函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式幂级数展开式在数学和物理学等领域中非常重要，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
幂级数是指形如∑(an)(x-a)^n的级数，其中an是常数系数，x是变量，a是展开点。
幂级数展开式可以认为是多项式的无穷级数，通过将无穷多项式项相加得到。
一个函数的幂级数展开式的一般形式为：f(x) = ∑(an)(x-a)^n其中，an是函数f(x)在展开点a处的n阶导数值除以n的阶乘，即：an = f^(n)(a) / n!这里，f^(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
幂级数展开式的收敛性需要通过收敛半径来判断。
幂级数展开式在展开点a的收敛半径r为：r = 1 / lim sup( ，an，^(1/n) )其中，lim sup是上极限。
当，x-a，<r时，幂级数展开式收敛；当，x-a，>r时，幂级数展开式发散；当，x-a，=r时，幂级数展开式的收敛情况需要进一步判断。
幂级数展开式的收敛半径决定了展开式的适用范围。
当，x-a，<r时，可以通过前n项的有限求和来近似计算函数的值，对于其他点则需要通过对幂级数进行求和计算。
幂级数展开式的求解可以利用泰勒级数或母函数法等方法。
泰勒级数是一种特殊的幂级数展开形式，其中展开点a为0，并且每一项的系数an 与函数在展开点处的导数值相关。
幂级数展开式在许多函数中都有应用，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
通过幂级数展开式，可以将这些函数在其中一点的展开为无穷项的级数，在一定范围内进行近似计算。
总之，函数的幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
常用的幂级数展开式
常用的幂级数展开式1. 什么是幂级数展开式幂级数是一种特殊的函数表示形式，它可以被展开为一个无穷序列的项。
幂级数展开式是将一个函数用幂级数表示的方法，可以将复杂的函数简化为无穷项的和，从而方便进行数学分析和计算。
幂级数展开式的一般形式为：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯其中，f(x)是要展开的函数，x是自变量，系数a0,a1,a2,a3,⋯是展开式的项系数。
2. 常见的幂级数展开式2.1 泰勒级数展开式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，其展开式为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
泰勒级数展开式适用于将任何函数在某一点附近展开，并可以通过选取适当的展开点和截取适当的项来逼近原函数。
2.2 麦克劳林级数展开式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情况，展开式为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n麦克劳林级数展开式适用于将任何函数在原点附近展开，即展开点为a=0。
2.3 常见的函数的幂级数展开式以下是几个常见函数的幂级数展开式：•指数函数的展开式：e x=∑x n n!∞n=0•正弦函数的展开式：sinx=∑(−1)n (2n+1)!∞n=0x2n+1•余弦函数的展开式：cosx=∑(−1)n (2n)!∞n=0x2n •对数函数的展开式：ln(1+x)=∑(−1)n−1n∞n=1x n3. 幂级数展开的应用幂级数展开式在数学和物理的许多领域中有着广泛的应用。
3.1 数值计算幂级数展开式可以用于近似计算各种函数的值。
通过截取幂级数展开式的有限项，可以得到函数值的近似解，能够在计算机上进行快速高效的数值计算。
3.2 函数逼近幂级数展开式可以将任何函数逼近为一个无穷项的和，从而可以用有限的项来近似表示一个复杂的函数。
这在数值分析和计算机图形学中具有重要的应用，例如图像处理、曲线拟合等。
3.3 物理建模物理学中的许多现象和物理量可以用幂级数展开式来描述，例如电磁场、波动方程等。
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
函数的幂级数展开
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式.
由级数的逐项求导性质可得:
若 f 为幂级数 an xn 在收敛区间 (R, R)上的和函 n0
数, 则 an xn 就是 f 在 (R, R)上的泰勒展开式, n0
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即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 x0 0 处的展开式, 这时(3)式就变成
(7)
n!
对于收敛区间端点的情形, 与 的取值有关, 其结
论如下:
当 1 时, 收敛域为 (1, 1);
当 1 0 时, 收敛域为 (1, 1];
当 0 时, 收敛域为 [1, 1].
