函数的幂级数展开式的应用54568
x AadxAlnx(a)c
A d xA 1(xa)1kc
(xa)k
1k
(k≠1)
M x2
xN px q
dx
∵ (x2p xq)2xp
∴ x M 2 x p N x qd x M 2d ( x x 2 2 p p x q x q )x2 kpd x qx
M 2ln x2 (p x q )a2 k x d x 2
x 0
2 n
li(fm (x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 n ) f(x 0 ))
x 0
2 n
2 n
12f(x0)12f(x0)
f (x0)
3. y f (x2), 求 y
yf(x2)2x
y 2 x f(x2)2 x 2 f(x2)
设y = ln(1+x) , x0 1 △x=0.02 , 求dy的值
M xN
(x2 pxq)k dx
视具体情况而定
有理函数分解的技巧：
例：（1）
x2 d xx2 1 1 d x[ 1 1 ]d x
(x2 1 ) (x2 1 )2
x2 1(1 x2)2
令 x = tant
1 se2tcdt co2tsdt se4tc
原式
1c2os2t dt
（2） x x 8 1 d 1 2 x(x2 d )4 2 x 1令 x 2 u1 2(u 2 1 d )u ( 2 u 1 )
2
f'xd xfxc
fx d ' x F x c ' F 'x fx
dfxfxc
d f x d d F x x c F ' x d 0 x f x dx
习题 : 1．求极限
lx i m n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n
例：1)
x3
2x3
x2
dx 2x
(
x
A
a
型)
x3 x2 2 xx (x 2 )x ( 1 )
2x3 ABC x3x22x x x2 x1
2)
x2 2x 3
(x 1)(x 1)2
dx
(( A (x a)k
)型)
x22x3A B C (x1)x (1)2 x1 (x1) (x1)2
3)
3x2 2x2 x3 1 dx
11 1
4
(u21u21)du
1 4((u1)1u (1))du arcxtacn
8 1(u1 1u1 1)d uarcxtacn
（3） (xx13)100dx ((xx11)110)30dx
(x1)33(x1)23(x1)1dx
(x1)100
1
3
3
((x1)97 (x1)98 (x1)99 1)dx
F(x,
y,
z)
0,
z x
Fx Fz
分段函数在分段点求偏导,须用定义
求全微分dz
z x
dx
z y
dy
2、
几何上的应用 面 线、 、面 线、 、线 面
应用:
方向导数、梯度 求法:
z z cos z cos
l x
y
g
radz(x,
y)
z
i
z
Байду номын сангаас
i
x y
关系:
z
l
Max
gradz
(z)2 (z )2 x y
（4）
x4 4
dx
x(x4 5)(x5 5x1)
原式 =
[x(55x1)(x55x)](x41) dx
(x55x)x(55x1)
xx54 5 1 xd xx5x 45 x11d xc
二、三角函数有理式的积分
令 u tan x 用万能公式
2
2 tan x
tan x
2
1 tan 2 x
解：由夹逼定理
1 2 n 12 n 1 2 n n nn 2 n 1 n 2 n 2 n 2 2 nn 2 n 1
1原 式 1 lim 1
2
2 x 2
2．已知函数
f
(x0
)
存在，求：lim f(x0n)f(x0n)
x
2n
原式=
li(m f(x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 n ))
高等数学
（习题课上、下）
重庆交通学院 冯春
目录
习题课（一） 习题课（二）
综合练习题
详细讲解内容： 2、重积分 4、无穷级数
1、多元函数微分法及其应用 3、曲线积分 曲面积分 5、微分方程
习题课（一）
一、1
2
sin
2
x
，
1 4
cos2x
，
1 cos2 2
x
是同一函数
1 sin 2 x 的原函数吗？
f x
ft
t x
dx
Gy
1
ft
t y
分子次数恰好比分母次数少一次
个数 Q p ( (x x ) ) x M 2 1 x p N q x (x 2 M 2 p N 2 q x )2 . .( .x 2 M p N q x )
分子为一次多项式
四种类型简单分式：
A....A ......M .. .N .x....M . .a .x .N x a (x a )k (x 2 q x p ) (x 2 p x q )k
梯度的方向是 z
l
Max
的方向
极值条 普件 通极 极值 值
x
P44
11、yf(x,t)
t:F(x,y,t)0 求
dy dx
y
t
x y
令G (x,y,t)yf(x ,t)得：G(x,y,t)0t:F(x,y,t)0
G x0[f(x,t)]xfx ft x t Gy
1
ft
t y
dy
Gx
1
dy = 1 x
dx =
1 1 x0
x
=
0.01
有理函数的分解：
（1）QP
( (
x x
) )
将分母进行因式分解
Q(x) = (x a )a (x2p x q )为质因式
（2）
P Q
( (
x x
) )
分解成简单分式之和
个数：
简单分式：
Q p ((X x))x A a(x A 2 a)2....(x . A . a)
( MxN 型) x2 pxq
x31(x1 )x (2x1 )
3x22x2 A MxN
x31 x1 x2x1
4)
x1 (x1)(x2 1)2
dx
(
MxN (x2 pxq)k
型)
x 1 AB 1xC 1B 2xC 2 (x 1 )x (2 1 )2 x 1 x2 1 (x2 1 )2
四种简单分式的积分：
2
x
2 tan
sin x
2
1 tan 2 x
2
1 tan 2 x
cos x
2
1 tan 2 x
2
f(x)d xf(x)c [f(x)d]xf(x)
d(fx)f(x)c d[f(x)d]xf(x)dx
习题课（二）多元函数微分学
重点：
多元复合函数求一阶二阶偏导具 抽体 象
1、求偏导数隐函数求偏导:
函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
函数的幂级数展开式的应用
余和:
1 1 rn 1 (1 1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n!
欲使 rn 10 ,
-5
1 只要 10-5 , n n!
2n x2 x4 x cos x 1 - - ( -1)n , 2! 4! ( 2n)!
( - x )
由e x的幂级数展开式
e ix 1 ix 1 1 ( ix )2 ( ix )n 2! n!
2n 1 2 x (1 - x ( -1)n ) 2! ( 2n)! 2 n 1
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 10 ,
5
1 1 1 e 1 1 2.71828 2! 3! 8!
例2 计算 解 因为
5
240 的近似值，要求误差不超过0.0001。
1 15 240 243- 3 3(1 - 4 ) , 3
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 计算的 解
x
e 近似值,使其误差不超过10 .
-5
1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!
1 1 令 x 1, 得 e 1 1 , 2! n!
1 1 10-4 , 7 7! 3000
x ( -, )
收敛的交错级数
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 - 3 3! 5 5! 0.9461
函数的幂级数展开式的应用
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
dx
0
2 π
n0
(1)n n! (2n
1)
1 22n
1
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
2
4
1 5
2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
n2
比较系数得: a0 0, 6a4 2a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0,
从而得 当n > 4 时,
a3 0,
a4
1 6
an
n
1
1an1
(n
exi y ex (cos y i sin y) ex
z x i y r cos i sin r ei
第七节 第六节
作业 (6-11)
P289 2 (2) (4) (5); 3 (1) ; 4; 6 P298 1 (1); 2(2)；3(1); 4(2); P329 10 (1) ; 11(1)
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 1 105
120
3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
函数的幂级数展开式的应用
函数的幂级数展开式的应用
作者：王伟珠
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2012年第17期
王伟珠
（辽宁对外经贸学院，辽宁大连 116052）
摘要：学生对函数的幂级数的展开式都很熟悉，但对于它的应用了解的一般不多，本文就四个方面的应用，举例说明.
关键词：级数；应用
中图分类号：O172.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2012）09-0004-02
1 计算函数的近似值
有了函数的幂级数展开式，就可以用它来进行近似计算，即在展开式的有效区间上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来.
这个级数从第二项起是交错级数，如果取前n项和作为近似值，则其误差|rn|≤un+1，可算得
2 计算定积分的近似值
利用幂级数不仅可以计算函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值.如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数即可算出定积分的值.
取前四项的和作为近似值，其误差为
3 求解微分方程
当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们要寻求其他解法.这里我们举例说明下一阶微分方程初值问题的幂级数解法.
注：在进行泰勒展开时，应先展开分母，根据分母的阶来确定分子的展开式中最高次项的次数.本题如先展开分子的话，想要计算出分子的主部需要展开到x7项，这样计算量将会大大增加.
参考文献：
〔1〕吴传生.经济数学一微积分[M].高等教育出版社，2003.
〔2〕吴赣昌.微积分（经管类）[M].中国人民大学出版社，2006.。
函数的幂级数展开式的应用
x6
2 9
x6
]
22 . 45
14
三、积分的近似计算
有些初等函数的原函数不能用初等函数 表示, 故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨 公式计算. 但如果这些函数在积分区间上能 能展开成幂级数, 则可利用幂级数逐项积分 性质来计算这些定积分.
7
函数的幂级数展开式的应用
例 计算 1 sin x dx 的近似值, 精确到104. 0x
在一般情况下泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好20sin函数的幂级数展开式的应用有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能表示公式计算
函数的幂级数展开式的应用
一、求极限
有些未定式的极限 可以用幂级数方法求出.
这种方法的优点是: 可以将极限过程中的主要、 次要成份表示得非常清楚.
x0 3! 5!
3! 6
1
函数的幂级数展开式的应用
由此例可看出: 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换.
这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小 1 x3 1 x5 .这个高阶无穷小不能与分子 的
3! 5!
第一项x 抵消,它在极限中是起作用的. 但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷 小也略去了, 这显然是错误的.
解 被积函数 sin x 的原函数不能用初等函数表示.
x
由于x
=
0是
sin x
x
的可去间断点,
故定义
sin x lim sin x 1,这样被积函数在[0, 1]上 x x0 x0 x
连续. 展开sin x , 得 x
1sin
第7章 第6讲 函数的幂级数展开
+1
=0
∞
+1
ln( 1 − ) = −
−1 < < 1 ,
+1
=0
28
02
函数的幂级数展开
1
1
1
所以 () = ln( 1 + ) − ln( 1 − ) + arctan −
4
4
2
∞
+1
1
(−1)
=
4
+1
解
cos = cos
)的幂级数.
3
1
3
+
sin + .
+
− = cos +
2
3
2
3
3
3
∞
(−1) 2
和
在展开式 cos =
(2) !
∞
=0
(−1)
2+1
sin =
中用 + 3 替换,
(2 + 1) !
=0
并代入上式得
20
02
函数的幂级数展开
∞
1
(−1)
cos =
+
2
(2) !
3
2
+
=0
∞
3
(−1)
+
2
(2 + 1) !
3
2+1
=0
∞
1
1
= (−1)
§11.5 函数幂级数展开式的应用
e 11 1 1 2! 3!
1 8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
一、主要内容
函数项级数 幂级数
收敛半径R 收敛域
Taylor级数 Rn( x) 0
Taylor展开式
１．幂级数
(1) 定义
形如 an ( x x0 )n 的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时,
an xn 其中an 为幂级数系数.
n0
(2) 收敛性
Abel 定理 对 an xn 总存在正数Ｒ使得
则 un , vn 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
n1
n1
三个基本展开式
ex 1 x x2 xn ,
2!
n!
( x )
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 , ( x )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n , ( x )
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
三、Euler公式
函数的幂级数展开及应用
f '(x0 )(x x0 )
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(点处的泰勒级数展开式
若 x0 = 0 , 则上式为
f ( x) f (0) f '(0)x f (n)(0) xn
(2)
n!
(2) 称为函数 f (x) 的麦克劳林级数展开式
常用的泰勒级数展开式 ( 取 x0 = 0 ) (1) f (x) = e x 的展开式
下面考虑
(1
x)
?
1
(
1)(
n 1)xn
,
x (1,1)
n1
n!
对于任意的 x (-1 , 1)
记
S(x)
1
(
1)(
n
1)xn
,
n1
n!
S'(x)
(
1)(
n
1)
x
n1
n1
(n 1) !
(1 x)S'( x)
(
1)(
n
1)
(1
x )x n1
n1
(n 1) !
(
1)(
n
1)
x n1
x0 )n
则有
f (x) Sn(x) Rn(x)
故知:
f (x)
n0
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
lim
n
Rn
(
x
)
0
定理
在点 x 处
f (x)
n0
f
(n)( x0 ) n!
函数幂级数的展开和应用
函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1） 其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ， 有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明 由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4） 则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间 （拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解 由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解 由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明 令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解 设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<） 所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法 例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解 将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法 例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解 设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以 原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合） 例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解 由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分 例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故 原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解 因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明 因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值： （1）e ，使误差小于0.001；解 在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解 在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和 例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解 设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞， 则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限 例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解 因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解 设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑， 故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解 易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故 该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。