幂函数的性质及其应用

图象3.gsp
2
例题1: 讨论函数y x5的定义域,值域,奇偶性,
并画出图象示意图.
2
解：要使y x 5 5 x2 有意义，x可取任意数，函数定义域为R
x R， x2 0， y 0.
f (x) 5 (x)2 5 x2 f (x)
2
函数y x 5是偶函数
几何画板
2、
(
7
)

8 7
____ 1
2解：
8
设：y
8
f(x) x 7
则：(
7
)

8 7

f (7);
8
1 (1) 7

f (1)
8

8
指数 8 0,根据幂函数的性质：
7
该函数在第一象限单调递减
又： 7 1 8
则： f (7) f (1) 8
几何画板
即：
(
7

)
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为
根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；
2．对于幂函数y＝xa，我们首先应该分析函数的 定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即 所在象限，其次确定曲线的类型，即a＜0，0＜a＜1 和a＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意a＝0， ±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象 的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖 小横”，即a＞0（≠1）时图象是抛物线型；a＜0时 图象是双曲线型；a＞1时图象是竖直抛物线型；0＜ a＜1时图象是横卧抛物线型．
2、
(
7
)

8 7
____ 1
8
则：0.181.2 f (0.18); 0.151.2 f (0.15)
指数 1.2 0,根据幂函数的性质：
该函数在第一象限单调递减
又： 0.18 0.15 则： f (0.18) f (0.15)
即： 0.181.2 0.15 1.2
8 7
1
8
• 变式练习
•
1．函数y＝（x2－2x）-1/2的定义域是
（）
• A．{x|x≠0或x≠2}
B．（－∞，0）（2，＋∞）
• C．（－∞，0）］［2，＋∞］ 2）
D．（0，
答案：B
2．函数y＝ (15＋2x－x2 )3 的定义域是（ ） A．5≥x≥－3 B．5＞x＞－3 C．x≥5或x≤－3 D．R
答案：A
3．已知函数y＝4 15－2x－x2
（1）求函数的定义域、值域 （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．
答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数
解析：这是复合函数问题，用换元法令t＝15－2x－x2，则y
＝ ， 4t
（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t＝16－（x－1）2∈［0，16］ ∴函数的值域为［0，2］．
过点（0，0）、（1，1）呈抛物线型，上凸递增。
图象1.gsp
y x 当>1时，函数图像在第一象限内的规律如下 过点（0，0）、（1，1）呈抛物线型，下凸递增。
图象2.gsp
y x 当<0时，函数图像在第一象限内的规律如下
过点（1，1）呈双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限 接近。

又 n 2 0 5
2
幂函数y x 5在[0,]上是增函数 由于该函数是偶函数
2
幂函数y x 5在[0,]上是减函数 图象如下所示: 例1.gsp
例2： 利用幂函数的性质，比较下面各组中两个值的大小
1、 0.181.2 ____ 0.151.2 1解： 设：y f(x) x1.2
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1， ∴x ∈ ［－5，1］时，t随x的增大而增大；x ∈ （1，3）时， t 随x的增大而减小．
又∵函数y＝在t∈［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝的单调增区间为[－5,1]，单调减区间为(1,3]。
复习: 幂函数的概念
定义：函数y=xα（α是常数）叫做幂函数 讨论幂函数的性质： 幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也 不同，性质（有界性、单调性、奇偶性、 周期性）也不同。 主要分α>0和α<0两大类情况去讨论它们的 定义域、单调性、奇偶性。
y x 当0<<1时，函数图像在第一象限内的规律如下