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当 (7)式中 1时就得到
1 1 x x2 1 x
x3 x5 sin x x
(1)n1 x2n1
.
3! 5!
(2n 1)!
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同样可证(或用逐项求导), 在(, )上有
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n .
2! 4!
(2n)!
例5 函数 f ( x) ln(1 x) 的各阶导数是
x1 0 1 t 2 dt
x x3 x5
n
n!
又 x 1, 有 1 x 1 , 且0 1 1, 从而有 1 x
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1 1 x
n
1.
再当 | x | 1时, 有0 (1 x)1 (1 | x |)1 21.于
是当 1时 (1 x)1是与 n 无关的有界量;当
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式1 示例：二项式定理二项式定理是一阶微分方程处理问题的重要工具，它将幂级数表达式简化为一个函数。
二项式定理为$(a + b)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，即一个多项式$x^n$可以通过 $x^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ 来表达。
2 欧拉公式欧拉公式是一个著名的数学公式，它可以用幂级数表示，即$e^x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$。
这里x是任意实数，n是一个正整数，$n!$是n的阶乘。
3 泰勒三阶展开式泰勒三阶展开式它可以用幂级数表达，即$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$。
其中f(x)是给定的函数，$f'(x)$是f的导函数，$f''(x)$是f的二阶导函数;而$a$是函数f的一个自变量。
4 高斯展开式高斯展开式也叫渐近级数，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而$x_0$是 f的某一点。
5 拉格朗日幂级数拉格朗日幂级数是由法国数学家拉格朗日提出的，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。
6 波动现象展开式波动现象展开式可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$，其中c_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。
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1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展 成 开 麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得， 归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2
(− x ) ( −1) 2 n x , x ∈ ( −∞ , +∞ ) =∑ =∑ n! n! n= 0 n= 0
∞
10
e x + e− x 的幂级数. 展开成 x 的幂级数 . 例2 将 f ( x ) = chx = 2
第五节
∞ n=0
函数的幂级数展开式
n
f (x) = ∑ nx a
或 f (x) =
an(x − x0 )n ∑
n=0
∞
麦克劳林展开式
泰勒展开式
求幂级数, 在其收敛域内以 f (x) 为和函数 函数 为和函数—函数 求幂级数 的幂级数展开。 的幂级数展开。 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数 问题: 问题 1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数 2.如果能展开 a n 是什么 如果能展开, 是什么? 如果能展开 3.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一
n
∞
n+1
n
也成立, 上式对 x = 1 也成立,故收敛域为 x ∈ (−1,1] , −
13
例5 解
的幂级数. 将 f ( x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数.
∞ 1 因为 f ′( x ) = = ∑ ( − x 2 )n , | x | < 1 1 + x 2 n= 0
积分, 两边从 0 到 x 积分,得
n
2
n
x 2n+1 x 3 x5 n sin x = ∑(−1) = x − + − L , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2n + 1) ! 3! 5! n=0
x2n x2 x4 cos x = ∑ −1)n ( =1− + −L, x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2n)! 2! 4! n=0
∞
15
∞
的幂级数. 将 f ( x ) = cos2 x 展开成 x 的幂级数. 例6 2 n+1 ∞ 2 n (2 x ) , 解法2 解法2 (cos x )′ = − sin 2 x = − ∑ ( −1) ( 2n + 1) ! n= 0
积分, 两边从 0 到 x 积分,得
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
n→ ∞
( 0) n 的收敛域， x 的收敛域， 其中 D 是幂级数 ∑ n! n= 0 f ′( 0 ) f ′′(0) 2 Rn ( x ) = f ( x ) − f (0) − x− x −L 1! 2!
∞
f
(n)
L−
f
( n)
( 0) n x n!
