06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT

函数展开成幂级数的间接展开法

一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等

方法，求展开式。

?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ).

,( , !).1,1( 1101

200

+∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞

=x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，

二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x

=由于令注意到解 . ln , ln a x u e

a a x x ==).,( ,!

1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n

x 代入上式得

将 ln a x u =

++-+-+-=+)!

12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n ,

),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得

+-+-+-=)!

2()1(!41!211cos 242n x x x x n n

.11)( )1(:x x f +='解例3、.

的幂级数展开成将下列函数x ∑??

∞

=-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则).

1,1( ,1

)1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0

-∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书

, 1 , 1 1)1( 10发散在收敛在由于级数-==+-+∞=∑x x x n n n n

故

处连续在且函数 , 1 )1ln()(=+=x x x f ,)1(3121)1ln(132 +-+-+-=+-n x x x x x n

n ].

1,1(-∈x 板书

?+=x

dt x 021arctan ,1

2)1(51311253 ++-+-+-=+n x x x x n n ]

1,1[-∈x 由逐项求积得

同 , )1( )2(板书

三、其它函数展开成幂级数例4、. 1 41)( 处展开成泰勒级数在将=--=x x x x f 31

1131)1(3141:--?=--=-x x x 解])3

1()31(311[312 +-++-+-+=n x x x .31<-x ,3

)1(3)1(3)1(311322 +-++-+-+=+n n

x x x 板书

四、小结：常用已知和函数的幂级数;11)1(0x x n n -=∑∞=;11)1()2(202x x n n n +=-∑∞=;

)3(0x n n

e n x =∑∞=).1ln(1)1()5(01x n x n n n +=+-∑∞=+;sin )!12()1()4(012x n x n n n =+-∑∞=+

函数展开为泰勒级数

函数展开为泰勒级数设函数00()()n n n f x a x x ∞==?∑，0x x R ?<，已知右端求左端，这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。一、泰勒级数与迈克劳林级数：设函数 ()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级数： 0x ()000 20000()30000()()!()()()()()1!2! ()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞ =?′′′=+?+?′′′+?+???+?+???∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。 0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0 (0)(0)(0)()()1!2! (0)(0)()()3(! 0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++???++???∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。

二、函数展开称幂级数的条件：定理1：设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞ ()0lim n n R x →∞=三、直接法把函数展开成幂级数的步骤：第一.步：求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。第二.步：求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，………… (0)f ′′()(0)n f 第三.步：写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!! n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++???++??? 并求出收敛半径R 。第四.步：考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限： (1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ 在0与X 之间。如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展

06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT

函数展开成幂级数的间接展开法

一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，

二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得将 ln a x u =

++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n

.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

其中，。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y

泰勒级数展开

泰勒级数展开若干方法何琼（绍兴文理学院数学系，浙江绍兴 312000）摘要：泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数，有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解．关键词：泰勒级数；幂级数；余项 §１引言泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行：第一步：求出函数的各阶导数;),(),("),(') (L L x f x f x f n 第二步：求函数?(χ)及其各阶导数在),(0x f ;),(),("),('0) (00L L x f x f x f n 第三步：写出泰勒级数 L L +?++?+ ?+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(! )()(!2)("))((')(00)(2 00000 第四步：考察余项)(x R n 在0x 的某一领域)(0x U 内极限是否为零. 按照Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用中通常利用间接展开法. 1 代换法这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法．例1 求x e 处1=x 的泰勒级数解已知t e 在0=t 处的泰勒级数为 L L +++++=! !212n t t t e n t ， ),(+∞?∞∈x 而 11 1?+??==x x x e e e e 设1?=x t 代入（1）得 ∑∞ =?=0 !)1(n n x n x e e ， ),(+∞?∞∈x 2 等比级数求和法利用公式 L L +++++=?n x x x x 2111 由于本公式应用广泛，所以专列一条.