导数的概念及运算基础+复习+习题+练习

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高中导数的概念、运算及应用知识点+例题+练习含答案

教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。

导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数（1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第7练导数的概念及其运算一、单选题1. 质点运动规律23s t =+，则在时间[3,3]t +∆中，相应的平均速度等于( ) A. 6t +∆B. 96t t+∆+∆ C. 3t +∆ D. 9t +∆2. 设()f x 是可导函数，且000()(2)lim2x f x f x x x∆→-+∆=∆，则0()f x '= ( )A. 12B. 1-C. 0D. 2-3. 设，，，…，，则( )A. sin xB. sin x -C. cos xD. cos x -4. 曲线2()ln 1x f x e x x =-+在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为( )A.21e - B.4eC.21e + D.41e + 5. 下列求导运算正确的是( )A. 2313(ln )x x x x+'=+B. 2()2x x x e xe '=C. (3cos 2)3(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅-D. 211(ln )22ln 2log x x +'=+6. 设函数的导函数为，则图象大致是( )A.B.C.D.7. 已知正数a ，b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( )A. [,)4π+∞B. 5[,)412ππC. [,)42ππD. [,)43ππ8. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3211()233g x x x x =-+-，则(2019)(2020)(2021)(2022)(g g g g -+-++= )A. 0B. 1C. 2D. 49. 若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<二、多选题10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为().f x '下列命题正确的有( )()g xA. 若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数B. 若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数C. 若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数D. 若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数三、填空题11. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为_____________________12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________.13. 已知函数()()sin cos 23f x f x x π='，其中()f x '为()f x 的导函数，则()2f π=__________.14. 定义方程的实数根0x 叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为_________15. 已知函数，若方程()f x kx =恰有两个实数解，则实数k 的取值范围为__________.16. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.17. 已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 四、解答题()()f x f x ='()f x ()f x18. 已知函数32()39 1.f x x x x =-+++(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程．19. 已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若()1f x ，求a 的取值范围.答案和解析1.【答案】A解：平均速度为22(3)3(33)633t v t t ++-+==++-，故选.A2.【答案】B解：由题得：0000020()(2)(2)()lim2lim 22x x f x f x x f x x f x x x∆→∆→-+∆+∆-=-=∆∆，即02()2f x -'=，得0() 1.f x '=- 故选.B3.【答案】D解：根据题意，，，，，，则有，，…，所以，则.故选.D4.【答案】A解：()2ln xf x e x x x '=--，故(1)1f e '=-，(1)1f e =+，故切线方程是：(1)(1)(1)y e e x -+=--，即(1)2y e x =-+，令0x =，解得：2y =，令0y =，解得：21x e =--，故围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--，故选：.A5.【答案】C解：2313(ln )x x x x+'=-，A 错误； 22()2x x x x e xe x e '=+，B 错误；(3cos 2)3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x x x '=-⨯=⋅-，C 正确；211(ln )2ln 2log x x +'=，D 错误．故选：.C6.【答案】D解：因为4()cos f x x x =--，所以3()sin 4f x x x '=-，所以3()sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：.D7.