(完整版)幂级数函数的幂级数展开法
幂级数的展开式
f ( x ) = a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) +
n
逐项求导任意次,得 逐项求导任意次 得
′( x ) = a1 + 2a 2 ( x x0 ) + + na n ( x x0 ) n1 + f f ( n ) ( x ) = n! a n + ( n + 1)n 3 2a n+1 ( x x0 ) +
令 x = x0 , 即得 1 (n) an = f ( x0 ) n!
(n = 0,1,2, 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n=0 (n) ∞ f ( 0) n 麦克劳林级数. ∑0 n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n=
第四节 函数的幂级数展开式
一,泰勒级数
上节告诉我们: 上节告诉我们: 幂级数在其收敛域内有一个和函数, 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
n→∞
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
第五节函数幂级数展开
第五节 函数的幂级数展开从前一节可以知道，如果幂级数∑∞=-00)(n n nx x a的收敛半径R >0, 那么它的和函数在收敛区间（x 0-R ，x 0+R ）上 有任意阶导数，在收敛域上内闭一致收敛. 当在收敛域上有和函数∑∞=-=)()(n nn x x a x f 时，有),3,2,1,0(,!)(0)(ΛΛ==n a n x f n n .也就是说∑∞=-00)(n nn x x a 可以写成∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f. 显然只用到f (x )在x 0点有任意阶导数的条件. .反之, 如果（x 0-R ，x 0+R ）上的函数f (x ) 在x 0点有任意阶导数, 能否在（x 0-R ，x 0+R ）上被表示为一个幂级数的和函数 ? 先看一个例子.00)(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧=-x x ex f x,在（—∞,+∞）上有任意阶导数, ),3,2,1,0(,0)0()(ΛΛ==n fn ,那么ΛΛΛΛ+++++=∑∞=n n n n x n x x x n f!!20!100!)0(20)( 在（—∞,+∞）上一致收敛于和函数S (x )= 0, 但对一切x ≠0, S (x )≠f (x ).在什么条件下∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f的和函数在一个非空开区间上等于f (x ) ? 为了方便,我们给出如下的:定义 1 设f (x )在x 0有任意阶导数,那么称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x 0的Taylor(泰勒)级数 .由于f (x ) 在x 0任意阶导数,那么存在一个r >0, 对于任意正整数n , 有Taylor 公式 :∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()(, x ∈（x 0-r ，x 0+r ）. 其中)(x R n 是余项. 它的Lagrange:型为:10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于x 和x 0 之间 .由此我们可以得到如下的结论:定理 11.26 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, 那么f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数的充分必要条件是: f (x )在x 0的Taylor 公式余项: )(x R n 满足:对任意( x 0-r ，x 0+r ）内的x 有 0)(lim =∞→x R n n (证明由读者完成).定义 2 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数, 那么我们说f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数.并称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x = x 0 处的Taylor 展开式.或x = x 0 处的幂级数展开式.推论 如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数,则Taylor 展开式是唯一的. 即是说,如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内是一个幂级数的和函数, 那么f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内的Taylor 展开式就是原幂级数(为什么?). 特别, 当x 0=0时, f (x ) 的Taylor 级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f也称为Maclaurin 级数.为了研究是否有Taylor 展开式,我们必须了解Taylor 公式的余项. 虽然我们已知Taylor 公式的Lagrange 余项. 下面还给出Taylor 公式余项的另一个形式—积分形式.引理 . 设r >0, f (x )在x 0在( x 0-r ，x 0+r ）上有任意阶导数, 则对任意正整数n , 有∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( 其中 ⎰-=+xx n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(.证明 ∑=--=nk k k n x x k x fx f x R 000)()(!)()()(, 那么 ∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 100)()()!1()()(')(',∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 200)()()!2()()('')('',…………,)()()(0)()()(x f x f x R n n n n -=, )()()1()1(x f x R n n n++=,并0)()(")(')(0)(000=====x R x R x R x R n n n n n Λ.重复使用分部积分得到:⎰⎰⎰---=-==xx n xx n xx n xx n n dt t R x t x t t R x t d t R dt t R x R 0)('')())((')()(')(')(⎰⎰--=-=xx n x x n t x d t R dt t R t x 002)()(''!21)('')( ΛΛ=-=⎰xx n dt t x t R 02))(('''!21⎰⎰-=-=++xx n n x x n n n dt t x t f n dt t x t R n 00))((!1))((!1)1()1(. 得证. 从这个余项积分表达式中由于nt x )(-保持不变号,在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有10)1()1()()!1()()(!)()(0+++-+=-=⎰n xx n nn n x x n f dt t x n f x R ξξ, 这就是Lagrange 余项. 同样也可以写成.10,)()!1())(()(1000)1(≤≤-+-+=++θθn n n x x n x x x fx R如果在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +n t x )(-应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有)()()!1()(!))(()(0)1()1(0x x x n f dt n x f x R xx nn nn n --+=-=⎰++ξξξξ, 也可写成.10,)()1()!1())(()(1000)1(≤≤--+-+=++θθθn n n n x x n x x x fx R这个形式的余项被称为Cauchy 余项.下面将给出基本初等函数在x=0处的Taylor 展开式.也叫做Maclaurin 展开式(1) 求k 次多项式函数kk x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(的Taylor 展开式 .解 ),,2,1,0(,!)0()(k n c n fn n Λ==, )(,0)0()(k n f n >=.所以余项 )(,0)0(k n R n >=, 显然 ,0)0(lim =∞→n n R 故 它的Taylor 展开式为k k x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(, x ∈（—∞,+∞）.(2) 有上一节知, xe xf =)(在x=0处的幂级数展开式为∑∞==0!n nxn x e , x ∈（—∞,+∞）.(3) 求x x f sin )(=,在x=0处的幂级数展开式 .由Taylor 公式知道),,(),()!12()1(!3sin 22123∞-∞∈++-+-=++x x R n x x x x n n nΛΛ),,(,10),232sin()!32()(3222∞-∞∈≤≤+++=++x x n x x R n n θππθ对任意∑∞=∞-∞∈0!||),,(n nn x x 是收敛的, 所以一般项趋于0.即得, 对任意x ∈（—∞,+∞）, 0)(lim 22=+∞→x R n n .所以, sin x 在x=0处的幂级数展开式),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123∞-∞∈+-=++-+-=∑∞=++x x n n x x x x n n n n nΛΛΛΛ.(4) 由可逐项可微性得, cos x 在x =0处的幂级数展开式为),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222∞-∞∈-=+-++-=∑∞=x x n n x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (4) 同理可得:]1,1(,!)1(!)1(32)1ln(11132-∈-=+-+-+-=+∑∞=++x x n n x x x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (5) 设m ≠0的实数, 求mx x f )1()(+=的x =0处的幂级数展开式.当m 是正整数时, nmn mx n n m m m x x f ∑=+--=+=0!)1()1()1()(Λ, x ∈（—∞,+∞）.当m ≠0也不是正整数时,)3,2,1(,)1)(1()1()(1)(ΛΛΛ=++--=-n x n m m m x f m n . ),3,2,1(),1()1()0()(ΛΛΛ=+--=n n m m m f n当记),3,2,1(,!)1()1(ΛΛΛ=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n m m m n m 10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛m .所以mx x f )1()(+=在x =0处的Taylor 级数为nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.注意到11lim 1lim=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→n n m n m n m n n ,所以由D ’Alembert 判别法, 此Taylor 级数的收敛半径R =1. 又它的在x =0处的Taylor 公式为)()1(0x R x k m x n knk m+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑=. )(x R n 的Cauchy 型为111)1()1(111)1()1(!)()(-++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=m nn n n n n x x x n m n x n x f x R θθθθθ, 0≤θ≤1. 由于n n mx n m x x f ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0)1()(的收敛半径为R =1. 因此01)1(lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x n m n . 又因为0≤θ≤1,|x|<1, 我们0≤nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11≤1,和}|)|1(,|}|1m ax {)1(0111----+≤+≤m m m x x x θ,因此,当 |x|<1时, 0)(lim =∞→x R n n .即当|x|<1时,nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.下面将讨论1±=x 的情况:(a) 当m ≤-1时, !21!|)1()1(|n n n n m m m n m x n m n ⋅⋅⋅≥+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΛΛ=1. 所以 n n x n m ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0发散. 即 n n mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x <1., (b) 当-1<m <0时, 当x =1时, ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ是交错级数. 由于 110<+-<n nm ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+-->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--1)!1()()1(!)1()1(n m n n m m m n m n n m m m ΛΛ. 又⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n m m m n n m m m n m 11211111!)1()1(ΛΛΛ, 从而 0lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n m n , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m 单调趋于0, 由Leibniz 交错级数判别法.知道 ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ 是收敛的. 当x = -1时,∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 是正项级数, 又 n m n n m n m m m n n m m m n m ||1112211||!)1()1(>⋅---⋅⋅-⋅-⋅=+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΛΛ, 由比较判别法, ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 发散.故当-1<m <0时, nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x ≤1.. (b) 当m >0时, 111||1lim 11lim >+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→m m n n n n m n m n n n . 由Raabe 判别法得, ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n m 收敛.这时nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1≤x ≤1,.综上所述,将一个函数在某点展开成Taylor 级数,可以用间接法,即利用已知的函数的Taylor展开式进行. 另一种方法直接法, 即用Taylor 级数的定义,讨论其收敛域. 