平方根与立方根复习-PPT课件
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平方根与立方根复习PPT课件
数
0
0
负数
没有
立方根
一个正的 立方根
0 一个负的 立方根
练习：
一、判断正误 ⑴ 0.0009 0.03 。 ⑵ 9是的(－9)2算术平方根。 ⑶ 361 的平方根是±19。 ⑷有理数一定有立方根。 ⑸若某数的立方根是它本身，那么 这个数一定是±1或0。 ⑹一个数的立方根总比这个数的平 方根要小。
例九：已知：x2=64, x =-x, 求:
的值
x+1
十 ：若x、y为实数,y＜ x-1 +
1-x +
1 2
化简: 1-y . y-1
十一
已知x=(
-2a 4+a
-
a - 3 + 3- a
)2013
3-a
求:x的个位数字
⑴ 121
⑵ 232
⑶ (-4)2
⑷0
⑸ -25
平方根的情况: ⑴一个正数的平方根有两个, 它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根.
立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个 数就叫做a的立方根。 即：若x3=a，则x叫做a的立方根
立方根的表示：3 a （为任意有理数）
一、什么叫平方根？什么叫算术平 方根？
如果一个数的平方等于a ，那么这 个数就叫做a的平方根。
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
正数a的正的平方根叫做a的算术平 方根；零的算术平方根是零。
二、平方根和算术平方根的表示方法： 平方根： ± a （a≥0）
算术平方根： a （a≥0）
想一想
下列各数的平方根会是怎样的?
正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？
0
0
负数
没有
立方根
一个正的 立方根
0 一个负的 立方根
练习：
一、判断正误 ⑴ 0.0009 0.03 。 ⑵ 9是的(－9)2算术平方根。 ⑶ 361 的平方根是±19。 ⑷有理数一定有立方根。 ⑸若某数的立方根是它本身，那么 这个数一定是±1或0。 ⑹一个数的立方根总比这个数的平 方根要小。
例九：已知：x2=64, x =-x, 求:
的值
x+1
十 ：若x、y为实数,y＜ x-1 +
1-x +
1 2
化简: 1-y . y-1
十一
已知x=(
-2a 4+a
-
a - 3 + 3- a
)2013
3-a
求:x的个位数字
⑴ 121
⑵ 232
⑶ (-4)2
⑷0
⑸ -25
平方根的情况: ⑴一个正数的平方根有两个, 它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根.
立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个 数就叫做a的立方根。 即：若x3=a，则x叫做a的立方根
立方根的表示：3 a （为任意有理数）
一、什么叫平方根？什么叫算术平 方根？
如果一个数的平方等于a ，那么这 个数就叫做a的平方根。
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
正数a的正的平方根叫做a的算术平 方根；零的算术平方根是零。
二、平方根和算术平方根的表示方法： 平方根： ± a （a≥0）
算术平方根： a （a≥0）
想一想
下列各数的平方根会是怎样的?
正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？ 零呢？
数的开方PPT教学课件
宫妇左右莫不私王 朝廷之臣莫不畏王
四境之内莫不有 求于王
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
参 出 微 理 。 千 古
详 勘 。 正 欲 于 此
徐 公 之 美 ， 细 细
邹 忌 将 己 之 美 、
思考问题：
从文中看，齐威王最终能使 齐国“战胜于朝廷”，达到 “大治”的原因是什么？这给 我们带来什么启示？请结合你 的生活体验，简要谈谈你的看 法。
( )
四：小结 1：为什么要学习数的开方？ 2：开方与什么互为逆运算？ 3：平方根，算术平方根，立方根的概念和性质
五：作 业 练习册
导入新课
“以铜为镜，可以正衣冠； 以史为镜，可以知兴亡； 以人为镜，可以明得失。”
唐·魏征
《战国策》是一部重要的历史著作，也 是一部重要的散文集。作者已不可考， 最初有《国策》、《国事》、《短长》 等名称，经过汉代刘向整理编辑，始定 为《战国策》。全书共33篇，分国别编 辑。
2.君子之过，如日月之食也。过也， 人皆见之，及其更也，人皆仰之。 （《论语》）
3.良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。 （孔子家语）
4.信言不美，美言不信。（老子）
解释下列蓝色的词 词类活用
1、吾妻之美我 认为……美，形容词意动用 者，私我也。 法 偏爱，形容词作动词。
2、能面刺寡人 之过者
3、受上赏
《战国策》的内容，主要记载战国时期 各国谋臣策士游说诸侯或进行谋议论辩 时的政治主张和纵横捭阖、尔虞我诈的 故事，也记叙了一些义士豪侠不畏强暴、 勇于斗争的行为。
《战国策》长于议论和叙事，文笔流畅， 生动活泼，在我国散文史上具有重要的 地位。
沪科版数学七下61《平方根立方根》ppt课件
1 2
立方根的定义
一个数$a$的立方根是一个数$x$，满足$x^3 = a$。
立方根的性质
任何实数的立方根只有一个值，可以是正数、负 数或零。例如，$-8$的立方根是$-2$。
3
立方根的运算规则
