《函数的单调性与导数》
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函数的导数与单调性
例题
函数的单调性与导数
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； G=(a,b) y y
x （3）f ( x) sin x 2
利用导数讨论函数单调性的步骤:
(1) 求导数 f ( x ).
(2) 解不等式 f ( x ) >0得f (x)的单调递增区间;
解不等式 f ( x )< 0得f (x)的单调递减区间.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的
子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定 函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的 x的范围时,要与定义域求两者的交集.
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
例题
例2: 确定下列函数的单调性，并求单调区间:
(1)
f ( x) x 3 x
3
(2) f (x)=x/2-ln(1+x)+1
o a b o x 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
a
b
x
G 称为单调区间
定义
(1) 函数的单调性也叫函数的增减性；
(2) 函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部 概念.这个区间是定义域的子集.
(3) 单调区间：针对自变量x而言的. 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间.
函数单调性与导数的关系
函数单调性与导数的关系
函数的单调性与函数的导数有着密不可分的关系。
单调性指函数f(x)在一个区
间上，对傍端改变都呈现某一种状态（升序或者降序），而函数的导数则指在一个特定点上，其自变量发生变化后，函数值变化率快慢的大小。
首先，单调递增函数f(x)其一阶导数只可能是正值。
反之，单调递减函数f(x)
其一阶导数只可能是负值。
换句话说，在变化的密度上，对于单调递增函数，其变化率是正向的，而对于单调递减函数，其变化率是负向的。
此外，当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为正值时，那么函数
f(x)在定义区间内就是单调递增函数；而当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内
的值恒为负值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递减函数。
因此，函数的单调性与函数的导数有着紧密的联系。
函数内部变化率的大小，反映在一阶导数值上；一阶导数是正值或负值，反映在函数的单调性上。
准确地说，函数的单调性与函数的导数形成了一个严密的套路，使函数的变化更加的精密明晰，有几何的结构性表述。
函数的单调性与导数的正负性
函数的单调性与导数的正负性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，即函数在某一区间上是递增还是递减。
而导数的正负性可以帮助我们判断函数的单调性。
一、函数的单调性在研究函数的单调性时，我们需要先确定函数的定义域。
定义域是使函数有意义的所有实数集合。
对于定义在闭区间[a, b]上的函数，我们只需分析它在内部(a, b)上的单调性即可。
1. 函数的递增性若对于定义在(a, b)上的函数f(x)，对任意x1、x2 ∈ (a, b)，若x1 <x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在(a, b)上是递增的。
换句话说，当自变量增大时，函数值也相应增大。
2. 函数的递减性若对于定义在(a, b)上的函数f(x)，对任意x1、x2 ∈ (a, b)，若x1 <x2，则有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在(a, b)上是递减的。
换句话说，当自变量增大时，函数值反而减小。
二、导数的正负性导数的正负性与函数的单调性有着密切的联系。
对于可导的函数f(x)，若在某一区间上导数大于零，则函数在该区间上是递增的；若导数小于零，则函数在该区间上是递减的。
1. 导数大于零的情况假设函数f(x)在开区间I上可导，若对于任意x ∈ I，f'(x)>0，那么f(x)在I上是递增的。
这是因为导数大于零意味着函数的斜率始终为正，即函数的图像呈现上升趋势。
2. 导数小于零的情况假设函数f(x)在开区间I上可导，若对于任意x ∈ I，f'(x)<0，那么f(x)在I上是递减的。
这是因为导数小于零意味着函数的斜率始终为负，即函数的图像呈现下降趋势。
三、单调性与导数的关系导数的正负性可以帮助我们判断函数的单调性。
