ??????

?? ???????

是首项为2

11b a ?? ???、公差为1的等差数列．

解(3)

Q *

1N )n n b n +=∈，

*10,0,N n n n a b a n +>>=∈且，

*N n n a b n <+≤∈

，得11n a +<.

Q {}n a 是等比数列，且0n a >，设公比为(0)r r >，则1*

1(N )n n a a r n -=∈.

∴当1r >，即lim n n a →∞

→+∞

，与11n a +<≤1r >不成立.

当01r <<，即lim 0n n a →∞

→

，与11n a +<≤01r <<不成立.

∴

1r =，即数列{}n a 是常数列，于是，1n a a =

(11a <≤).

*11

(N )n n b n +∴=

∈. 100n b b >∴>Q ，，数列{}n b 也是等比数列，设公比为(0)q q >，有11n n b b q +=

.

2n a +∴=

可化为

222221111111(1)2(1)0(1n n b a q a b q a a a --+-=<≤，*N n ∈.

Q 2222422111111111(1)0,20,(1)0,4(2)0b a a b a a a b a ->≠->?=-≥，

∴关于x 的一元二次方程22222111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=有且仅有两个非负实数根.

一方面，n q (*

N n ∈)是方程22222

111111(1)2(1)0b a x a b x a a --+-=的根；另一方面，

若1(0)q q ≠>，则无穷多个互不相等的234,,,,,,n

q q q q q L L 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

1q ∴=，即数列{}n b 也是常数列，于是，1n b b =，*

N n ∈.

∴

由*1N )n n

b n +=∈

，得1a =

把1a =

1n a +=

解得1b

11a b ?=?∴?=?? ．