高等数学：第七讲 幂级数的和函数
求幂级数的和函数步骤
通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。
当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。
同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。
只有在将来，我们将对级数的和进行积分。
简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。
因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。
幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。
结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。
关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。
中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。
幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。
下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。
首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。
很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。
注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。
终点需要讨论。
注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。
目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。
导言：这个问题可以得到一个想法。
这是串联连接。
利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。
当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。
如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。
设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
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高等数学之幂级数收敛域和和函数问题方法总结
幂级数是考研数学的重点考察的知识点，数学一基本上每年都考级数这一章的知识。
幂级数这一章大题的考点主要有如下两个：
（1）幂级数的收敛域及和函数；
对级数这一章，数一的同学要将幂级数的和函数作为重点知识来复习，考研中幂级数的和函数的考题最多。
幂级数的和函数又分为先导后积、先积后导。
两种方法大家都要掌握。
幂级数收敛半径：
幂级数收敛半径计算方法
（2）幂级数的展开式；
幂级数的分析性质：
常用函数的麦克劳林公式：
题型一：求幂级数的收敛域
方法总结：先求收敛半径，然后再判定在端点出幂级数的敛散性，便可求得收敛域。
例1：求下列幂级数的收敛域。
解：
题型二：求幂函数的和函数
常用方法如下：
（1）常见的麦克劳林公式；
（2）幂级数的逐项可导性和逐项可积性；
（3）求幂函数满足的微分方程，求解微分方程；常用的技巧如下：
例2：求下列幂级数的和函数
分析：充分利用常用的麦克劳林公式进行求解解：。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
幂级数的运算与和函数的性质
幂级数的运算nn n a x∞=∑在11(,)R R -内收敛,○1.加、减运算 0nn n b x∞=∑在22(,)R R -内收敛.令12min{,}R R R =, 当(,)x R R ∈-时两级数均收敛.()0+nnnnnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞====+∑∑∑,(,)x R R ∈-.()0nnnnnnn n n n a x b x ab x ∞∞∞===-=-∑∑∑,(,)x R R ∈-.级数()0nnn n ab x ∞=±∑的收敛半径即为12min{,}R R R =.若级数0n nn a x ∞=∑与0nn n b x∞=∑的收敛域分别为1D 与2D ,记级数()0nnn n ab x ∞=±∑的收敛域为D , 则12D D D ⊃⋂.例 幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛域是11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,幂级数15nn n x n∞=∑的收敛域是11,55⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,幂级数135n nnn x n ∞=+∑135n nn n n x x n n ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑的收敛域是1111,,3355D ⎡⎫⎡⎫=-⋂-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 11,55⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭.○2 乘法运算 000nnnn n i j n n n i j n a x b x a b x ∞∞∞===+=⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑,(,)x R R ∈-. ○3 除法运算 设00b ≠, 定义nnnn n nn n n a xc x b x∞∞=∞===∑∑∑,nn n c x∞=∑的系数由如下递推关系确定:令 000nnnn n n n n n a x b x c x ∞∞∞====⋅∑∑∑0ni j n i j n b c x ∞=+=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑,比较两端同次幂的系数, 即得 000a b c =,11001a b c b c =+,2201102a b c b c b c =++,由此求出0c ,1c ,2c ,,n c ,.注：相除后所得的幂级数nn n c x∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多.例如, 级数21000nnn n a xx x x ∞==+++++∑在整个数轴上收敛于1,级数2100nnn n b xx x x ∞==-++++∑在整个数轴上收敛于1x -.但级数2001nnnnn n nn n n a xc xx x x b x∞∞=∞====+++++∑∑∑仅在区间(1,1)-内收敛于11x-.和函数的性质性质1. 幂级数0nnn a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续.性质2. 幂级数nn n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积,并有逐项积分公式0()d d xxn n n s t t a t t ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰d xnn n a t t ∞==∑⎰ 101n n n a x n ∞+==+∑()x I ∈, 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3. 幂级数0n nn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导, 且有逐项求导公式0()n n n s x a x ∞='⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑ 0()n n n a x ∞='=∑ 11n n n na x ∞-==∑(||)x R <, 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 幂级数0n nn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内具有任意阶导数.例 求幂级数的和函数：231111123n n n x x x x x nn ∞==+++++∑ 解 先求收敛域. n n n a a 1lim +∞→=ρ 11lim 1n n n →∞+= 1=, 收敛半径11R ρ==. 当1x =-时, 级数11n n x n ∞=∑1(1)n n n ∞=-=∑收敛,当1x =时, 级数11n n x n ∞=∑11n n ∞==∑发散, 收敛域为[1,1)-. 2112n x x x n=++++(11)x -≤<. 逐项求导得 11()n n s x x n∞='⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑ 0=n n x ∞=∑ 设和函数为()s x 11x =-(11)x -<<. 从0到x 积分, 得 ()s x =01d 1x t t-⎰ ln(1)x =--(11)x -≤<.例 求幂级数01nn x n ∞=+∑的和函数.解 先求收敛域.n n n a a 1lim +∞→=ρ 1lim 2n n n →∞+=+1=, 收敛半径11R ρ==. 当1x =-时, 01n n x n ∞=+∑0(1)1nn n ∞=-=+∑, 收敛; 当1x =时, 01n n x n ∞=+∑011n n ∞==+∑ 发散. 收敛域为[1,1)-.设和函数为()s x 01nn x n ∞==+∑,[1,1)x ∈-. ()xs x =101n n x n +∞=+∑. 逐项求导得10[()]1n n x xs x n +∞='⎛⎫'= ⎪+⎝⎭∑ 0=n n x ∞=∑ 11x =-(11)x -<<. 从0到x 积分得()xs x =01d 1x t t -⎰ ln(1)x =-- (11)x -≤<.当0x ≠时, ()s x =1ln(1)x x --. (0)s =01a =, ()s x =1ln(1)x x --, [1,0)(0,1)x ∈-⋃, 1, 0x =.。
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
求幂级数的和函数步骤
幂级数有着较为广泛的应用，不过有时候我们对它的和函数很感兴趣。
虽然并不是每一个幂级数都可以求出和函数，但是我们可以求出具有某种特征的幂级数的和函数。
首先，我们到目前所掌握的求级数和的手段并不多，因而求一般的幂级数的和函数是比较困难的。
但是，我们熟练掌握等比级数的求和公式。
那么，如果幂级数的通项与等比级数有一定联系，我们就可以对其求和了。
这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质，即连续、可积、可微。
连续性：幂级数∑n=0∞a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上连续；可积性：幂级数∑n=0∞a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上可积，且有逐项积分公式：∫x0s(x)dx=∫x0∑n=0∞a n x n dx=∑n=0∞∫x0a n x n dx=∑n=0∞a n n+1x n+1. 且逐项积分后的级数与原级数有相同的收敛半径。
