2018江苏六市二模Word版含答案 江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研(二模)(3月)数学
2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习：练习册 第四章三角函数
第四章 三角函数第20课 弧度制与任意角的三角函数A. 课时精练一、 填空题1. 已知角α的终边过点P(－1，2)，那么cos α＝________．2. 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，那么角α在第________象限．3. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．4. 若扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．5. 若角600°的终边上有一点(－4，a)，则实数a ＝________．6. 已知点 P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4在角 θ的终边上(角θ的顶点为原点，始边为x 轴正半轴)，那么tan θ的值为________．7. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，那么cos θ＝________．8. sin 2，cos 2，tan 2从小到大的关系是____________．二、 解答题9. 已知角α的终边在直线y＝3x上，用三角函数的定义求2sinα＋cosα的值．10.已知一个扇形OAB的周长为20，当该扇形的半径、圆心角各取何值时，它的面积最大？11. 已知A(x A，y A)是单位圆(圆心为坐标原点O，半径为1)上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转π6到OB，交单位圆于点B(x B，y B)，已知m>0，若my A－2y B的最大值为2，求实数m的值．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x－1＋1e x，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则实数k＝________．2. 若函数1,0,()2,0,xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩则满足f(x)＋f⎝⎛⎭⎫x－12>1的x的取值范围是________．3.已知a∈R，函数f(x)＝ln x－ax＋1.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围．第21课 同角三角函数间基本关系式A. 课时精练一、 填空题1. 若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________．2. (2017·江南十校联盟)已知tan α＝－34，那么sin α(sin α－cos α)＝________．3. 若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则tan θ＝________．4. 已知sin αcos α＝38且0<α<π4，那么cos α－sin α的值是________．5. 若tan θ＋1tan θ＝4，则sin θcos θ＝________．6. 化简：sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝________．7. 已知tan α＝2，那么4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________．8. (2017·南通调研)若定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝5cos 2x 的图象与y ＝2－sin x 的图象的交点横坐标为x 0，则tan x 0的值为________．二、 解答题9. 已知f(α)＝cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α. (1) 当α为第二象限角时，化简f(α)；(2) 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，求f(α)的最大值．10. 已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求下列各式的值．(1) sin α－3cos αsin α－cos α； (2) sin αcos α－sin 2α；(3) sin 2α－3sin αcos α－2.11. 已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两个根为sin θ和cos θ.(1) 求实数m 的值；(2) 求1＋sin θ＋cos θ＋2sin θcos θ1＋sin θ＋cos θ的值．B. 滚动小练1. 若函数f(x)＝x （2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝________．2. 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1) 若对任意的x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 若对任意的a ∈[－1，1]，f(x)>4恒成立，求实数x 的取值范围．第22课 三角函数的诱导公式A. 课时精练一、 填空题1. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，那么sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________．2. (2017 ·扬州中学)已知θ为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫θ－3π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________．3. 若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a ，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值是________．4. 计算：sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．5. 已知cos (75°＋α)＝13，α为第三象限角，那么cos (105°－α)＋sin (α－105°)＝________．6. 已知sin (－π＋θ)＋2cos (3π－θ)＝0，那么sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．7. 若θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________．8. 若f(x)＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β是常数)，且f(2 017)＝5，则f(2 018)＝________．二、 解答题9. 已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，分别求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α，cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．10. 已知0<α<π2，cos (2π－α)－sin (π－α)＝－55. (1) 求sin α＋cos α的值；(2) 求cos 2⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋2cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α1＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α的值．11. 已知f(α)＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1) 化简f(α)；(2) 求f(1°)·f(2°)·f(3°)·…·f(89°)的值．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，且f(x ＋2)是偶函数，那么f(1)，f ⎝⎛⎭⎫52，f ⎝⎛⎭⎫72的大小关系是____________．2. 已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是____________．3. (2017·南师附中)已知函数f(x)＝x 3＋32(1－a)x 2－3ax ＋1，a>0. (1) 试讨论f(x)(x ≥0)的单调性；(2) 求证：对于正数a ，存在正数p ，使得当x ∈[0，p]时，有－1≤f(x)≤1.第23课 两角和与差的三角函数A. 课时精练一、 填空题1. 计算：sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________．2. 若α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．3. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．4. 已知tan α＝12，tan (α－β)＝－13，那么tan (β－2α)＝________．5. (2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，那么cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________．6. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，那么tan (α－β)的值为________．7. (2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，那么sin (α＋β)＝________．8. (2018·广东一模)已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，那么m ＝________．二、 解答题9. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值．10. 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos β＝－13，sin (α＋β)＝79. (1) 求sin α的值；(2) 求sin (2α＋β)的值．11. 已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos (β－α)＝210. (1) 求sin α的值；(2) 求角β的大小．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝22,2,(),2.x a x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ________．2. 若函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集 为________．3. 已知函数f(x)＝4x －2x ，实数s ，t 满足f(s)＋f(t)＝0，设a ＝2s ＋2t ，b ＝2s ＋t . (1) 当函数f(x)的定义域为[－1，1]时，求函数f(x)的值域；(2) 求函数关系式b ＝g(a)，并求函数g(a)的定义域．第24课 二倍角的正弦、余弦与正切A. 课时精练一、 填空题1. (2018·马鞍山一检)若sin 2α＝cos α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan 2α的值是________．2. (2017·山东卷)已知cos x ＝34，那么cos 2x ＝________．3. (2018·福州期末)若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝________．4. 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α＝________．5. 若sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为________．6. 式子12－cos 2θ＋12－sin 2θ(θ∈R )的最小值为________．7. 若sin (π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值为________．8. (2018·芜湖期末)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝________．二、 解答题9. 已知0<α<π2，且sin α＝45，求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值．10. 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝55. (1) 求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．11. 已知函数f(x)＝2cos 2x 2－3sin x. (1) 求函数f(x)的最小正周期和值域；(2) 若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．B. 滚动小练1. (2017·南京三模)已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎫x －32，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．2. (2017·苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．3. (2017·南通调研改编)若函数f(x)＝e x ＋x 2－mx 在点(1，f(1))处的切线斜率为e ＋1.(1) 求实数m 的值；(2) 求函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值．第25课 三角恒等变换A. 课时精练一、 填空题1. 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________．2. (2018·珠海一模)已知α，β均为锐角，cos β＝63，cos (α＋β)＝12，那么cos α＝________．3. (2018·衡水模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫x －9π14·cos π7＋cos ⎝⎛⎭⎫x －9π14·sin π7＝35，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，那么tan 2x ＝________．4. 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，则tan α＝________．5. 已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，那么cos 2α＝________．6. 若sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为________．7. 已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝13，那么sin ⎝⎛⎭⎫5π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值为________．8. 已知α是第一象限的角，且cos α＝513，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos （2α＋4π）的值为________．二、 解答题9. 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且tan α＝－2. (1) 求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值．10. (2017·南通调研)已知tan α＝2，cos β＝－7210，且α，β∈(0，π)， (1) 求cos 2α的值； (2) 求2α－β的值．11. (2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin 2x ＋3sin x cos x. (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．B. 