第四函数展开成幂级数-
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
设函数f(x)在一些展开点x=a处展开成幂级数，即
f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+a3(x-a)^3+...
其中a0、a1、a2...是展开系数，可以通过求导或其他数学方法求得。
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
其中n是展开到的项数，!表示阶乘。
这个展开式在整个实数集上都
收敛，可以表示e^x在任意点处的值。
以sin(x)为例
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n *
x^(2n+1)/(2n+1)! + ...
这个展开式也在整个实数集上收敛，可以表示sin(x)在任意点处的值。
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n-1)*
x^n/n + ...
这个展开式在，x，<1时收敛，可以表示ln(1+x)在(-1,1)范围内的值。
总结起来，函数的幂级数展开式是将一个函数展开成幂函数的形式的
级数，展开系数可以通过求导或其他数学方法求得。
幂级数展开能够在展
开点的一些邻域内或者整个实数集上收敛，可以表示函数在一些点或一些
范围内的值。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式是一种用无穷多个幂次项来表示函数的展开式。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来近似计算各种函数和解决各种数学问题。
在本文中，我们将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并通过一些实例来加深理解。
一、函数的幂级数展开式的定义给定一个实函数f(x)，如果它在一些区间[a, b]上无穷次可导，并且对每一个x∈[a, b]，都存在常数an（n=0,1,2,3,...）使得f(x) = ∑(n=0 to ∞) an(x-a)n，其中an是常数，这个展开式就称为函数f(x)在点a处的幂级数展开式。
其中(x-a)n表示x-a的n次幂。
二、函数的幂级数展开式的性质1.函数的幂级数展开式在其收敛半径内是收敛的，即对于任意x∈[a,b]，幂级数展开式都收敛。
收敛半径的计算可以使用柯西-阿达玛公式进行推导。
2.函数的幂级数展开式可以实现函数的逐项求导和逐项求积分操作，即对幂级数展开式的每一项进行求导或求积分操作后，得到的仍然是原函数在该点的幂级数展开式。
3.函数的幂级数展开式的和函数在展开区间内连续，但在展开区间端点处是否连续需要根据情况来确定。
如果和函数在展开区间端点处连续，那么展开式的收敛性在展开区间端点处也成立。
三、函数的幂级数展开式的应用1.函数逼近：幂级数展开式可以用来逼近各种函数，将一个函数表示为幂级数的形式，可以利用幂级数的性质对其进行计算和分析，从而更好地理解函数的性质。
2.函数求和：使用函数的幂级数展开式可以求解一些无穷级数的和，如调和级数、指数级数、三角级数等。
3.微分方程求解：幂级数展开式可以用来求解一些微分方程，通过将未知函数表示成幂级数的形式，将微分方程转化为幂级数方程，通过比较幂级数展开式的系数来求解未知函数。
4.概率统计：幂级数展开式在概率统计领域有广泛应用，如泰勒级数在正态分布、伽玛分布等概率分布的研究中的应用。
最后，我们通过两个实例来进一步了解函数的幂级数展开式的应用。
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
函数展开成幂级数
思考题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数
f (x) arctan1 x 1 x
解:
f (x)
1 1 x2
(1)n x2n ,
n0
x (1,1)
f (x) f (0)
(1)n
x x2n d x
(1)n x2n1
0 n0
n0 2n 1
x 1 时, 此级数条件收敛, f (0) π , 因此 4
1 2
1
(x
π) 4
1 (x 2!
π)2 4
1 (x 3!
π)3 4
( x )
第17页，本讲稿共25页
例7. 将
1
展成 x－1 的幂级数.
