1.4.3正切函数的性质与图象学案
学案7：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象预习导引区[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)正切函数y ＝tan x 的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(k π＋x )(k ∈Z )与tan x 的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？(5)从正切线上观察正切函数值，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增大的吗？2．归纳总结，核心必记 (1)正切函数的性质(2)①正切函数的图象：②正切函数的图象叫做 ． ③正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．[问题思考](1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？课堂互动区知识点1 正切函数的定义域、值域问题 讲一讲1．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .类题·通法求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤：练一练1．函数f (x )＝1tan x －1的定义域是________．知识点2 正切函数的单调性及应用 讲一讲2．(1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 类题·通法(1)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，求得x 的范围即可． ②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． (2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． 练一练2．(1)比较tan 1，tan 2, tan 3的大小； (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．知识点3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题 讲一讲3．(1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．类题·通法正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)若函数y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π或φ＝k π＋π2(k ∈Z )，否则为非奇非偶函数．练一练3．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________．——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z .两线为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，直线x ＝k π－π2(k ∈Z )．3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题 (1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见讲1； (2)正切函数的单调性及应用，见讲2；(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见讲3. 4．本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z ，如讲1的第(1)题．(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．参考答案预习导引区[核心必知]1．预习教材，问题导入 (1)提示：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ．(2)提示：周期性．tan(k π＋x )＝tan_x (k ∈Z )． (3)提示：奇偶性．(4)提示：不是，正切函数没有最大值和最小值． (5)提示：是的． 2．归纳总结，核心必记(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z (－∞，＋∞) π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) (2)②正切曲线[问题思考](1)提示：不是．正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．(2)提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，k ∈Z ，两线为直线x ＝k π＋π2和直线x ＝k π－π2，其中k ∈Z ．课堂互动区知识点1 正切函数的定义域、值域问题 讲一讲1．解：(1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2＜x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为{x |k π⎭⎬⎫－π2＜x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)． 练一练1．【答案】⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 【解析】若使函数f (x )有意义，需使tan x －1＞0， 即tan x ＞1.结合正切曲线，可得k π＋π4＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．所以函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )． 知识点2 正切函数的单调性及应用 讲一讲2．解：(1)由k π－π2＜12x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是(2k π－⎭⎫π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4＜tan 2π5，－tan π4＞－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 练一练2．解：(1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又因为π2＜2＜π，所以－π2＜2－π＜0.因为π2＜3＜π，所以－π2＜3－π＜0.显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 即tan 2＜tan 3＜tan 1.(2)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π得，－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 知识点3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题讲一讲3．解：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． 练一练 3．【答案】①【解析】①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1，2知②、③正确，④显然正确．。
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4(2)
云南省德宏州梁河县第一中学高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案 新人教A 版必修4【学习目标】1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 【课前学习】1.tan()πα+= ; tan()α-= .2.自学课本P42-P43，类比正、余弦函数的图象及性质得出正切函数的图象及性质。
正切函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图象 3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rx x y ∈=t an ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称正切曲线。
4.一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？【例题与变式】函数tan y x =图象定义域 值域周期性 正切函数是周期函数，周期为 ，最小正周期为 . 奇偶性单调性 正切函数在开区间 内都是增函数。
对称轴 对称中心例1..及最小正周期)32tan(区间的定义域、周期和单调求函数ππ+=x y变式1. 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心及最小正周期例2..利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小： (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.变式2.比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.【目标检测】1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z}B ．{x|x≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x|x≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x|x≠k2π，k ∈Z}2．函数f(x)＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为 ( )A ．(kπ－π2，kπ＋π2)，k ∈ZB ．(kπ，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(kπ－3π4，kπ＋π4)，k ∈ZD ．(kπ－π4，kπ＋3π4)，k ∈Z3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝t an x2D ．y ＝－tan x【小结】【课后巩固】 A 组2D.C. 2B.A. )0(tan y 3y 3.0,167 D. 0,83 C. 0,165 B. 0,8 A.)8-3tan(2x y 2. D.2 C. 2.B 4.A )12tan(5.1ωπωπωππωωπππππππππ（）个交点间的距离是的图像相交，则相邻两与函数直线）（）（）（）（（）的一个对称中心是函数的最小正周期为（）函数>===+=x x y 求下列函数的周期：.4 )()12(,2tan 2..).........(24,2tan 1Z k k x xy Z k k x x y ∈+≠=∈+≠=πππ）（）（5.利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：143tan 138tan )1(与)517(tan )413tan()2(ππ--与B 组6．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 7.函数y＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是()8.求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心及最小正周期。