简单来说，就是求积分可以和求极限（级数运算）交换，这对于一般的函数项级数不一定成立，但是对幂级数是成立的。
可微性：幂级数∑n=0∞a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上可微，且有逐项求导公式：s′(x)=(∑n=0∞a n x n)′=∑n=0∞(a n x n)′=∑n=0∞na n x n−1且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。
简单来说，就是求导运算可以和求极限（级数运算）交换，这对于一般的函数项级数不一定成立，但是对幂级数是成立的。
那么，知道了以上性质以后，求幂级数的和函数的思路就是试图通过逐项求导或者逐项积分，得到一个可以求和的等比级数，然后再作相应的逆运算得到和函数。
求幂级数的和函数步骤比如原幂级数进行一次逐项求导之后可以得到一个等比级数，那么这个等比级数的和函数就是原幂级数的和函数的导数，将其积分即可得到原幂级数的和函数。
不过，需要先行求出原幂级数的收敛域。
例1:求幂级数∑n=0∞nx n−1的和函数.首先求收敛域，收敛半径R=lim n→∞nn+1=1，收敛区间是(−1,1).显然，x =±1时幂级数是发散的，因此收敛域为(−1,1).注意到nx n−1=(x n)′，而∑n=0∞x n是可以进行求和的等比级数.记和函数s(x)=∑n=0∞nx n−1，则∫x0s(x)dx=∑n=1∞∫x0nx n−1dx=∑n=1∞x n=x1−xs(x)=(x1−x)′=1(x−1)2(−1<x<1)这里看出来幂级数的通项进行一次积分后可以得到等比级数，因此对逐项积分后得到的等式求导数即得到和函数。
幂级数的和函数
幂级数的和函数一、 幂级数的运算：设与0nn n a x∞=⋅∑0n nn bx ∞=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：nnnn n n ax b xλμ∞∞==⋅±⋅∑∑=()n nn n ab x λμ∞=±∑其中λ、μ为常数。
当12R R ≠时，上式的收敛半径为12min{,}R R R =ii 乘法和除法：00nnn n n n n a x b x c x ∞∞∞===⋅=∑∑∑n 1其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+二、 和函数： 设的收敛半径为R (R>0)，为和函数，则有以下性质成立0nn n a x∞=∑0()nn n S x a x ∞==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：10()()n n n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式：()()()()(1)(2)(1)k n k n n n kn n S x a x n n n n k a x∞=∞−===−−⋅⋅⋅−+∑∑它的收敛半径仍然为R 。
iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立1000()1xxnn n n n n a S t dt a t dt n ∞∞+====+∑∑∫∫并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n n n a x ∞=∑（A ） 0lim ()nn x R n S x a R ∞→−==∑lim ()()n n x R n S x a R ∞→+==−∑（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：100()1Rn n n a S x dx n ∞+==+∑∫ 010()()1n n n Ra S x dx R n ∞+=−−=−+∑∫（C ） 逐项求导之后的级数1()()nn n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。
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s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
x 0
1
1
t
dt
ln
1
x
x (1,1)
例题3：
求幂级数nxn1 的和函数 S ( x) . n1
解 an n, 所以，收敛半径 R 1 收敛区间 (1,1) 由性质1得
幂级数的和 函数
目录
01 幂级数的和函数的概念 02 幂级数和函数的求法
幂级数的和函数的概念
定义1 给定函数项级数:
其中 D 为收
un (x) u1(x) u2(x) un (x) x D 敛域
n1
x0 D
un (x0 ) S0
n1
x1 D
un (x1) S1
n1
… … x2 D
性质1 幂级数anxn 的和函数s(x)在其收敛区间 n0
R, R 上可积, 并有
x
S(t)dt
0
x
(
0
ant n )dt
n0
n0
x 0
ant ndt
n0
an x n1 n 1
xR, R
幂级数的和函数的求法
性质2 幂级数 anxn 的和函数s(x)在其收敛区间 n0
R, R 上可导, 并有
n
Sn x xi1 1 x x2
i1
S
(
x)
lim
n
Sn
(
x)
lim1 xn n 1 x
1
xn1 1 xn 1 x
幂级数的和函数的求法
问题2：如果幂级数 n0
an
xn
的部分和
Sn
(
x)
求不出来？
例如： 、
nxn1
n1
1 xn n1 n
关键：消去 an ！
幂级数的和函数的求法
n0
幂级数的和函数的求法
问题1：如何求幂级数 an xn 的和函数？ n0 方法：第一步、求收敛域 D 及部分和Sn(x) ，
Sn (x) u1(x) u2(x) un(x)
第二步、求极限
S
(
x)
lim
n
Sn
(
x)
xD
例题1：
求幂级数 xn1的和函数S (x) . n1
解 an 1, 所以，收敛半径R 1，收敛域为(1,1)