1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(2)
计数 1.分类 ──类类相加( 1.分类──类类相加(把做一件事的方法 分类 ──类类相加 N = m + m2 +L+ mn 分类) 分类) 1 2.分步 ──步步相乘 分步──步步相乘( 2.分步 ──步步相乘(把做一件事分几步 N = m × m2 ×L× mn 来进行) 来进行) 1 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 这是我们考虑计数问题的两种思想方法. 具体运用时,要弄清是分类,还是分步. 具体运用时 ,要弄清是分类,还是分步.
分析： 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成： 完成：第1步是从开 步是从开 始执行到A执行到结束。 而第步可由子模块1 而第步可由子模块 或子模块2或子模块 或子模块 或子模块3 或子模块 来完成； 来完成；第二步可由 子模块4或子模块 或子模块5来 子模块 或子模块 来 完成。因此， 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 个计数原理。
随着人们生活水平的提高， 例9 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成办法， 门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都 必须有３个不重复的英文字母和３ 必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯 数字，并且３个字母必须合成一组出现， 数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也 必须合成一组出现， 必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车 上牌照？ 上牌照？
4×4×…×4 ＝4100 ×
例7 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与 底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因 此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计 数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要 对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位， 每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字， 2×2×…×2 ＝28=256 × 一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法和分步乘法计数原理
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一 步中都有若干种不同方法,那么应当如何 计数呢?
6.分步乘法计数原理一般结论：
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法，…,做第n步有mn种不同的方 法,那么完成这件事的方法总数如何计 算？
N＝m1×m2×…×mn
2思考:用前6个大写英文字母和1～9这9个阿 拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2,···的方式给教室里的座位编号,总共能 编出多少个不同的号码？
在这个问题中,号码必须由一个英文字母和 一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一 个号码要经过先确定一个英文字母，后确定 一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列 出所有可能的号码.
22464000
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法 一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数 量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法” 以提高效率呢？
二、探究新知
1.问题1:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同 的号码？
因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0~9共有10个,所以 总共可以编出26+10=36种不同的号码.
3.分步乘法计数原理
完成一件事，需要两个步骤: 做第1步 有m种不同的方法，做第2步有n种不同的 方法，则完成这件事共有:
N= m×n种不同的方法
巩固新知
4.例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法？
分析:选出一组参赛代表，可分两步： 第一步, 选男生；第二步,选女生
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事有n类不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么应当如 何计数呢?
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
从 21 至 30 中选 1 个号，从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，若这个人把满
足这种特殊要求的号买全，要花( )
A．3360 元
B．6720 元
C．4320 元
D．8640 元
解析 从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法；从 11 至 20 中选 2
个连续的号共有 9 种选法；从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法；从 31 至
解析 答案
使用分类加法计数原理时应注意的三方面 (1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是 各类方法数相加得到的． (2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定 的分类标准下进行分类． (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方 法都是不同的．
步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3
＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
解析 答案
(2)某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中选出 7 个号为一注，每注
2 元．某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个连续的号，
合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐
标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( )
A．12
B．8
C．6
D．4
解析 第一象限内不同点共有 2×2＝4 个，第二象限内不同点共有 1×2
＝2 个，故共有 4＋2＝6 个．故选 C.
解析 答案
6．某人有 3 个电子邮箱，他要发 5 封不同的电子邮件，则不同的发送 方法有________________________种．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
的偶数共有( )
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
解析：由题意，首位数字只能是 4,5，若万位是 5，则有 3×A34＝72(个)；若万位 是 4，则有 2×A34＝48(个)，故比 40 000 大的偶数共有 72＋48＝120(个)．故选 B.
分类加法计数原理与分步乘法计 数原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案 中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的 方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝ 1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．( √ ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )
题组二 教材改编 2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集合中各选一
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸
数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 C．729
B．204 D．920
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个．若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸 数”有 2×3＝6(个)．若 a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2 ＝9，满足条件的“凸数”有 8×9＝72(个)． 所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
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课时作业(一)分类加法计数原理与分步乘
法计数原理
[学业水平层次]
一、选择题
1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选出一名当组长，不同的选法有() A．32种B．9种C．12种D．20种
【解析】由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12种．
【答案】 C
2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()
A．53种B．35种
C．8种D．15种
【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．
【答案】 B
3．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有() A．3种B．6种C．7种D．9种
【解析】分3类：买1本书、买2本书、买3本书，各类的方法依次为3种、3种、1种，故共有购买方法3＋3＋1＝7种．
【答案】 C
4．如图1-1-1，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为()
图1-1-1
A．8 B．6 C．5 D．3
【解析】从A处到B处的电路接通可分为两步，第一步：前一个并联电路接通有2条线路；第二步：后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为3×2＝6，故选B.
【答案】 B
二、填空题
5．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有________种．
【解析】因为3科老师都布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有3种可能，所以4名学生都做作业的可能情况有3×3×3×3＝34(种)．【答案】34
6．某城市的电话号码，由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是________．
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107.所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝81×106＝8.1×107.
【答案】8.1×107
7．如图1-1-2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．
图1-1-2
【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BFGA，信息量最大为6；BCDA，信息量最大为3；BEDA信息量最大为4；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
【答案】19
三、解答题
8．某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
(1)
(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
【解】(1)从三个班中任选一名学生为学生会主席，可分三类：
第一类：从(1)班任选一名学生，有50种不同选法；
第二类：从(2)班任选一名学生，有60种不同选法；
第三类：从(3)班任选一名学生，有55种不同选法．
由分类加法计数原理知，
不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种)．
(2)由题设知共有三类：
第一类：从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第二类：从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第三类：从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法．
由分类加法计数原理可知，不同的选法共有
N＝30＋30＋20＝80(种)．
9．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)；
(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．
[能力提升层次]
1.一植物园参观路径如图1-1-3所示，若要全部参观并且路
线不重复，则不同的参观路线种数共有()
A．6种B．8种
C．36种D．48种图1-1-3
【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任
选一个，有6种结果，参观完一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，又参观第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．
【答案】 D
2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有()
A．180种B．360种
C．720种D．960种
【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．
【答案】 D
3．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则可表示________条不同的直线．
【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．
【答案】22
4．如图1-1-4，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，求不同的涂色方法有多少种．
图1-1-4
【解】∵图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种
类来分类，
B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种涂色方法；
B，D，E，F用三种颜色；则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种涂色方法；
B，D，E，F用两种颜色，则有A24×2×2＝48种涂色方法；
根据分类计数原理知共有24＋192＋48＝264种不同的涂色方法．。