北师大版高一数学函数的表示法

4.80, m (60,80], o 20 40 60 80 100 m/g 6.00, m (80,100].
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表. 信函质量 (m)/g
邮资(M)/元 0<m≤20 1.20 20<m≤40 2.40 40<m≤60 3.60 60<m≤80 4.80 80<m≤100 6.00
§2.2.2
函数的表示法
在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数,可以从不 同的角度帮助我们理解函数的性质,是研究函数的重要手段.
初中我们学习过,函数的表示方法通常有
三
种,它们是
列表法
、
图像法
和
解析法
。
1、列表法
在实际问题中常常使用表格，有些表格描述了两个变量间 的函数关系。比如，某天一昼夜温度变化情况如下表
例 1、已知函数 f ( x 1) 5x 3, 求f ( x), f (3), f ( x 1). 解： f ( x 1) 5( x 1) 8
f ( x) 5 x 8
f (3) 5 3 8 7
f ( x 1) 5( x 1) 8 5 x 13
时刻 温度/(OC)
0：00 4：00 8：00
12：00
16：00
20：00
24：00
-2
-5
4
9
8.5
3.5
-1
像这样，用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法， 称为列表法。
列表法的优点：不必通过计算就能知道两个变量之间的 对应关系，比较直观。 列表法的缺点：它只能表示有限个元素间的函数关系。
-3 -2 -1 O
1
2
3
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表. 信函质量 (m)/g
邮资(M)/元 0<m≤20 1.20 20<m≤40 2.40 40<m≤60 3.60 60<m≤80 4.80 80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数的解析式.
解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。
列 表 法
(5)气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行转化。
9 y x 32 5
解析法
(6)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：
8 6 4 ２ 0 ２ ２ ４ ６ ８ 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
时间 ( 2 t2 时 温度 T （℃）
图象法
2
4 )
函 数 的 表 示 法
1、h=130t-5t2 （0≤t≤26） 2、南极臭氧层空洞
解析法
图象法
3、恩格尔系数 列表法
(4)近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是 上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：
年份
人均绿化面积(㎡）
2000
4.5
2001
5.5
2002
7.0
2003
9.4
2004
10.0
2005
11.0
2、图像法
人的心脏跳动强度是时间的函数。医学上常用心电图，就是利用 仪器记录心脏跳动的强度（函数值）随时间变化的曲线图。
像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，
称为图像法。
图像法的优点：能形象直观的表示出函数的局部变化规律。 图像法的缺点：只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误 差较大。
如何求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f ( g ( x)) 的表达式，欲求 可把
f ( x) 的表达式，
g ( x) 看成一个整体，把 右边 变为由 g ( x) 组成 的式子，再换元求出 f ( x ) 的式子。
练习、已知函数 f ( x－ 1) 3x 2, 求f ( x), f (5), f ( x 1). 解： f ( x 1) 3( x 1) 5
列表法
图像法 解析法
用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法。 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法。 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 （简称解析式）表示出来。
图像法 可以直观地表示函数 的局部变化规律，进 而可以预测它的整体 趋势 有些函数的图像难以 精确作出 解析法 一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过 解析式求任意一个函数值。 三是能便利研究函数性质。 不够形象、直观， 一些实际问题难以找到它的 解析式
v=t+10
代入(20，30)，(30，0)得 20k+b=30
10
5
0 5 10 15 20 25 30
k=－3 b=90
t/s
30k+b=0
v= － 3t+90
例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图, 用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度. v/(cm/s) v(2)= 解 速度是时间的函数，解析式为
3、解析法
把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做 函数的解析表达式，简称解析式。
正比列函数 y kx(k 0)
k y (k 0) x
反比列函数 一次函数 y kx b(k 0) 二次函数 y ax2 bx c(a 0) y x2 5x 6
例2、已知函数 f ( x 1) x 2 x , 求f ( x).
① 解：令 ③
则x (t 1) (t 1), x 1 t (t 1 ），
2 2
②
f (t ) (t 1) 2(t 1)
t 2 2t 1 2t 2
等式变形
x 1 t
20 40 60 80 100 m/g
函数称为 o 6.00， 80<m≤100. 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的 不同部分，有不同的对应法则的函数，
对它应有以下两点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集。
则x t 1
2 f ( t ) ( t 1 ) 2(t 1) 2 ③ t 2 2t 1 2t 2 2
t 2 1
④
f ( x) x 2 1
2 8 3 4 5 6 7 8 512 27 64 125 216 343
(3) x
1
f(x) 1
(3)、定义域为 {1,2,3,4,5,6,7,8} 值域为 {1,8,27,64,125,216,343,512}
思考交流
2.下面图形是函数图像吗？
y
1 O 1
y
1
y
1
x
O 1
x
O 1
x
对于每一个自变量是不是 有唯一的值和它对应
5 10 15 20 25 30
t/s
求分段函数的值时， 首先应确定自变量在定义域中所在的范围; 再按相应的对应法则求值
例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图, 用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.
v/(cm/s)
解: 解析式为 t+10, (0 ≤ t<5), v (t)= 3t, (5 ≤ t＜10), 30, ( 10 ≤t ＜20), -3t+90,(20 ≤ t≤30).
笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
图象法表示： 25
20 15 10 5 0
y
． ． ． ． ．
1 2 3 4 5
x
例2 、请画出函数 y | x | 的图像:
解:由绝对值的定义，得:
y | x |
x, x0 x, x＜0
y
3 2 1
它的函数图像为第一和第二象限的角平分线 . y | x |
函数的解析式为 1.20， 0<m≤20，
1.20 4.80 3.60 1.20, m (0,20], 2.40 2.40, m ( 20,40], 1.20 M 3.60, m (40,60],
M/ 元
2.40， 20<m≤40，
M＝
3.60， 40<m≤60， 4.80， 60<m≤80， 6.00， 80<m≤100.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线段、折线、离散的点等等。
例4、某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图像如图, 用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.
设 v=kt+b
代入(0，10)，(5，15)得 b=10 5k+b=15 b=10 k=1
30 25 20 15
v/(cm/s)
分段函数不是几个 函数，而是同一个 解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图。 函数在不同范围内 函数的解析式为 的表示方法不同 M/ 元 1.20 1.20， 0<m≤20，
画出图像,并写出函数的解析式.
2.40， 20<m≤40，
M＝
3.60， 40<m≤60， 4.80， 60<m≤80，
4.80 3.60 2.40 这样的 1.20
30 25 20 15
10
5
0 5 10 15 20 25 30 t/s
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
思考交流
1.写出下列函数的定义域、值域： （1）f(x)=3x+5; （2）f(x)的图像如图；
(1)、定义域和值域都是 (2)、定义域为 值域为
R
[a1,a2]∪[a3,a4] [b4,b3]