$(a^3)^n = a^{3n}$；$(a^n)^3 = a^{3n}$。
平方根与立方根的混合运算
混合运算的顺序
注意事项
先进行乘除运算，再进行加减运算。
在进行混合运算时，需要注意运算顺 序和符号的变化，避免出现计算错误。
运算规则
$(a pm b)^3 = a^3 pm 3a^2b + 3ab^2 pm b^3$。
05
实际应用
平方根在日常生活中的应用
计算土地面积
在农业、土地测量等领域，经常 需要计算土地面积，平方根是计
关系，以及平方根的近似值计算方法。
学生对于本节课的评价和建议
03
学生可以提出自己的意见和建议，以便教师更好地改进教学方
法和课件内容，提高教学质量。
THANKS
感谢观看
开方与乘方的关系
开方是乘方的逆运算，即a的平方根是a的1/2次方。
平方根的近似值计算
如何使用四舍五入法或二分法等近似计算平方根的值。
学生自我评价与反馈
学生对本节课内容的掌握程度
01
学生应该能够理解并掌握平方根的基本概念和性质，以及如何
进行简单的平方根运算。
学生对于本节课难点的理解情况
02
学生应该能够理解平方根与算术平方根的区别、开方与乘方的
平方根的表示方法
代数表示法
在代数中，我们通常用符号√来表示平方根，并在数字上方画一条横线或使用斜杠 来表示。例如，√4=2或√4=∣2∣。
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
根”。
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
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立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
第25页/共32页
按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
第26页/共32页
你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
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（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
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立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
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什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
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按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
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你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
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思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
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平方根与立方根课件
平方根的符号
√
在数学中，平方根通常用符号√来表示。例如， √9表示9的平方根，结果为3。
sqrt()
在计算机编程中，我们可以使用sqrt()函数来 计算平方根。
平方根的性质
• 平方根是非负数 • 平方根的平方等于原数 • 平方根的值可以是小数或分数
如何计算平方根？
1. 使用根号符号 (√) 进行计算 2. 使用计算器或计算机中的平方根函数 3. 使用近似方法估算平方根的值
平方根与立方根
欢迎来到平方根与立方根的世界！在这个PPT课件中，我们将深入探讨平方 根和立方根的定义、性质、计算方法、运算及应用。让我们一起开始这次奇 妙的数学之旅吧！
什么是平方根？
平方根是数学中一个重要的概念，表示能够使一个数的平方等于另一个数的 那个数。它在解方程、几何和实际生活中都有广泛的应用。
平方根和立方根的举例对比
• 平方根：√4 = 2，平方根的运算是相对简单的。 • 立方根：³√8 = 2，立方根要求更高的计算能力。
平方根和立方根的基本运算法则
乘法法则
当两个数的平方根或立方根相乘时，可以将指数相加得到结果的根。
除法法则
当两个数的平方根或立方根相除时，可以将指数相减得到结果的根。
立方根是指能够使一个数的立方等于另一个数的那个数。它在代数学、几何学和计算机科学中具有重要 的作用。
立方根的符号
³√
在数学中，立方根通常用符号³√来表示。例 如，³√8表示8的立方根，结果为2。
cbrt()
在计算机编程中，我们可以使用cbrt()函数来 计算立方根。
立方根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性质
• 立方根是实数 • 立方根的立方等于原数 • 立方根的值可以是小数或分数
算术平方根、平方根、立方根之间区别联系(课堂PPT)
做二次方根）。记为“ a ”读作“正、负
根号a”
2
立方根的定义. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省 略).
