【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
函数的幂级数展开
内
，由幂级数在收敛区间内可以逐项求导，得
一、泰勒级数的概念
在以上各式中，令x=x0，得
一、泰勒级数的概念
于是
上式说明，若函数f(x)能展成x－x0的幂级数，则这个幂级 数就是f(x)的泰勒级数，它的展开式是唯一的.特别地，若x0=0， 则这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.
下面讨论第三个问题，函数f(x)的展开式在什么区间内收 敛于f(x)？即如何在一定的区间内将函数f(x)展成x的幂级数.
该级数在(－∞,+∞)内的和函数s(x)≡0,可见除x=0外,f(x)的麦克劳林级
数处处不收敛于f(x).
那么f(x)的泰勒级数收敛于f(x)的条件是什么呢？下面的定理给 出了第一个问题的答案.
一、泰勒级数的概念
定理
若函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn(x)当n→∞时的极限为零，即
函数的幂级 数展开
第五节 函数的幂级数展开
前面讨论了幂级数的收敛域，幂级数在收敛域内 和、差、积、商的运算，以及幂级数的和函数的连续 性、可积性、可导性，从这些内容中可看出，幂级数 具有形式简单，运算和分析性质良好的特点.因此，能 否将一个函数表示成幂级数在理论上和实际上都具有 重要的意义.
第五节 函数的幂级数展开
成立，其中 此时，f(x)可表示为
（11-7） 介于x与x0之间).
（11-8）
一、泰勒级数的概念
其中
是n次多项式.
如果函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有任意阶的导数，可以 设想多项式sn+1(x)的项数趋近于无穷，得
（11-9）
11函数展开成幂级数解读
0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,
s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合 等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
第三章 幂级数展开精品文档
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2
称为双边级数。
正幂部分的收敛范围：
在 z z0
R1 圆域内收敛，收敛半径为 R1
lim k
ak ak 1
。
负幂部分的收敛范围：在 R2 Fra bibliotekz z0
圆外域内收敛，R2
lim
k
a(k 1) ak
(z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z 1 1 (z 1)
当 0 z 1 1时，
f (z)
1
z 1k z 1k
z 1 k0
k 1
1
例 3. 在 z0 0 的邻域上把函数 e z 展开为级数。
1
2 i
CR1
w( ) z
d
ak
k 0
1
2 i
( z0 )k d CR1 z
ak (z z0 )k w(z) k 0
w(z) 为解析函数。
例 1. 求幂级数
1 z k 的收敛半径。
k0 k!
R lim
1 k!
lim (k 1)! lim (k 1)
2
……
f (n) (z) sin(z n )
2
f (n) (0) sin n
2
0 (1)k
n 2k n 2k 1
f (z) sin z
(1)k z 2k1 z 1 z 3 1 z 5 1 z 7
k0 (2k 1)!
【说明】
由幂级数可得一个正项级数，
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
-函数展开成幂级数
1 2 1 ln( 2 1) .
2 n1 2n 1
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分.
就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性.
,
(| x|1).
例2
求
2n 1 n1 2n
之值.
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
xn
x1
符 合 积
分
n1
2n 1 2n
n1
2n 1 2n
x2n
x1
要 求 了
n1
2n 1 2n
x2 2n
n1
1
n 1
x 2n2
1
x2
x4
1 1 x2
,
故
x2n1 n1 2n 1
x1 01 x2
d
x
1 2
x 0
x
1 1
x
1 1
d
x
1 ln1 x , ( | x | 1) . 2 1 x
例3
f (n1) ( ) xn1 | e | x |
(n 1) !
| x |n1 (n 1) !
因为
lim an 0 n n !