称为n阶余项. 称为 阶余项. 阶余项
6
f (0) n x具体步骤： 具体步骤： 函数 f(x) 展开成幂级数 ∑ ( ) n! n=0
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
11
例3
x 2n+1 x 3 x5 sin x = ∑(−1)n = x − + −L, (2n + 1) ! 3! 5! n=0
∞
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
两边求导, 两边求导 得
x2n x2 x4 cos x = ∑ −1)n ( =1− + −L, (2n)! 2! 4! n=0
1. 求 出 x = 0 处 的 函 数值及各阶导数值
∞
(n)
f (0) , f ′(0) , f ′′(0) , L , f (n ) (0), L ；
f (0) n x ，并求其收敛域 D. 写出幂 2. 写出幂级数 ∑ n! n=0
是否成立 成立。 3. 考察 lim Rn ( x ) = 0 在 D 上是否成立。
证 设函数 f ( x ) 能展开成幂级数
于是存在 r > 0 使得
∞ n n=0
∑a
n= 0
n
x ，
n
f ( x ) = ∑ a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + L ( | x | < r )
2
2
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
1 解法1 解法1 cos x = (1 + cos 2 x ) 2 2n ∞ 1 1 n (2 x ) = + ∑ ( −1) 2 2 n= 0 ( 2n) !
2
2 2 n −1 2 n x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) = 1 + ∑ ( −1) n ( 2n ) ! n =1
∞
x2n x2 x4 cos x = ∑ −1)n ( =1− + −L, x ∈ ( −∞ ,+∞ ) (2n)! 2! 4! n=0
解
−x
e =∑
x n=0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
n ∞ n
n
e
(− x ) ( −1) n x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) =∑ =∑ n! n= 0 n= 0 n !
∞
∞
所以
x 2n x2 x4 x 2n chx = ∑ = 1+ + + L+ +L 2! 4! ( 2n ) ! n = 0 ( 2n ) !
2
劳 级 . 克 林 数
x x + arctan x − = arctan x ， 解 f ′( x ) = 2 2 1+ x 1+ x x 1 dx 又 arctan x = ∫ 2 0 1+ x
=∫
x ∞ 0
∞ x 2 n+1 x 2 n+ 2 dx = ∑ ( −1) n 故 f ( x ) = ∫ ∑ ( −1) n 0 ( 2n + 1)( 2n + 2) 2n + 1 n= 0 n= 0 ∞ x 2n , ( −1 ≤ x ≤ 1) = ∑ ( −1) n−1 2n( 2n − 1) n =1 19
x2n+1 x3 x5 ar ctan x = ∑ −1)n ( = x − + −L 2n+1 3 5 n=0
∞
处也收敛, 上述幂级数在 x = ±1 处也收敛,且 arctan x 在 x = ±1 处 有定义且连续, 有定义且连续 , 所以上述展开式成立的范围为
x∈[−1,1] −
14
的幂级数. 将 f ( x ) = cos2 x 展开成 x 的幂级数. 例6
1 ∞ ( 2 x )2n+ 2 cos 2 x − 1 = − ∑ ( − 1) n 2 n=0 ( 2n + 2) !
2 n −1 ∞ 1 ∞ (2 x )2n n n 2 = ∑ ( −1) x 2n , = ∑ ( −1) 2 n =1 ( 2n ) ! n = 1 ( 2n ) !
2 2 n −1 2 n cos 2 x = 1 + ∑ ( −1) n x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) 所以 ( 2n ) ! n =1
1
定理
函数 f ( x ) 能展开成幂级数
∑a x
n= 0 n
∞
n
的必要条
处有任意阶导数， 件是 f ( x ) 在点 x = 0 处有任意阶导数，且系数
f ′′(0) f ′( 0 ) , L , a2 = a0 = f (0) , a1 = , 2! 1! ( n) f ( 0) an = , L n! ∞
1 1 n n n x = ∑ ( −1) x − ∑ ( −1) 2 n=0 6 n= 0 3
∞ n
∞
∞
n
1 n 1 x , | x|<1 = ∑ ( −1) − n 2 6⋅ 3 n= 0
17
2 的幂级数. 将 f ( x ) = ln(4 + 3 x − x ) 展开成 x 的幂级数. 例8