滚动小练1. (2018·邯郸一模)若函数f(x)＝221,1,()1,1x x f x x ax x ⎧+≥=⎨-++<⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为________．2. 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝________．3. 已知函数f(x)＝e x －ax(e 为自然对数的底数，a 为常数)的图象在点(0，1)处的切线斜率 为－1.(1) 求a 的值及函数f(x)的极值；(2) 求证：当x ＞0时，x 2＜e x .第26课 三角函数的图象和性质A. 课时精练一、 填空题1. (2017·苏北四市期末)若函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω＞0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．2. 若函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象关于直线x ＝x 0对称，则|x 0|的最小值为________．3. (2018·长沙一模)已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象中相邻两条对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，3)，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 4. 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，f(x)的值域是________．(第4题)5. 已知函数y ＝cos 2x ＋32sin 2x －12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，那么该函数的值域为________． 6. (2018·厦门期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f(x)＝sin 2(x ＋φ)的单调增区间为________．7. 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于y 轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN 是以MN 为斜边的等腰直角三角形，且MN·MP ＝22，则f(1)的值为________．(第7题)8. (2018·长沙一模)已知将函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π6图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图象，若y ＝f(x)＋a 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题9. 已知函数f(x)＝a sin x cos x －b(cos 2x －sin 2x)(x ∈R ，a ，b 为常数)，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝34，f ⎝⎛⎭⎫π12＝－14. (1) 求f (x )的单调增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值与最小值．10. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，7π12上的最大值和最小值．11. 已知函数f(x)＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1(ω>0)的图象上两个相邻的最高点之间的距离为π.(1) 求函数f(x)的单调增区间； (2) 若f(θ)＝23，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－4θ的值．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x ＋1|x|＋1，x ∈R ，那么不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．2. 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值．3. 已知函数f(x)＝1＋ln x －k （x －2）x，其中k 为常数． (1) 若k ＝0，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2) 若k ＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点．第27课 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)的图象和性质A. 课时精练一、 填空题1. (2018·上饶一模)若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，则所得图象对应的解析式是____________．2. (2018·石家庄一检)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．3. 若函数y ＝sin ωx(ω＞0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx(ω＞0)的单调增区间是________．(第3题)4. 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为____________．5. (2018·南京学情调研)若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(－π)的值为________．(第5题)6. (2018·无锡期末)若函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象重合，则φ＝________．7. 已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象，且函数g(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，那么实数ω的值为________．8. (2018·苏州暑假测试)将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数y ＝f(x)的图象过原点，则φ的值是________．二、 解答题9. (2017·山东卷)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1) 求ω的值；(2) 将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．10. 已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示． (1) 求函数f(x)的解析式，并写出它的单调减区间；(2)已知△ABC 的内角分别是A ，B ，C ，若A 为锐角，且f ⎝⎛⎭⎫A 2－π12＝12，cos B ＝45，求sin C 的值．(第10题)11. (2018·天津期末)已知函数f(x)＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R . (1) 求f (x )的最小正周期；(2) 求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值与最小值．B. 滚动小练1. 若集合A ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则(∁R A )∩B ＝________．2. 已知函数221,0,()2,0.x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝ln x －px ＋1. (1) 求函数f(x)的极值点；(2) 当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有f(x)≤0，求p 的取值范围．第28课 三角函数的综合应用A. 课时精练一、 填空题1. 如图所示是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的________．2. 若电流强度I(单位：A )随时间t(单位：s )变化的函数I ＝A sin (ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如图所示，则当t ＝1100s 时，电流强度是________A .,(第2题))3. 稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin (ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)．已知第一、二季度的平均单价如下表所示：那么此楼盘在第三季度的平均单价大约是________．4. 根据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)．已知3月份价格达到最高为9千元，7月份价格达到最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________________．二、解答题5. (2017·南通模拟)如图，已知ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90m的底面为扇形的小山(P为圆弧TS上的点)，其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个两边落在BC及CD上的长方形停车场PQCR.(1) 设∠PAB＝θ，设将矩形PQCR面积表示为θ的函数；(2) 求停车场PQCR面积的最大值及最小值．(第5题)6. (2017·苏锡常镇调研(一))某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC，如图所示．设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)．彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l.(1) 请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；(2) 问：当α为何值时l最小，并求最小值．(第6题)7. (2017·无锡期末)某地拟在一个U形水面PABQ(∠A＝∠B＝90°)上修一条堤坝EN(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用来种植水生植物．为了美观起见，决定从AB 上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分，如图所示，每部分种植不同的水生植物．已知AB＝a，EM＝BM，∠MEN＝90°，设所拉分隔线总长度为l.(1) 设∠AME＝2θ，写出用θ表示的l的函数表达式，并写出定义域；(2) 求l的最小值．(第7题)B. 滚动小练1. 若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直， 则实数a 的值为________．2. 已知函数f(x)＝22,1,()22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩那么满足f(a)≥2的实数a 的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R . (1) 求函数f (x )的最小正周期； (2) 求函数f (x )的单调增区间； (3) 若f (α)＝34，求sin2α的值．。
专题四 正确运用常见的修辞手法和选用、仿用、变换句式
三年模拟
A组 2016—2018年高考模拟·基础题组
3.(2016山东,17)拖延症的表现是,在能够预料后果不良的情况下,仍然把计划要做的事情一再 推迟。请运用比喻、比拟的修辞手法写出拖延症的危害。不超过40个字。(4分) 答案 (示例)拖延症是生命的窃贼,它会在不知不觉中,盗取你的热情,偷走你的机会。
解析 这道题的题型比较新颖。做题时,我们要通过题干明确拖延症的定义,并利用比喻、比 拟的修辞手法,把这种行为习惯生动地描绘出来,给人以警醒。
致;个别词语可与示例重复,字数也可略有增减。(4分)
示例:就像穿衣服扣扣子一样,如果第一粒扣子扣错了,剩余的扣子都会扣错;人生的扣子从一
开始就要扣好。
仿句:
,
,
;
。
答案 就像下棋一样 如果一个棋子走错了 整盘棋都可能会输掉 人生这盘棋每一步都 要走好
解析 仿写时,需要注意形式和内容两个方面。形式上要认真分析例句,把握结构特征,例句的 基本句式为“就像……一样,如果……”;内容上,需要运用比喻修辞,从生活常见现象入手,反 映人生道理。
专题四 正确运用常见的修辞手法和选用、 仿用、变换句式
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,2)下列句子中,没有使用比喻手法的一项是(3分) ( ) A.“一带一路”是我国为推动经济全球化而提出的一项互利共赢的倡议,它已成为推动全球 经济转型升级、走出衰退困境的新引擎。 B.气象部门预计,随着暖湿气流增强,我省明天会迎来一场及时雨,空气中污染物浓度将快速下 降,人们的舒适度会大幅度提升。 C.一种突如其来的网络病毒洪水猛兽般地袭击全球,导致150多个国家受灾,我国也有近3万家 机构的计算机受到影响。 D.我国企业在参与发展中国家的基础设施建设过程中,主动强化环保意识,积极承担社会责任, 带动了东道国在观念上弯道超车。
2020高考化学 难点剖析 专题08 氧化还原反应讲解
【2019最新】精选高考化学 难点剖析 专题08 氧化还原反应讲解一、高考题再现1．（2018北京）下列实验中的颜色变化，与氧化还原反应无关的是【答案】C反应前后元素化合价不变，不是氧化还原反应；D 项，Cu 与稀HNO3反应生成Cu （NO3）2、NO 气体和H2O ，气体由无色变为红棕色时的反应为2NO+O2=2NO2，反应前后元素化合价有升降，为氧化还原反应；与氧化还原反应无关的是C 项。
2．（2018江苏）根据下列实验操作和现象所得出的结论正确的是【答案】B【解析】A项，向苯酚浊液中加入Na2CO3溶液，浊液变清，发生反应+Na2CO3→+NaHCO3，酸性：H2CO3HCO3-，A项错误；B项，向碘水中加入等体积CCl4，振荡后静置，上层接近无色，下层显紫红色，说明CCl4将I2从碘水中萃取出来，I2在CCl4中的溶解度大于在水中的溶解度，B项正确；C项，向CuSO4溶液中加入铁粉，有红色固体析出，发生的反应为Fe+Cu2+=Fe2++Cu，根据同一反应中氧化性：氧化剂氧化产物，氧化性Cu2+Fe2+，C项错误；D项，向NaCl、NaI的混合稀溶液中滴入少量稀AgNO3溶液，有黄色沉淀生成，说明先达到AgI的溶度积，但由于NaCl、NaI的浓度未知，不能说明AgCl、AgI溶度积的大小，D项错误。
二、考点突破1．氧化还原反应的实质有电子得失或偏移（微观）。
特征：有化合价变化（升降）（宏观）。
2．有关氧化还原反应的一些基本概念得电子→化合价下降→作氧化剂→发生还原反应→得到还原产物失电子→化合价上升→作还原剂→发生氧化反应→得到氧化产物3．氧化性、还原性强弱的判断（1）根据微粒结构。
原子最外层电子数多、半径小→易得电子→氧化性强。
如同周期：。
F O N C>>>同主族：。
F Cl Br I>>>原子最外层电子数少、半径大→易失电子→还原性强。
如同周期：。
2021年高考化学总复习：化工流程中铝化合物的处理
2021年高考化学总复习：化工流程中铝化合物的处理1.（2019全国Ⅲ卷）高纯硫酸锰作为合成镍钴锰三元正极材料的原料，工业上可由天然二氧化锰粉与硫化锰矿（还含Fe、Al、Mg、Zn、Ni、Si等元素）制备，工艺如下图所示。
回答下列问题：相关金属离子[c0(Mn+)=0.1 mol·L−1]形成氢氧化物沉淀的pH范围如下：金属离子Mn2+Fe2+Fe3+Al3+Mg2+Zn2+Ni2+开始沉淀的pH 8.1 6.3 1.5 3.4 8.9 6.2 6.9沉淀完全的pH 10.1 8.3 2.8 4.7 10.9 8.2 8.9（1）“滤渣1”含有S和__________________________；写出“溶浸”中二氧化锰与硫化锰反应的化学方程式____________________________________________________。
（2）“氧化”中添加适量的MnO2的作用是将________________________。
（3）“调pH”除铁和铝，溶液的pH范围应调节为_______~6之间。
（4）“除杂1”的目的是除去Zn2+和Ni2+，“滤渣3”的主要成分是______________。
（5）“除杂2”的目的是生成MgF2沉淀除去Mg2+。
若溶液酸度过高，Mg2+沉淀不完全，原因是_____________________________________________________________________。
（6）写出“沉锰”的离子方程式___________________________________________________。
