2019-2020年高三数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理课件理

解析 由已知可得 1 a+c=ax 0 2 +c, 3
∴ x 2 = 1 .又∵0≤x0≤1,∴x0= 3 .
0
3
3
考点二 定积分几何意义的应用
典例2 (1)(2016唐山统一考试)过点(-1,0)的直线l与曲线y= 相x 切,则
曲线y= x与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为
;
(2)(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导
(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a
移动到x=b时,力F(x)所做的功是W= ba F(x)dx.
3-1 一物体在力F(x)= 5 , 0(单 x位 :2N, )的作用下,沿与力F相同的方

3x 4, x 2
向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为
.
答案 2e-2
解析 1
0
1
e|x|dx exdx exdx
1
1
0
=-e-x 0 +ex 1
1
0
=[-e0-(-e)]+(e-e0)
=-1+e+e-1=2e-2.
4.若
1
2
2
0f(x ) d x 1 , . 0f(x ) d x 1 ,则 1f(x ) d x
i 1
i 1 n
b
这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作① a f(x)dx ,即
ba f(x)dx= l i m n b f(aξi).这里a和b分别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b]
n i 1
n
叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.
将点B的坐标代入,得p= 2 5 ,故抛物线的方程为y= 2 x2.
4
25
从而曲边三角形OEB的面积为 50 2 2 5 x2dx=2
7
x 5
3
5 =1 0 . 0 3
又S△ABE= 1 ×2×2=2,
2
故曲边三角形OAB的面积为 4 ,
3
从而图中阴影部分的面积为 8 . 3
又易知等腰梯形ABCD的面积为 6 ×1 02=16,
J.
答案 36
解析 由题意知,力F(x)所做的功为
4
2
4
W= 0F (x)d x05 d x2(3x4 )d x
=5×2+
3
x 2 4 x

4 2
2

=10+
3 242
44322 2
42

=36(J).
2.定积分的运算性质
b
(1) ba kf(x)dx=② k a f(x)dx (k为常数).
b
b
(2) ba [f1(x)±f2(x)]dx=③ a f1(x)dx ±a
f2(x)dx .
c
b
(3) ba f(x)dx=④ a f(x)dx +c f(x)dx (a<c<b).
2x 0
x 1 0
2
2
所以所围成的封闭图形的面积为 10
1 2
(dx x+1 ) ×1x × =12
1 2


1
x 2 1+x

=2 3
x2
.

4
2 3
1 0
1 4
1 3
(2)建立直角坐标系,如图.
过B作BE⊥x轴于点E, ∵∠BAE=45°,BE=2, ∴AE=2, 又OE=5, ∴A(3,0),B(5,2). 设抛物线的方程为x2=2py(p>0),
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设函数y=f(x)在区间(a,b)上连续,则 ba f(x)dx= ba f(t)dt. (√)
(2)定积分一定是曲边梯形的面积. (×)
(3)若 ba f(x)dx<0,那么由y=f(x)的图象,直线x=a,直线x=b以及x轴所围成的
答案 -2
解析
∵ ,2
1
2
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
0
0
1
∴ 1 2f=(-x 1)-d 1x = -2.0 2f(x)d x1 0f(x)d x
考点突破
考点一 定积分的计算 典例1 计算下列定积分:
(1) 12 2x dx;(2 ) 0 cos xdx;(3) 13 2
图形一定在x轴下方. (×)
(4)若f(x)是偶函数,则 a a f(x)dx=2 0a f(x)dx. (√)
1.(2014陕西,3,5分)定积分 10 (2x+ex)dx的值为 ( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
答案 C 10 (2x+ex)dx=(x2+ex) 10 =1+e1-1=e,故选C.
致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前
最大流量的比值为
.
答案 解析
(1) 1 (2)1.2
3
(1)因为y= 的x 导数为y'= ,1 设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为
2x
1 = ,解x 0 得x0=1,即切线的斜率为 ,所1 以直线l的方程为y= (1 x+1),
v(t)=7-3t+ 2 5 (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的 1 t
路程(单位:m)是 ( )
A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 答案 C
B.8+25ln 1 1
3
D.4+50ln 2
解析
由v(t)=0得t=4.故所求路程为s= 04 v(t)dt= 04 7
x

dx1 ;
x2

(4) 10 1 dx( x;(5)1 )2 (3x3+4 s5 i5 n x)dx.
解析 (1)因为(ln x)'= 1x ,所以 12 2x dx= 1221 x dx=2ln12 x =2(ln 2-ln 1)=2ln
2.


0
0
(2)因为(sin x)'=c o1 s x,所1以 cos3 x dx=si1n x =3 sin π-sin3 0=01 .

2 3
= π,所以ω=1,则f(x)=sin
3

x .

6

f(x)的图象与x轴交点的横坐标为 ,所以图中的阴影部分的面积为 6

6 0


sin x


6
dx=cos


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x
=106 6
.3
2
考点三 定积分在物理中的应用 典例3 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
x
x2
2x 1
x2

1
1
x
2

31
1
x
(3)3 因2 为2 (x2)'=2x, '=- ,所以 dx= 2xdx+ dx=x2 +
1
3
= .
(4)根据定积分的几何意义,可知 10 1 dx(表x 示1)2的是如图所示的阴
影部分的面积,即圆(x-1)2+y2=1的面积的 1 . 4
2.若 1a
2
x
d x1=3+ln
x
2(a>1),则a的值是
.
答案 2
解析
由 1a
2
x
d x1=(x2+ln
x
x) =(a2a +ln 1
a)-(12+ln
1)=a2+ln
a-1=3+ln
2
(a>1),得a2+ln a=4+ln 2,所以a=2.
3. 1 1 e|x|dx的值为
故 10 1dx(=x 1).2
4
(5)易知y=3x3+4sin x是R上的奇函数,
所以 0 5 (3x3+4sin x)dx=- 50 (3x3+4sin x)dx. 所以 5 5 (3x3+4sin x)dx= 0 5 (3x3+4sin x)dx+ 50 (3x3+4sin x)dx=0.

3dt t= 2 5
1 t

32 t2 =7t(4+2255lnln(15)tm).
4 0
方法技巧 定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么
从时刻t=a到t=b所经过的路程s= ba v(t)dt.
(1)若f(x)是偶函数,则 a a f(x)dx=2 0a f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则 a a f(x)dx=0.
1-1 计算定积分 12 |3-2x|dx=
.
答案 1
2
解析

3
因为|3-2x|=

3

2 x,x

, 2
2 x 3,x

3 ,
k 2
= x 2
1
x3

3
-
k 0
kk 3=3 1