上海市中考数学综合复习专题动点产生的相似三角形3星(学生版)

动点产生的相似三角形1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式；2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法，掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略；3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解。

知识结构【注意】：1.此部分知识点梳理，先提问学生学过的基本图形，并且画出来，再结合讲义讲解；2.部分基本图形的比例式，可以在白板上先画出基本图形再让学生找相似三角形，并写出比比例式，尤其是第四、五个基本图形一定要让学生写，部分地方让学生填写完，建议8分钟左右完成。

1.相似基本图形：2.相似三角形的基本图形产生的结论结论：（1）、A字型：①正A字型②斜A字型③其它A字型ABCDEABCDEABCEA B C ∽∆∆A D E ACB ∽∆∆ADE ACB ∽∆∆ABEAC AE AB AD = AB AE AC AD = ACABAB AE =AB AE AC AD ⋅=⋅ AC AE AB AD ⋅=⋅ AC AE AB ⋅=2（2）、X 型：①正X 字型 ②斜X 字型A DEBCADEBCA E D ∽∆∆ABC ADE ∽∆∆ABCAB AE AC AD = ACAEAB AD =AC AE AB AD ⋅=⋅ AB AE AC AD ⋅=⋅（3）、直角三角形：DCABCDB ∽ACB ∽∆∆∆ADC ①AB AD AC AB ACADC ⋅=⇒=⇒∆∆2AC AD ACB ∽ ②AB BD BC BC BDBDC ⋅=⇒=⇒∆∆2AB BC BCA ∽ ③BD AD CD BDCDADC ⋅=⇒=⇒∆∆2CD AD CDB ∽ （4）、直线型（一线三角）： （5）、其他基本型：A BCDEFEDABCCEF ∽∆∆BDE AEB ∽∆∆ADC 和ACB ∽∆∆ADECF BE CE BD = ABAEAC AD =BE CE CF BD ⋅=⋅ AC AE AB AD ⋅=⋅3.相似三角形方法的选择：(1)已知有一角相等时，可选择方法两角相等和方法两边对应成比例且夹角相等； (2)已知有二边对应成比例时，可选择方法三边对应成比例和方法两边对应成比例且夹角相等；(3)若有平行条件时，可考虑方法基本图形“A 字型和X 型”； (4)有直角三角形时，可考虑方法直角三角形判定方法； （5）不管选择用哪一个方法，先找角度，再根据题目选择。

4.相似三角形的作用：综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题： (1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等； (2)可用来计算周长、边长、角度等； (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。

例1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90o，BD ⊥DC ，BC =10cm ，CD =6cm ．在线段BC 、CD 上有动点F 、E ，点F 以每秒cm 2的速度，在线段BC 上从点B 向点C 匀速运动；同时点E 以每秒cm 1的速度，在线段CD 上从点C 向点D 匀速运动。

当点F 到达点C 时，点E 同时停止运动。

点F 、E 在运动过程中，如CEF ∆与BDC ∆相似，求线段BF 的长。

（★★★）【参考教法】：一．你来找一下题目中有哪些不变的量或者是比较特殊的条件，试试看：1.哪些角为直角？提示：090A ABC BDC ∠=∠=∠=，则BDC ∆为直角三角形； 2.点F 、E 的运动速度和方向怎样？ 二．当CEF ∆与BDC ∆相似时：1.CEF ∆与BDC ∆中是否有相等的角度？提示：C ∠为公共角；2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有对应角，应该需要；3.如需要分类讨论，则分哪几种？提示：因为C ∠为公共角，则分两个情况讨论： ①.当0=90FEC BDC ∠=时：则FC ECBC DC=； 【注意】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

D C B A 第1题图第1题备用图 DCB A②.当0=90EFC BDC ∠=时：则FC ECDC BC=。

4求解完了吧！你真厉害，那求解完的答案是否需要舍掉？提示：根据题目条件两个都答案满足要求。

5.终于计算完了，那你觉得“相似三角形的分类讨论”难吗？ 【满分解答】： 当︒=∠=∠90FEC BDC ，则FC EC BC DC =，得：10-2106t t=，所以1160=BF cm ， 当︒=∠=∠90EFC BDC ，则FC EC DC BC =，得：10-2610t t=，所以13100=BF cm 综上所述：1160=BF cm 或者13100=BF cm我来试一试！（该例题让学生自己先做、之后讲评）练习1.如图，已知等边△ABC 的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠△ABC ，使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）。