（7）层状镍钴锰三元材料可作为锂离子电池正极材料，其化学式为LiNi x Co y Mn z O2，其中Ni、Co、Mn的化合价分别为+2、+3、+4。
当x=y=13时，z=___________。
2、（2018年江苏化学）以高硫铝土矿（主要成分为Al2O3、Fe2O3、SiO2，少量FeS2和金属硫酸盐）为原料，生产氧化铝并获得Fe3O4的部分工艺流程如下：（1）焙烧过程均会产生SO2，用NaOH溶液吸收过量SO2的离子方程式为______________________。
高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B 级要求. 2.考查n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B 级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B 级要求．热点一 计数原理与二项式定理例1 (2018·苏州调研)已知f n (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 3n ，n ∈N *.(1)当a ＝1时，求f 5(x )展开式中的常数项；(2)若二项式f n (x )的展开式中含有x 7的项，当n 取最小值时，展开式中含x 的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a 的值．解 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 3n的展开式通项为T r ＋1＝C r n ()x 2n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a x 3r ＝C r n (3a )r x2n －5r(r ＝0,1,2，…，n )， (1)当n ＝5，a ＝1时，f (x )的展开式的常数项为T 3＝9C 25＝90. (2)令2n －5r ＝7，则r ＝2n －75∈N ，所以n 的最小值为6，当n ＝6时，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 36的展开式通项为T r ＋1＝C r 6(3a )r x12－5r(r ＝0,1,2，…，6)， 则展开式中含x 的正整数次幂的项为T 1，T 2，T 3，它们的系数之和为 C 06＋C 16(3a )＋C 26(3a )2＝135a 2＋18a ＋1＝10， 即15a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－13或15.思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别． (2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．(3)关于x 的二项式(a ＋bx )n(a ，b 为常数)的展开式可以看成是关于x 的函数，且当x 给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．跟踪演练1 (2018·江苏丹阳高级中学期中)设n ≥3，n ∈N *，在集合{}1，2，…，n 的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a ，较小元素之和记为b . (1)当n ＝3时，求a ，b 的值；(2)求证：对任意的n ≥3，n ∈N *，b a为定值．(1)解 当n ＝3时，集合{}1，2，3的所有元素个数为2的子集为{}1，2， {}1，3，{}2，3，所以a ＝2＋3＋3＝8,b ＝1＋1＋2＝4.(2)证明 当n ≥3，n ∈N *时，依题意，b ＝1×C 1n －1＋2×C 1n －2＋3×C 1n －3＋…＋()n －2×1(2)C n n --＋()n －1×1(1)C n n --， a ＝2×C 11＋3×C 12＋4×C 13＋…＋()n －1×C 1n －2＋n ×C 1n －1＝2×1＋3×2＋4×3＋…＋()n －1×()n －2＋n ×()n －1.则a2＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1， 所以a ＝2C 3n ＋1.又a ＋b ＝(n －1)(1＋2＋3＋…＋n )＝n ()n ＋12×()n －1＝3C 3n ＋1，所以b ＝C 3n ＋1.故b a ＝12.热点二 随机变量及其概率分布例2 (2018·南京师大附中考前模拟)如图，设P 1，P 2，…，P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S .(1)求S ＝32的概率； (2)求S 的概率分布及数学期望E (S )．解 (1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形，(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35. (2)S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)， 共6种，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝34＝6C 36＝310. S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)， 共2种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝334＝2C 36＝110.又由(1)知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35，故S 的概率分布为所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. 思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算．跟踪演练2 (2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元．(1)求概率P ()X ＝600；(2)求X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形． ∴P ()X ＝600＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521. (2)X 的所有可能值为300,400,500,600,700. 则P ()X ＝300＝C 34C 39＝484＝121，P ()X ＝400＝C 14·C 24C 39＝2484＝27，P ()X ＝500＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514， P (X ＝600)＝521，P ()X ＝700＝C 11·C 24C 39＝684＝114.∴X 的概率分布为∴E ()X ＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.热点三 数学归纳法例3 (2018·江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)已知数列{}a n 满足a n ＝C 0n ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n 2n ，n ∈N *. (1)求a 1, a 2, a 3的值；(2)猜想数列{}a n 的通项公式，并证明． 解 (1)a 1＝2, a 2＝4, a 3＝8. (2)猜想： a n ＝2n (n ∈N *)． 证明如下：①当n ＝1时，由(1)知结论成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立， 则有a k ＝C 0k ＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C kk ＋k 2k ＝2k.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝C 0k ＋1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝C 0k ＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1 ＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k . 又Ck ＋1k ＋1＋k＝()2k ＋1！k ！()k ＋1！＝()2k ＋1！()k ＋1()k ＋1k ！()k ＋1！＝12()2k ＋1！()2k ＋2()k ＋1！()k ＋1！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1， a k ＋1＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，于是a k ＋1＝2k＋12a k ＋1.所以a k ＋1＝2k ＋1,故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得，a n ＝2n，n ∈N *.思维升华 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．跟踪演练3 (2018·常州期末)记()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n (n ≥2且n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为S n ，含x 2项的系数为T n . (1)求S n ；(2)若T nS n＝an 2＋bn ＋c 对n ＝2,3,4成立，求实数a ，b ，c 的值； (3)对(2)中的实数a ，b ，c 用数学归纳法证明：对任意n ≥2且n ∈N*, T nS n＝an 2＋bn ＋c 都成立． (1)解 S n ＝1＋2＋…＋nn ！＝ n ＋12()n －1！.(2)解T 2S 2＝23， T 3S 3＝116， T 4S 4＝72，则⎩⎪⎨⎪⎧23＝4a ＋2b ＋c ，116＝9a ＋3b ＋c ，72＝16a ＋4b ＋c ，解得a ＝14， b ＝－112， c ＝－16，(3)证明 ①当n ＝2时，由(2)知等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥2)时，等式成立，即T k S k ＝14k 2－112k －16. 当n ＝k ＋1时，由f (x )＝()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ！＋S k x ＋T k x 2＋…⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1，知T k ＋1＝S k ＋1k ＋1T k ＝k ＋12()k －1！·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－112k －16，所以T k ＋1S k ＋1＝ k ＋12()k －1！⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－112k －16k ＋1＋12k ！＝k k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1＋3k 2－k －212＝k ()3k ＋512，又14()k ＋12－112()k ＋1－16 ＝k ()3k ＋512， 等式也成立；综上可得，对任意n ≥2且n ∈N *，都有T n S n ＝n 24－n 12－16成立．1．(2018·全国大联考江苏卷)(1)求4C 47－7C 36＋k C k n n C k －1n －1(n ≥k ，且n ，k ∈N *)的值．(2)设f (n )＝1·C 1n ·3＋2·C 2n ·32＋…＋n C n n ·3n (n ∈N *)，求方程f (n )＝3 840的所有解． 解 (1)因为4C 47＝4×35＝140, 7C 36＝7×20＝140，k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝ n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝n C k －1n －1(n ≥k ，且n ，k ∈N *)． 所以4C 47－7C 36＋k C knn C k －1n －1＝1.(2)由(1)知k C k n ＝n C k －1n －1对1≤k ≤n ，且n ，k ∈N *成立． 所以f (n )＝n (C 0n －13＋C 1n －132＋…＋C n －1n －13n)， 所以f (n )＝3n (C 0n －1＋C 1n －13＋…＋C n －1n －13n －1)＝3n (1＋3)n －1＝3n ·4n －1(n ∈N *)．又因为f (n ＋1)f (n )＝3(n ＋1)·4n 3n ·4n －1 ＝4(n ＋1)n ＝4＋4n>1，即f (n ＋1)>f (n )对n ∈N *成立， 所以f (n )是关于n (n ∈N *)的递增函数． 又因为f (n )＝3 840＝3×5×44＝f (5)，所以当且仅当n ＝5时才满足条件，即n ＝5是方程f (n )＝3 840的唯一解．2．(2018·江苏)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.3．已知实数数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＝n ＋23n·(a n －1＋2)，n ≥2. 证明：当n ≥2时，{a n }是单调减数列． 证明 当n ≥1时，有a n ＋1－a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋33(n ＋1)－1a n ＋2(n ＋3)3(n ＋1)＝23(n ＋1)(n ＋3－na n)．下面用数学归纳法证明：a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝2时，a 2＝46(3＋2)＝103>1＋32；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，结论成立，即a k >1＋3k.那么，a k ＋1＝k ＋33(k ＋1)(a k ＋2)>k ＋33(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3k ＋2＝1＋3k >1＋31＋k.故由(1)(2)知，a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．因此，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＋1－a n ＝23(n ＋1)(n ＋3－na n )<0，即当n ≥2时，{a n }是单调减数列．4．(2018·江苏盐城中学模拟)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a (a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a .求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解 (1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“没有1首原创新曲被演唱”．所以P (A )＝1－P (A )＝1－C 45C 48＝1314.所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314.(2)设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0,1,2,3. 依题意知，X ＝ax ＋2a (4－x )，故X 的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a .则P (X ＝8a )＝P (x ＝0)＝C 45C 48＝114，P (X ＝7a )＝P (x ＝1)＝C 13C 35C 48＝37，P (X ＝6a )＝P (x ＝2)＝C 23C 25C 48＝37，P (X ＝5a )＝P (x ＝3)＝C 33C 15C 48＝114.从而X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝8a ×114＋7a ×37＋6a ×37＋5a ×114＝132a .A 组 专题通关1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E (X )． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， P (X ＝k )＝C k5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝5×13＝53.2．(2018·江苏省南京师大附中模拟)设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集．