20 平面向量的概念基本定理及坐标表示(二十)暑期补课教案(共30课时) 原稿

平面向量的概念基本定理及坐标表示（二十）基础梳理导学 1．向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作a 0，a 0＝a|a |.(4)平行向量：方向 的两非零向量叫做平行向量．任一组平行向量经过平移都可以移到同一条直线上，平行向量又叫做共线向量．.规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：长度 且方向 的向量． 2．向量的表示方法(1)字母表示法，如：a ，AB →等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．(3)代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA →的起点O 在坐标原点，终点坐标为(x ，y )，则(x ，y )称为OA →的坐标，记为OA →＝(x ，y )． 3．向量的线性运算(1)加法(2)减法(3)实数与向量的积4．平面向量基本定理(1)如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数a 1、a 2，使得a ＝ .我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底． (2)OM →＝12(OA →＋OB →)⇔M 是线段AB 的中点．5．已知两个非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做a 与b 的夹角．(0°≤θ≤180°) 当θ＝0°时，a 与b 方向 ；当θ＝180°时，a 与b 方向 ；当θ＝90°时，称a 与b 6．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 7．平面向量的直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝xi ＋yj ，则实数对(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )． 8．平面向量的直角坐标运算(1)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)非零向量a 的单位向量为±a|a |.思想方法技巧 解题技巧(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线．考点典例讲练★向量的线性表示[例1] 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.★共线向量[例2] (文)(2011·西安质检)已知向量a 、b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 (理)(2011·山东潍坊)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k 、t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－ka＋1t b .(1)若x ⊥y ，求k 的最小值；(2)是否存在k 、t ，使得x ∥y ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17 D.17[例3] 如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.(2011·杭州模拟)已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A.△ABC 的内部B.AC 边所在直线上C.AB 边所在直线上D.BC 边所在直线上★向量的坐标运算[例4] 已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53(文)(2011·山东烟台一模)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)★向量共线的应用[例5] 如图所示，在▱ABCD 中，已知AE →＝13BC →，AC 与BE 相交于点F ，AF →＝λAC →，则λ＝________.跟踪练习5 (文)(2011·天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．(理)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －1)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝2★由向量共线求参数的值或取值范围[例6] (2011·北京西城模拟)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝( )A ．3B ．0C ．5D ．－5 跟踪练习6 (2012·湖南邵阳第一次联考)已知向量a ＝(cos x ，3sin x )，b ＝(cos x ，cos x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )在(－π2，0]上的值域；(2)当x ∈(0，π)时，若a ∥b ，求x 的值．★平面向量基本定理[例7]如图，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M .设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a 和b 表示向量OM →. 跟踪练习7如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC ＝b ，用基底a ，b 表示向量AE ＝________.课堂巩固训练一、选择题1.(2011·四川理)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →2．(2012·洛阳部分重点中学检测)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.123．(2011·日照二模)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 4．(2011·日照模拟)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．85．(2012·天津文，8)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2 6．(文)(2011·广东湛江模拟)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(a,3)，若AB →⊥AC →，则a 的值为( )A ．6B ．－6 C.32 D ．－32(理)(2011·广东湛江模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，y )，若|a ＋b |＝a ·b ，则y 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 二、填空题 7．(2011·江苏南通二调)设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R}和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R}都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.于________．平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固强化1.(文)(2011·重庆文)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(理)(2012·沈阳质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．12．(文)(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(理)(2012·昆明一中检测)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，则y －x 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－13．(2011·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线则 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝14．(2012·湖北省孝感模拟)在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形5．如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝xa ＋yb ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 6．(文)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－3)，且a ∥b ，则tan x ＝________.(理)已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________.7．(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝ma ＋nb ，则n m＝________.8．(文)(2011·北京朝阳区模拟)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为AB 上一点，且AB →＝4AF →，若AD →＝xAF →＋yAE →，则x ＝________，y ＝________.(理)(2011·江苏徐州市质检)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．9．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．能力拓展提升10.(2011·湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD→－CD →)＝0，则三角形ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 11.(2012·江西八校联考)如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为________．12．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C上任意一点，点N 在MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．13．设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM →＝ma ，ON →＝nb ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.。