高中数学 第1章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象教案(含解析)高一数学教案
1.4.3 正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养． 2．通过对正切函数性质的研究，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想得到体现.正切函数的图象与性质解析式 y ＝tan x图象定义域 _⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数[提示]不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x ；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ）， 所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． 1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性： ①y ＝3x tan 2x －2x4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期． (2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系．(1)π2 (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解]①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan x tan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：①tan 13π4与tan 17π5；②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z→求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5.②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5，所以－tan π4＜－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π，k∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tanx ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )，故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z . 1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( )A ．正切函数的定义域和值域都是RB ．正切函数在其定义域内是单调增函数C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是πD ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2 C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan x C [A ，D 的周期为π，B中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π. ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π. ③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z .④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ， ∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4
1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R周期 最小正周期为π奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)内递增[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋k π，2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1]正切函数的定义域[典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .求函数y ＝11＋tan x 的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z. 因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.(2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．[活学活用] 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期是( )A ．4B ．4πC ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－5正切函数的单调性及应用1．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间．解：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z.题点二：比较大小2．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5，∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的定义域是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的最小正周期为( )A.π4B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( )A ．±1B ．1C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1.4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________．解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是增函数，∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5，又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 10．已知f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)，解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tanx ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B. 5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z)6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.11 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z.所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案 新人教a版必修41
第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交． 思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3. ∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是(D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4的值域为⎦⎥⎤3，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A)A ．f (0)>f (－1)>f (1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (1)>f (0)>f (－1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫1－3π4，∴1－3π4，－1，0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z 8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2， 即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x 的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．。
人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象 导学案
1.4.3正切函数的图像与性质【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质；3、进一步研究正切函数的综合运用.【重点难点】正切函数的图像与性质【学习过程】一、复习旧知1.画出下列各角的正切线：2.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？3.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？二、自主学习预习教材P42~ P45思考以下问题：知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法,利用正切线在下图中作正切函数tan ((,))22y x x ππ=∈-图象，具体应如何操作？思考2：上图中,直线2π-=x 和2π=x 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？A 思考4：正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象叫做正切曲线.它是由被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支完成相同的曲线组成的。