(1)若M ＝{a 1，a 2}，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(A ，B )的个数；(2)若M ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }，且A 的元素个数比B 的元素个数少，求所有有序集合对(A ，B )的个数．解 (1)若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}， 则A ＝∅，{}a 1，{}a 2，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 12种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为C 12×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5.(2)集合M 有2n个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n－1)．若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为 C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C nn －1)＝ ()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn )，又(x ＋1)n(x ＋1)n的展开式中x n的系数为()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2,且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n2n ， 所以()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2＝C n2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时， 有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n.所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为 2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n2n2.3．已知()1＋x 2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝∑nk ＝0()2k ＋1a n －k .(1)求T 2的值；(2)化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *,T n 都能被4n ＋2整除． 解 由二项式定理，得a i ＝C i2n ＋1(i ＝0,1,2，…，2n ＋1)． (1)T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C 25＋3C 15＋5C 05＝30. (2)∵()n ＋1＋k C n ＋1＋k2n ＋1＝()n ＋1＋k ·()2n ＋1！()n ＋1＋k ！()n －k ！＝()2n ＋1·()2n ！()n ＋k ！()n －k ！＝()2n ＋1C n ＋k2n ，∴T n ＝∑nk ＝0()2k ＋1a n －k ＝∑nk ＝0()2k ＋1Cn －k 2n ＋1＝∑nk ＝0()2k ＋1C n ＋1＋k2n ＋1＝∑nk ＝0[]2()n ＋1＋k －()2n ＋1C n ＋1＋k2n ＋1＝2∑nk ＝0()n ＋1＋k Cn ＋1＋k 2n ＋1－()2n ＋1∑nk ＝0C n ＋1＋k2n ＋1＝2()2n ＋1∑nk ＝0Cn ＋k 2n－()2n ＋1∑nk ＝0C n ＋1＋k 2n ＋1＝2()2n ＋1·12·()22n ＋C n 2n －()2n ＋1·12·22n ＋1＝()2n ＋1C n 2n .∴T n ＝()2n ＋1C n2n ＝()2n ＋1()C n －12n －1＋C n2n －1＝2()2n ＋1C n2n －1.∵C n 2n －1∈N *，∴T n 能被4n ＋2整除．4．是否存在正整数m 使得f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9对任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解 由f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36，由此猜想m ＝36. 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，结论成立，即f (k )能被36整除， 设f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9＝t ·36. 当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝(2k ＋7)·3k ＋1＋2·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k＋9]＋18(3k －1－1)＝3·36t ＋18·2s ＝36(3t ＋s )． 所以当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切正整数n ，存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9都能被m 整除，m 的最大值为36.B 组 能力提高5．(2018·常州模拟)已知正四棱锥P －ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)； 若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)． (1)求P ()ξ＝0的值；(2)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ()ξ.解 根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC ，△PBD 为等腰直角三角形， ξ的可能取值为： 0, π3， π2，共C 28＝28种情况，其中，当ξ＝0时，有2种；当ξ＝π3时，有3×4＋2×4＝20(种)；当ξ＝π2时，有2＋4＝6(种)．(1)P ()ξ＝0＝228＝114. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π3＝2028＝57， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π2＝628＝314， 根据(1)的结论，随机变量的概率分布如下表：根据上表， E ()ξ＝0×114＋π3×57＋π2×314＝2984π. 6．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．(1)解 当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C nn ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明 P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m )． 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.7．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 3是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的前三项的系数．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项；(2)当n ≥2时，试比较1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2与13的大小．解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…＋C m m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x m，依题意a 1＝1，a 2＝12m ，a 3＝m (m －1)8，由2a 2＝a 1＋a 3，可得m ＝1(舍去)或m ＝8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项是第五项，T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. (2)由(1)知，a n ＝3n －2，当n ＝2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140>13；当n ＝3时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125＝17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋113＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119＋122＋125 >18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116＋116＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332>18＋316＋116>13. 猜测：当n ≥2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13.以下用数学归纳法加以证明： ①当n ＝2时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋2＋…＋1a k 2>13，则当n ＝k ＋1时，1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k ＋1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a k 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2＋1＋1a k 2＋2＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2＋1＋1a k 2＋2＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋2k ＋1a (k ＋1)2－1a k＝13＋2k ＋13(k ＋1)2－2－13k －2＝13＋(2k ＋1)(3k －2)－[3(k ＋1)2－2][3(k ＋1)2－2](3k －2) ＝13＋3k 2－7k －3[3(k ＋1)2－2](3k －2). 由k ≥3可知，3k 2－7k －3>0， 即1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2>13. 综合①②，可得当n ≥2时， 1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13. 8．设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n ＝sin n π2·tan nθ，其前n 项和为S n .(1)求证：当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝(－1)12n -tan nθ.(2)求证：对任意正整数n ，S 2n ＝12sin 2θ·[1＋(－1)n ＋1·tan 2nθ]．证明 (1)因为a n ＝sinn π2tan nθ.当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈N *)，a n ＝a 2k ＝sin 2k π2tan 2k θ＝sin k π·tan 2kθ＝0，a n ＝0.当n 为奇数时，设n ＝2k －1(k ∈N *)，a n ＝a 2k －1 ＝sin (2k －1)π2tan 2k －1θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2·tan 2k －1θ.当k ＝2m (m ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－π2·tan 4m －1θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2·tan 4m －1θ＝－tan 4m －1θ，此时n －12＝2m －1，a n ＝a 2k －1＝－tan 4m －1θ＝(－1)2m －1tan 4m －1θ＝(－1)12n -tan nθ.当k ＝2m －1(m ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－3π2·tan 4m －3θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2·tan 4m －3θ＝tan 4m －3θ，此时n －12＝2m －2，a n ＝a 2k －1＝tan4m －3θ＝(－1)2m －2tan4m －3θ＝(－1)12n -tan nθ.综上，当n 为偶数时，a n ＝0； 当n 为奇数时，a n ＝(－1)12n -tan nθ.(2)当n ＝1时，由(1)得S 2＝a 1＋a 2＝tan θ， 12sin 2θ[1＋(－1)n ＋1tan 2n θ]＝12sin 2θ(1＋tan 2θ) ＝sin θ·cos θ·1cos 2θ＝tan θ. 故当n ＝1时，命题成立．假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即S 2k ＝12sin 2θ·[1＋(－1)k ＋1tan 2kθ]．当n ＝k ＋1时，由(1)得S 2(k ＋1)＝S 2k ＋a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝S 2k ＋a 2k ＋1＝12sin 2θ·[1＋(－1)k ＋1tan 2k θ]＋(－1)k tan 2k ＋1θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋1tan2kθ＋(－1)k·2sin 2θtan2k＋1θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ⎝⎛⎭⎪⎫－1tan2θ＋2sin 2θtan θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ⎝⎛⎭⎪⎫－cos2θsin2θ＋1sin2θ＝12sin 2θ·[1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ]．即当n＝k＋1时命题成立．综上所述，对正整数n，命题成立．。
专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)
专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲 题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++，从而212b b a b-+=，21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号．例4、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】所以332222m n a b +=+-，因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。
专题31 极值点偏移问题的研究(解析版)
