高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式是一种用无穷多个幂次项来表示函数的展开式。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来近似计算各种函数和解决各种数学问题。
在本文中，我们将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并通过一些实例来加深理解。
一、函数的幂级数展开式的定义给定一个实函数f(x)，如果它在一些区间[a, b]上无穷次可导，并且对每一个x∈[a, b]，都存在常数an（n=0,1,2,3,...）使得f(x) = ∑(n=0 to ∞) an(x-a)n，其中an是常数，这个展开式就称为函数f(x)在点a处的幂级数展开式。
其中(x-a)n表示x-a的n次幂。
二、函数的幂级数展开式的性质1.函数的幂级数展开式在其收敛半径内是收敛的，即对于任意x∈[a,b]，幂级数展开式都收敛。
收敛半径的计算可以使用柯西-阿达玛公式进行推导。
2.函数的幂级数展开式可以实现函数的逐项求导和逐项求积分操作，即对幂级数展开式的每一项进行求导或求积分操作后，得到的仍然是原函数在该点的幂级数展开式。
3.函数的幂级数展开式的和函数在展开区间内连续，但在展开区间端点处是否连续需要根据情况来确定。
如果和函数在展开区间端点处连续，那么展开式的收敛性在展开区间端点处也成立。
三、函数的幂级数展开式的应用1.函数逼近：幂级数展开式可以用来逼近各种函数，将一个函数表示为幂级数的形式，可以利用幂级数的性质对其进行计算和分析，从而更好地理解函数的性质。
2.函数求和：使用函数的幂级数展开式可以求解一些无穷级数的和，如调和级数、指数级数、三角级数等。
3.微分方程求解：幂级数展开式可以用来求解一些微分方程，通过将未知函数表示成幂级数的形式，将微分方程转化为幂级数方程，通过比较幂级数展开式的系数来求解未知函数。
4.概率统计：幂级数展开式在概率统计领域有广泛应用，如泰勒级数在正态分布、伽玛分布等概率分布的研究中的应用。
最后，我们通过两个实例来进一步了解函数的幂级数展开式的应用。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式在数学中，函数的幂级数展开式是一种重要的工具，它可以帮助我们更好地理解并计算函数的性质和值。
本文将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并举例说明。
首先，我们来了解一下函数的幂级数展开式的定义。
给定一个函数f(x)，如果存在一系列常数c0、c1、c2...和x的幂次，使得对于函数的定义域内的任意x，都有以下等式成立：f(x) = c0 + c1x^1 + c2x^2 + ...其中c0、c1、c2...是常数，x^1、x^2...表示x的各个幂次。
这样的幂级数展开式也称为函数f(x)在某个点的Taylor级数。
函数的幂级数展开式的存在性以及展开式的具体形式，取决于函数f(x)的性质和给定的展开点。
接下来，我们来了解一些函数的幂级数展开式的性质。
首先是幂级数的收敛性。
对于给定的函数f(x)，其幂级数展开式在一个收敛域内收敛，而在收敛域外发散。
在收敛域内的任意点，幂级数展开式可以计算出与原函数f(x)相等的值。
其次是幂级数展开式的求导和积分。
对于幂级数展开式，我们可以逐项对其求导和积分。
当幂级数展开式存在有限的半径收敛时，对幂级数逐项求导和积分后得到的新的幂级数展开式依然收敛，并且与原函数的导数和积分相等。
此外，函数的幂级数展开式还可以用于逼近函数的值。
对于给定的函数f(x)，如果我们知道它在某个点的展开式，并且展开式在此点附近收敛，那么我们可以通过截取幂级数展开式的有限项来逼近函数在该点的值。
通常，我们选择截取的项数越多，逼近的精度就越高。
函数的幂级数展开式在实际应用中具有广泛的应用。
首先是在微积分中，我们可以通过函数的幂级数展开式来计算和研究函数的性质，如极值、拐点、渐近线等。
其次，在物理学领域，函数的幂级数展开式被广泛应用于计算物理量的近似解析解。
例如，通过函数的幂级数展开式可以计算近似解析解的电磁场分布、概率分布等。
此外，函数的幂级数展开式还可以用于解决各种工程和科学问题，如信号处理、图像处理、数值计算等。
高数下课件 ch11_4
f (0) = 1，
(n = 1,2,3,)，
f (n)(0=) m(m − 1)(m − n + 1)，
∴ f ( x)的麦克劳林级数为
1 + mx + m(m − 1) x2 + + m(m − 1)(m − n + 1) xn + .
2!
n!
(2) ρ = lim an+1
a n→∞ n
m(m − 1)(m − n)
x ∈[−1,1].
直接展开法的缺点：
(1) 求 f (n)( x0 ) 计算量较大；
(2)
证明
lim
n→∞
Rn
(
x
)
=
0
困难.
