1函数展开成幂级数
数学分析中的级数展开
数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
通常情况下，我们希望将一个函数展开成幂级数的形式，即形如∑an(x-a)n的级数。
其中，an是系数，x是变量，a是展开点。
二、常见的级数展开方法1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是最常见的级数展开方法之一。
它将一个函数在某个展开点附近展开成幂级数的形式。
泰勒级数展开的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ...2. 麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，展开点为0。
麦克劳林级数展开的公式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ...3. 幂级数展开幂级数展开是将一个函数展开成幂级数的形式，不限于泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
幂级数展开的公式为：f(x) = ∑an(x-a)n三、级数展开的实际应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 函数逼近级数展开可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的级数，从而方便计算和分析。
例如，利用泰勒级数展开可以将一个非线性函数逼近为一个多项式函数，从而简化计算。
2. 解析几何级数展开在解析几何中有重要的应用。
例如，利用幂级数展开可以将一个复杂的曲线或曲面表示为一系列简单的项的和，从而方便研究其性质和行为。
3. 物理学级数展开在物理学中有广泛的应用。
十个常用的洛朗展开公式
十个常用的洛朗展开公式洛朗展开是一种将函数在某个点展开成幂级数和幂函数的方法。
以下是十个常用的洛朗展开公式：1. 正弦函数的洛朗展开公式：sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...2. 余弦函数的洛朗展开公式：cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...3. 指数函数的洛朗展开公式：e^x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...4. 自然对数函数的洛朗展开公式：ln(1+x) = x - (x^2/2) + (x^3/3) - (x^4/4) + ...5. 根号函数的洛朗展开公式：sqrt(1-x) = 1 - (x/2) + (3x^2/8) - (5x^3/16) + ...6. 三角函数tan(x)的洛朗展开公式：tan(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...7. 双曲正弦函数sinh(x)的洛朗展开公式：sinh(x) = x + (x^3/3!) + (x^5/5!) + (x^7/7!) + ...8. 双曲余弦函数cosh(x)的洛朗展开公式：cosh(x) = 1 + (x^2/2!) + (x^4/4!) + (x^6/6!) + ...9. 双曲正切函数tanh(x)的洛朗展开公式：tanh(x) = x - (x^3/3) + (2x^5/15) - (17x^7/315) + ...10. 双曲余切函数coth(x)的洛朗展开公式：coth(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...以上是十个常用的洛朗展开公式，它们被广泛应用于数学和科学领域中的计算和分析中。
函数的幂级数展开
Rn (x) (x − x0 )n+1
=
Rn (x) − Rn (x0 ) (x − x0 )n+1 − 0
=
(n
Rn (1) +1)(1 − x0 )n
(1 在x0与x之间),
= Rn (1) − Rn (x0 ) (n +1)(1 − x0 )n − 0
=
Rn(2 ) n(n +1)(2 − x0 )n−1
7
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(3) 当 n = 0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x) = f ( x0 ) + f ( )( x − x0 ) .
(4) 因为
lim lim x→x0
Rn (x) (x − x0 )n
=
x→ x0
f (n+1) ( )( x − x0 ) = 0 ,
所以 R n ( x ) = o[( x − x0 ) n ] . 佩亚诺(Peano)型余项
f (0) + f (0) x + f (0) x 2 + + f (n) (0) x n +
2!
n!
为 f (x) 的麦克劳林级数.
3
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2. 泰勒(Taylor)公式
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开 区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一
(2
在x0与1之间),
=
=
R (n+1) n
(
)
(n +1)!
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数的条件一、引言在数学领域，函数展开成幂级数是一种常见的技巧，用于将非多项式函数表示为多项式的形式。
通过将函数展开成幂级数，我们可以更好地理解函数的性质和行为，从而解决一些复杂的问题。
本文将会深入探讨函数展开成幂级数的条件。
二、什么是幂级数在介绍函数展开成幂级数的条件之前，我们先来了解一下什么是幂级数。
幂级数是指以自变量的某个值为中心展开的无穷级数，其中每一项的系数是自变量的幂函数。
一般来说，幂级数可以表示为：∞(x−c)nf(x)=∑a nn=0其中a n为常数系数，c为展开点。
三、函数展开成幂级数的条件要将函数展开成幂级数，需要满足一定的条件。
下面是函数展开成幂级数的三个基本条件：1. 函数在展开点附近存在幂级数展开的条件函数展开成幂级数的前提是函数在展开点的某个邻域内要有幂级数展开的充分条件。
也就是说，我们需要找到一个点c，使得函数f(x)在c的某个邻域内可以被展开成幂级数。
这个点c被称为展开点。
2. 函数在展开点附近具有无穷多项可导函数展开成幂级数的第二个条件是函数在展开点的某个邻域内具有无穷多项可导。
这意味着函数在展开点附近可以展开为一个无穷级数，并且每一项都可以求导。
只有在这种情况下，我们才能得到一个收敛的幂级数展开。
3. 函数的导数与函数本身的关系函数展开成幂级数的第三个条件是函数的导数与函数本身有一定的关系。
具体来说，如果函数f(x)在展开点的某个邻域内可以被展开成幂级数，那么函数f(x)的每一阶导数乘上相应的多项式系数后的和应该等于函数本身。
也就是说，我们需要满足以下等式：f(n)(x)=a n⋅n! (n=0,1,2,…)其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛性是判断幂级数是否能够收敛到一个有限值的重要标准。
幂级数的收敛半径是指幂级数的展开点到最近的发散点（使得级数发散）之间的距离。
在判断幂级数的收敛性时，我们需要考虑幂级数的收敛半径。
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
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( x) e , f 1 n 1 n 1 2 1 3 故得级数 1 x x x x n ! x n 0 3! n! 2! n 1
1 1 其收敛半径为 R lim n ! (n 1) ! n 对任何有限数 x , 其余项满足
lim
x2 x3 x4 (1)n1 n x , x (1, 1] (3) ln(1 x ) x 2 3 4 n n 1 2 3 x x 1 n x (4) e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n !