专题31 极值点偏移问题的研究一、题型选讲题型一、常见的极值点偏移问题常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠,求证：0212x x x >+(0x 为函数)(x f 的极值点)； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =,求证：0212x x x >+(0x 为函数)(x f 的极值点)；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠,令2210x x x +=,求证：0)('0>x f ； 例1、(2019无锡期末)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时,求证：对于任意x>0,都有f(x)>0 成立；(2) 若函数y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值,求证：x 1＋x 22<ln a.思路分析 (1)利用导数分别讨论函数 和 的单调性即可；(2)直接证明比较困难,需要利用分析法,通过代数变形,换元等方法将问题转化为熟悉的不等式问题,再通过构造函数,结合常用不等式 ,利用导数进行证明．(1)由f(x)＝e x －12x 2－x,则f′(x)＝e x －x －1,令g(x)＝f′(x),则g′(x)＝e x －1,(3分)当x>0,g′(x)>0,则f′(x)在(0,＋∞)上单调递增,故f′(x)>f′(0)＝0,所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,(5分)进而f(x)>f(0)＝1>0,即对于任意x>0,都有f(x)>0.(6分)(2) f′(x)＝e x －ax －a,因为x 1,x 2为f(x)的两个极值点,所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝0，f′（x 2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧e x 1－ax 1－a ＝0，e x 2－ax 2－a ＝0.两式相减,得a ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x 4－ax 1－a ＝0，e x 2－ax 2－a ＝0.两式相减,得a ＝e x 1－e x 2x 1－x 2,(8分)则所证不等式等价x 1＋x 22<ln e x 1－e x 2x 1－x 2,即e x 1－x 22<e x 1－x 2－1x 1－x 2,(12分)令t ＝x 1－x 2,t>0,所以证不等式只需证明： e t 2<e t －1t →t e t2－e t ＋1<0,(14分) 设φ(t)＝t e t 20⎝⎛⎭⎫t2＋1≥0,所以φ′(t)≤0,所以φ(t)在(0,＋∞)单调递减,φ(t)<φ(0)＝0. 所以x 1＋x 22<ln a.(16分)例2、(2018常州期末)已知函数f(x)＝ln x（x ＋a ）2,其中a 为常数．(1) 若a ＝0,求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)在(0,－a)上单调递增,求实数a 的取值范围；(3) 若a ＝－1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0,求证：f(x 0)<－2.思路分析 第一小问,利用导函数求单调性、极值、值域的一般步骤,必须掌握！也是解决后面问题的基础；第二小问,由函数在(0,－a)上的单调性得出导函数在特定区间的符号,转化为含参数的恒成立问题；第三小问,关键是找到零点的大致范围,还是利用导数求最大值、最小值的方法．规范解答 (1) 当a ＝0时,f(x)＝ln xx 2,定义域为(0,＋∞)．f′(x)＝1－2ln x x 3,令f′(x)＝0,得x ＝e .当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：所以当x ＝e 时,f(x)的极大值为12e ,无极小值．(4分)(2) f′(x)＝1＋ax－2ln x （x ＋a ）3,由题意f′(x)≥0对x∈(0,－a)恒成立．因为x∈(0,－a),所以(x ＋a)3<0,所以1＋ax －2ln x≤0对x∈(0,－a)恒成立．所以a≤2x ln x －x 对x∈(0,－a)恒成立．(6分)令g(x)＝2x ln x －x,x∈(0,－a),则g′(x)＝2ln x ＋1.∈若0<－a≤e －12,即0>a≥－e －12,则g′(x)＝2ln x ＋1<0对x∈(0,－a)恒成立,所以g(x)＝2x ln x －x 在(0,－a)上单调递减,则a≤2(－a)ln (－a)－(－a),所以ln (－a)≥0,所以a≤－1与a≥－e －12矛盾,舍去；∈若－a>e －12,即a<－e －12,令g′(x)＝2ln x ＋1＝0,得x ＝e －12,当0<x<e －12时,g′(x)＝2ln x ＋1<0,所以g(x)＝2x ln x －x 单调递减,当e －12<x<－a 时,g′(x)＝2ln x ＋1>0,所以g(x)＝2x ln x －x 单调递增,所以当x ＝e －12时,g(x)min ＝g(e －12)＝2e －12·lne －12－e －12＝－2e －12,所以a≤－2e －12.综上,实数a 的取值范围是(－∞,－2e －12]．(10分)(3) 当a ＝－1时,f(x)＝ln x（x －1）2,f′(x)＝x －1－2x ln x x （x －1）3.令h(x)＝x －1－2x ln x,x∈(0,1),则h′(x)＝1－2(ln x ＋1)＝－2ln x －1,令h′(x)＝0,得x ＝e －12.∈当e －12≤x<1时,h′(x)≤0,所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递减,h(x)∈(0,2e －12－1],x∈(0,1),所以f′(x)＝x －1－2x ln x x （x －1）3<0恒成立,所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减,且f(x)≤f(e －12)．(12分)∈当0<x≤e －12时,h′(x)≥0,所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递增,其中h ⎝⎛⎭⎫12＝12－1－2·12·ln 12＝ln 4e>0, h(e －2)＝e －2－1－2e －2·lne －2＝5e2－1<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫e －2，12,使得h(x 0)＝0,所以f′(x 0)＝0, 当0<x<x 0时,f′(x)>0,所以f(x)＝ln x（x －1）2单调递增；当x 0<x≤e －12时,f′(x)<0,所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减,且f(x)≥f(e －12),(14分) 由∈和∈可知,f(x)＝ln x（x －1）2在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,1)上单调递减,所以当x ＝x 0时,f(x)＝ln x（x －1）2取极大值．因为h(x 0)＝x 0－1－2x 0ln x 0＝0,所以ln x 0＝x 0－12x 0,所以f(x 0)＝ln x 0（x 0－1）2＝12x 0（x 0－1）＝12⎝⎛⎭⎫x 0－122－12.又x 0∈⎝⎛⎭⎫e －2，12∈⎝⎛⎭⎫0，12,所以2⎝⎛⎭⎫x 0－122－12∈⎝⎛⎭⎫－12，0,所以f(x 0)＝12⎝⎛⎭⎫x 0－122－12<－2.(16分)例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)＝x －a sin x(a>0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数,求实数a 的取值范围； (2) 设a ＝12,g (x )＝f (x )＋b ln x ＋1(b ∈R ,b ≠0),g ′(x )是g (x )的导函数．∈若对任意的x >0,g ′(x )>0,求证：存在x 0,使g (x 0)<0；∈若g (x 1)＝g (x 2)(x 1≠x 2),求证：x 1x 2<4b 2.思路分析 (1) 由题意,f′(x)≥0对x∈R 恒成立,可考虑参数分离求参数范围；(2)∈根据x >0,g ′(x )>0,知g (x )为增函数,根据基本初等函数的性质得出必须有b >0,当然要说明理由,再寻找支撑点x 0的值,x →0时,b ln x 下降的程度大于x ,而－12sin x 在固定范围,所以使b ln x 足够小即可；∈用(1)的结论和g (x 1)＝g (x 2)(x 1≠x 2),构建不等式－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0,然后运用放缩和换元的策略,转化为证明一元函数的单调性,即可证明．规范解答 (1) 由题意,f ′(x )＝1－a cos x ≥0对x ∈R 恒成立,(1分) 因为a >0,所以1a ≥cos x 对x ∈R 恒成立,因为(cos x )max ＝1,所以1a≥1,从而0<a ≤1.(3分)(2) ∈g (x )＝x －12sin x ＋b ln x ＋1,所以g ′(x )＝1－12cos x ＋bx.若b <0,则存在－b 2>0,使g ′⎝⎛⎭⎫－b 2＝－1－12cos ⎝⎛⎭⎫－b 2<0,不合题意,所以b >0.(5分)取x 0＝e －3b,则0<x 0<1.此时g (x 0)＝x 0－12sin x 0＋b ln x 0＋1<1＋12＋b lne －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0,使g (x 0)<0.(8分)∈依题意,不妨设0<x 1<x 2,令x 2x 1＝t ,则t >1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增,所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1.从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1.(10分) 因为g (x 1)＝g (x 2),所以x 1－12sin x 1＋b ln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋b ln x 2＋1,所以－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)．所以－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.(12分)下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2,即证明t －1ln t >t ,只要证明ln t －t －1t <0 (*)．设h (t )＝ln t －t －1t (t >1),所以h ′(t )＝－（t －1）22t t <0在(1,＋∞)上恒成立．所以h (t )在(1,＋∞)上单调递减,故h (t )<h (1)＝0,从而(*)得证．所以－2b >x 1x 2,即x 1x 2<4b 2.(16分)例4、(2018南通、泰州一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g′(－a －1)＝0且g′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b与a 的关系．(2) 求导得F′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规范解答 (1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a≠－32.(6分) (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h′(x)＝e x －3,令h′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e－a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e－a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分) 所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)题型二、构造函数的极值点偏移问题(1)求出函数)(x f 的极值点0x ；(2)构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；(3)确定函数)(x F 的单调性；(4)结合0)0(=F ,判断)(x F 的符号,从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.例5、(2017苏州期末)已知函数f (x )＝(ln x －k －1)x (k ∈R )．(1) 当x ＞1时,求函数f (x )的单调区间和极值；(2) 若对于任意x ∈[e,e 2],都有f (x )＜4ln x 成立,求实数k 的取值范围； (3) 若x 1≠x 2,且f (x 1)＝f (x 2),证明：x 1x 2＜e 2k .. 思路分析 (1) 只要注意对k 的讨论． (2) 分离出k ,转化为k ＞K (x )恒成立问题．(3) 先说明0＜x 1＜e k＜x 2,从而只要证e k＜x 2＜e 2k x 1,只要证f (x 1)＝f (x 2)＜f ⎝⎛⎭⎫e 2k x 1.转化为关于x 1的不等式对0＜x 1＜e k 恒成立问题．规范解答 (1) f ′(x )＝ln x －k ,其中x ＞1.(1分)∈若k ≤0,则x ＞1时,f ′(x )＞0恒成立,f (x )在(1,＋∞)上单调递增,无极值；(2分) ∈若k ＞0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,＋∞)上单调递增,(4分) 有极小值f (e k )＝－e k ,无极大值．(5分)(2) 问题可转化为k ＞⎝⎛⎭⎫1－4x ln x －1对x ∈[e,e 2]恒成立．(7分) 设K (x )＝⎝⎛⎭⎫1－4x ln x －1,则K ′(x )＝4x 2ln x ＋⎝⎛⎭⎫1－4x 1x ＝4x 2(ln x －1)＋1x. 当x ∈[e,e 2]时,K ′(x )≥1x ＞0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max ＝K (e 2)＝1－8e 2.(9分)所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－8e 2，＋∞.(10分) (3) 因为f ′(x )＝ln x －k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,＋∞)上单调递增．不妨设0＜x 1＜e k＜x 2.要证x 1x 2＜e 2k ,只要证x 2＜e 2kx 1.因为f (x )在[e k,＋∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)＝f (x 2)＜f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1,即要证(ln x 1－k －1)x 1＜(k －ln x 1－1)e2kx 1.(12分)令t ＝2(k －ln x 1)＞0,只要证(t －2)e t ＋t ＋2＞0.设H (t )＝(t －2)e t ＋t ＋2,则只要证H (t )＞0对t ＞0恒成立．H ′(t )＝(t －1)e t ＋1,H ″(t )＝t e t ＞0对t ＞0恒成立．所以H ′(t )在(0,＋∞)上单调递增,H ′(t )＞H ′(0)＝0.(14分)所以H (t )在(0,＋∞)上单调递增,H (t )＞H (0)＝0. 综上所述,x 1x 2＜e 2k .(16分)例6、(2019南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)＝ax ＋ln x(a∈R )．(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 设f (x )的导函数为f ′(x ),若f (x )有两个不相同的零点x 1,x 2.∈求实数a 的取值范围；∈证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.思路分析 (1)求导函数f′(x),对a 分类讨论,确定导函数的正负,即可得到f(x)的单调性(2)∈根据第(1)问的函数f(x)的单调性,确定a>0,且f(x)min ＝f(a)<0,求得a 的取值范围,再用零点判定定理证明根的存在性．∈ 对所要证明的结论分析,问题转化为证明x 1x 2>a 2,不妨设0<x 1<a<x 2,问题转化为证明x 1>a 2x 2,通过对f(x)的单调性的分析,问题进一步转化为证明f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2),构造函数,通过导数法不难证得结论．解：(1)f(x)的定义域为(0,＋∞),且f′(x)＝x －ax2.(1.1)当a≤0时,f′(x)>0成立,所以f(x)在(0,＋∞)为增函数；(2分)(1.2)当a>0时,(i )当x>a 时,f′(x)>0,所以f(x)在(a,＋∞)上为增函数；(ii )当0<x<a 时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,a)上为减函数．(4分)(2)∈由(1)知,当a≤0时,f(x)至多一个零点,不合题意；当a>0时,f(x)的最小值为f(a),依题意知f(a)＝1＋ln a<0,解得0<a<1e.(6分)一方面,由于1>a,f(1)＝a>0,f(x)在(a,＋∞)为增函数,且函数f(x)的图像在(a,1)上不间断．所以f(x)在(a,＋∞)上有唯一的一个零点． 另一方面, 因为0<a<1e ,所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a,令g(a)＝1a ＋2ln a,当0<a<1e 时,g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0,所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0 又f(a)<0,f(x)在(0,a)为减函数,且函数f(x)的图像在(a 2,a)上不间断．