幂级数函数的幂级数展开法
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
§6.3 幂级数
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
m(m 1) (m n 1) xn n!
称为二项展开式 .
说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理.
§6.3 幂级数
对应 m 1 , 1 , 1 的二项展开式分别为
22
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
§6.3 幂级数
定理5 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f
(x)
的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x)
0
.
定理6. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
§6.3 幂级数
例9. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
n 2k n 2k 1
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x (xn )
x
xn
n1
n1
x
1
x
x
§6.3 幂级数
例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
1 x xn
x 0 n0
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
证:设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
发散
收敛 发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
n0
n0
x R1 x R x R
§6.3 幂级数
定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x)
an xn
nan xn1,
x (R, R)
n0
n1
x
S
(
x)
dx
0
an
n0
x
x
n
dx
an
x n 1 ,
0
n0n 1
§6.3 幂级数
函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
例13. 将
展成
的幂级数.
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(x
4
)
1 2
cos(
x
4
)
sin(x
4
)
(x
)
4
1 (x 3!
)3 1 (x
4 5!
)5
4
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
例14. 将
§6.3 幂级数
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
3! 5!
(2n 1)!
类似可推出:
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n1 1 x2n
2! 4!
(2n)!
§6.3 幂级数
例10. 将函数 为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
§6.3 幂级数
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
发散 .
收敛;
§6.3 幂级数
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
§6.3 幂级数
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
§6.3 幂级数
例如, 等比级数 它的收敛域是
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
§6.3 幂级数
定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
例11. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x2 , 得
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x2n
(1 x 1)
§6.3 幂级数
例12. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
于是得 级数 1 mx m(m 1) x2 2!
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
函数的幂级数展开式
1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展 成 开 麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得， 归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2
7.6函数的幂级数展开
通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数(即和函数).
an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L S( x) x D
n0
本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内 展成幂级数.
f ( x) an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L n0
1 f (n) (0)xn f (0) f (0) x L 1 f (n)(0)xn L
n0 n!
1!
n!
1 x L xn L
易知该级数在(1,1)内收敛于 1 f ( x). 1 x
f (x)
级数
n0
f (n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n为f ( x)在x
x0处的泰勒级数
即拉格朗日公式,所以泰勒公式是拉格朗日公式的推广,相应的余项 Rn( x)称为拉格朗日型余项.
注2：当x0
0时,()式变为f ( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
L
f (n) (0) xn n!
f (n1) ( )
(n 1)!
x
n1
,
在x0与x之间.
称为f (x)的马克劳林公式.
例：求f ( x) 1 的马克劳林级数,并讨论该级数在收敛域内 1 x
是否收敛于f ( x).
解：
f
( x)
(x
1 1)2
f
(
x)
(
x
2 1)3
LL
f
(n) (
x)
(1)n1
(
x
n! 1)n1
LL
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
幂级数展开
Lemma 设函数 ϕ ( x ) 在区间 [0, 1] 上有 n + 1 阶 连续导函数， 连续导函数， 则
ϕ (1) = ϕ (0) + ϕ '(0) ϕ ''(0)
1! + 2!
1 0
+L +
ϕ ( n ) (0)
n!
1 1 ( n +1) + ∫ ϕ (t )(1 − t ) n dt . n! 0
α
α (α −1)
2!
α (α −1)L(α − n +1)
n!
x
n
+ Rn ( x).
Taylor级数收敛半径为 R = 1. 级数收敛半径为 级数 Lagrange余项 余项
α (α − 1)L (α − n)
(n + 1)! (1 + ξ )α − n −1 x n +1 ,
是否趋向 0 ？ 说不清 说不清. n o (x ) n Peano余项 o ( x ) , x → 0 时， x n → 0, 余项 14 x 不动时， o ( x n ) → 0 ? 也说不清 也说不清. n→∞ 但 不动时，
∞
f
(n)
( x0 ) n ( x − x0 ) . n!