x2 4x 3
解:
x2
1 4x
3
(
x
1 1)(
x
3)
11 2(1 x) 2(3 x)
4 1
1
x1 2
811Fra bibliotekx1 4
(
x 1
xx211
4
12 1
)
1 4
1
x 1 2
(x 1)2 22
( 1) n
(x 1)n 2n
1 8
1
x 1 4
(x 1)2 42
( 1) n
(x
1)n 4n
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
第18页，本讲稿共25页
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
fx的n阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n1阶导数该邻域内有为fx的泰勒级数则称当x00时泰勒级数又称为麦克劳林级数1对此级数它的收敛域是什么2在收敛域上和函数是否为fx待解决的问题若函数的某邻域内具有任意阶导数定理1各阶导数则fx在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是fx
幂级数函数的幂级数展开法
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
-函数展开成幂级数
1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
xn
x1
符 合 积
分
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
x2n
x1
要 求 了
n1
2n 1 2n
x2 2n
n1
1
n 1
x 2n2
1
x2
x4
1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x
1 2
x 0
x
1 1
x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
ch4_04函数展开成幂级数
所以f (x)的Maclaurin级数是 0 xn n0
该级数在 (, )内和函数 S(x) 0
可见除了原点之外，该Taylor级数在收敛区 间内不收敛于f(x)。
2、函数展开成幂级数
(1).直接法(Taylor级数法)
首先检查 f (x) 在 x 0处各阶导数是否存在 若不存在, 则不能展开成 x 的幂级数, 若存在步骤如下：
xn2
4 x 4
例8 将f (x) sin x cos 2x 展开成 x 的幂级数.
解 f (x) sin x cos 2x 1 [sin 3x sin x],
2
sin x x 1 x3 1 x 5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
f (x) 1 (1)n (3x)2n1 1 (1)n x2n1
2.间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代 换、 四则运算、恒等变形、 逐项求导、 逐项 积分等方法，求展开式.
例如 cos x (sin x) sin x x 1 x3 1 x 5 3! 5!
(1)n x2n1 (2n 1)!
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n x2n
n1 n(n 1)
例10 将f (x) ln(1 x x2) 展开成 x 的幂级数.
解
1 x3 f (x) ln
(x 1)
1 x
ln(1 x3) ln(1 x)
ln(1 x) (1)n1 xn
n1
n
所以
(1 x 1)
f (x) (1)n1 (x3)n (1)n1 (x)n
n1
n!
S(x) ( 1) ( n 1) xn1
n1
(n 1)!
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是数学中重要的概念之一，其应用广泛，涵盖了多个领域，包括工程、物理、计算机科学等。
本文将介绍函数的幂级数展开的定义、性质、推导和应用。
一、定义函数的幂级数展开是将一个函数表示成一个无穷级数的形式，即：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + ... +an(x - c)^n + ...其中，a0, a1, a2 ... an 是常数，叫做幂级数的系数，c 是展开点，x 是变量。
二、性质1. 唯一性：如果一个函数在某个点处的幂级数展开式存在，那么它的幂级数展开式唯一。
2. 收敛性：在幂级数的收敛区间内，幂级数展开式收敛，即根据函数的性质可以准确表达函数的值；在展开点之外，则可能发散或发生收敛半径发生变化。
3. 运算性质：幂级数具有良好的运算性质，如加、减、乘、除等运算。
三、推导1. 首先，在幂级数的收敛区间内，函数在展开点 c 处可以通过泰勒公式来展开，即：f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)(x - c)^2 / 2! + ... + f^(n)(c)(x - c)^n / n! + Rn其中，f^(n) 表示函数的 n 阶导数，Rn 是余项。
2. 如果展开点 c = 0，则泰勒公式称为麦克劳林公式。
3. 将幂级数的展开式与麦克劳林公式相比较，可以得到幂级数的系数与函数的导数之间的关系，即：a0 = f(c), a1 = f'(c), a2 = f''(c) / 2! ... an = f^(n)(c) / n!4. 将幂级数的系数代入幂级数的展开式中，即可得到函数的幂级数展开式。
四、应用1. 近似计算：当某些函数难以直接计算时，可以通过幂级数展开对其建立近似计算模型。
例如，将正弦函数展开成其傅里叶级数，可以用来近似计算其值。
2. 函数的求导和积分：对于某些函数，其求导和积分可能更容易计算，此时可以通过对函数的幂级数展开式进行求导和积分，得到原函数的导数和积分的展开式。
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(-1)n
1
(x)n
n0 n! 3
1 x 1(x)2 (1)n 1(x)n
3 2! 3
n! 3
( x )
例 5将函 f(x) 数 x2xx2展x的 成幂 . 级数
解： f (x) x2 xx2（x2x)(x1) 1( 1 2 )1( 1 1 ) 3 x1 x2 3 x1 1x 2
1 ( 1 )nxn (-1x1 )
(-1 x 1)
(9)
1 1 x2 x4 (1)n1x2n2 1 x2
(-1 x 1)
(10)
将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：
ln(1 x) x 1 x2 1x3 (1)n1 xn
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1x5 (1)n1 x2n1
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项 Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂级数 就是函f(数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级数
sixnxx3x5(1)n1 x2n1
3! 5!