( 在 0 与x 之间)
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
函数如何展开成幂级数
函数如何展开成幂级数在数学中，幂级数是一种函数展开的形式，其中函数可以表示为幂次项的无限和。
它在数学和物理领域具有广泛的应用，尤其是在微积分和解析几何中。
一个函数可以展开成幂级数，可以使我们更好地理解函数的性质和行为，同时也可以方便计算。
如果一个函数可以展开成幂级数，那么这个函数必须满足一些条件，比如在展开点附近必须有定义，并且在这个点附近是光滑的。
展开成幂级数的函数可以是多项式函数或者是一些特殊函数，比如正弦函数、余弦函数和指数函数等。
让我们以一个简单的例子来说明如何将一个函数展开成幂级数。
考虑函数 f(x) = sin(x)，我们希望将其展开为一个幂级数。
我们知道，sin(x) 在原点附近是光滑的，并且其所有导数在原点都有定义。
因此，我们可以使用泰勒级数来展开 sin(x)。
泰勒级数是一种将一个函数展开成幂级数的方法，使用函数在展开点处的各阶导数来确定幂次项的系数。
对于函数 f(x) = sin(x)，它的泰勒级数展开可以表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...在这个展开式中，每一项的系数都是通过函数在展开点处的导数来计算的。
具体来说，幂级数的第n项系数是：a_n=f^(n)(a)/n!其中f^(n)(a)表示函数f(x)在展开点a处的n阶导数。
对于我们的例子 sin(x)，它的展开点是原点 a = 0。
因此，我们需要计算函数在原点的导数。
对于 sin(x) 而言，它的所有导数都是周期性的，且根据周期性，我们可以推导出所有的导数在原点的值。
sin(x) 的导数序列是 1，cos(x)，-sin(x)，-cos(x)，sin(x) ...可以看到，当 n 是 4 的倍数时，导数在原点的值为 0；当 n 是奇数时，导数在原点的值为 -1n/(n-1)！因此，我们可以得到 sin(x) 在原点展开的幂级数表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是 sin(x) 的泰勒级数展开。
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解析函数展开成幂级数的方法分析
姓名：媛媛
学号：************
专业：物理教育
指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析
姓名
某某大学物理与电气信息工程学院
摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。
本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。
关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。
一前言
解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。
这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。
自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。
关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。
基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。
则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。
解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。
它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。
这样的完全解析函数实际是一个多值函数。
黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。
将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。
解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
函数的环路积分为0；复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。
[1]
由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。
幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。
作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。
在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。
实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种。
解析函数的相关问题与幂级数的相关问题已被研究很久，上述就是研究成果的很小很小的一部分，但在这里我们只讨论解析函数展开成幂级数的方法与分析。
二 幂级数的解析性
定理：幂级数∑∞
=-0)(n n n a z c 的和函数，f （z ）是收敛圆内的一个解析函数，且
其各阶导数为：()()(1)
(1)()p n p n n p f z c n n n p z a ∞-==--+-∑，其中，p 为自然数，
()()(0,1,2,)!
p p f a c p p ==。
三 解析函数的泰勒展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。
现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。
泰勒(Taylor )展开定理：设f （z ）在区域D ：0||z z R -<内解析，则在D 内f （z ）可展为泰勒级数：000()(), (||)n n n f z a z z z z R +∞
==--<∑，其中，
()010()1() (0,1,2,)2i ()!n n n C f z f d a n z n ξξπξ+===-⎰。
且展式是唯一的。
特别地，当
00z =时，级数()0(0)!n n n f z n ∞
=∑称为麦克劳林级数。
泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出代入即可，这种方法称为直接展开法。
[2]当f （z ）较复杂时，求()0()n f z 比较麻烦。
根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：
20111, !2!!n z n n z e z z z z n n ∞
===+++++<∞∑ 1212240(1)11(1)cos 1, (2)!2!4!(2)!
n n n n
n z z z z z z n n ++∞=--==-++++<∞∑ 2121
350(1)11(1)sin , (21)!3!5!(21)!n n n n n z z z z z z z n n ++∞=--==-++++<∞++∑
2011, 11n n n z z z z z z ∞===+++++<-∑
例：将函数()1
z f z z =
+，在|1|2z -<内展开成幂级数。
解：1()111z f z z z ==-++ 11(1)2
z =--+ 0111111(1)122212
n n n z z ∞=-⎛⎫=-⋅=-- ⎪-⎝⎭
+∑ 10(1)1(1), (12)2n
n
n n z z ∞+=-=---<∑ 还有在直接利用基本展开公式时，还可以利用替换法求得，例如：将函数3
1()z f z z -=，以z =-1为中心展开为幂级数。