1
x2 e , x ≠ 0, e x t f '(0) = lim = lim t = 0. 例4 f ( x ) = x →0 x t →∞ e 0, x = 0. 1 − 2 x 1 e 2 − x2 3 2t 4 x ≠ 0时，f '( x) = 3 e , f ''(0) = lim x = lim t = 0. x →0 t →∞ x x e 1 − 2 4 6 x ≠ 0时，f ''( x) = ( 6 − 4 )e x , LL LL x x
常用幂级数展开公式
常用幂级数展开公式常用幂级数展开公式是在数学和物理领域中经常使用的一种数学工具。
幂级数展开公式可以将一个函数表示为无穷项的多项式形式。
它在计算机科学、工程学和应用数学等领域中具有广泛的应用。
接下来，我将介绍几个常用的幂级数展开公式。
自然指数函数 (exponential function) 的幂级数展开公式是：```e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...```正弦函数 (sine function) 的幂级数展开公式是：```sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! - ...```这个展开公式可以用来计算正弦函数的值或近似值。
余弦函数 (cosine function) 的幂级数展开公式是：```cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! - ...```这个展开公式可以用来计算余弦函数的值或近似值。
自然对数函数 (natural logarithm function) 的幂级数展开公式是：```ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - ...```这个展开公式可以用来计算自然对数函数的值或近似值。
反正弦函数 (arcsine function) 的幂级数展开公式是：```arcsin(x) = x + x^3/6 + 3x^5/40 + 5x^7/112 + 35x^9/1152 + ... ```反余弦函数 (arccosine function) 的幂级数展开公式是：```arccos(x) = π/2 - arcsin(x)```反正切函数 (arctangent function) 的幂级数展开公式是：```arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ...```这些反三角函数的展开公式可以用来计算这些函数的值或近似值。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
幂级数展开的多种方法
幂级数展开的多种方法摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞=-=n nna z c z f ，其中系数()()()()!211n a fd a f i c n n n =-=⎰Γ+ζζζπ.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯一.定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞-∞=-=n nn a z c z f ，其中系数()()ζζζπd a f i c n n ⎰Γ+-=121( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一.这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提.接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法.即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在40π=z 点处的泰勒展开式.解：用公式 ()()!0n z fc n n =求n c ：;14tan0==πc()2,24sec|tan 124==='=c z z ππ；();2!24,44tan4sec2|tan 224===="=c z z πππ();38!316,164sec4tan4sec22|'''tan 3424===⎪⎭⎫⎝⎛+==c z z ππππ得+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3243842421tan πππz z z z .例2 将()z z f sin =按z-1的幂展开. 解：由题意可解得()()⎪⎭⎫⎝⎛+=12sin1πk fn ⎪⎭⎫⎝⎛+=∴12sin !1πk n c n ()nn z n k z 1!12sin sin 0-⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∑∞=π.2、间接法.即利用已知公式，通过各种运算、变换来简化求导的方法.下面给出一些主要函数的泰勒展开式： （1）∑∞==+++++=-02111n nnz z z z z()1<z.（2）()nnzz z z11112-+++-=+ =()∑∞=-01n n nz ()1<z .（3）∑∞==+++++=02!!!21n nnzn zn zzz e ()+∞<z .（4）()()∑∞=-=02!21cos n nn n z z()+∞<z .（5）()()∑∞=++-=012!121sin n n n n z z()+∞<z .（6）()()+-+-+-+=+-nzzzz i k z nn k 13213221ln π （1<z ；2,1,0±±=k ；k=0时为主值支）.（7）()()()()++--++-++=+nz n n z z z !11!21112ααααααα()1<z .2.1利用已知的展式. 例3 求⎪⎭⎫⎝⎛+=+21i i i z 的展开式. 解：因为i z +以i -和∞为支点，故其指定分支在1<z 内单值解析.i z +=211⎪⎭⎫ ⎝⎛+i z i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+ 2!2121212211i z z i=⎪⎭⎫⎝⎛++-+ 2812121z z i i ()1<z . 例4 求()z e z f z cos =在z=0点处的泰勒展式. 解：因为z e z cos =()()()[]zi zi iz iz z ee e e e -+-+=+112121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=∴∑∑∞=∞=00!1!121cos n nnn nnzz n i z n i z e=()()[]nnnnn zi z i n --+∑∞=11!121()+∞<z由于i +1=ie 42πie i 421π-=-代入上式有()n i n in n nzz e e n z e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∞=∑440!221cos ππ=()n n nz n n ∑∞=0!4cos 2π()+∞<z .2.2逐项求导、逐项求积法.例5 用逐项求导法求函数()311z -在1<z 内的泰勒展式.解：因为()311z -=()[]"--1121z ()1<z 所以用逐项求导法算得()311z -=()2012121-∞=∞=∑∑-="⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n zn n z=()()nn z n n 1221++∑∞= ()1<z .例6 求()11ln +-=z z z f 在z=0点的泰勒展开式，其中()z f 是含条件()i f π=0的那个单值解析分支.解：()1111111111ln ++-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+='⎪⎭⎫⎝⎛+-='z z z z z z z z z f =()()[]nn n nn nn nzz z ∑∑∑∞=+∞=∞=--=---01111上式两端在1<z 内沿0到z 积分，得： ()[]nn n zzdz z z i z z ∑⎰∞=+--='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-011111ln 11lnπ()[]nn n zn i z z 11111ln1--+=+-∴+∞=∑π ()1<z .2.3利用级数的乘除运算.例7 写出()z e z +1ln 的幂级数展式至含5z 项为止，其中()z +1ln 在0=z 点处的值为0.解：由题设条件可知 ()z +1ln 是主值支. 又由+++++=!!212n zzz e nz()+∞<z()()+-+-+-=+nzzzz z nn1321ln 32()1<z在公共收敛区域1<z 内作柯西乘积，得 ()z e z+1ln =++++53240332z zzz ()1<z .例8 求z tan 在点0=z 的泰勒展式.分析：函数z tan 的奇点为z cos 的零点π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z k （ 2,1,0±±=k ）而距原点最近的奇点为20π=z 21π-=-z .故函数z tan 在2π<z 内解析，且能展为z 的幂级数. 解：+-+-=753!71!51!31sin z z z z z+-+-=642!61!41!211cos z z z z可以像多项式按幂级数排列用直式做除法那样分离常数.将分子、分母的幂级数做直式相除，缺项用0 代替，得到+++==531523cos sin tan z zz zz z （2π<z ）.2.4待定系数法.例9 设∑∞==--0211n nnzczz()1证明：()221≥+=--n c c c n n n .()2求出展式的前5项. ()1 证明：利用待定系数法，有()() +++++--=n n z c z c z c c z z 2210211=()()() +--++--+-+--n n n n z c c c z c c c z c c c 212012010 比较两端同次幂的系数得0;;0;0;121012010=--=--=-=--n n n c c c c c c c c c21012010,,2,1,1--+==+====∴n n n c c c c c c c c c ()2≥n .()2解：1|11020=--==z z z c ()1121|11022021=--+='⎪⎭⎫⎝⎛--===z z zz z z z c从而由()1依次得 211012=+=+=c c c ， 312213=+=+=c c c ，523234=+=+=c c c ， 即+++++=--4322532111z z z z zz .当然，对于幂级数的展开还有其它多种方法，在这里就不一一赘述了. 最后值得一提的是用间接法解题时应注意的问题.我们通常是用已知函数的泰勒展式进行代入简化，这时应注意这些展式成立的范围与题目条件是否相吻合；其次，也应注意是在题目要求的点进行展开，展开的点的不同，最后的结果也会不同.参考文献：[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.[3]李建林.《复变函数 积分变换 导教 导学 导考》.西安：西北工业大学出版社，2001.9.。