高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题
一、幂函数的定义
一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如
112
3
4
,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
二、函数的图像和性质
（1）y x = （2）12
y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =
用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：
y x =
2
y x =
3
y x =
12
y x =
1y x -=
定义域
奇偶性
在第Ⅰ象限单调增减性
定点（公共点）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义
对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质
对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；
过点（1，0），即当x =1，y =0；
在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2
y x =、3
y x =、1
2
y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。

【例题选讲】
例1．已知函数()()
2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2
5
m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()
2223
m m f x m m x
--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲
线。

简解：2
20230
m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()
(),13,m ∈-∞-+∞
例2．比较大小：
（1）1122
1.5,1.7 （2）33
( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5
例3．已知幂函数2
23
m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．
解：∵幂函数223
m m y x
--=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴2
230m m --≤，∴13m -≤≤；
∵m Z ∈，∴2
(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2
23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；
（2）分别求出f －
1（x ）＝f （x ），f －
1（x ）＞f （x ），f －
1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．
解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －
1（x ）＝x 3
1
．
（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1
（x ）＝x 3
1
的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
∴f －
1（x ）＝f （x ）时，x ＝±1及0；
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f －
1（x ）＞f （x ）时，x ＜－1或0＜x ＜1；
f －
1（x ）＜f （x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．
点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦． 例5、求函数y ＝5
2x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）值域．
解析：设t ＝x 5
1，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
∴函数y ＝5
2
x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．
【同步练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）
Ａ．y =
Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -=
2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）
Ａ．13
y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2
y x -= 3. 下列幂函数中定义域为{}
0x x >的是（ ） Ａ．23
y x = Ｂ．32
y x = Ｃ．23
y x -= Ｄ．32
y x
-
=
4．函数y ＝（x 2－2x ）
2
1－的定义域是（ ）
A ．{x |x ≠0或x ≠2}
B ．（－∞，0） （2，＋∞）
C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］
D ．（0，2） 5．函数y ＝（1－x 2）2
1的值域是（ ）
A ．［0，＋∞］
B ．（0，1）
C ．（0，1）
D ．［0，1］ 6．函数y ＝5
2x 的单调递减区间为（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（－∞，0）
C ．［0，＋∞］
D ．（－∞，＋∞） 7．若a 2
1
＜a
21－，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥1
B ．a ＞0
C ．1＞a ＞0
D ．1≥a ≥0 8．函数y ＝3
2)215(x x －＋的定义域是 。

9．函数y ＝
2
21m m x
－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________．
10、讨论函数y ＝5
2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数y ＝52x 是幂函数．
（1）要使y ＝52x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0．
（3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ）， ∴函数y ＝5
2
x 是偶函数； （4）∵n ＝
5
2
＞0， ∴幂函数y ＝5
2x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝5
2x 是偶函数，
∴幂函数y ＝5
2x 在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示． 11、比较下列各组中两个数的大小：
（1）535.1，5
37.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）3
2)
2.1(－
－，3
2)
25.1(－
－．
解析：（1）考查幂函数y ＝5
3
x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜5
37.1，
（2）考查幂函数y ＝2
3x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32
)2.1(－－＝3
22
.1－
，3
2)
25.1(－
－＝3
225
.1－
，又3
22
.1－
＞3
225
.1－
，
∴3
2)
2.1(－
－＞3
225
.1－
．。