具体来说，函数f(x)在开区间(a, b)上可导，若f'(x)>0，则f(x)在(a, b)上是递增的；若f'(x)<0，则f(x)在(a, b)上是递减的。
3.3.1 函数的单调性与导数
活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
函数的单调性与导数
你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
练习 试画出导函数图像的大致形状。y Nhomakorabeay
y=f(x)
Oa
O a bc
x
y
y fx
bc
x
小结
1.函数单调性与导数符号的关系是:
单调递增
导数 f (x) > 0
单调递减
导数 f (x) < 0
2.求函数单调性的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求出函数的导数f (x);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(4) f (x)=__6_x_2+__6_x_-2_4_____
当 f (x)>0, 即x 1 17 或x 1 17 时，f(x)单调递增
2
2
当 f (x)<0, 即 1 17x1 17时，f(x )单调递减
2
2
所以函数的单调递增区间为 （- ，-1- 17 ）、（ -1+ 17 ，+）
f (x)>0 (x≠0)
f (x)↗ f (x)=3x2
f (x) <0 f (x) ↘
f (x)<0 f (x)↘
1
f (x)= x 2
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f (x1)<0
y
f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
(x1, f(x1)) O
练习 （课本P26练习1）
判断下列函数的单调性,并求出单调区间
1 fx x 2 2 x 4 3 fx 3 x x 3
2 fx ex x 4 fx x 3 x 2 x
练习 试画出导函数图像的大致形状。y Nhomakorabeay
y=f(x)
Oa
O a bc
x
y
y fx
bc
x
小结
1.函数单调性与导数符号的关系是:
单调递增
导数 f (x) > 0
单调递减
导数 f (x) < 0
2.求函数单调性的步骤：
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求出函数的导数f (x);
(4) f (x) = 2x3＋3x2－24x＋1
(4) f (x)=__6_x_2+__6_x_-2_4_____
当 f (x)>0, 即x 1 17 或x 1 17 时，f(x)单调递增
2
2
当 f (x)<0, 即 1 17x1 17时，f(x )单调递减
2
2
所以函数的单调递增区间为 （- ，-1- 17 ）、（ -1+ 17 ，+）
f (x)>0 (x≠0)
f (x)↗ f (x)=3x2
f (x) <0 f (x) ↘
f (x)<0 f (x)↘
1
f (x)= x 2
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
f (x1)<0
y
f (x)在x1附近↘
f (x0)>0 f (x)在x0附近↗
(x1, f(x1)) O
练习 （课本P26练习1）
判断下列函数的单调性,并求出单调区间
1 fx x 2 2 x 4 3 fx 3 x x 3
2 fx ex x 4 fx x 3 x 2 x
函数的单调性与导数 课件
探究 2 判断函数在某个区间(a，b)内的单调性可从以下几个 方面入手：
(1)利用函数单调性的定义：在定义域内任取 x1，x2(x1<x2)， 通过判断 f(x1)－f(x2)的符号来确定函数 f(x)的单调性．
(2)图像法：利用函数图像的变化趋势直观判断，图像在某个 区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区 间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
探究 1 (1)利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的 基本步骤：
①确定函数 f(x)的定义域； ②求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ③令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间； ④令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的相应区 间为 f(x)的单调递减区间．
解法三：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0，1)上是增函数，∴f
′(x)≥0 在(0，1)上恒成立．
又∵f′(x)为二次函数，且开口向下，
f′（0）≥0， ∴f′（1）≥0，解得a≥32.
