四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A．都平行B．都相交C．一个相交，一个平行D．都异面2．（5分）在x、y轴上的截距分别是﹣3、4的直线方程是（）A．+=1 B．+=1 C．﹣=1 D．+=13．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点P（0，0）对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．（x﹣2）2+y2=55．（5分）如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④6．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β7．（5分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D﹣EFG中必有（）A．G F⊥△DEF所在平面B．D O⊥△EFG所在平面C．D G⊥△EFG所在平面D．G O⊥△EFG所在平面8．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．199．（5分）若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜210．（5分）已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x﹣1）2+y2=9相交于A，C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（）A．4B．6C．12D．12二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为．12．（5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为．13．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于．14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=，AB=4，BC=2，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得BM∥平面ACN，PN长度．15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值；其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知直线l1：2x+（m+1）y﹣2=0；直线l2：mx+y﹣1=0．（Ⅰ）若l1⊥l2求实数m的值．（Ⅱ）若l1∥l2，求实数m的值．17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．18．（12分）已知一圆C的圆心为（2，﹣1），且该圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2（Ⅰ）求该圆的方程（Ⅱ）求过点P（4，3）的该圆的切线方程．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．20．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=，AD=，点F是PB 的中点，点E是边BC上的动点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=2（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．四川省成都市五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A．都平行B．都相交C．一个相交，一个平行D．都异面考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键．解答：解：如图所示：已知：α∩β=m，a∥b，a⊂α，b⊂β．则a∥b∥m．证明：∵a∥b，∴a与b可确定一个平面γ．∴b∥α，由∵α∩β=m，b⊂β，∴b∥m．∴a∥b∥m．故选A．点评：熟练掌握线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键．2．（5分）在x、y轴上的截距分别是﹣3、4的直线方程是（）A．+=1 B．+=1 C．﹣=1 D．+=1考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的截距可得截距式方程．解答：解：∵直线在x、y轴上的截距分别是﹣3、4，∴直线的截距式方程为：故选：A点评：本题考查直线的截距式方程，属基础题．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由A1B∥D1C，得异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C．解答：解：∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°．故选：C．点评：本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点P（0，0）对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．（x﹣2）2+y2=5考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题．分析：求出已知圆的圆心和半径，求出圆心A关于原点对称的圆的圆心B的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．解答：解：圆（x+2）2+y2=5的圆心A（﹣2，0），半径等于，圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心B（2，0），故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故选：D．点评：本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心A关于原点（0，0）对称的圆的圆心B的坐标，是解题的关键，属于基础题．5．（5分）如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④考点：由三视图还原实物图．专题：图表型．分析：由俯视图结合其它两个视图可以看出，几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥．解答：解：根据三视图从不同角度知，甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥，故选A．点评：本题的考点是由三视图还原几何体，需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象，然后综合三视图，从不同角度去还原，考查了观察能力和空间想象能力．6．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解答：解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选B．点评：考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念．7．（5分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D﹣EFG中必有（）A．G F⊥△DEF所在平面B．D O⊥△EFG所在平面C．D G⊥△EFG所在平面D．G O⊥△EFG所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：∵CF与DF不垂直，BF与DF不垂直，∴GF与DF不垂直，GF与DF不垂直，∴GF不能垂直于△DEF所在平面，故A错误；∵DE=DF，O是EF中点，GE=GF，∴DO⊥EF，GO⊥EF，∴DO不能垂直于△EFG所在平面，故B错误；∵DA⊥AE，DC⊥CF，∴DG⊥GE，DG⊥GF，∴DG⊥△EFG所在平面，故C正确；∵GO⊂△EFG所在平面，∴GO不可能垂直于△EFG所在平面，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．（5分）若圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，则t的取值范围是（）A．﹣B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范围．解答：解：圆C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）为圆心、半径等于2的圆；圆C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）为圆心、半径等于3的圆．再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，即3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，∴，解得﹣或0＜t＜2，故选：D．点评：本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10．（5分）已知E为不等式组，表示区域内的一点，过点E的直线l与圆M：（x﹣1）2+y2=9相交于A，C两点，过点E与l垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（）A．4B．6C．12D．12考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，由圆的方程画出圆，可知可行域内距离圆心最远的点为满足条件的E点，求出E与M的距离，解直角三角形求得AC的长度，则四边形ABCD的面积为AC长度与BD长度乘积的一半．解答：解：由约束条件作可行域如图，圆M：（x﹣1）2+y2=9的圆心为M（1，0），半径为3．E为图中阴影三角形及其内部一动点，由图可知，当E点位于直线x+y=2与y轴交点时，E为可行域内距离圆心M最远的点．此时当AC过E且与ME垂直时最短．与AC垂直的直线交圆得到直径BD．|ME|=，|AC|=，．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，关键是确定使AC最短时的E的位置，是中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为2x+y﹣1=0．考点：直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线的方程为2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．解答：解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P（﹣1，3）的坐标代入得﹣2+3+c=0，∴c=﹣1，故所求的直线的方程为2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．点评：本题考查利用待定系数法求直线的方程，与ax+by+c=0 垂直的直线的方程为bx ﹣ay+m=0的形式．12．（5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为1．考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：根据三视图的原则，高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可．解答：解：根据三棱锥的俯视图是顶角为120°的等腰三角形，且底边长为2，∴三棱锥的底面三角形的高为×tan30°=1，即，侧视图的宽为1，由正视图的高为2⇒侧视图的高为2，∴其面积S=1．故答案是：1．点评：本题考查简单几何体的三视图，属基础题．13．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于±2．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．解答：解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴AB=R=2，∴圆心到直线y=x+a的距离d=AB==，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为：±2．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出△AOB为等腰直角三角形是解本题的关键．14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=，AB=4，BC=2，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得BM∥平面ACN，PN长度2．考点：直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：连接AC，BD，AC∩BD=O，取MD中点E，连接CN与PD交于N，取PN中点F，连接MF，则BM∥平面ACN．证明F，N为PD的三等分点，即可得出结论．解答：解：如图所示，连接AC，BD，AC∩BD=O，取MD中点E，连接CN与PD交于N，取PN中点F，连接MF，则∵BM∥OE，BM⊄平面ACN，OE⊂平面ACN，∴BM∥平面ACN．∵M为PC中点，F为PN中点，∴MF∥CN，∵E为MD中点，∴N为DF中点，∵PA=，BC=2，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，∴PD=3，∴PN=2，故答案为：2．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查学生的计算能力，确定F，N为PD的三等分点是关键．15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值；其中所有正确命题的序号是①②⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）（2）利用棱柱的定义判定即可，（3）明显DE相交，（4）看图比较水面的面积的变化情况，（5）明显不变．解答：解：对于命题1，由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状，（三棱柱、四棱柱、五棱柱）BC为棱柱的一条侧棱，（1）正确，同理（2）也正确；对于命题3，棱DE与水面EFGH相交与点E，（3）错误；对于命题4，当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面的面积可能变大，也可能变小，故4错误对于命题5，当容器倾斜如图（3）所示时，有水部分构成直三棱柱，而水的体积V保持不变，高BC保持不变，则底面三角形的面积BE•BF保持不变，BE•BF是定值，（5）正确的．故答案为：①②⑤点评：本题考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，综合计算能力，逻辑推理能力和空间想象力解本题即可．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知直线l1：2x+（m+1）y﹣2=0；直线l2：mx+y﹣1=0．（Ⅰ）若l1⊥l2求实数m的值．（Ⅱ）若l1∥l2，求实数m的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（I）由两条直线垂直的条件，建立关于m的方程，解之可得实数m的值（II）根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，即可得到使l1∥l2的实数m的值．解答：解（1）由2m+（m+1）×1=0⇒3m+1=0⇒m=﹣…（4分）（2）由已知⇒2﹣（m+1）m=0⇒m2+m﹣2=0⇒m=﹣2或m=1…（6分）当m=﹣2时⇒满足…（8分）当m=1时⇒不满足…（10分）综上m=﹣2 …（12分）点评：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数m 之值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能证明直线EF∥平面CB1D1．（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，从而CC1⊥B1D1，由此能证明B1D1⊥平面CAA1C1，从而能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．解答：（1）证明：连结BD，在△ABD中，E、F分别为棱AD、AB的中点，故EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…（2分）又B1D1⊂平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，所以直线EF∥平面CB1D1．…（6分）（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，则A1C1⊥B1D1…（8分）又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则CC1⊥B1D1，…（10分）又A1C1∩CC1=C1，A1C1⊂平面CAA1C1，CC1⊂平面CAA1C1，所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（12分）已知一圆C的圆心为（2，﹣1），且该圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2（Ⅰ）求该圆的方程（Ⅱ）求过点P（4，3）的该圆的切线方程．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆C的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=r2（r＞0），则弦长P=2，由此能求出圆的方程．（Ⅱ）设切线方程为y﹣3=k（x﹣4），由，得k=；当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4．由此能求出圆的切线方程．解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=r2（r＞0），则弦长P=2，其中d为圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离，∴P=2=2，∴r2=4，∴圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4…（4分）（Ⅱ）设切线方程为y﹣3=k（x﹣4）由得k=所以切线方程为3x﹣4y=0 …（10分）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4．故圆的切线方程为3x﹣4y=0或x=4．…（12分）点评：本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．考点：直线与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题．专题：证明题；转化思想．分析：（1）根据AE⊥平面CDE的性质可知AE⊥CD，而CD⊥AD，AD∩AE=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面ADE，而AB∥CD，，从而AB⊥平面ADE；（2）在Rt△ADE中，求出AE，AD，DE，过点E作EF⊥AD于点F，根据AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，可知EF⊥AB，而AD∩AB=A，从而EF⊥平面ABCD，因AD•EF=AE•DE，可求出EF，又正方形ABCD的面积S ABCD=36，则=，得到结论．解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．（2）解：在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，∴．过点E作EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB．∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD．∵AD•EF=AE•DE，∴．又正方形ABCD的面积S ABCD=36，∴=．故所求凸多面体ABCDE的体积为．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（13分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=，AD=，点F是PB 的中点，点E是边BC上的动点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣PAD的体积；（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，则V E﹣PAD=V P﹣ADE，运用棱锥的体积公式计算即得；（Ⅱ）运用线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅲ）由线面垂直的性质和判定定理，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴V E﹣PAD=V P﹣ADE，=；（Ⅱ）EF与平面PAC平行．理由如下：当E为BC中点时，∵F为PB的中点，∴EF∥PC，∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC；（Ⅲ）证明：∵PA=AB，F为PB的中点，∴AF⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB∴BC⊥AF．又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，因无论点E在边BC的何处，都有PE⊂平面PBC，∴PE⊥AF．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定和性质定理和运用，考查棱锥的体积公式，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=2（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），由此能求出圆的方程．（Ⅱ）设N（a，b），由点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称，得N（1，0），当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．解答：解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），…（2分）所以半径所以所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（4分）（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x﹣y=0对称，∴，∴N（1，0）…（5分）注意：若没证明，直接得出结果N（1，0），不扣分．（1）当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1，代人圆方程得y=﹣4，所以，所以满足题意，此时方程为x=1．…（8分）（2）当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0圆心C（1，﹣4）到直线l的距离，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，所以，…（10分）而原点到直线的距离为，所以，…（12分）整理得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．。