因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？ 知识探究（二）：正切函数的性质观察正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，完成下列思考：思考1：正切函数的定义域是 , 用区间表示为 思考2：根据诱导公式与周期函数的定义结合正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期是什么？思考3：根据图像你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考4：观察右图中的正切线,当角x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内增加时, 正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质?思考5：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？思考7：正切函数的值域是什么?三、典型例题例1:比较下列两个三角函数值的大小．（1）710tan 72tan)1(ππ与（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan 413tan )2(ππ与变式练习1：比较下列两个三角函数值的大小．（1）815tanπ 914tan π （2）ο240tan ο260tan例2：根据正切函数图象，分别写出满足下列条件的x 的集合：（1）0tan >x （2）tan x >（3）0tan 1≥+x变式练习2：（1）函数1tan 2-=x y 的定义域是（2）函数)tan 1lg(x y -=的定义域是 例3：研究函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的基本性质变式训练3：（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的基本性质 （2）求函数)32tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间.课后思考：研究函数x y tan =的相关性质课后练习与提高1. 下列函数不等式中正确的是（ ）.A ．43tan tan 77ππ>B ．23tan tan 55ππ<{}C.|22,|2,2x k x k k x x k k Z ππππππ⎧⎫≤<+∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭ C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<-2. 若,则（ ）.A ．B ．C ．D ．3.函数y = ）.A ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Z ππ≠+∈4. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是( )A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π5. 函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）A ．31B ．32C ．π6D ．π36. 函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2a πB ．2a πC ．a πD ．a πtan 0x ≤22,2k x k k Z πππ-<<∈2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈,2k x k k Z πππ-<≤∈,2k x k k Z πππ-≤≤∈7. 直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）.A ．πB ．2πω C ．πω D ．与a 值有关8. 函数)4tan(x y -=π的定义域是（ ）A. {R x x ∈|且4π-≠x } B. {R x x ∈|且43π≠x }C. {R x x ∈|且z k k x ∈-≠,4ππ}D. {R x x ∈|且z k k x ∈+≠,43ππ}9. 在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（）.A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan 2xy = D ．tan y x =-10. 3tan ,2tan ,1tan 的大小关系是 .11. 函数)42tan(1π-=x y 的定义域为 .12. 函数sin y x =与tan y x =的图像在[]1,1-上有 个交点。
1.4.3正切函数的性质与图象学案
1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；2.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数的图象．二、讲解新课：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？2．正切函数是不是周期函数？3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：（2）值域：（3）周期性：=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 。
（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。
5.讲解范例：例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，思考1：你能判断它的奇偶性吗？练习1：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan ππx y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
练习2：教材P45 2、3、4、5、6题思考2：你能用图象求函数tan 3y x =-的定义域吗？例3.要得到)32tan()(π-=x x f 的图象，只须将f(x)=tan2x 的图象 （）A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位四、小结：本节课学习了以下内容：1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ，所以它的图象被, (2)3,2ππ±±=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修
学习资料内容标准学科素养1.会求正切函数y＝tan（ωx＋φ)的周期．2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性,并会判断简单三角函数的奇偶性．3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法。
应用直观想象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第29页［基础认识]知识点一正切函数的性质阅读教材P42～44，思考并完成以下问题根据诱导公式二、三及正切线，可得出正切函数哪些性质？（1)由正切函数的定义得出定义域是什么？提示：错误!.（2）由公式二tan（π＋x)＝tan x,可得出y＝tan x的什么性质？提示：周期性．（3）由公式三tan（－x）＝－tan x可得出y＝tan x的什么性质？提示：是奇函数．(4)当x大于－错误!且无限接近－错误!时，正切线AT趋近________．当x小于错误!且无限接近错误!时，正切线AT趋近________．可得y＝tan x的值域为________．提示:－∞＋∞R定义域错误!值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在开区间错误!k∈Z内都是增函数提示：不是．知识点二正切函数的图象思考并完成以下问题如何根据正切线作正切函数的图象？（1）利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？提示：①作平面直角坐标系,并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．②把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．④连线，得到如图①所示的图象．①⑤根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan x,x∈R且x≠错误!＋kπ(k∈Z)的图象,把它称为正切曲线（如图②所示）．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．②（2)我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图,你能类似地画出正切函数y ＝tan x，x∈错误!的简图吗？怎样画?提示：能，三个关键点：错误!，(0，0），错误!，两条平行线：x＝错误!,x＝－错误!。
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1.4.3正切函数的性质与图象
学习目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数
有关的性质；
2.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质
问题的方法；
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2,2ππ的图象 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期性：=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 。
（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小
例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
思考1：你能判断它的奇偶性吗？
练习1：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32
tan ππx y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
练习2：教材P45 2、3、4、5、6题
思考2：你能用图象求函数tan 3y x =
-的定义域吗？
例3.要得到)32tan()(π
-=x x f 的图象，只须将f(x)=tan2x 的图象 （）
A.向右平移
3
π个单位 B.向左平移3
π个单位 C.向右平移6
π个单位 D.向左平移6π个单位
四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈π
π，所以它的图象被
, (2)
3,2ππ±±=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
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