f ( x)
a
n 0
n
x
n
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
6
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
f ( x)
例如:
x
a
二、函数展开成幂级数
展开方法
直接展开法 — 利用泰勒公式
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开
1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步 骤如下 : f ( n ) ( x0 ) ; 第一步 求 an n! f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 第二步 写出泰勒级数 n ! , 并求出其收敛 0 n 0 半径 R ;
8
2.泰勒级数定义: 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 f ( x0 ) 2 ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2 ! ( n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n n! n! n 0 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数
16
2. 间接展开法 根据唯一性, 利用已知的函数展开式, 通过变量 代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 将所给函数展开成幂级数.
函数
例1. 将函数
转化
已知展开式的新函数
展开成 x 的幂级数.
( 1)n x n , x ( 1 , 1 )
n 0
n
1 1 x x2 x3 解: 1 x
x 1 1 1 1 x n ( ) ， x ( 3,(3 ) 1,1) 3 x 3 1 x 3 n0 3 3 3 1 x n 1 x n 1 n f ( x ) ( ) ( ) ( n 1 1 ) x . x (2,2); n 1 2 n0 2 3 n 0 3 3 n 0 2
n 0
f ( n ) (0) n x n!
(k 0 , 1, 2 ,)
1 x 3 1 x 5 ( 1)n 1 x 2 n1 x 得级数: (2 n1)! 3! 5!
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( (n 1) ) n 1 2 n x (n 1)!
x3 x5 (5) sin x x 3! 5!
x2 x4 (6) cos x 1 2! 4!
2 n 1 (1)n (2n1 x , x (, ) 1)! n 0
2n (1)n (21 x , x (, ) n)! n 0
sin x x
sin x
n 0 n
1 3!
x
3
1 5!
x
5
(1)
n
1 (2 n1)!
x
2 n 1
15
2 n 1 ( 1) (2n1 x , x ( , ) 1)!
x ( , )
常用函数的幂级数展开式（要求牢记！） 1 (1) 1 x x 2 x 3 x n , x ( 1, 1) 1 x n 0 1 (2) 1 x x 2 x 3 (1)n x n , x (1,1) n 0 1 x
n 0
( an x n ) (an x n )
n 0
x
n 0
x x0
收敛域 x
x ( R , R )
x ( R , R )
2
n 0
0 ( an x )d x (an xn )d x
n
x
n 0
n 0
0
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限 （在收敛区间内） •逐项求导或求积分法
3.泰勒x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x ) 0. 证明: f ( x )
n 0
f ( x0 ) ( x x0 )n , x ( x0 ) n!
n
f ( n ) (0) (0) 1 (n 0 ,1,), an n!
x
( n 1)!
0，
e x n 1 e (n 1)!
lim Rn ( x ) 0.
n
x
( 在0与x 之间)
ex
1 n x , x ( , ) n 0 n !
n
说明：
3 ）f ( x )
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n lim Rn ( x ) 0， n n!
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一?
f ( x)
？
n a x n n 0
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
12
x ( x0 )
10
4.系数的惟一性定理: 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
1 ( n) ( n 0,1, 2, )， 惟一的 , 且 an f (0)， n!
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 2 1 3 故 e 1 x x x 2! 3!
x
1 n x n!
, x ( , )
14
例 2. 将 解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x) 0 , n 2k (n) f (0) (1)k , n 2 k 1
e
2 x
1 ( 2 x )n , x ( ,) n 0 n!
展开成x的幂级数. 1 1 n n 5 5 n ( 2 ) x ， x ( ,) x ( 2 x ) n 0 n! n 0 n!
5 2 x
思考： 将 f ( x ) x e
9-5 函数展开成幂级数
1
复习
1.幂级数和函数的分析运算性质:
定理 若幂级数 的收敛半径
S ( x ) an x n
则其和函
n 0
且在收敛区间内可逐项求导与 在收敛域上连续；
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即
lim an x lim (an x n ) x x
n
0
n 0
n
x
n
1 2 1 3 e 1 x x x , x 无穷级数 2! 3! 1 2 1 3 1 n x x Rn ( x ) 有限形式 e 1 x x x 2! 3! n! 表示函数 7
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
1.回忆泰勒公式 若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
18
1 例3 将 f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x 5x 6 1 2 3 n 1 x x x x ，x (1,1) 解 1 x n 0 1 1 1 f ( x) ， (2 x )(3 x ) 2 x 3 x 1 x n x 1 1 1 ( ) ， x ((2 ,21 ) ,1) x 2 n0 2 2 x 2 2 1
( x0 ) f 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
f
( n 1)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 .
x 5e 2 x
x 将 f ( x ) 2 展开成x的幂级数. n 1 (ln 2) n n x ln2 f f ( x ln x( ( , (( xx ) ) x 2) , ,x , ) ) f ( x) e !! n n0 0 n n
把 x 换成 x 2 , 得
n 0
(1)
x
2n
( 1 x 1 ).
17
例2 将 f ( x ) e 2 x 展开成x的幂级数. 2 3 x x 1 n x 解 e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n ! 将-2x代入上式中x的位置，即得
n0
f ( n ) ( 0) n x 又称为麦克劳林级数 . n!
待解决的问题 :
f ( x) f ( x)
？
f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 0 n ! n0 n f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) Rn ( x ) 0 n! n 0