【答案】C解：()ln xf x x b=+，11()f x x b∴'=+，而正数a ，b 满足4a b +=， 1111111()()()(2)(22)1444b a f a a b a b a b a b ∴'=+=++=+++=，当且仅当2a b ==取等号成立，∴曲线()ln xf x x b=+在(,())a f a 处的切线的斜率1k ，又倾斜角范围为[0,),π ∴曲线()ln x f x x b =+在(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为[,),42ππ 故选.C8.【答案】D解：3211()233g x x x x =-+-，2()22g x x x '=-+，()22g x x ''=-，令()0g x ''=，得1x =，又3211(1)1121133g =⨯-+⨯-=，所以()g x 的对称中心为(1,1)，所以(2)()2g x g x -+=，所以(2019)(2020)(2021)(2022)[(2019)(2021)][(2020)(2022)]g g g g g g g g -+-++=-++-+224=+=，故选：.D9.【答案】D解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知000x x e b e x a-=-，整理得：00000x x xe b x e ae --+=有两解，令()x x x g x e b xe ae =--+，()()x g x a x e '=-，易知()g x 最大值为().g a即，解得b a e >，又因为当x 趋近正无穷时()0g x <，当x 趋近负无穷时，()g x 趋近0b -<，则0.b > 综上，a 0b e << 故选.D10.【答案】AC解：A 中，若函数()f x 是奇函数，则，则()f x '是偶函数，故A 正确；B 中，令()sin 1f x x =+，不是奇函数，但是偶函数，故B 错误；C 中，若函数()f x 是周期函数，则，则()f x '也是周期函数，故C 正确. D 中，令，不是周期函数，但是周期函数，故D 错误；故选.AC11.【答案】2210x y π+-+=解：已知2sin cos y x x =+，2cos sin y x x ∴'=-，，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为：12()y x π+=--，即2210.x y π+-+= 故答案为2210x y π+-+=12.【答案】4解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000).x x > ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4.= 故答案为：4.13.【答案】0解：因为()()[(sin )cos 2sin (cos 2)]3f x f x x x x π'=''+'()(cos cos 22sin sin 2)3f x x x x π='-，所以227()()(coscos2sin sin )()33333343f f f πππππππ'='-=-'，所以()03f π'=，所以()0f x =，所以()02f π=，故答案为0.14.【答案】4π 解：()sin ()cos f x x f x x =∴'=，令()()f x f x ='，即cos sin x x =，得tan 1x =，，解得4x π=，所以，函数()y f x =在上的“新驻点”为.4π 故答案为：.4π 15.【答案】解：函数，方程()f x kx =恰有两个实数解，∴函数()f x 的图象与函数y kx =恰有2个交点.作出函数()f x 和y kx =的图象，如图所示：当直线y kx =与ln y x =相切时，设切点为00(,ln )x x ，切线斜率为01k x =，所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，根据切线方程过原点，可得0ln 1x =，所以0x e =，1k e=，结合图象可知，实数k 的取值范围为，故答案为16.【答案】解：由题意，，则，所以点和点，12,x x AM BN k e k e =-=，所以12121,0x x e ex x -⋅=-+=，所以，所以，(0,1)同理，所以故答案为：17.【答案】e2解：对于x y e =，设切点为(,)nn e ，因为x y e '=，故切线斜率n k e =，故切线方程为()n n y e e x n -=-，由已知得切线过(0,0)，所以()n n e e n -=-，故1n =，所以.k e =对于ln y x m =+，设切点为(,ln )c c m +，且其导函数为1y x '=，因为直线y ex =也是曲线ln y x m =+的切线，得1|.x c y e c='== 所以1c e =，所以切点为1(,1)e，代入ln y x m =+得11ln m e =+，所以 2.m =故答案为：e ；2.18.【答案】解：(1)函数32()391f x x x x =-+++的导数为 2()369f x x x '=-++，令()0f x '<，解得1x <-，或3x >，可得函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；2(2)()369f x x x '=-++，可得()f x 在点(2,(2))f --处的切线斜率为3412915k =-⨯-+=-，切点为(2,3)-，即有()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程为315(2)y x -=-+，即为15270.x y ++=19.【答案】解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+，所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e，所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x ，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+，令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-，因为()g x 为增函数，只需证ln 1ln a x x +-，即ln ln 1a x x +-，设()ln 1h x x x =+-，11()1x h x x x-'=-=，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a ，1a ，即a 的取值范围为[1,).+∞。

高中数学《导数的概念及其运算》练习题

§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

导数的概念及运算专题练习(含参考答案)

数学导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

选修2-2第1章第1-2节导数的概念及运算(理)(习题+解析)

选修2-2第1章第1-2节导数的概念及运算（理）(习题+解析)年级高二学科数学版本苏教版（理）课程标题选修2-2第1章第1-2节导数的概念及运算1. 已知f （x ）＝x 2＋2xf ′（1），则f ′（0）等于（）A. 0B. －4C. －2D. 22. 设f 0（x ）＝cos x ，f 1（x ）＝f 0′（x ），f 2（x ）＝f 1′（x ），…，f n ＋1（x ）＝f n ′（x ），n ∈N ，则f 2 010（x ）＝（）A. sin xB. －sin xC. cos xD. －cos x3. 设函数f （x ）＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′（1）的取值范围是（）A. [－2,2]B. [2，3]C. [3，2]D. [2，2]4. 曲线y ＝x x －2在点（1，－1）处的切线方程为（）A. y ＝x －2B. y ＝－3x ＋2切线方程；（2）直线l 为曲线y ＝f （x ）的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；（3）如果曲线y ＝f （x ）的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程。

11. 设函数f （x ）＝ax －b x ，曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x －4y －12＝0。

（1）求f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

12. 已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线。

若1C 和2C 有且仅有一条公切线，求a 的值，并写出此公切线的方程。

1. B 解析：∵f ′（x ）＝2x ＋2f ′（1），∴f ′（1）＝2＋2f ′（1），即f ′（1）＝－2， ∴f （x ）＝x 2－4x ，∴f ′（x ）＝2x －4，∴f ′（0）＝－4。

导数基础练习题

导数基础练习题在数学学科中，导数是一个非常基础且重要的概念。

它是微积分的核心内容之一，也是解决许多实际问题的关键步骤。

为了帮助大家更好地理解和掌握导数的相关知识，下面将给出一些导数基础的练习题。

一、基本导数1. 对于函数f(x)=2x，求f'(x)。

2. 对于函数f(x)=-3x^2，求f'(x)。

3. 对于函数f(x)=5，求f'(x)。

二、常见函数导数1. 对于函数f(x)=sin(x)，求f'(x)。

2. 对于函数f(x)=cos(x)，求f'(x)。

3. 对于函数f(x)=e^x，求f'(x)。

4. 对于函数f(x)=ln(x)，求f'(x)。

三、求导法则1. 对于函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。

2. 对于函数f(x)=4x^3+2x^2-3x，求f'(x)。

3. 对于函数f(x)=2sqrt(x)+3/x，求f'(x)。

4. 对于函数f(x)=ln(x^2+1)，求f'(x)。

四、链式法则1. 对于函数f(x)=(2x+1)^3，求f'(x)。

2. 对于函数f(x)=sin(2x+1)，求f'(x)。

3. 对于函数f(x)=e^(2x+1)，求f'(x)。

4. 对于函数f(x)=ln(2x+1)，求f'(x)。

五、高阶导数1. 对于函数f(x)=x^4-2x^3+3x^2-4x，求f''(x)和f'''(x)。

2. 对于函数f(x)=sin(x)，求f''(x)和f'''(x)。

3. 对于函数f(x)=e^x，求f''(x)和f'''(x)。

六、隐函数求导1. 已知函数方程x^3+y^3=9xy，求dy/dx。

2. 已知函数方程x^2+y^2=4，求dy/dx。

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导数的概念及运算
一，导数的概念
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数
()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比
x
y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即
x
y
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因
此，导数的定义式可写成
000000
()()()()
()lim
lim x o
x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆
()2求平均变化率
x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 3.导数的几何意义：
导数0000()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它
反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．
的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果
)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-
4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个
),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函
数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝
x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
00 函数)(x f y =在0x 处的导数0
x x y ='
就是函数)(x f y =在开区间),(b a ))
,((b a x ∈
上导数()f x '在0x 处的函数值，即0
x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也
记作0()f x '
1．用导数的定义求下列函数的导数：()12
()y f x x ==；()224()y f x x
==
2．()1已知000
(2)()
lim 13x f x x f x x
→--=△△△，求0()f x '
()2若(3)2f '=，则1
(3)(12)
lim
1
x f f x x →-+=-
二，导数的四则计算
常用的导数公式及求导法则：（1）公式
①0'
=C ，（C 是常数）
②x x cos )(sin '
= ③x x sin )(cos '-=④1
'
)(-=n n nx x
⑤a a a x
x ln )('
=⑥x
x e e ='
)( ⑦a
x x a ln 1)(log '
=
⑧x x 1)(ln '
=
⑨x x 2'
cos 1)(tan =
⑩（x
x 2
'
sin 1)cot -= （2）法则：'
'')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，
)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=
)
()
()()()(])()([2
'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅.
题型1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：
()1ln x
y e x =⋅()21
1
x x e y e +=-
()3sin 1cos x
y x
=
+()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅
()532x x x y e e =⋅-+()
6()()33421y x x x =-⋅-
2，求导数
（1）()
324y x x =- （2）sin x
y x
=
（3）3cos 4sin y x x =- （4）()2
23y x =+
（5）()ln 2y x =+
三，复合函数的导数链式法则
若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则
x y '=)()(x u f ϕ''
若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)
(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则
x y '=)()()(x v u f ψϕ'''
说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，
且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

1，函数4
)
31(1
x y -=的导数.
2，求5
1x
x
y -=的导数．
3，求下列函数的导数
x y 23-=
4，求下列函数的导数
（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +2
1x +)
5 ，设)1ln(++=x x y 求 y '.
跟踪练习:
求下函数的导数.
6,（1）cos
3
x
y = （2）y =
7，(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2
8,(1)y =
3
2)
12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2
)
9，⑴3
2)2(x y -=； ⑵2
sin x y =；⑶)4
cos(x y -=π
； ⑷)13sin(ln -=x y ．
10，求下列函数的导数
(1) y =sin x 3
+sin 3
3x ；（2）1
22sin -=
x x y (3))2(log 2
-x a。