用一元一次方程应用题

有关溶液的浓度应用题是初中 代数中列方程解应用题的一类基 本题． 解这类应用题， 本题 ． 解这类应用题 ， 关键的问 题是：抓住不变量( 题是：抓住不变量(如稀释前溶质 重量等于稀释后溶质重量)列方 程．
（1）求溶质
现有浓度为20 的盐水300克和浓度为30 20％ 300克和浓度为 例5 、现有浓度为20 ％的盐水300 克和浓度为30 的盐水200 200克 需配制成浓度为60 的盐水， 60％ ％的盐水200克，需配制成浓度为60％的盐水， 问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？ 问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？ 设两种溶液全部混合后，还需加盐x 解：设两种溶液全部混合后，还需加盐x克，注 意混合前后溶质总量不变，依题意得方程： 意混合前后溶质总量不变，依题意得方程： 20％ 300+30％ 200+x=60 60％ 300+200+x) +x)． 20％×300+30％×200+x=60％(300+200+x)． 化简得2x=900 解这个方程得x=450． 900． x=450 化简得2x=900．解这个方程得x=450． 两种溶液全部混合后，还需加盐450 450克 答：两种溶液全部混合后，还需加盐： 具体可从以下三条途径出发研究解决：
(1)图解分析： (1)图解分析： 图解分析 分析问题中的数量关系时，借助图 分析问题中的数量关系时， 可以使抽象的关系直观化、简单化， 形，可以使抽象的关系直观化、简单化， 根据题意画图列式是对同学们的思维能 力的有效培养．这里，应要求“ 力的有效培养．这里，应要求“图要达 意”，避免图上发生错误而造成列式错 误．
一、提出问题： 提出问题：
乙两个班， 甲 、 乙两个班 ， 原来甲班比乙 班多20 20人 现在学校从甲班抽调14 班多 20 人 ． 现在学校从甲班抽调 14 人去乙班， 人去乙班 ， 则甲班人数正好是乙班 人数的7 求甲、 人数的7/8，求甲、乙两个班的现有 人数． 人数．
算术解法：甲班原比乙班多20人 算术解法：甲班原比乙班多20人，乙班现 20 比甲班多14 14× 20（ ），相当于乙班现 比甲班多14×2-20（人），相当于乙班现 7 因此， 有人数的 (1 − ) .因此，乙班现有人数为 8 7 (14× 2 − 20) ÷ (1 − ) = 64(人) ，甲班现 8
2、抓住“不变量”解应用题 抓住“不变量”
列方程解应用题的关键是寻找数 量间的相等关系， 量间的相等关系，这要从分析题中的 基本量入手去寻找．一般说来， 基本量入手去寻找．一般说来，一个 问题中有几种基本量就可以找出几种 相等关系． 相等关系．但有些应用题中的相等关 系不外露，如能抓住问题中的“ 系不外露，如能抓住问题中的“不变 即可得到相等关系， 量”即可得到相等关系，从而列出方 甚至能找出多种解法， 程，甚至能找出多种解法，拓宽解题 思路． 思路．
(2)列表分析： 列表分析： 列表法的优点是通过列表归类使 对应量之间关系较为清晰， 对应量之间关系较为清晰，往往有利于 运用比例分析法显示解题思路． 运用比例分析法显示解题思路． 框图分析： (3)框图分析： 框图分析是由文字语言、 框图分析是由文字语言 、 符号语 言及长方格通过题中相等关系确立而成， 言及长方格通过题中相等关系确立而成， 容易操作，不拘一格。 容易操作，不拘一格。
列方程过程的实质有多种说法： 列方程过程的实质有多种说法：如“通过 分析， 找出等量关系， 而列出方程” 分析 ， 找出等量关系 ， 而列出方程 ” ， 或 把题目中蕴含的相等关系找出来， “把题目中蕴含的相等关系找出来，列出方 这些说法都指明了列方程的方向—— 程”．这些说法都指明了列方程的方向 找出相等关系．一般步骤如下： 找出相等关系．一般步骤如下： 审题、弄清题意，分清哪些是已知量， ( 1 ) 审题、 弄清题意 ，分清哪些是已知量，哪 些是未知量． 些是未知量． 设未知数， ( 2 ) 设未知数 ，选一个适当的未知量设为未知 数x ． 列方程． (3)列方程． 解所列的方程． (4)解所列的方程． 根据题意，作出答案． (5)根据题意，作出答案．
（2）求溶剂
要把浓度为90 的酒精溶液500 90％ 500克 例 6 、 要把浓度为 90 ％ 的酒精溶液 500 克 ， 稀释成浓度为75 的酒精溶液， 75％ 稀释成浓度为75％的酒精溶液，需加水 多少克． 多少克． 设需加水x 解：设需加水x克，因为加水前后溶质数 量不变， 量不变，依题意得方程 75％ x+500)=90 500)=90％ 500． 75％(x+500)=90％ ×500． 化简得15x=1500 15x=1500． 化简得15x=1500． 解这个方程得x=100． x=100 解这个方程得x=100． 需加水100 100克 答：需加水100克．
对比两种解法可以看出： 对比两种解法可以看出： 算术解法是把未知量置于特殊地位，设法用已知量 算术解法是把未知量置于特殊地位， 组成的混合运算式表示出来(在条件较复杂时， 组成的混合运算式表示出来(在条件较复杂时，列出这 样的式子往往比较困难) 样的式子往往比较困难)； 代数解法是把未知量与已知量同等对待( 代数解法是把未知量与已知量同等对待 ( 使未知量 在分析问题的过程中也能发挥作用) 在分析问题的过程中也能发挥作用)，找出各量之间的 等量关系，建立方程． 等量关系，建立方程． 因此，代数解法的“直截了当”比算术解法的“ 因此，代数解法的“直截了当”比算术解法的“拐 弯抹角” 要方便得多． 但是， 弯抹角 ” 要方便得多 ． 但是 ， 在由算术解法向代数解 法转化的过程中， 法转化的过程中 ， 同学们原来的思维定势不同程度的 成为接受新思想的障碍 ， 算术解法的思想会时隐时 要充分发挥代数解法的优越性， 现 ． 要充分发挥代数解法的优越性 ， 必须有意识地进 行对比性训练解题， 行对比性训练解题 ， 使同学们从思想上认识到学习代 数解法的必要性，而自觉地运用． 数解法的必要性，而自觉地运用．
