第5章：解析函数的幂级数表示.docx
解析函数的级数表示
111
111
= 1 + + + + ... - 2 × + + + ....
234
246
111
111
= 1 + + + + ... - 1 + + + + .... = 0
234
234
实际上 I = ln 2
(- 1)n-1
Sum
, {n, 1, ∞}
n
Log[2]
可逐项相乘，下式右边仍为绝对收敛级数（乘法分配率与交换律？）
p = 1 时，(1. 2) 式退化为 ：
p
wn+k(z0) = z0N+1 - z0N+2 = 1 - 10-MN+1 2 - 10-M > 1 - 10-MN+1
k=1
p=1
因为 N 与 z 无关，M 变化时 ，N 不变，因此对那个找到的与 z 无关的 N(ε)，我们可以取足够大的 M，
比较一致收敛与非一致收敛的充要条件：
▲ 一致收敛的充要条件：
∀ （任意） ε > 0， ∃ （一个） N (ε)， 使得当 n > N(ε) 时 （对任意的 n > N），对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有
p
Sn+p(z) - Sn(z) = wn+k(z) < ε
试试看能不能证明一致收敛 。
p
用 ε - N 判别：∀ ε > 0, 需要导出存在 N，使得对任意 n > N ， wn+k(z) < ε 成立
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
高中数学(人教版)函数展开成幂级数解析 精品优选公开课件
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)k
1 ( 2k 1)!
x2k1
其收敛半径为 R ,对任何有限数 x , 其余项满足
Rn (x)
sin(
(n
1)
π 2
)
(n 1)!
xn1 x n1 (n 1)!
n
0
sin x
故得级数 1 x 1 x2 1 x3 1 xn
2! 3!
n!
其收敛半径为 R lim 1
1
n n! (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
Rn (x)
e
(n 1)!
x n 1
ex
x n1 (n 1)!
n
0
( 在0与x 之间)
故
近似计算 理论研究
f (x) a0 a1x x0 a2 x x0 2 an (x x0 )n (x I )
f (x)在什么条件下能展开为幂级数; f (x) 的展开式在什么范围内成立; f (x) 的展开式是否唯一; f (x) 的展开式如何确定.
引言
展 开 ? 和函数 S(x)
例 ex 1 x x2 xn ( x R)意义 2! n!
研究问题
近似计算 理论研究
f (x) a0 a1x x0 a2 x x0 2 an (x x0 )n (x I )
f (x)在什么条件下能展开为幂级数; f (x) 的展开式在什么范围内成立; f (x) 的展开式是否唯一; f (x) 的展开式如何确定.
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
复变函数第四版余家荣答案
复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。
为此，需要扩大数系。
我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。
我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。
特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。
z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。
2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。
(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。
按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径高考数学知识点精讲：幂级数的展开与收敛半径在高考数学中，幂级数是一个重要的知识点，其中幂级数的展开与收敛半径更是理解和解决相关问题的关键。
让我们一起来深入探讨这个知识点，帮助同学们在高考中轻松应对相关题型。
首先，我们来了解一下什么是幂级数。
简单来说，幂级数就是形如∑（n=0 到∞） aₙ xⁿ ＝ a₀＋ a₁ x ＋ a₂ x²＋ a₃ x³＋的无穷级数。
其中，aₙ 被称为幂级数的系数，x 是变量。
那么，为什么要研究幂级数的展开呢？这是因为通过将一些复杂的函数展开成幂级数的形式，我们能够更方便地对其进行分析、计算和研究。
接下来，我们看看幂级数的展开方法。
常见的有直接展开法和间接展开法。
直接展开法是根据幂级数的定义，利用泰勒公式将函数在某一点展开成幂级数。
泰勒公式为：f(x) ＝ f(x₀) ＋ f'（x₀)（x x₀) ＋ f'＇（x₀)（x x₀)²／ 2! ＋ f'＇＇（x₀)（x x₀)³／ 3! ＋。
例如，对于函数 f(x) ＝eˣ，我们想在 x ＝ 0 处将其展开成幂级数。
首先求导可得 f'（x) ＝eˣ，f'＇（x) ＝eˣ，f'＇＇（x) ＝eˣ，，所以f(0) ＝ 1，f'（0) ＝ 1，f'＇（0) ＝ 1，，则eˣ ＝ 1 ＋ x ＋ x²／ 2! ＋ x³／ 3! ＋。
间接展开法则是利用已知的幂级数展开式，通过一些运算（如四则运算、变量代换等）得到新的幂级数展开式。
比如，已知 1 ／（1 x) ＝ 1 ＋ x ＋ x²＋ x³＋（｜x| ＜ 1），那么通过将 x 替换为 x²，可以得到 1 ／（1 ＋ x²) ＝ 1 x²＋ x⁴ x⁶＋（｜x| ＜ 1）。
讲完了幂级数的展开，我们再来重点探讨一下收敛半径。
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
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第4章：解析函数的幕级数表示法§ 1复级数的基本性质
一、教学目标或要求：
掌握复级数的基本性质
二、教学内容（包括基木内容、重点、难点）：
基本内容：复级数的基本性质解析函数项级数
垂点：解析函数项级数的性质
难点：解析函数项级数的性质
三、教学手段与方法：
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习：1
§ 1复级数的基本性质
1.复数项级数
定义4. 1对于复数项的无穷级数
©O
工Q” =% +勺+ +…,
n=l
令比■气”・・y （部分和），若台部分和复数列｛咼有有限复数极限丄limJL <D工气©…艺巧I 即，则称z 收敛于$ ,称&为级数z 的和。
记
定理4.1设％遇••沁，则
工碍s = a IR) O 送斗・a•习k. -fc
«-l *4 ■鼻(4. 1)
y ;若闻无有限极限，则称护发散。
■气+吗十勺+iAjj ------ 十叫+ ib^
■ aj + ・・・H■岭+3© 十・・・4■毎）
litnSL - Q +ib Qo "lim/LJh "Lhi& «-»w ■«•«•
即得。
定理4.2复级数(4.1)收敛于的充要条件是：对
任给的£>0,存在正整数
N = N2),当n>N Up为任何正整数吋
|d"+l（Z）+ ・・・d“+“（Z）\<Eo
0 v
注改变的有限项并不改变―吗的敛散性。
例判定级数X"潭•的敛散性。
y2 yA
解：由幺牙发散，台2■收敛知原级数发散。
定理4.3复级数(4.1)收敛的一个充分条件是级数匕|收敛。
/:=!
