画法几何2相对位置

h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
he
4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
5、连接KH，KH即 为所求。
k
27
2-3 垂直问题
2.3.1 直线与平面垂直 2.3.2 平面与平面垂直
28
2.3.1 直线与平面垂直
V
C A
E BDΒιβλιοθήκη H 几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问 题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如 距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
43
2.4.1 空间几何元素定位问题
例14 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平
行，并且与EF、GH均相交。
38
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
39
例12 平面由 BDF给定，试过定h点K作已知平面的垂面
f
c
g
k
a
b
d
X
a d
f c
O k
g
b h
40
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否
24
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
b
X
b
c f
a
a f
k
e
eO
c
k
25
分析 F
K
C
H
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交 于H；连接KH，KH即为所求。
26
作图步骤
c
b
b c
PV
f1 m
2
a
n
a f
n2
m1
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
垂直。
h
c
g
f
k
X
g
d b
c
a
O
f
k
b
d
结论：两平面不平行。
41
2-4 综合问题分析及解法
2.4.1 空间几何元素定位问题 2.4.2 空间几何元素度量问题
42
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个 单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问 题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法 才能解决。
D L
E
C
22
作题步骤
c X f
f
c
b PV e
2
k
1
l
1、用直线与
d
平面求交点
QV 的方法求出
两平面的两
个共有点K、
b2
a O
L。
2、连接两个 共有点，画
l
出交线KL。
k
a d
1
23
e
两平面相交，判别可见性
c
X m
m
3
k 4
3 (4 )
k
c
b n 1 (2 )
l
e
a
O
b2
e a l
1
n
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
11
2.2.1 积聚性法
V
N B
P
A
K
PH a bk
C
M
c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点 的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可 在直线的另一个投影上找到。
12
直线可见性的判别
V
B
AK PH a
bk M
N P
C c
b n
a k m
c
n a
kb
H
m 在平面之前 c
3
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c
g
d f
X
f d
g c
结论：直线AB不平行于定平面
a e
e
a
b
O
b
4
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。 c
f
e b k a
d
X
d
f c
e k
b
O a
5
2.1.2 平面与平面平行
P E
S B
A D
F
C
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直 线，则这两个平面平行。
结论：两平面平行
b c
O
c b
9
2-2 相交问题
2.2.1 积聚性法 2.2.2 辅助平面法
10
交点与交线的性质
B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面 相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线 与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共 有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有 线的投影。
d
a ( 2 ) 1
4
c
k
3
e
X
b
O
a
2
e
c
k（3） 4
1
d
b
20
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
QV
1
b
f
c
步骤：
1、 过EF作正
k
垂平面Q。
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线
a ⅠⅡ。
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
a 点K。
b k
1 21
c
e
两一般位置平面相交求交线的方法 B
F
A K
利用求一般位置 线面交点的方法找 出交线上的两个点， 将其连线即为两平 面的交线。
4. 综合问题分析及解法
（1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法； （2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
56
EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL ∥AH交AB于L点
，KL即为所求的公垂线。
54
g
X g
作图过程
h
d
3 k 2
f
e
1
4
b
c
a
l
l
a
b
3
d
e k2
f
1
4
h c
O
55
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
2. 相交问题
（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
（2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
（ 3 ）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
3. 垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
K
F
过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求
。 48
作图过程
2 f
1 e
a
1
e
PV
e
e
2
a
f 2 k
a
2
a
k
f
f
1
49
1
例16 求点C到直线AB的距离。
a
c
X c
b
O b
a
50
分析
A
K
P
C
B 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直 的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与 AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
e
d
c
X c
g h f
g
h f
d e
O
44
分析 C
DE G
A
B F
H
所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与 交叉直线EF、GH相交。
45
作图过程
e
d
b
1
c PV k
g a
h
f 2
X
k
O
g
c
1a
h
f2
d
b
e
46
例15 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
f
e
X e
a
O a
f
47
分析
A
E
6
例3 试判断两平面是否平行
a
b n
m
c
X
d
c m
n a d
f s
r
e
O e
s
r
f
b
结论：两平面平行
7
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作
一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
X
O
c
r
n
e
b
k
m
d
f
s
a 8
例5 试判断两平面是否平行
s
a
d
e
f
r
X
es