(2n1)!
( x )
(7)
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数 运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量 代换等，将所给函数展开成幂级数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(8)
分别令q=−x、−x2有：
1 1 x x2 (1)n1xn1 1 x
第四节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称
幂级数 f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n 为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
f( 0 ) f'( 0 )x ) ( f''( 0 )(x )2 f( n )( 0 )(x )n (2)
lime|x| |x|n1 n (n1)!
e|x|是有限数，
而| x|n1 是收敛0(n1)!
n l i m (ne |x1 |)|!x|n10，n l即 i m R n： 0
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6) 2 ! n !
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
(12)
当 x1时，它成 ( 交 1)n1错 1级 收数 敛；
n1
2n1
当 x-1时，它成 交 (1)n错 1 级 收.数 敛
n1 2n1
例3 将函数cosx展开成x的幂级数.
解 (： sx )i 'n co x ,利 s 2 用 的例 展 (7 )得 开式
解： f (n)(x) ex,
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！
1 l lim| an1| lim(n1)!0
n an n 1 n!
收敛半径 R 1 , l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
n l i m |R n(x)|n l i m |(n ex 1)x !n1|
cosx(sinx)' [ (-1)n x2n1 ]'
n1 (2n1)!
(-1)n x2n
n1 (2n)!
1x2 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
(x)
(12)
例 4将函 e3 x数 展开 x的 成幂.级数
解： 1 的 利 展 (用 6 )， 开 x 换 例 将 式 x 成 有： 3
2 !
n !
称之为f(x)的麦克劳林级数.
定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间 (a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间
(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x−x0)的方幂展开为： f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
n l i m Rn(x)0 (5)
二、函数展开成幂级数
将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的 基本法，其一般步骤为：
(a求 ) 出 f(x)的各阶导 : f'(数 x),f"(x),f(n)(x),; 若函f数 (x)的某阶导数不f存 (x)不 在能 ，展 则开 成幂级数；
(b求 ) 出函数及各阶 x导 0处数的在:值 f(0),f'(0),f"(0),, f (n)(0),;
1x n 0
1-1xn 0(2 x)n
2
(-2x2)
根据幂级数的性质有：
f (x)
1
[
(1)
n
x
n
( x)n ]
3 n0
n0 2
1
[( 1) n
3n0
1 2n
]xn
收敛( 区 1x 间 1 ) ( 为 2x2) 即 ( 1 ： x1 )
例 6将lnx展开 x成 1的幂级数，区 并.间 指出收
解： (1)可 由 1 知 式：
xx3 x5 (1)k x2k1
3! 5!
(2k1)!
l lim| an1|lim| (2k1)!|0 n an n (2k1)!
收敛半 径 ， 收 为敛区(间 ， 为 )
对于任何有限的数x、有:
sin[ (n 1)π ]
lim
n
|
Rn
(
x)
|
lim
n
|
2 xn1 | (n 1)!
lim | xn1 | 0 n (n 1)!
例2 将函数sinx展成x的幂级数.
解： f (n)(x) sin(x nπ) 2
f (0) 0, f '(0) 1,
f "(0) 0,
f '''(0) 1, ,
f (2k)(0) 0,
f (2k1)(0) (1)k ,
f
(n)(0)xn
(1)k
x2k1
n0 n!
n0 (2k1)!
(3)
其中：R n(x)f((n n 1)1 ()！ )(xx0)n1(在 x0与 x之)(间 4)
公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格
朗日余项.
定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导 数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条 件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 n 时的极限为零， 即：