算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2
=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ 做被开方数
a
”，读作“ 根号 a ”。a叫
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
1
平方根定义
一般的，如果一个数X的平方等于a，即
x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫
3
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根
的运算叫开平方 的运算叫开立方
10
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 2 5 （5）-3 0.027 0 .3
（ 3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
11
不 要 遗 漏 哦！
根号a”
2
立方根的定义. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省 略).
算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2
=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ 做被开方数
a
”，读作“ 根号 a ”。a叫
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
1
平方根定义
一般的，如果一个数X的平方等于a，即
x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫
3
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开 方 是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根
的运算叫开平方 的运算叫开立方
10
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2） （-25）2 2 5 （5）-3 0.027 0 .3
（ 3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
11
不 要 遗 漏 哦！
算术平方根平方根和立方根PPT课件
9
平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，
算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 aa ，
而算术平方根表示为a a .
3 3 64;
43 53 ;
5
3
16
3
.
21
比一比 平方根与立方根（读背5分钟）
1．开平方的定义
1．开立方的定义
求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方，其中a叫做被开
方数如： 22＝4，
4＝ 2.
求一个数a的立方根的运算， 叫做开立方，其中a叫做被开
方数如： －23＝－8，
162已知xy满足19的平方根是算术平方根是216的平方根是算术平方根是30的平方根是算术平方根是43的平方根是算术平方根是510的平方根是算术平方根是平方根101016联系
提问：(记到书上）
1、11--20的平方；
2、1--10的立方；
3、 2, ≈1.414
3≈ 1.732
5 ≈ 2.236 1
23
（3）平方根和立方根的区别： 正数有两个平方根，但只有一个立方根， 负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式： （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可 以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个 数是不是另一个数的立方根．
, 3 a 3 a 3 a3 a, 3 a 3 a
求一个数a的立方根的运算叫开立方
18
例1 求下列各数的立方根:
（1）－27；（2）1285
平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，
算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 aa ，
而算术平方根表示为a a .
3 3 64;
43 53 ;
5
3
16
3
.
21
比一比 平方根与立方根（读背5分钟）
1．开平方的定义
1．开立方的定义
求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方，其中a叫做被开
方数如： 22＝4，
4＝ 2.
求一个数a的立方根的运算， 叫做开立方，其中a叫做被开
方数如： －23＝－8，
162已知xy满足19的平方根是算术平方根是216的平方根是算术平方根是30的平方根是算术平方根是43的平方根是算术平方根是510的平方根是算术平方根是平方根101016联系
提问：(记到书上）
1、11--20的平方；
2、1--10的立方；
3、 2, ≈1.414
3≈ 1.732
5 ≈ 2.236 1
23
（3）平方根和立方根的区别： 正数有两个平方根，但只有一个立方根， 负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式： （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可 以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个 数是不是另一个数的立方根．
, 3 a 3 a 3 a3 a, 3 a 3 a
求一个数a的立方根的运算叫开立方