当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似时，求BE 的长．【解法点拨】：1.可以让学生用白纸剪切一个等边三角形进行翻折，体验动态过程；2.注意点A 落在BC 边上的点D 处3.抓住题目中的不变量（相等的角、边等），注意060A D B C ∠=∠=∠=∠=；4.寻找题目中的基本图形，060D B C ∠=∠=∠=，构成一线三角基本图形。

【满分解答】：分两种情况讨论：①当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似， 顶点B 、D 、E 分别与D 、E 、F 对应时， 可得BDF DEF ∠=∠ ． ∴EF ∥BC∴60AEF B ︒∠=∠=,60DEF AEF ︒∠=∠=．易得△AEF 、△D E F 、△D F C 、△D E B 是四个边长相等的等边三角形． ∴132BE ED EF AE AB =====．②当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似，顶点B 、D 、E 分别与D 、F 、E 对应时，可得BDE DFE ∠=∠ 又BDE DFC ∠=∠，DFE AFE ∠=∠，∴1180603AFE DFE DFC ︒︒∠=∠=∠=⨯= 易得△AEF 、△DEF 、△DFC 、△DEB 四个边长相等的等边三角形．∴132BE ED EF AE AB =====．综上所述，当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似时，3BE =．例2.如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，5AB AD ==，34tan DBC ∠=．E 为射线BD 上一动点，过点E 作EF ∥DC 交射线BC 于点F ．联结EC ，联结DF ，若△BDF 与△BDA 相似，试求BF 的长．（★★★）【参考教法】：一．题目看完了吧！我们来看看点E F 、的运动情况和题目中是否有相等的角度？ 提示：1.点E 为射线BD 上一动点，点F 为射线BC 上一动点； 2.在点的移动过程中，ADB DBC ∠=∠； 二．当△BDF 与△BDA 相似时：1.是否有相等的角度？提示：ADB DBC ∠=∠；2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有对应角，应该需要；3.如需要分类讨论，则分哪几种？提示：因为ADB DBC ∠=∠为公共角，则分两个情况讨论：①当ABD BDC ∠=∠时，则四边形ABFD 为平行四边形；②当ABD A ∠=∠时，则BFD ABD ADB DBF ∠=∠=∠=∠，所以BD DF =。

4.注意条件的转化，由相似可能会产生新的相似或者是其它更加特殊的条件； 5.这个题目也也讲解完了，你再来看一下“相似三角形的分类讨论”难吗？【满分解答】：过点A 作AH ⊥BD 于点H ， ∵AD ∥BC ，5AB AD ==，∴HD BH DBC ADB ABD =∠=∠=∠,．在ABH RT ∆中，∵43tan tan =∠=∠DBC ABD ， ∴54cos ==∠AB BH ABD ． ∴4==HD BH ． ∴8=BD ．∵AD∥BC，∴DBCADB∠=∠．∵△BDF与△BDA相似，①ABDF∠=∠，可证四边形ABFD是平行四边形．∴5BF AD==．②ABDBFD∠=∠，∴DB DF=．可求得：564=BF．综上所述，当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或564．（引导学生总结，大概5分钟左右）一．由动点产生的相似三角形的解题方法和策略：1.寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）2.注意分类讨论，先找是否有相等角，再决定分类讨论情况：3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）4.注意三个易忘定理：线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。

（该题综合性很强，需要学生在10分钟内独立完成，并给出学生得分，之后老师再讲评）1.已知：Rt ABC∆中，90C∠=︒,4AC=,cot3B=,四边形MNPQ的边MN在AB边上，2MN=，顶点P、Q分别在边BC、AC上，QM AB⊥于M，//PN QM，如图1，设AM x=，PB y=。

（10分）（1）求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（4分）（2）PCQ∆能与QMA∆相似吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由。

（6分）（★★★）【解法点拨】：1.注意题目中的特殊条件：030B∠=，2MN=，090C QAM PNB∠=∠=∠=；CA M N BQP（图1）2.在点P 、Q 的运动过程中，注意有三个直角三角形一直相似：AMQ ∆∽ACB ∆∽PNB ∆；3.求解函数关系时，由基本图形即可求解：PB BNPA BC=； 1.当PCQ ∆与QMA ∆相似时，090C QAM ∠=∠=，则分两个情况讨论： ①当60CQP A ∠=∠=︒时，可得CQP ∆∽CAB ∆∽MAQ ∆； ②当30CQP B ∠=∠=︒时，可得CQP ∆∽CBA ∆∽MQA ∆。