所以f(x)在(0,a)有唯一的一个零点． 综上,实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ∈ 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－ax 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋a x 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2)．(12分)下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2,由∈知0<x 1<a<x 2. 要证x 1x 2>a 2,即证x 1>a 2x 2.因为x 1,a 2x 2∈(0,a),f(x)在(0,a)上为减函数,所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1)．又f(x 1)＝f(x 2)＝0,即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)．(14分) 设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x －2ln x ＋2ln a(x>a)． 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0,所以F(x)在(a,＋∞)为增函数．所以F(x 2)>F(a)＝0,所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立． 从而x 1x 2>a 2成立．所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2,即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立．(16分)解题反思 1. 第(2)∈中,用零点判定定理证明f(x)在(0,a)上有一个零点是解题的一个难点,也是一个热点问题,就是当0<a<1e 时,要找一个数x 0<a,且f(x 0)>0,这里需要取关于a 的代数式,取x 0＝a 2,再证明f(a 2)>0,事实上由(1)可以得到x ln x≥－1e ,而f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1＋2a ln a a>0即可．2. 在(2)∈中证明x 1x 2>a 2的过程,属于构造消元构造函数方法,将两个变量x 1,x 2转化为证明单变量的问题,这一处理方法,在各类压轴题中,经常出现,要能领悟并加以灵活应用二、达标训练1、(2018常州期末)已知函数f(x)＝ln x（x ＋a ）2,其中a 为常数．(1) 若a ＝0,求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)在(0,－a)上单调递增,求实数a 的取值范围；(3) 若a ＝－1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0,求证：f(x 0)<－2.思路分析 第一小问,利用导函数求单调性、极值、值域的一般步骤,必须掌握！也是解决后面问题的基础；第二小问,由函数在(0,－a)上的单调性得出导函数在特定区间的符号,转化为含参数的恒成立问题；第三小问,关键是找到零点的大致范围,还是利用导数求最大值、最小值的方法．规范解答 (1) 当a ＝0时,f(x)＝ln xx 2,定义域为(0,＋∞)．f′(x)＝1－2ln x x 3,令f′(x)＝0,得x ＝e .当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：所以当x ＝e 时,f(x)的极大值为12e ,无极小值．(4分)(2) f′(x)＝1＋ax－2ln x （x ＋a ）3,由题意f′(x)≥0对x∈(0,－a)恒成立．因为x∈(0,－a),所以(x ＋a)3<0,所以1＋ax －2ln x≤0对x∈(0,－a)恒成立．所以a≤2x ln x －x 对x∈(0,－a)恒成立．(6分)令g(x)＝2x ln x －x,x∈(0,－a),则g′(x)＝2ln x ＋1.∈若0<－a≤e －12,即0>a≥－e －12,则g′(x)＝2ln x ＋1<0对x∈(0,－a)恒成立,所以g(x)＝2x ln x －x 在(0,－a)上单调递减,则a≤2(－a)ln (－a)－(－a),所以ln (－a)≥0,所以a≤－1与a≥－e －12矛盾,舍去；∈若－a>e －12,即a<－e －12,令g′(x)＝2ln x ＋1＝0,得x ＝e －12,当0<x<e －12时,g′(x)＝2ln x ＋1<0,所以g(x)＝2x ln x －x 单调递减,当e －12<x<－a 时,g′(x)＝2ln x ＋1>0,所以g(x)＝2x ln x －x 单调递增,所以当x ＝e －12时,g(x)min ＝g(e －12)＝2e －12·lne －12－e －12＝－2e －12,所以a≤－2e －12.综上,实数a 的取值范围是(－∞,－2e －12]．(10分)(3) 当a ＝－1时,f(x)＝ln x（x －1）2,f′(x)＝x －1－2x ln x x （x －1）3.令h(x)＝x －1－2x ln x,x∈(0,1),则h′(x)＝1－2(ln x ＋1)＝－2ln x －1,令h′(x)＝0,得x ＝e －12.∈当e －12≤x<1时,h′(x)≤0,所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递减,h(x)∈(0,2e －12－1],x∈(0,1),所以f′(x)＝x －1－2x ln x x （x －1）3<0恒成立,所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减,且f(x)≤f(e －12)．(12分)∈当0<x≤e －12时,h′(x)≥0,所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递增,其中h ⎝⎛⎭⎫12＝12－1－2·12·ln 12＝ln 4e>0, h(e －2)＝e －2－1－2e －2·lne －2＝5e2－1<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫e －2，12,使得h(x 0)＝0,所以f′(x 0)＝0,当0<x<x 0时,f′(x)>0,所以f(x)＝ln x（x －1）2单调递增；当x 0<x≤e －12时,f′(x)<0,所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减,且f(x)≥f(e －12),(14分)由∈和∈可知,f(x)＝ln x（x －1）2在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,1)上单调递减,所以当x ＝x 0时,f(x)＝ln x（x －1）2取极大值．因为h(x 0)＝x 0－1－2x 0ln x 0＝0,所以ln x 0＝x 0－12x 0,所以f(x 0)＝ln x 0（x 0－1）2＝12x 0（x 0－1）＝12⎝⎛⎭⎫x 0－122－12.又x 0∈⎝⎛⎭⎫e －2，12∈⎝⎛⎭⎫0，12,所以2⎝⎛⎭⎫x 0－122－12∈⎝⎛⎭⎫－12，0,所以f(x 0)＝12⎝⎛⎭⎫x 0－122－12<－2.(16分) 2、(2017南京学情调研)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ,a ,b ∈R .(1) 当a ＝b ＝1时,求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2) 当b ＝2a ＋1时,讨论函数f (x )的单调性；(3) 当a ＝1,b ＞3时,记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2),求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2.思路分析 (1) 通过求出f ′(1),f (1)的值,利用点斜式求出切线的方程；(2) 研究单调性,通过求出导函数f ′(x ),然后研究f ′(x )的正负,分类讨论,确定分类的标准是a ≤0,a ＞0,在a ＞0时,再按12a ＜1,12a ＝1,12a＞1分类；(3) 要证明此不等式,首先要考察x 1,x 2的范围与a ,b 的关系,由已知求出f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x (x ＞0),因此x 1,x 2是方程g (x )＝2x 2－bx ＋1＝0的两根,x 1x 2＝12,粗略地估计一下,由于g ⎝⎛⎭⎫12＝3－b 2＜0,g (1)＝3－b ＜0,因此有x 1∈⎝⎛⎭⎫0，12,x 2∈(1,＋∞),由此可知f (x )在[x 1,x 2]上为减函数,从而有f (x 1)－f (x 2)＞f ⎝⎛⎭⎫12－f (1),这里f ⎝⎛⎭⎫12－f (1)＝b 2－34－ln2＞34－ln2,正好可证明题设结论．规范解答 (1) 因为a ＝b ＝1,所以f (x )＝x 2－x ＋ln x , 从而f ′(x )＝2x －1＋1x.因为f (1)＝0,f ′(1)＝2,所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1),即2x －y －2＝0.(3分) (2) 因为b ＝2a ＋1,所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ,从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x,x ＞0.(5分)当a ≤0时,若x ∈(0,1),则f ′(x )＞0；若x ∈(1,＋∞),则f ′(x )＜0,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,＋∞)上单调递减．(7分)当0＜a ＜12时,由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ；由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ,所以f (x )在区间(0,1)和⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增,在区间⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减． 当a ＝12时,因为f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号),所以f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．当a ＞12时,由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1；由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1,所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12a 和(1,＋∞)上单调递增,在区间⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．(10分) (3) 证法1 因为a ＝1,所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ,从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x(x ＞0)．由题意知,x 1,x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根,由根与系数的关系可得x 1x 2＝12.记g (x )＝2x 2－bx ＋1,因为b ＞3,所以g ⎝⎛⎭⎫12＝3－b 2＜0,g (1)＝3－b ＜0,所以x 1∈⎝⎛⎭⎫0，12,x 2∈(1,＋∞),且bx i ＝2x 2i ＋1(i ＝1,2),(12分)所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－x 22)－(bx 1－bx 2)＋ln x 1x 2＝－(x 21－x 22)＋ln x 1x 2. 因为x 1x 2＝12,所以f (x 1)－f (x 2)＝x 22－14x 22－ln(2x 22),x 2∈(1,＋∞)．(14分) 令t ＝2x 22∈(2,＋∞),φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝t 2－12t－ln t .因为φ′(t )＝(t －1)22t 2≥0,所以φ(t )在区间(2,＋∞)上单调递增,所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2,即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2.(16分)证法2 因为a ＝1,所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ,从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x(x ＞0)．由题意知,x 1,x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x )＝2x 2－bx ＋1,因为b ＞3,所以g ⎝⎛⎭⎫12＝3－b 2＜0,g (1)＝3－b ＜0,所以x 1∈⎝⎛⎭⎫0，12,x 2∈(1,＋∞),且f (x )在[x 1,x 2]上为减函数．(12分)所以f (x 1)－f (x 2)＞f ⎝⎛⎭⎫12－f (1)＝14－b 2＋ln 12－(1－b )＝－34＋b2－ln2. 因为b ＞3,所以f (x 1)－f (x 2)＞－34＋b 2－ln2＞34－ln2.(16分)3、已知函数()()2ln 2,g x x ax a x a R =-+-∈.(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-, 1212,()x x x x <是函数()f x 的两个零点, ()f x '是函数()f x 的导函数,证明： 1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭'. 【解析】试题分析：(1)先求函数导数,根据导函数是否变号进行讨论,当0a ≤时, ()0g x '>, ()g x 递增,当0a >时,导函数有一零点,导函数先正后负,故得增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭,减区间为1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)利用分析法先等价转化所证不等式：要证明1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭',只需证明121212ln ln 20x x x x x x --<+- 12(0)x x <<,即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+,即证明12112221ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+,再令()120,1x t x =∈,构造函数()()1ln 22h t t t t =+-+,利用导数研究函数()h t 单调性,确定其最值： ()h t 在()0,1上递增,所以()()10h t h <=,即可证得结论. 试题解析：(1) ()g x 的定义域为()0,+∞, ()()122g x ax a x-'=+- 当0a ≤时, ()0g x '>, ()g x 递增当0a >时, ()()()()()2221211122ax a x x ax g x ax a x x x-+-++-'+=-+-==()()10,0,xg x g x a '<递增； ()()1,0,x g x g x a'><递减 综上：∈当0a >时, ()g x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当0a ≤时, ()g x 的单调增区间为()0,+∞即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+,即证明()12112221ln *1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+令()120,1x t x =∈,则()()1ln 22h t t t t =+-+ 则()1ln 1h t t t +'=-, ()2110h t t t -'=<' ∈()h t '在()0,1上递减, ()()10h t h ''>=,∈()h t 在()0,1上递增, ()()10h t h <=所以()*成立,即1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭' 4、已知函数()ln (,f x ax x b a b =+为实数)的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. (1)求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间；(2)设函数()()1f x g x x+=,证明()()1212()g x g x x x =<时, 122x x +>.5、过点P(−1,0)作曲线f(x)=e x的切线l．(1)求切线l的方程；(2)若直线l与曲线y=a f(x) (a∈R)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),求证：x1+x2<−4．试题分析：(1)先根据导数几何意义求切线斜率y′|x=0=1,再根据点斜式求切线方程y=x+1．因为x1≠x2,不妨设x1<−2,x2>−2．设g(x)=f(x)−f(−4−x),则g′(x)=f′(x)+f′(−4−x)=(x+2)e x(1−e−2(2+x)),当x>−2时,g′(x)>0,g(x)在(−2,+∞)单调递增,所以g(x)>g(−2)=0,所以当x>−2时,f(x)>f(−4−x)．因为x2>−2,所以f(x2)>f(−4−x2),从而f(x1)>f(−4−x2),因为−4−x2<−2,f(x)在(−∞,−2)单调递减,所以x1<−4−x2,即x1+x2<−4．。
优质金卷：江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研(二模)测试数学试题(解析版)
1．{}13，【解析】∵集合{}{}10123102U A =-=-，，，，，，， ∴{}1,3U C A = 故答案为{}1,3.3．30【解析】根据频率分布直方图可得成绩不低于60分的学生的频率为()0.0150.0300.0250.005100.75+++⨯=.∴成绩不低于60分的学生的人数为为400.7530⨯=. 故答案为30.4．125【解析】模拟执行程序可得： 1S =， 1i =，满足条件4i <，执行循环体， 155S =⨯=， 112i =+=，满足条件4i <，执行循环体， 5525S =⨯=， 213i =+=，满足条件4i <，执行循环体，255125S =⨯=， 314i =+=，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为125.故答案为125.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构； (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题； (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5．13【解析】设AC x =，则12BC x =-，矩形的面积为()21212S AC BC x x x x =⨯=-=-.∵21232x x -> ∴48x <<由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于232cm 的概率为841123P -==. 故答案为13. 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.7．∵双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线 ∴设双曲线C 的方程为22(0)3y x λλ-=>∵双曲线C 经过点()2P - ∴413λ=-=∴双曲线C 的方程为22139x y -=∴双曲线C的焦距为=故答案为9．-6【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .∵396S S S ，，成等差数列 ∴9362S S S =+，且1q ≠.∴()()()9361112111111a q a q a q qq q---=+---，即63210qq --=.∴312q =-或31q =（舍去） ∵83a = ∴8533612a a q ===-- 故答案为6-.10．8【解析】∵a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+∴()4a b c ab+=∴()4448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥+=，当且仅当2a =， 2b =时取等号∴a b c ++的最小值为8故答案为8.点睛：本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 11．()2214x y -+=【解析】由约束条件作出可行域如图所示：由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设(),0C a3a -，解得1a =或9a =（舍去）.∴面积最大的圆的标准方程为()2214x y -+=. 故答案为()2214x y -+=.12．()1+∞，【解析】当0x >时， ()12x f x e -=-，画出函数图象如图所示：∴函数()f x 此时有1个零点∵函数()f x 在R 上有3个不同的零点∴当0x ≤时， ()332f x x mx =--有2个不同的零点∵()233f x x m '=-∴令()0f x '=，则20x m -=，若0m ≤，则函数()f x 为增函数，不合题意，故0m >.∴函数()f x 在(,-∞上为增函数，在(⎤⎦上为减函数，即()max 3222f x =--=.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．10【解析】取AC 中点O ，连接BO ， DO .∴()()()()()1122AC BD AC BO OD AC BO AC OD BC BA BC BA DC DA DC DA ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+--+ ()222212BC BA DA DC =-+- ∵1423AB BC CD DA ====，，， ∴()116194102AC BD ⋅=-+-= 故答案为10.14．144，【解析】由题意得函数()f x 为奇函数. ∵函数()f x =∴()f x'=①当01a <<时，函数()f x的定义域为⎡⎣，由()0f x '>得x ≤<x<≤，由()0f x '<得x <<函数()f x在⎡⎢⎣，上为增函数，在⎛⎝上为减函数. ∵(f =，f=， ∴()min 23f x f ===-，则14a = ②当1a >时，函数()fx 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得x << ()0fx '<得1x -≤<1x <≤，函数()f x在⎛ ⎝上为增函数，在1,⎡-⎢⎣，⎤⎥⎦为减函数. ∵f ⎛= ⎝()1f =∴()min23f x f ===-，则4a =.综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4， 14. 15．(1) 12-；(2) π2β=.试题解析：（1）∵向量()cos ,sin a αα=， ()sin ,cos b ββ=-， 1,2c ⎛=- ⎝ ∴1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-. ∵a b c += ∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α= ∴31,2a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 2b c ββ⎛+=--+ ⎝. ∵a // ()b c +∴11cos sin 022ββ⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，化简得， 11sin 22ββ=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<<∴ππ2π333β-<-<． ∴ππ36β-=，即π2β=．16．(1)证明见解析；(2)证明见解析.试题解析：证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中， 1BB // 1CC ． ∵1AF CC ⊥ ∴1AF BB ⊥又∵1AE BB ⊥， AE AF A ⋂=， AE ， AF ⊂平面AEF . ∴1BB ⊥平面AEF 又∵1BB ⊂平面11BB C C ∴平面AEF ⊥平面11BB C C（2）∵1AE BB ⊥， 1AF CC ⊥， ABE ACF ∠=∠， AB AC = ∴Rt AEB ∆≌Rt AFC ∆ ∴BE CF =又由（1）知， BE // CF ．∴四边形BEFC 是平行四边形，从而BC // EF ． 又∵BC ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ∴BC //平面AEF ．17．(1)221189x y +=；(2)证明见解析.从而求得0x ，再由P 在椭圆上，得k 与k '的数量关系，从而表示出直线2QB 的方程，即可求得1x ，进而求得12122PB B QB B S S ∆∆=.试题解析：设()00P x y ，， ()11Q x y ，． （1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b =3．由2221{ 93x y a y x +==+，得()222319x xa ++=． ∴20269a x a =-+．∵1PB ==∴2269a a =+，解得218a =． ∴椭圆的标准方程为221189x y +=．联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．∵()00P x y ，在椭圆221189x y +=上∴22001189x y +=，从而220092x y -=-． ∴012x x =-． ∴121212PB B QB B S x S x ∆∆==． 方法二：设直线1PB ， 2PB 的斜率为k ， k '，则直线1PB 的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线1QB 的方程为13y x k=-+． 将3y kx =+代入221189x y +=，得()2221120k x kx ++=， ∵P 是椭圆上异于点1B ， 2B 的点 ∴00x ≠，从而0x = 21221kk -+．∵()00P x y ，在椭圆221189x y +=上 ∴22001189x y +=，从而220092x y -=-．∴2000200033912y y yk kx x x-+-⋅='⋅==-，得12kk'=-．点睛：本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18．(1)r=(2) .【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，根据题意得2 {20.x aax≤≤，.方法一：表示出正四棱柱的体积324{400xxV a xxx<≤=≤>，，，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及x的值；方法二：表示出x的范围，从而得到a的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及x的值.试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得r=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则2{ 1004x a a a x ≤≤-，，即2{20.x a a x≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3204{ 400x x V a x x x<≤=≤>，，记函数()304{ 400x x p x x x<≤=>，，则()p x在(0上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减.∴当x =时， ()max p x =．∴当x =，a = max V =dm 3．（2）当x为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． 19．(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++，根据12b b ，， 3b 是等差数列及12a a ，， 3a 是等比数列，找出矛盾，假设不成立；（2）由11a =， 2q =得12n n a -=，根据数列123c c c ，，是等比数列得2213c c c =，化简求得223b d d =+，再根据2220c b =+≠，即可求得d 得范围；（3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④，解方程组即可；方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==，化简得()321321213222q a a a a a a a a d a a d -+-+=-+-+，即可求得()10q d -=，与1q ≠，且0d ≠矛盾，故可得证.（2）∵11a =， 2q = ∴12n n a -=． ∵2213c c c =∴()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+， 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠. ∴1d ≠-且2d ≠-． 又∵0d ≠，∴223b d d =+，定义域为{}120d R d d d ∈≠-≠-≠，，． （3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④将①+③－2×②得， ()()2211111a q c q -=-，⑤ 将②+④－2×③得， ()()22111111a q q c q q -=-，⑥ ∵10a ≠， 1q ≠，由⑤得10c ≠， 11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． ∴1c ， 2c ， 3c ， 4c 不成等比数列．∵等比数列1a ， 2a ， 3a ， 4a 的公比为()1q q ≠ ∴()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又∵()23211210a a a a q -+=-≠∴()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=．这与1q ≠，且0d ≠矛盾. ∴假设不成立．∴数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． 点睛：用反证法证明命题的基本步骤：①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏； ②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论； ③否定反设，从而得出原命题结论成立．20．(1) 01a <≤；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意， ()1cos 0f x a x '=-≥对x R ∈恒成立，根据0a >，等价为1cos x a ≥对x R ∈恒成立，即可求得a 得取值范围；（2）①分别求得()g x 与()g x '，若0b <，则存在02b->，使02b g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭'，从而得0b >，取30e b x -=，则001x <<，即可证明()00g x <；②不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >，由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-，根据()()12g x g x =，推出212120ln ln x x b x x -->>-，只需证明2121ln ln x xx x ->-ln 0t <成立，设())ln 1h t t t =>，求得函数()h t 的单调性，即可证明.（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2b g x x x=-+'． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意. ∴0b >． 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．∴存在00x >，使()00g x <．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->，只要证明()ln 0*t <． 设())ln 1h t t t =>，则()0h t '=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->，即2124x x b <．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．