18
例1 求下列各数的立方根:
（1）－27；（2）1285
小学教育ppt课件教案掌握代数式的根号运算平方根和立方根的计算
运算顺序
根据运算的优先级，先进行括号 内的运算，再进行乘除运算，最 后进行加减运算。例如， √(a+b)^2≠a+b，而是等于 |a+b|。
符号问题
在进行根号运算时，需要注意符 号的处理。例如，√a^2=|a|，而 不是a；√(ab)=√a×√b（ a≥0,b≥0）。
05
CATALOGUE
典型例题分析与解答
课程目标与要求
知识与技能目标
情感态度与价值观目标
通过本课程的学习，学生应掌握代数 式根号运算的基本概念和性质，能够 熟练进行平方根和立方根的计算。
通过本课程的学习，激发学生对数学 的兴趣和热爱，培养学生的数学素养 和严谨的科学态度。
过程与方法目标
通过讲解、示范、练习等多种教学方 法，引导学生积极参与课堂活动，培 养学生的数学思维和解决问题的能力 。
动。
课程拓展与延伸学习资源
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
相关数学书籍
推荐学生阅读《数学分析》、《高等代数》等相 关数学书籍，加深对代数式根号运算、平方根和 立方根计算的理解。
在线学习资源
推荐学生使用中国大学MOOC、网易公开课等在 线学习平台，学习相关数学课程，拓展知识面。
3
数学竞赛与活动
鼓励学生参加数学竞赛和数学活动，如全国大学 生数学竞赛、数学建模竞赛等，提高学生的数学 应用能力和创新能力。
THANKS
感谢观看
例题1
化简$sqrt{8}$。
解析
例题2
首先，将8进行质因数分解， 得到$8=2times2times2$。然 后，将其写成平方数的形式， 即 $sqrt{8}=sqrt{4times2}=2sq rt{2}$。
化简$sqrt[3]{27a^3}$。
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16.1平方根与立方根复习
一、什么叫平方根？什么叫算术平 方根？
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a的平方根。
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；零的算术平方根是零。
二、平方根和算术平方根的表示方法：
± 平方根：
（a≥0）aBiblioteka （a≥0）算术平方根：
a
0.0009 0.03
361
二、下列各式中，x为何值时有意义？
1 3
x 1 x x
2
x 1
2
x 3 4 x4
三、已知
x y
y 3 x x 3
， 求 的值。
四、求下列各式中的x:
（1）3(2x+1)2－147=0
（2）27x3=7 +1
81
五、解关于x的方程。
立方根的概念： 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。
即：若x3=a，则x叫做a的立方根
立方根的表示：
3
a
（为任意有理数）
平方根与立方根的比较：
平方根
两个平方根， 正 数 他们互为相反 数 0 0
立方根
一个正的 立方根 0 一个负的 立方根
负 数
没有
练习：
一、判断正误，并把错误的改正： ⑴ 。 ⑵ 9是的(－9)2算术平方根。 ⑶ 的平方根是±19。 ⑷有理数一定有立方根。 ⑸若某数的立方根是它本身，那么 这个数 一定是±1或0。 ⑹一个数的立方根总比这个数的平 方根要小。
十、借助计算器计算下列各题：
1
2
1
3
3
3
1 2
3
3
1 2 3
3
3
3 3 3 3 4 1 2 3 4
根据上面的计算结果，请计算下面一题：
1 2 3 n
3 3 3
3
4 x 4 x
2 3
六、若x2 =(－5)2，求(x－1)3的值。
2
七、已知
求 x+y+z的平方根。
x 1
2
5 y 5x x y z 0
八、求9a2+12ab+4b2的算术平方根，其中a＜0，b ＜0。
九、填写下表：
a
a
0.04
4
400
40000
观察上表，你从中能发现什么规律？
一、什么叫平方根？什么叫算术平 方根？
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a的平方根。
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；零的算术平方根是零。
二、平方根和算术平方根的表示方法：
± 平方根：
（a≥0）aBiblioteka （a≥0）算术平方根：
a
0.0009 0.03
361
二、下列各式中，x为何值时有意义？
1 3
x 1 x x
2
x 1
2
x 3 4 x4
三、已知
x y
y 3 x x 3
， 求 的值。
四、求下列各式中的x:
（1）3(2x+1)2－147=0
（2）27x3=7 +1
81
五、解关于x的方程。
立方根的概念： 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。
即：若x3=a，则x叫做a的立方根
立方根的表示：
3
a
（为任意有理数）
平方根与立方根的比较：
平方根
两个平方根， 正 数 他们互为相反 数 0 0
立方根
一个正的 立方根 0 一个负的 立方根
负 数
没有
练习：
一、判断正误，并把错误的改正： ⑴ 。 ⑵ 9是的(－9)2算术平方根。 ⑶ 的平方根是±19。 ⑷有理数一定有立方根。 ⑸若某数的立方根是它本身，那么 这个数 一定是±1或0。 ⑹一个数的立方根总比这个数的平 方根要小。
十、借助计算器计算下列各题：
1
2
1
3
3
3
1 2
3
3
1 2 3
3
3
3 3 3 3 4 1 2 3 4
根据上面的计算结果，请计算下面一题：
1 2 3 n
3 3 3
3
4 x 4 x
2 3
六、若x2 =(－5)2，求(x－1)3的值。
2
七、已知
求 x+y+z的平方根。
x 1
2
5 y 5x x y z 0
八、求9a2+12ab+4b2的算术平方根，其中a＜0，b ＜0。
九、填写下表：
a
a
0.04
4
400
40000
观察上表，你从中能发现什么规律？