a>0，
∴a 的取值范围是[23，＋∞)．
(2)f′(x)＝a－1x＝ax－ x 1，
①当 a≤0 时，f′(x)<0，即 f(x)在(0，2)上单调递减，不合
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－lnx； (3)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π；
(4)f(x)＝ ax (a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x2
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令 f′(x)＞0，得 x＜－1 或 x＞1. 令 f′(x)＜0，得－1＜x＜1. ∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)； f(x)的减区间是(－1，1)． (2)由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2－1x.令 2－1x>0 解得 x>12；令 2－1x<0，得 0<x<12.所 以 f(x)的增区间是(12，＋∞)；减区间为(0，12)．
导数与函数的单调性
答案：B
2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的递增区间是( )
A．(－∞，e)
B．(1，e)
C．(e，＋∞)
D．(e－1，＋∞)
解析：由 f(x)＝x·ex－ex＋1， 得 f′(x)＝(x＋1－e)·ex， 令 f′(x)>0，解得 x>e－1， 所以函数 f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．
题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x)
＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
③若 a<0，则由 f′(x)＝0 得 x＝ln－a2. 当 x∈－∞，ln－a2时，f′(x)<0； 当 x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)>0. 故 f(x)在－∞，ln－a2上单调递减， 在ln－a2，＋∞上单调递增．
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增； 当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
题组三 易错排查 6．函数 f(x)＝x3＋ax2－ax 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0 在 R 上恒成立，即 4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0， 即实数 a 的取值范围是[－3,0]． 答案：[－3,0]
7．若函数
2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的递增区间是( )
A．(－∞，e)
B．(1，e)
C．(e，＋∞)
D．(e－1，＋∞)
解析：由 f(x)＝x·ex－ex＋1， 得 f′(x)＝(x＋1－e)·ex， 令 f′(x)>0，解得 x>e－1， 所以函数 f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．
题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x)
＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
③若 a<0，则由 f′(x)＝0 得 x＝ln－a2. 当 x∈－∞，ln－a2时，f′(x)<0； 当 x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)>0. 故 f(x)在－∞，ln－a2上单调递减， 在ln－a2，＋∞上单调递增．
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增； 当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
题组三 易错排查 6．函数 f(x)＝x3＋ax2－ax 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0 在 R 上恒成立，即 4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0， 即实数 a 的取值范围是[－3,0]． 答案：[－3,0]
7．若函数
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
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函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 2
x
单增区间：（２，+∞）. 单减区间：(－∞，２).
再观察函数y=x2－4x＋3的图象 总结: 函数在区间 y
0
. . . . . ..
2
（－∞，2）上单调 递减,切线斜率小于 0,即其导数为负；
在区间（2，+∞） x 上单调递增,切线斜 率大于0,即其导数 为正.
练习1：求函数y 3 x
解 : y 9 x 2 6 x
3
3 x 的单调区间。
2
2 2 9 x 6 x 0, x 或x 0,单 调 增 区 间 为 (,0)， ( ,); 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x ,单 调 减 区 间 为 (0, ). 3 3
函数的单调性与导数⑴
忆一忆
基本求导公式:
(1)(kx b) k , 特殊的：C 0(C为常数) ' 1 (2)( x ) x (为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
x ' x
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna
ln x (2)y = ; x
x
3
2
(3) y e x 1.
cos x - 2 (4)y = sin x é pù x? ê 0, ú ê û ë 2ú
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数.
例1求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调减区间.
变式：求函f(x)=2sinx-x,x∈[0,2π]
的单调减区间.
例2（1）求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
的单减区间是（0，
e
).
小结：利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求y=f(x)的定义域D； (2)求导数 f ( x ) ；
f ( x ) 0 (3)解不等式组 x D 得f(x)的单调递增区间; f ( x ) 0 解不等式组 得f(x)的单调递减区间. x D
2
练习2：求函数f(x)=x－lnx 的单调区间.
数学应用 例4.证明函数f(x)=2x－sinx在R上是增 函数.
练习.已知函数f(x)=x3+3x2+6x-10,
求证：该函数在R上是增函数.
变.已知函数f(x)=x3+3x2+3x-10,
求证：该函数在R上是增函数.
学生活动 思考：若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,
则 f′(x)＞0 是f(x)在(a,b)上递增的____条件. y 充分不必要 y=x3
结合函数y=x3思考：如 果f(x)在某区间上单调递 增，那么在该区间上必 有f′(x)>0吗？
o
x
f(x)在(a,b)上递增
f′(x)≥0
求出下列函数的单调区间
(1)y = x + 2x - x + 2;
法则2:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
法则3：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
法则4：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 其中g ( x) 0 2 g ( x) g ( x)
I=(a,b)
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是减函数；
（2）求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0,
f ( x) x ln x x(ln x) ln x3;1>0时，解得x> .则f(x)的 e 1 单增区间是( ,+∞). e 1 当lnx+1<0时，解得0<x< .则f(x) e 1
'
(5)(e ) e
x '
'
x
(7)(sinx ) cosx
(8)(cosx) sinx
1 (6)(lnx) x '
'
函数的和、差、积、商的导数：
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).
导数与函数的单调性有什么关系？
1 例2：讨论函数 y x 的单调性。 y x
2
-1
0
-2
1
x
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
构建数学 一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
二、问题探究
讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R，
f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。