(精品)暑期培优辅导专题四 勾股定理及逆定理的综合

专题四勾股定理及逆定理的综合【知识概要】1．勾股定理与逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法．综合应用勾殴定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题．2.直角三角形的性质(1)角的关系：两锐角互余．(2)边的关系：勾股定理．(3)边角关系：30角所对的直角边等于斜边的一半．这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用．3．勾股定理及逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体，通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．掌握一些常见的基本图形：4．折叠的常见基本图形本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用【典例探析】一.勾股定理中方程思想的运用例1如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。

变式1 如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，若AB=3，BC=4,求EC的长。

二、勾股定理中类比思想的运用例2如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S 2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S 1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明三、勾股定理中整体思想的运用例3 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．lACEFBD四、勾股逆定理的运用例4如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形变式2△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试判断△ABC是什么三角形。

五、利用勾股定理求最短路径问题处，例5 有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1求它爬行的最短路程为多少？变式3如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALC DCBA 第8题 43 12【课后巩固】一、选择题1．直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ ）A ．6 B.8 C.1380 D.13602.已知R t △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm,c=10cm,则R t △ABC 的面积为（ ） A.24cm 2 B. 36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 23.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（A.56B.48C.40D.324.图17 -3—1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m ．按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是( )．m A 2. m B 3. m c 6. m D 9.5.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°6.在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.下列说法错误的是（ ）A.∠C -∠B =∠A ，那么∠C=90°B.如果∠C=90°，则c 2- b 2= a 2C.如果（a+b ）（a-b ）= c 2,那么∠C=90°D.如果∠A=30°，∠B=60°那么AB=2BC 二、填空题7.已知一三角形三边分别为5k,12k,13k,则这个三角形为＿＿＿＿，理由 是＿＿＿＿＿.8.如图是一长方体长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为__________ 9.以a,b,c 为三边的三角形，其三边满足a 2+b 2=25,a 2-b 2=7,且c=5，则这个三角形的最长边是＿＿＿，这条边上的高为＿＿＿.10.在△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，则△ABC 的周长为_________.11. 如图17-3-3所示，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．12.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中20,150==∠AB A 米，=AC 30米，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元.三、解答题13.如图17-3-5所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知,10,8cm BC cm AB ==求△EFC 的面积．14.如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B′处，点A 落在点A′处；（1）求证：B′E=BF ；（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．15.如图17 -3 -12所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A 、B ，已知AB=10千米，直线AB 与公路MN 的夹角,30 =∠AOM 新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米． (1)求新开发区A 到公路MN 的距离；(2)现要在MN 上某点P 处向新开发区A 、B 修两条公路PA 、PB ，使点P 到新开发区A 、B 的距离和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出时PA+PB 的值.16．(1)如图17 -3 -13所示，已知，在等腰,90,4, =∠==Φ∆ACB BC AC ABC Rt 点P 在线段BC 上，且,2=PC①若点D 在线段AB 上运动，求PD 的最小值；②若点P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点P 运动的最短路径．(2)如图17 -3 -14所示，已知，在△ABC 中，,90,6,8 =∠==ACB BC AC 点P 在线段BC 上，且PC=2，若点P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点P 运动的最短路径．17.【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知Rt△ABC 中，==∠CA ACB ,90 ,45, =∠MCN CB 如图17-3-20(a)所示，当点M 、N 在AB 上时，则,.,222BN AM MN +=小颖的解题思路：如图17-3-20(b)所示，将△ACM 沿直线CM 对折，得,/CM A ∆连,/N A 进而证明,/BCN CN A ∆≅∆结论得证．【解决问题】当M 在BA 的延长线上，点N 在线段AB 上，其他条件不变，如图17-3-20 (c)所示，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？根据上述材料请你帮助小颖判断结论，并给出证明．18.在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长’分别为,13105、、求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图17-3-15(a)所示．这样不需求△AB C 的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上 思维拓展(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为aa a 17132、、（a>0），请利用图17-3-15(b)的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上 探索创新(3)若△ABC 中有两边的长分别为),0(102 a a a 、且△ABC 的面积为,22a 试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 (4)利用上述解题方法完成下题：如图17-3-15(d)所示，一个六边形绿化区ABCDEF 被分割成7个部分，其中正方形ABQP 、CDRQ 、EFPR 的面积分别为13、20、29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF 的面积相等， 求六边形绿化区ABCDEF 的面积．。