2. 间接展开法
利用已知的展开式、幂级数的代数与分析运算以及 变量代换等，将函数展开成幂级数. 因为函数展开 成幂级数是唯一的，所以用此方法与直接法展开具 有相同的结果，其优点在于可以避免对余项的研究， 也不用求高阶导数，从而计算比较简单.
+
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
−
x0
)n
+
，x
∈U
(
x0
).
当 x0 = 0 时，
f ( x=) f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) x2 + + f (n)(0) xn +
2!
n!
称为 f ( x)的麦克劳林级数.
4. 展开式的唯一性
能
设 f ( x)=a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + ，则展开式唯一， 且就是 f ( x)的麦克劳林级数.
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
《高等数学Ⅱ》课件-第7章幂级数的展开式及其应用
（3）求出 x S(t)dt 的幂级数形式，并求其收敛域. 0
解：（1）显 然 该 幂 级 数 的 收 敛 域为 ( 1,1] ；
（2）S'(x)
n1
(1)n1 n
xn
n1
(1)n1 n
xn
(1)n1 xn1, 收敛域为（ 1，1）；
n1
（3）
x
S(t)dt
0
x 0 n1
bn1 2 bn
an 2 an1
32
5
2
5
3
©
三、幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 an xn和 bn xn 的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
(1) 加减法
an xn bn xn
n0
n0
x (R, R)
©
(2) 乘法 （类似于多形式的乘法）
令余项 则在收敛域上有
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
级数发散 ;
幂级数
s( x) u1( x) u2( x) un( x) 定义域
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
(函余数项,1)项一rn级般((1x数,考)的虑)s部函,(但x分数)只和1有s1ns(在nxx(时)xD),,它ln(i的m1定,s1n)义上( x域,)它是才s(是x)
x
S(t) dt
0
an
n0
x 0
tn
dt
an n0n 1
x n 1 ,
x (R, R )
函数的幂级数展开
| Rn( x) |
1 (1)n (n 1)!
n!
(1 )n1
x n1
(1)n x
n 1 1
n1
1 n1
0
(n ).
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当 1 x 0 时, 因拉格朗日型余项不易估计, 故改 用柯西型余项. 此时有
| Rn( x) |
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 L 1 xn L , x (, ).
1! 2!
n!
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例4 对于正弦函数 f ( x) sin x, 有
f
(n)
(
x
)
sin
x
nπ 2
.
n
1,
2,L
.
现在考察 f 的拉格朗日型余项 Rn( x).因为 n 时,
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
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f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
考察它的柯西型余项
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Rn (
x)
(
1)L n!
(
n)
x n1
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n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
利用此题可得
将函数 为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中α
二项展开式
说明：
(1)当α不是正整数时，收敛区间为(-1,1).在 x =±1 处的收敛性与 α 有关 .
(2) 当 α 为正整数时, 级数为 x 的 α 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
§11.4 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求 和 和函数 展开
本节内容: 一、幂级数展开式的唯一性 二、函数的泰勒级数 三. 将函数展开为幂级数
一、幂级数展开式的唯一性
定理1（幂级数的唯一性）
设幂级数 an xn a0 a1x a2 x2 an xn
n0
在区间 ( , )上的和函数为 f (x)，即
则 有an
1 n!
f
(n) ( x0 )
,
(n
n0
0,1,2,)
二、泰勒级数
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时，称之为麦克劳林级数
).
f ( x) a1 2a2 x nanxn1 ; a1 f (0)
f ( x) 2!a2 n(n 1)anxn2 ;
a2
1 2!
f (0)
f (n) ( x) n!an ;
显然结论成立 .
an
1 n!
f (n) (0)
同 理 若 在 点x0 的 某 邻 域 内 f ( x) an( x x0 )n
逐项求导可推出:
例4. 同理可得下列展开式
（代入法）
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
ln(1 x)
x
(1)n xn dx
(1)n xn1 , 1 x 1
n0
0
n0 n 1
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 .
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
定理2 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x
)
0
.
证明:
f (x)
n0
f (n) ( x0 )( x n!
x0 )n
,
x ( x0 )
令
Sn1( x)
n k0
f
(k) ( x0 )( x k!
x0 )k
f ( x) Sn1( x) Rn( x)
lim
n
Rn (
x)
lim
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)Fra bibliotek故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
例2. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
判别在收敛区间(－R,
R)
内
lim
n
Rn
(
x)是否为
0.
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1 (n 0,1,), 故得级数
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
对应
1 2
,
1 2
,1的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
f (x) a0 a1x a2x2 an xn
则
an
f (n) (0) n!
(n 0,1, 2
).
证: 将 x 0 代入幂级数得 a0 f (0) ，
对幂级数两边逐项各阶导数得
f (x) a0 a1x a2x2 an xn
则
an
f (n) (0) n!
(n 0,1, 2
n1
2 (2n)!
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
n
f
(x)
Sn1( x)
0
,
x ( x0 )
三、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法（麦克劳林级数）
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;