第5章 低副机构的运动综合

由比例系数定义：
y0 0 y1 0.0282 y2 0.1761 y3 02862 y4 0.301
60 -0 1 x-x0

m -0
xm -x0

x-x0 0 y -y0 0
m - 0
区间（ 0, m） 内，使位置逼近函
数 =P（ ）对给定函数 =F（ ） 的最大偏差为最小。最佳逼近法也 称一致逼近法。 最佳逼近的几何特征表现为：
逼近函数P（ ）的曲线被包容在
与给定函数F（ ）曲线相距±E的 两条曲线之间。如右图所示。
因此位置逼近函数满足： P （c0 ,c1 ,c2 ,i , i） (-1) m E 其中极限偏差点的选取可根据下式进行：
常用的函数逼近法有插值逼近法，均方逼近法和最佳逼近法。 以插值逼近法为例，介绍其综合过程。 插值逼近法的根本思想是:在给定函数 y f(x) 自变量x的变化 区间[x0 , x m ] 内设置n个插值结点，使实现函数 f ( ) 与给定函
数在插值点上有相等的值。使得两者在插值节点上误差为0。
2 2 2 2 （xBj -xA） （yBj -y A） （xB1 -xA） （yB1 -y A）
(j 2,3,...,n)
矩阵形式表示： [B j -A]T [B j -A] [B1 -A]T [B1 -A] (j 2,3,...,n)来自 由刚体平面运动的矩阵描述，可知：
q j -p j R1 j q1 -p1
写成分量形式：
q jx -p jx cos 1 j q -p sin 1j jy jy 1 0 整理后： q jx cos 1 j q sin 1j jy 1 0 [ R ] 1j 0 - sin 1 j cos 1 j 0 0 q1x -p1x q -p 0 1y 1y 1 1
（1）插值结点的确定
当给定函数 y f(x) 被逼近函数逼近时，两者仅在插值结点上具 有相同的函数值，而在插值结点以外的其他位置均存在结构误差。
误差的大小取决于插值结点的数目和分布情况。为了使结构误差的
极大和极小值趋于相等。精确点的选择通常按戚贝谢夫插值公式确 定，即
xj 1 1 (2j-1) (x 0 x n 1 )- (x n 1 -x 0 )cos[ ] 2 2 2n j 1,2,...,n
I K I K
0 0 k cos 2 2 m 0 0 k cos 2 2 m
(k 0,1,2,...5 , m 5)
II I 作为chebychev插值的精确点，求出相应的 将 K 。 K
I II 取 K 和 K 的算术平均值作为极限偏差点的横坐标 ，与对应的
-0 m -0 1 x-x x -x x x ( -0 ) x0 (x-x0 ) 0 0 m 0 或 (y -y0 ) 0 - 0 m - 0 y 1 ( - ) y 0 0 y y y y y 0 m 0
三. 机构综合的方法
（1）图解法 利用几何原理，采用作图法求解机构的尺寸，这 在《机械原理》课程中重点讨论过。
（2）解析法 通过建立机构结构参数与运动参数的数学模型，
用数学方法求解机构的尺寸参数。 解析法又可分为近似综合法和精确点位法。其中较为典型的近 似综合法如函数逼近法，精确点位法如位移矩阵法。
最多实现5组对应关系。位置过多，则无解，位置过少，则有 多解。由此可见，插值点的个数必须满足上述方程（*）有解。
由于插值逼近法在插值点上没有结构误差。所以得到的
插值点 满足上式（*）。将 代入方程（*）， 得： （i , i）
（i , i）
cos90.02 c0 cos 31.93 c1cos58.09 c2 cos116 c0 cos 76.15 c1cos39.85 c2 cos141.98 c cos109.08 c cos32.9 c 0 1 2
chebychev插值的 K 为纵坐标，将（ K , K）代入上述方程P 求得所有
待定参数。
§5-3 位移矩阵法
位移矩阵法是以刚体位移矩阵为工具，从满足机构若干个精确 点位的运动要求出发，推导综合方程。在推导过程中没有涉及机构 的结构误差，所以又称精确点位综合法，常用于处理刚体导引和再 现轨迹问题。
c0 0.56357 解得 c1 -0.40985 c -0.26075 2
进而求得机构中各构件的尺寸为： a=67.396mm, b=140.672mm, c=38.317mm.
均方逼近法与最佳逼近法思路简介*
如果在自变量的变化区间内，要求实现精确运动的点位n，
超过位置逼近函数=p() 的未知量数目k，即n>k，则方程数大于 未知量数，无精确解。各插值点的结构误差均不为0。此时可用 均方逼近法（又称最小二乘法）。它的主导思想是：在自变量 的变化区间（ 0, m）内，使位置逼近函数 =p()对给定函数 =p()的均方偏差为最小。求解时，先将位置逼近函数改写为 P(c0, c1, c2, , )=0的形式。位置逼近函数 =p() 对给定函数
（2）函数发生机构 要求机构的输入量与输出量（通常是位移量）满足特定的函
数关系。如一些仪表结构。要求机构的位置函数 F （） 能够模
拟给定的指针函数 y （ f x） 同样，对于铰链四杆机构而言，
也只能精确实现不超过5组对应位置
要求。
（3）轨迹发生机构 要求连杆上某点的轨迹满足特定的曲线要求。对于铰链四杆， 连杆上某点所能实现的精确轨迹点最多不超过9个。

n n 2 p 2 1-m2 为简化上式，令c0 n, c1 - , c 2 p 2p 则得: cosi c0 cos ψi c1 cos (ψi i ) c2 (*)
上式中含有三个待定参数c0,c1,c2。所以两连架杆转角对
应关系必须给出3组，才有确定解。加上初始和终了对应位置，
§5-2
函数逼近法
平面连杆机构的设计很难实现预期运动与机构实际运动完全吻 合，即两者之间的机构误差为0的情况。大多数情况下，设计的机 构只能近似实现给定的要求，函数逼近法就是从这一事实出发，用 一个与给定函数相近的函数去逼近给定函数。从而导出综合方程并
求解尺度参数。
实现函数=f()
y=f(x)
它随刚体的位置变化而变化，相应的位置有B1（与p1q1位置对
应）、B2、...、Bj。
由于A点为固定铰链点，B为活动
铰链点，且B点所做的运动是以A为圆
点，AB为半径的圆或圆弧，所以A称 圆心点，B点的一系列位置称为圆点， 且AB距离满足定杆长约束条件，即 BjA=B1A。
定杆长约束的坐标形式表示为：
这样就可得到对应给定函数 y f(x) 的插值点，机构位置 函数 ψ F （） 也有相应的点，函数 ψ F （） 向 y f(x) 逼近的 问题，就转化为机构的实际位置函数 ψ F （）保证在插值点上没 有结构误差。 举例：（间接说明插值结点n的数目确定）
设计如前图所示的铰链四杆机构，要求两连架杆的转角对应关
（2）尺度参数的换算
机构需要实现的函数关系通常用 y f(x) 表示，而机构实际
体现的输入输出参数可能是 , （铰链四杆机构）或 , s （曲柄 滑块机构）。为了使输入、输出构件的运动参数与给定函数 对应起来，需要引入换算的比例。
以用铰链四杆机构设计的仪表机构为例： 当x在[x0, xm]范围内变化时， 对应的在[ 0, m]范围内变化； 与之相应，y在[y0, ym]范围内，则 在[0, m]范围内变化。 引入比例
其中 x 0和x n1 为自变量x变化范围中的首尾值，n为插值结点数。
例：设计一连杆机构，使之产生 y log x 的函数关系。
1 x 2，n 3
确定插值点： 把 x 0 1, xn1 2, n 3 代入上述方程。分别求 j 1,2,3 时所对应的x：
3 1 - cos 1.067 y1 log x1 0.0282 2 2 6 3 1 x2 - cos 1.5 y2 log x2 0.1761 2 2 2 3 1 5 x3 - cos 1.933 y3 log x3 0.2862 2 2 6 当x x 0 1时 y0 log1 0 x1 当x x 4 2时 y4 log 2 0.301
第五章 低副机构的运动综合
以平面连杆机构为对象，重点介绍用解析法进行机构运动综 合问题的类型与方法。
§5-1 概述
一. 机构综合
机构综合主要分为结构综合和运动综合（又叫尺度综合)。 结构综合分型综合和数综合，第三章已简单介绍过。
运动综合的主要任务：是在结构综合选定的机构类型基础上，
根据给定的运动条件或动力条件，确定其尺度参数，以便完成机 构运动简图的设计。
二. 机构运动综合的分类
（1）刚体导引机构综合 要求机构中某一构件（一般为连杆）或与该构件固联的刚体 准确或近似地通过给定的若干位置。如设计一箱式电炉门启闭机 构。要求炉门与连杆固接：炉门开启时为水平位置，关闭时为竖 直位置。
刚体导引机构对于铰链四杆机构，最
多只能精确实现5个位置，否则就只能近 似实现。
系近似实现预期函数 y logx（ 1 x 2） 。选定机架长度 d 100mm ， 两连架杆的起始角分别为： 0 86，ψ0 23.5 ，转角范围分别为：
60，ψ 90
解：由前面插值点确定举例得出，当插值结点数n=3时，
x0 1 x1 1.067 x2 1.5 x3 1.933 x4 2