幂级数和函数的分析性质1
高数幂级数知识点
高数幂级数知识点高数幂级数是高等数学中一个重要的概念，通过幂级数可以对一些函数进行近似展开，并得到它们的一些性质以及在某个点附近的近似值。
一、高数幂级数的定义高数幂级数由一列项数不同的幂函数相加而成，通常形式如下： f(x) = a0 + a1(x -x0) + a2(x - x0)^2 + a3(x - x0)^3 + ... 其中，a0，a1，a2，a3等为常数，称为系数；x0为展开点，x为自变量。
二、高数幂级数的收敛域幂级数并不在所有点都收敛，而是在一定范围内收敛。
收敛域由展开点x0和幂级数的收敛半径r决定。
收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式计算得到： R = 1 / lim sup |an|^(1/n) 其中，an为系数，n为项数。
当n趋向于无穷大时，计算结果即为收敛半径。
三、高数幂级数的求和公式当幂级数收敛时，我们可以通过求和公式计算幂级数的和。
常见的求和公式有以下几种： 1. 几何级数：当|q| < 1时，幂级数a + aq +aq^2 + aq^3 + ...收敛，且和为A = a / (1 - q)。
2. 指数级数：e^x = 1 + x / 1! + x^2 / 2! + x^3 / 3!+ ...，这是由指数函数的泰勒级数展开得到的幂级数。
3. 三角函数级数：sin(x) = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! -x^7 / 7! + ...，cos(x) = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - x^6 / 6! + ...，这是由三角函数的泰勒级数展开得到的幂级数。
四、高数幂级数的应用高数幂级数在数学及其他学科中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面： 1. 近似计算：通过幂级数可以对一些复杂的函数进行近似展开，从而得到它们在某个点附近的近似值。
这在计算机科学、物理学等领域中非常重要。
2. 函数性质研究：通过幂级数可以研究函数的性质，如判定函数的奇偶性、周期性等。
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
幂级数的收敛与和函数
3. 主要结论
3.1. 幂级数的收敛域
为了具体说明考研数学中对于幂级数收敛域的考察情况，本文总结了关于收敛域的两种出题角度， 第一种给出的研究对象是具体的，第二种给出的研究对象是抽象的。
3.1.1. ห้องสมุดไป่ตู้敛域的具体型问题
∞
1) 对于 ∑ an xn
Convergence and Sum Function of Power Series
Ying Bai, Songqi Zhou
Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao Hebei
Received: Jul. 26th, 2020; accepted: Aug. 13th, 2020; published: Aug. 20th, 2020
摘要
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。并且
文章引用: 白颖, 周颂奇. 幂级数的收敛与和函数[J]. 应用数学进展, 2020, 9(8): 1221-1229. DOI: 10.12677/aam.2020.98143
白颖，周颂奇
在考研数学里，幂级数也是级数这一章所需要掌握的重点。因此，总结幂级数的收敛半径，收敛域，以 及和函数求法在现阶段备考数学中是非常重要的。首先，本文对幂级数收敛与和函数的概念与性质进行 了简要概括。然后，对幂级数收敛与和函数在考研数学中的应用进行了总结归纳。其中，在求幂级数收 敛域的问题中，本文分别对具体型与抽象型问题进行了讨论；在求和函数的问题中，本文对不同情况下 和函数的求解思路进行总结，针对具体的例题给出相应的解题过程，并对幂级数和函数在不定积分、导 数、数列极限、不等式等相关数学分支中的应用进行系统地论述。
第四节幂级数
lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
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(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
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一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
7
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二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|， 根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)， 对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ， 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1， 且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1， 且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1， 又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散， 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +； 又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
幂级数
∞
∞
以 给 级 的 敛 径 所 所 幂 数 收 半 R =1.
1 当x =1时 级 为 和 数∑ 发 . ， 数 调 级 散 n=0 n ∞ (−1 n ) x = −1时 级 为 错 数∑ 当 ， 数 交 级 ， 敛 收 . n n=0 所 该 数 收 域 [−11 ； 以 级 的 敛 为 ,)
分 算 积 运 ∞ ∞ x ∞ x x an n+1 n n ∫0 ∑anx dx = ∑∫0 anx d x = ∑n +1x = ∫0 S(x)dx n=0 n=0 n=0 收 半 仍 且 敛 径 为 R.
xn+1 ) 例 5 求 数∑(−1 n xn ，∑x2n ，∑ 级 ， n=0 n=0 n +1 n=0 ∞ ∞ ∞ (−1 n xn+1 ) x2n+1 ，∑ ，∑nxn−1 的 函 . 和 数 ∑ n+1 n=0 2n+1 n=0 n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 +L+ an xn +L , ∑
n=0 ∞
当 0,且 设 n 充 大 , an≠ 且 分 时 0,
an+1 lim =ρ , n→ a ∞ n
则
un+1 an+1xn+1 a lim = lim = lim n+1 ⋅ x = x ⋅ ρ. n→ u ∞ n→ ∞ a xn n→ a ∞ n n n
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x 2 n 1 例 1 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 x x3 x5 解 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2 2 n 1 x 2 n 1 x un ( x ) n , un1 ( x ) n1 , 2 2
2 n 1 n un 1 ( x ) x 2 1 2 lim lim | n1 2 n1 | x , n n u ( x ) 2 x 2 n
幂级数的收敛区间为( 2, 2).
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
二、幂级数和函数的分析性质
若幂级数 an x n的收敛半径 定理3 （内闭一致收敛性）
[ r 0, 则幂级数 an x n 在任意闭子区间 a , a ] ( r , r )
n 0
n 0
都一致收敛 .
例
n 1
x n 1 n
幂级数和函数的分析性质
an n1 又( x ) an x n n 0 n 1 n 0
由上面结论可知， an t n dt与 an x n收敛半径相同 .
x n 0 0 n 0
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
注：上述三个幂级数的收敛半径相同，但它们的收敛 域可能不相同.
1 2 当 | x | 1, 2
即 x 2时,
级数收敛,
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
1 2 当 | x | 1, 2
即 x 2时,
级数发散,
收敛半径为r 2.
当x 2时, 级数为
n1
1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n 1 2
n | an x1 | 收敛， n N , 有 n 0
x n n n 1 n | an x1 | | 0 |n | nan x || an x | | n x0 | x1 | x0 | x1 x0 n n lim | | 0 n | x | x1 0
n 0
x
0
an n1 a1 2 a2 3 x x a n t dt a0 x x 2 3 n 1 a n n1 x n 0 n 1
n
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
定理4
幂级数 an x n与幂级数 a n x n na n x n1 , （ ）
证：x [a, a], 即 | x | a, 有
| an x n || an | a n
已知级数 | a n | a n收敛，
n 0
由M判别法，知幂级数在闭 [a, a]一致收敛 区间 .
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
定理3′
若幂级数 an x n的收敛半径 r 0, 且在x r
n 1 0 n 1
幂级数和函数的分析性质
§9.3 幂级数
x0 n n {| | }有界 x1 | x0 |
n n | na n x0 1 | M | an x1 |
n 由比较判别法知， na n x0 1收敛 n 0
即r1 r2
同法可证 2 r1 r
r1 r2
n 0 n 0 n 1
an n1 an t dt x 具有相同的收敛半径 . n 0 n 1
n
n n 1
证：设 an x 与 na n x n1的收敛半径分别为 和r2 , 即证r1 r2 . r1
n 0
先证r1 r2 . x0 : 0 | x0 | r1 , x1 :| x0 || x1 | r1
n 0
n 0
则幂级数 an x n 在[0, r ] [ r ,0] 一致收敛 x r 处收敛， .
逐项求导后得到的幂级数
(a
n 0
n
x ) a1 2a2 x 3a3 x nan x
n
2
n 1
na n x n1
n 1
逐项求积分后得到的幂级数