某工人在一定时间内加工一批零件， 例 3 、 某工人在一定时间内加工一批零件 ， 如果每天加工44 44个就比规定任务少加工 如果每天加工44 个就比规定任务少加工 20个 如果每天加工50 50个 则可超额10 20个；如果每天加工50个，则可超额10 个 ． 求规定加工的零件数和计划加工的 天数． 天数． 分析：本题每天加工的零件数是变量， 分析：本题每天加工的零件数是变量，实 际做的工作总量也随着变化，但有两个 际做的工作总量也随着变化， 不变量，即计划加工的时间不变， 不变量 ， 即计划加工的时间不变 ， 规定 任务不变，这就是题目中的等量关系， 任务不变 ， 这就是题目中的等量关系， 故可得到两种解法． 故可得到两种解法．
7 有人数为 64× = 56(人). 8
代数解法：设甲班现有x 代数解法：设甲班现有x人，则乙班现有 x+14× 20=x+8（ ），因此， x+14×2-20=x+8（人），因此， 因此 7 ( x + 8) = x, x = 56(人). 即甲班现有56 即甲班现有56 8 乙班现有64 64人 人，乙班现有64人.
例1、某连队从驻地出发前往某地执行任 行军速度是6 千米/ 18分钟后 分钟后， 务 ． 行军速度是 6 千米 / 时 ， 18 分钟后 ， 驻地接到紧急命令， 驻地接到紧急命令 ， 派遣通讯员小王 必须在一刻钟内把命令传达给连 小王骑自行车以14千米/ 14千米 队． 小王骑自行车以 14 千米/ 时的速度 沿同一路线追赶连队． 问是否能在规 沿同一路线追赶连队 ． 定时间内完成任务． 定时间内完成任务．
（3）求溶液
有若干克4 的盐水蒸发了一些水分后， 例7、有若干克4％的盐水蒸发了一些水分后， 变成10 的盐水，接着加进4 的盐水300 10％ 300克 变成10 ％的盐水，接着加进4 ％的盐水300 克， 混合后变为6 的盐水， 混合后变为6.4％的盐水， 最初有盐水多少克？ 问:最初有盐水多少克？ 解 ： 设最初有盐水x 克 ， 注意混合后的含盐量， 设最初有盐水 x 注意混合后的含盐量 ， 依题意得方程 4%⋅ x 4%⋅ x + 4%⋅ 300 = 6.4% ( + 300). 10% 44x=720． x=720 化简得 1.44x=720． 解这个方程得x=500． x=500 解这个方程得x=500． 最初有盐水500 500克 答：最初有盐水500克．
汽船从甲地顺水开往乙地， 例2、汽船从甲地顺水开往乙地，所用 时间比从乙地逆水开往甲地少1 . 5 小 时间比从乙地逆水开往甲地少 1 已知此船在静水中速度为18 18千米 时．已知此船在静水中速度为18千米 水流速度为2 千米/ 求甲、 / 时 ， 水流速度为 2 千米 / 时 ． 求甲 、 乙两地间的距离． 乙两地间的距离．
（4）求浓度
例 8 、 甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液 甲种硫酸溶液5 份与乙种硫酸溶液3 的 1 . 5 倍 ， 甲种硫酸溶液 5 份与乙种硫酸溶液 3 份混 合成的硫酸溶液含硫酸52 52. 合成的硫酸溶液含硫酸52.5％，求两种硫酸溶液含 硫酸的百分数． 硫酸的百分数． 设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为x 解 ： 设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为 x， 则甲种硫 酸溶液含硫酸的百分数为1 酸溶液含硫酸的百分数为1.5x，依题意得方程 x+3x=52 52. 5×1.5x+3x=52.5％×8． 化简得105x=42 解这个方程得x= 105x=42． x=0 40％ 化简得105x=42．解这个方程得x=0.4=40％， x=1 60％ 则 1.5x=1.5×0.4=0.6=60％． 答：甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60％，乙种硫酸 甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60％ 60 溶液含硫酸的百分数是40 40％ 溶液含硫酸的百分数是40％．
二、知识梳理： 知识梳理：
1、列方程解应用题: 列方程解应用题: 学习列方程解应用题是十分重要的， 学习列方程解应用题是十分重要的 ， 首 先从学习内容上讲， 先从学习内容上讲 ， 中学数学的学习离不开 方程，离不开利用列方程来解决应用问题， 方程 ， 离不开利用列方程来解决应用问题 ， 特别是我们已经明确了这样一种思想： 特别是我们已经明确了这样一种思想 ： 学习 数学重在应用． 数学重在应用 ． 因此列方程解应用题中蕴含 的思想方法对学习者而言是十分重要的． 的思想方法对学习者而言是十分重要的 ． 第 二 ， 通过列方程解应用题可以培养和提高分 析问题和解决问题的能力． 析问题和解决问题的能力 ． 这对于一个人的 发展也是十分重要的． 发展也是十分重要的．