oo oo
定义4. 2级数工|%|收敛，则称级数工d”为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级n=l n=l
数称为条件收敛。
定理4.4 (1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不改变其绝
对收敛性，亦不致改变其和，(2)设有两绝对收敛的复数项级数，
Jt-4
把它们各项相乘所得的级数
*-0
M ¥(Mi昴也绝对收敛，且它的和就等于两个级数的和
Z积丹o
2.一致收敛的复函数项级数
定义4.3设复变函数项级数£//£)的各项均在点集D上有定义，且在D上存W=1
在一个函数，对于D上的每一点，级数均收敛于/(z),则称/(z)为级数的和函
数，记为
/(2)=立九(Z)・
W=1
定义4.4 用杆方式描述：对于给定的任意仗/；,
使当n>N时，有其中，斗・»(£。
如果N与Z无关，则AJB
称级数在。
上一致收敛于/(r)o
oo
定理4.5对于级数工.九(z)在点集D上一致收敛于函数的充要条件是：对任给^=1
的£>0,存在正整数N = N(£),使当时n>N ,对一切zw D,均有
I 九+1 ⑵ + …九+p(Z)|V£。
如果对于某区域D上所有各点z,复数项级数各项的模虚切|S气，而正的常数
项级数勺吨收敛，则复变函数项级数在【)上绝对且一致收敛。
级数文:牲称
M V* 为的强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.
以上称为外尔斯特拉斯M —判定法。
定理4.6级数£^(z)在点集D上连续，并且一致收敛于函数/(z),则和函数71=1
/(Z)=£A⑵ 也在Q上连续。
n=\
定理4.7如果级数文/&)在D上一致收敛于/(r) 如果
在C 上连续，则沿C 可逐项积分，且 卩@扯■送［£&址 O Q
定理4.8舌在圆«F |"内闭-致收敛QV055 爭®在闭
显然。
证明级数 在时一致收敛。
证明台在田"内内闭-致收敛，但在"上不-致收敛。
证一 31也5叶“（"“・・・），乂幺在…时收敛，则由优级数
判别法即得台 在kl<'上一致收敛。
从而6在内闭一致收敛。
2 8^
9
故柯西一致收敛判别法即知益”在忖''上不一致收敛。
>MVpeN, V|z|<1r |z >-l +- + z >* <B
特别地对歹・1有 鬥“在旳内取r "百血W
lim （l -丄）凶-0 ］共_丄严
于是 * JI +1 但 ** M +1
故若"在忖C 上不一致收敛。
3. 解析函数项级数 圆忍：l ZP|《Q 上一致收敛。
当田・1时,
出八刽坊,由矣 收敛，根据优级数判别法即得。
=-,V^eN . 取8 ,取斗
丹5■胡则环I
证二反证法。
若歹在H<i
上一致收敛，则Vs>0,3^eN, 矛盾。
Z 肆"+…+ z 肆枷
定理4.9设⑴£(z)5 = 1,2,…)在区域D内解析，(2)£/“(Z)在D内内闭一致/:=!
收敛于函数/(z): .f(z)二£A(Z),贝I」:
n=l
(1) .f(z)在区域D内解析
⑵严⑵=£f叫⑵(z eD,p =1,2,…).
/|=1
证(1)%€°*>0・上：2・冷卜2全含于Q内，由J；(痴在Q内解析知几(刃
在丘连续，又孚⑴在Q内内闭-致收敛于")，故爭®在疋上-致收敛于/0,从而由和的连续性定理知，/:力在疋连续。
另一方面，取U为卯-毛|5内任一围线，由于£(可在D内解析，故且“)在
9 JP
c上连续又由爭%°内闭-致收敛于m知爭⑷在。
上一致收敛于/"),由逐项可积定理知
pe■却3*-0
因此由摩勒拉定理<仗〉在K内解析，从而在引解析，由毛的任意性即知/&〉在 Q内解析。
⑵全含于£)内，记乏的边界为6—炉，则由/&〉、几05在D内解析《・人2■…〉，知心、心)在疋上解析。
从
曲丄鶴MM 5 "is JB JP
又*< a 在D 内闭一致收敛于用，从而""在°上一致收敛于如,
析，故兀山》在。
上连续，从而（歹・衍『在
c 上连续…），因此由逐项积 分定理
AO
,由于一致收敛级数乘以有界函数后仍是一致收敛
g 的，故Eg-b 在C 上-致收敛于«-*>***，另-方面，由于在。
内解。