证明见解析【解析】试题分析：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-，根据OE OA =，即可得证.试题解析：证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-． ∵OE OA =，∴()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-．∴22DB DC OD OA ⋅+=． 22．12【解析】试题分析：依次实施变换1T ， 2T 所对应的矩阵NM = 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，分别求得点A ， B ， C 在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.23．π4sin 6ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】试题分析：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，得点P 的直角坐标，再根据{x cos y sin ρθρθ==的直线l 的普通方程，从而可得点P 到直线l 的距离，即可求得所求圆的普通方程，再化为极坐标方程.试题解析：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ． 则点P的直角坐标为()1． 将直线l ： sin 23πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的方程变形为： sin cos cos sin 233ππρθρθ-=，化为普通方程得40y -+=．∴()1P 到直线l ：40y -+=的距离为：2=．∴所求圆的普通方程为()(2214x y -+=，化为极坐标方程得， π4sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．24．证明见解析【解析】试题分析：由a，b，c，且12a b c++==，再根据基本不等式即可得证.试题解析：证明：∵a，b，c为正实数2==≥=（当且仅当a b c==取“=”）．25．(1)521；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定X的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C41300C8421P X====，()121439C C242400C847P X⋅====，()1212144439C C C C305500C8414P X⋅+⋅====，()121439C C63700C8442P X⋅====．∴X的概率分布列为：∴()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 26．(1)30；(2)证明见解析.试题解析：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n+1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n k n k n nn n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．。
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2018届高三模拟考试试卷(十三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2018．3 参考公式：柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，2}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位．若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第4题)(第3题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为________．5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为________．6. 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，B ＝45°，则BC 的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________．14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x 2－1－x 2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)． (1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin (α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足：QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证： △PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．① 若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0；② 若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.(这是边文，请据需要手工删加)2018届高三模拟考试试卷(十三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB·DC ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋c c （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．(1) 求概率P(X＝600)；(2) 求X的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.记T n＝(2k＋1)a n－k.(1) 求T2的值；(2) 化简T n的表达式，并证明：对任意的n∈N*，T n都能被4n＋2整除．2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 136. 2＋627. 438. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin (α－β)．(3分) 因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin (α－β)＋1＝1，即sin (α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0.化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin (β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分)又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分) 因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分) 17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a 29＋a 2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18. 所以椭圆的标准方程为x 218＋y29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分)联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3.由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k·k′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k′＝－12k.(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分) 18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分)解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎨⎧a ≤x 2，a ≤100x －4a ，即⎩⎨⎧a ≤x 2，a ≤20x.(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎨⎧x34，0<x ≤210，400x，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎨⎧x 34，0<x ≤210，400x，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1）dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分) 【评分说明】① 直接“由x·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；② 方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分， 其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分)因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22＝a 1a 3.所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分)(2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c 22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分)(3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝c 1 ①，a 1q ＋b 1＋d ＝c 1q 1 ②，a 1q 2＋b 1＋2d ＝c 1q 21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q 31④.(10分) 将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2 ⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2 ⑥，(12分)因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1.由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1＝c 3c 2＝c 4c 3.(10分) 所以c 3－c 2c 2－c 1＝c 4－c 3c 3－c 2，即a 3－a 2＋d a 2－a 1＋d ＝a 4－a 3＋d a 3－a 2＋d. 两边同时减1，得a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝a 4－2a 3＋a 2a 3－a 2＋d.(12分) 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝q （a 3－2a 2＋a 1）a 3－a 2＋d. 又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立．因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立． 因为(cos x)max ＝1，所以1a≥1，从而0<a ≤1.(3分) (2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g′(x)＝1－12cos x ＋b x. 若b<0，则存在－b 2>0，使g′(－b 2)＝－1－12cos(－b 2)<0，不合题意， 所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1. 此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0. 所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)② 依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1.从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1， 所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)， 所以－2b>x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.(12分) 下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)． 设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h′(t)＝－（t －1）22t t<0在(1，＋∞)上恒成立． 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x 1x 2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD·DC ＝DE·DA ＝(OD ＋OE)·(OA －OD)．(5分)因为OE ＝OA ，所以DB·DC ＝(OA ＋OD)·(OA －OD)＝OA 2－OD 2.所以DB·DC ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2.(5分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)．从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分) C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy.则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2， 化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2. 故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分)化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(10分) D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋c c （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3c c （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bc ac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分) 22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形，所以P(X ＝600)＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521.(3分) (2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则 P(X ＝300)＝C 34C 39＝484＝121，P(X ＝400)＝C 11·C 24C 39＝2484＝27， P(X ＝500)＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C 11·C 24C 39＝684＝114. 所以X(8分)所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分) 23. 解：由二项式定理，得a i ＝C i 2n ＋1(i ＝0，1，2，…，2n ＋1)．(1) T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C 25＋3C 15＋5C 05＝30.(2分)(2) 因为(n ＋1＋k)C n ＋1＋k 2n ＋1＝(n ＋1＋k)·（2n ＋1）！（n ＋1＋k ）！（n －k ）！＝（2n ＋1）·（2n ）！（n ＋k ）！（n －k ）！＝(2n ＋1)C n ＋k 2n ，(4分)（8分）T n ＝(2n ＋1)C n 2n ＝(2n ＋1)(C n －12n －1＋C n 2n －1)＝2(2n ＋1)C n 2n －1.因为C n 2n －1∈N *，所以T n 能被4n ＋2整除．(10分)。