例如 nn x n x 205.025.0)1(∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-, |x |<1 , 那么 12!!2!)!12(125.0)1(arcsin 12112005.02+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+∞=+∞=-∑∑⎰n x n n x n x n dt t x n n n n x,|x |≤1,.其中用Raabe 判别法,判断|x |=1时,右边的级数也是收敛. 例如 求21)(x x f =在x =1点的幂级数展开式. 当|x -1|<1时, ∑∞=-=-+=0)1(1111n n x x x , 两边求导, ∑∞=---=-112)1(1n n x n x ,即 )2,0(,)1()1(1112∈--=∑∞=-x x n x n n n .习题 11-51． 将下列函数在给定的点展开成Taylor 级数1）x 3cos ，（x =1）； 2）2sin 2x ex +,(x =0) ；3) )1ln(2x x ++,,(x =0) ； 4))1)(1(3x x x--, (x =0) ； 5) xa -1, (x =b ≠a ) ； 6) 1322+-x x x , (x =2) ；7) xxe-,(x =0) ； 8) )1(ln 2x -,,(x =0) ；2． 将下列函数展开成Maclaurin 级数 1) 232)1(-+x ; 2) )1ln(32x x x +++3) 211ln tan x x x +--3. 证明 1) 12!)!2(!)!12()1()ln(1212+--+=++∞=∑n x n n x x x n n n.2) 1!)!12(!)!2()(sin22021++=+∞=-∑n x n n x n n ,|x|≤1;4. 证明12)(sin !)!2(!)!12(sin 121+-++∞=∑n x n n x n n 在[0,0.5π]内一致收敛,并求其和函数.5.求定积分1,10,)cos 21ln(202><<+-⎰r r dt r t r π.。
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
幂级数展开
Lemma 设函数 ϕ ( x ) 在区间 [0, 1] 上有 n + 1 阶 连续导函数， 连续导函数， 则
ϕ (1) = ϕ (0) + ϕ '(0) ϕ ''(0)
1! + 2!
1 0
+L +
ϕ ( n ) (0)
n!
1 1 ( n +1) + ∫ ϕ (t )(1 − t ) n dt . n! 0
α
α (α −1)
2!
α (α −1)L(α − n +1)
n!
x
n
+ Rn ( x).
Taylor级数收敛半径为 R = 1. 级数收敛半径为 级数 Lagrange余项 余项
α (α − 1)L (α − n)
(n + 1)! (1 + ξ )α − n −1 x n +1 ,
是否趋向 0 ？ 说不清 说不清. n o (x ) n Peano余项 o ( x ) , x → 0 时， x n → 0, 余项 14 x 不动时， o ( x n ) → 0 ? 也说不清 也说不清. n→∞ 但 不动时，
∞
f
(n)
( x0 ) n ( x − x0 ) . n!
1
x2 e , x ≠ 0, e x t f '(0) = lim = lim t = 0. 例4 f ( x ) = x →0 x t →∞ e 0, x = 0. 1 − 2 x 1 e 2 − x2 3 2t 4 x ≠ 0时，f '( x) = 3 e , f ''(0) = lim x = lim t = 0. x →0 t →∞ x x e 1 − 2 4 6 x ≠ 0时，f ''( x) = ( 6 − 4 )e x , LL LL x x
幂级数函数的幂级数展开法
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
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§6.3 幂级数
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;在[－R , R ]
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
§6.3 幂级数
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
第六章 无穷级数
本节内容
§6.3 幂级数
一、函数项级数的概念
二、幂级数及其收敛性 三、 Taylor 级数及其应用
§6.3 幂级数
一、 函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2, ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x (xn )
x
xn
n1
n1
x
1
x
x
§6.3 幂级数
例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切 满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
§6.3 幂级数
幂级数及其和函数的基本性质
定理3. 设幂级数
及
的收敛半径分别为
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
an xn (为常数)
n0
an xn bn xn (an bn ) xn ,
n0
n0
n0
an xn bn xn cn xn ,
n0
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
§6.3 幂级数
例4.
的收敛域.
解: 令
级数变为
R lim
n
an an1
lim
n
1 2n n
1 2 n 1 (n
1)
lim
n
2n1(n 2n n
1)
2
当 t = 2 时, 级数为 此级数发散;
§6.3 幂级数
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为 即 1 x 3.
0
§6.3 幂级数
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
2n 1 2n1
x
2
n
n
2n 2n
1
x2
n
2
1 x2 2
当1 x2 1 2
当1 x2 1 2
时级数收敛 故收敛半径为 R 2 .
时级数发散
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即x1来自时,原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
x (R, R)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
§6.3 幂级数
例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则 故有
S(x)
x n 1
n1(n 1)!
exS(x) 0
因此得
S(x) C ex
由S(0) 1得 S(x) ex , 故得
S(x)
§6.3 幂级数
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
§6.3 幂级数
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
§6.3 幂级数
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
§6.3 幂级数
二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
xn
1 1
x
,
x 1 即是此种情形.
§6.3 幂级数
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
n0
x R1 x R x R
§6.3 幂级数
定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x)
an xn
nan xn1,
x (R, R)
n0
n1
x
S
(
x)
dx
0
an
n0
x
x
n
dx
an
x n 1 ,
0
n0n 1
发散 .
收敛;
§6.3 幂级数
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .