函数的幂级数展开式的应用54568
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函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用
幂级数展勒级数的概念，若函数在某邻域内具有n+1阶导数，则可用泰勒公式表示。特别地，当x0=0时，泰勒级数变为麦克劳林级数。文档进一步指出，若函数能展成x的幂级数，则这种展开式是唯一的，且与麦克劳林级数相同。接下来，文档介绍了两种展开方法：直接展开法，即利用泰勒级数进行展开；间接展开法，则是利用已知的函数展开式及幂级数的运算性质进行展开。为了加深理解，文档还给出了多个具体的展开示例，如将函数ex、(1+x)α、sinx等展开成幂级数，并详细展示了展开过程与结果。这些示例不仅有助于理解幂级数展开的原理和方法，也为实际应用提供了参考。
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
函数的幂级数展开式的应用
余和:
1 1 rn 1 (1 1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n!
欲使 rn 10 ,
-5
1 只要 10-5 , n n!
2n x2 x4 x cos x 1 - - ( -1)n , 2! 4! ( 2n)!
( - x )
由e x的幂级数展开式
e ix 1 ix 1 1 ( ix )2 ( ix )n 2! n!
2n 1 2 x (1 - x ( -1)n ) 2! ( 2n)! 2 n 1
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 10 ,
5
1 1 1 e 1 1 2.71828 2! 3! 8!
例2 计算 解 因为
5
240 的近似值，要求误差不超过0.0001。
1 15 240 243- 3 3(1 - 4 ) , 3
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 计算的 解
x
e 近似值,使其误差不超过10 .
-5
1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!
1 1 令 x 1, 得 e 1 1 , 2! n!
1 1 10-4 , 7 7! 3000
x ( -, )
收敛的交错级数
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 - 3 3! 5 5! 0.9461
函数的幂级数展开式的应用
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
dx
0
2 π
n0
(1)n n! (2n
1)
1 22n
1
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
2
4
1 5
2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
n2
比较系数得: a0 0, 6a4 2a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0,
从而得 当n > 4 时,
a3 0,
a4
1 6
an
n
1
1an1
(n
exi y ex (cos y i sin y) ex
z x i y r cos i sin r ei
第七节 第六节
作业 (6-11)
P289 2 (2) (4) (5); 3 (1) ; 4; 6 P298 1 (1); 2(2)；3(1); 4(2); P329 10 (1) ; 11(1)
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 1 105
120
3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
函数的幂级数展开式的应用
函数的幂级数展开式的应用
作者：王伟珠
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2012年第17期
王伟珠
（辽宁对外经贸学院，辽宁大连 116052）
摘要：学生对函数的幂级数的展开式都很熟悉，但对于它的应用了解的一般不多，本文就四个方面的应用，举例说明.
关键词：级数；应用
中图分类号：O172.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2012）09-0004-02
1 计算函数的近似值
有了函数的幂级数展开式，就可以用它来进行近似计算，即在展开式的有效区间上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来.
这个级数从第二项起是交错级数，如果取前n项和作为近似值，则其误差|rn|≤un+1，可算得
2 计算定积分的近似值
利用幂级数不仅可以计算函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值.如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数即可算出定积分的值.
取前四项的和作为近似值，其误差为
3 求解微分方程
当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们要寻求其他解法.这里我们举例说明下一阶微分方程初值问题的幂级数解法.
注：在进行泰勒展开时，应先展开分母，根据分母的阶来确定分子的展开式中最高次项的次数.本题如先展开分子的话，想要计算出分子的主部需要展开到x7项，这样计算量将会大大增加.
参考文献：
〔1〕吴传生.经济数学一微积分[M].高等教育出版社，2003.
〔2〕吴赣昌.微积分（经管类）[M].中国人民大学出版社，2006.。
函数的幂级数展开式的应用
x6
2 9
x6
]
22 . 45
14
三、积分的近似计算
有些初等函数的原函数不能用初等函数 表示, 故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨 公式计算. 但如果这些函数在积分区间上能 能展开成幂级数, 则可利用幂级数逐项积分 性质来计算这些定积分.
7
函数的幂级数展开式的应用
例 计算 1 sin x dx 的近似值, 精确到104. 0x
在一般情况下泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好20sin函数的幂级数展开式的应用有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能表示公式计算
函数的幂级数展开式的应用
一、求极限
有些未定式的极限 可以用幂级数方法求出.
这种方法的优点是: 可以将极限过程中的主要、 次要成份表示得非常清楚.
x0 3! 5!
3! 6
1
函数的幂级数展开式的应用
由此例可看出: 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换.
这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小 1 x3 1 x5 .这个高阶无穷小不能与分子 的
3! 5!
第一项x 抵消,它在极限中是起作用的. 但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷 小也略去了, 这显然是错误的.
解 被积函数 sin x 的原函数不能用初等函数表示.
x
由于x
=
0是
sin x
x
的可去间断点,
故定义
sin x lim sin x 1,这样被积函数在[0, 1]上 x x0 x0 x
连续. 展开sin x , 得 x
1sin
第7章 第6讲 函数的幂级数展开
又因为 ln( 1 + ) =
+1
=0
∞
+1
ln( 1 − ) = −
−1 < < 1 ,
+1
=0
28
02
函数的幂级数展开
1
1
1
所以 () = ln( 1 + ) − ln( 1 − ) + arctan −
4
4
2
∞
+1
1
(−1)
=
4
+1
解
cos = cos
)的幂级数.
3
1
3
+
sin + .
+
− = cos +
2
3
2
3
3
3
∞
(−1) 2
和
在展开式 cos =
(2) !
∞
=0
(−1)
2+1
sin =
中用 + 3 替换,
(2 + 1) !
=0
并代入上式得
20
02
函数的幂级数展开
∞
1
(−1)
cos =
+
2
(2) !
3
2
+
=0
∞
3
(−1)
+
2
(2 + 1) !
3
2+1
=0
∞
1
1
= (−1)
+1
=0
∞
+1
ln( 1 − ) = −
−1 < < 1 ,
+1
=0
28
02
函数的幂级数展开
1
1
1
所以 () = ln( 1 + ) − ln( 1 − ) + arctan −
4
4
2
∞
+1
1
(−1)
=
4
+1
解
cos = cos
)的幂级数.
3
1
3
+
sin + .
+
− = cos +
2
3
2
3
3
3
∞
(−1) 2
和
在展开式 cos =
(2) !
∞
=0
(−1)
2+1
sin =
中用 + 3 替换,
(2 + 1) !
=0
并代入上式得
20
02
函数的幂级数展开
∞
1
(−1)
cos =
+
2
(2) !
3
2
+
=0
∞
3
(−1)
+
2
(2 + 1) !
3
2+1
=0
∞
1
1
= (−1)
§11.5 函数幂级数展开式的应用
e 11 1 1 2! 3!
1 8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
一、主要内容
函数项级数 幂级数
收敛半径R 收敛域
Taylor级数 Rn( x) 0
Taylor展开式
１．幂级数
(1) 定义
形如 an ( x x0 )n 的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时,
an xn 其中an 为幂级数系数.
n0
(2) 收敛性
Abel 定理 对 an xn 总存在正数Ｒ使得
则 un , vn 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
n1
n1
三个基本展开式
ex 1 x x2 xn ,
2!
n!
( x )
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 , ( x )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n , ( x )
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
三、Euler公式
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x AadxAlnx(a)c
A d xA 1(xa)1kc
(xa)k
1k
(k≠1)
M x2
xN px q
dx
∵ (x2p xq)2xp
∴ x M 2 x p N x qd x M 2d ( x x 2 2 p p x q x q )x2 kpd x qx
M 2ln x2 (p x q )a2 k x d x 2
x 0
2 n
li(fm (x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 n ) f(x 0 ))
x 0
2 n
2 n
12f(x0)12f(x0)
f (x0)
3. y f (x2), 求 y
yf(x2)2x
y 2 x f(x2)2 x 2 f(x2)
设y = ln(1+x) , x0 1 △x=0.02 , 求dy的值
M xN
(x2 pxq)k dx
视具体情况而定
有理函数分解的技巧：
例：（1）
x2 d xx2 1 1 d x[ 1 1 ]d x
(x2 1 ) (x2 1 )2
x2 1(1 x2)2
令 x = tant
1 se2tcdt co2tsdt se4tc
原式
1c2os2t dt
（2） x x 8 1 d 1 2 x(x2 d )4 2 x 1令 x 2 u1 2(u 2 1 d )u ( 2 u 1 )
2
f'xd xfxc
fx d ' x F x c ' F 'x fx
dfxfxc
d f x d d F x x c F ' x d 0 x f x dx
习题 : 1．求极限
lx i m n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n
例：1)
x3
2x3
x2
dx 2x
(
x
A
a
型)
x3 x2 2 xx (x 2 )x ( 1 )
2x3 ABC x3x22x x x2 x1
2)
x2 2x 3
(x 1)(x 1)2
dx
(( A (x a)k
)型)
x22x3A B C (x1)x (1)2 x1 (x1) (x1)2
3)
3x2 2x2 x3 1 dx
11 1
4
(u21u21)du
1 4((u1)1u (1))du arcxtacn
8 1(u1 1u1 1)d uarcxtacn
（3） (xx13)100dx ((xx11)110)30dx
(x1)33(x1)23(x1)1dx
(x1)100
1
3
3
((x1)97 (x1)98 (x1)99 1)dx
F(x,
y,
z)
0,
z x
Fx Fz
分段函数在分段点求偏导,须用定义
求全微分dz
z x
dx
z y
dy
2、
几何上的应用 面 线、 、面 线、 、线 面
应用:
方向导数、梯度 求法:
z z cos z cos
l x
y
g
radz(x,
y)
z
i
z
Байду номын сангаас
i
x y
关系:
z
l
Max
gradz
(z)2 (z )2 x y
（4）
x4 4
dx
x(x4 5)(x5 5x1)
原式 =
[x(55x1)(x55x)](x41) dx
(x55x)x(55x1)
xx54 5 1 xd xx5x 45 x11d xc
二、三角函数有理式的积分
令 u tan x 用万能公式
2
2 tan x
tan x
2
1 tan 2 x
解：由夹逼定理
1 2 n 12 n 1 2 n n nn 2 n 1 n 2 n 2 n 2 2 nn 2 n 1
1原 式 1 lim 1
2
2 x 2
2．已知函数
f
(x0
)
存在，求：lim f(x0n)f(x0n)
x
2n
原式=
li(m f(x 0 n ) f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 n ))
高等数学
（习题课上、下）
重庆交通学院 冯春
目录
习题课（一） 习题课（二）
综合练习题
详细讲解内容： 2、重积分 4、无穷级数
1、多元函数微分法及其应用 3、曲线积分 曲面积分 5、微分方程
习题课（一）
一、1
2
sin
2
x
，
1 4
cos2x
，
1 cos2 2
x
是同一函数
1 sin 2 x 的原函数吗？
f x
ft
t x
dx
Gy
1
ft
t y
分子次数恰好比分母次数少一次
个数 Q p ( (x x ) ) x M 2 1 x p N q x (x 2 M 2 p N 2 q x )2 . .( .x 2 M p N q x )
分子为一次多项式
四种类型简单分式：
A....A ......M .. .N .x....M . .a .x .N x a (x a )k (x 2 q x p ) (x 2 p x q )k
梯度的方向是 z
l
Max
的方向
极值条 普件 通极 极值 值
x
P44
11、yf(x,t)
t:F(x,y,t)0 求
dy dx
y
t
x y
令G (x,y,t)yf(x ,t)得：G(x,y,t)0t:F(x,y,t)0
G x0[f(x,t)]xfx ft x t Gy
1
ft
t y
dy
Gx
1
dy = 1 x
dx =
1 1 x0
x
=
0.01
有理函数的分解：
（1）QP
( (
x x
) )
将分母进行因式分解
Q(x) = (x a )a (x2p x q )为质因式
（2）
P Q
( (
x x
) )
分解成简单分式之和
个数：
简单分式：
Q p ((X x))x A a(x A 2 a)2....(x . A . a)
( MxN 型) x2 pxq
x31(x1 )x (2x1 )
3x22x2 A MxN
x31 x1 x2x1
4)
x1 (x1)(x2 1)2
dx
(
MxN (x2 pxq)k
型)
x 1 AB 1xC 1B 2xC 2 (x 1 )x (2 1 )2 x 1 x2 1 (x2 1 )2
四种简单分式的积分：
2
x
2 tan
sin x
2
1 tan 2 x
2
1 tan 2 x
cos x
2
1 tan 2 x
2
f(x)d xf(x)c [f(x)d]xf(x)
d(fx)f(x)c d[f(x)d]xf(x)dx
习题课（二）多元函数微分学
重点：
多元复合函数求一阶二阶偏导具 抽体 象
1、求偏导数隐函数求偏导: