幂函数(第一课时)
幂函数(第1课时)课件4
1.21
1.331 1.048808848
"y=x^2" y=x^3 y=x^(1/2)
图象的性质
幂函数f(x)=x的性质： 1。>0时，(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；
(2)图象在第一象限是增函数。 2。 <0时，(1)图象都经过点（1，1）；
(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限 接近X轴，向上无限接近Y轴。
学生练习
利用上面所学的图像的性质，比
较下列各组值的大小：
1
1
（1）5.232 5.242
(2)0.26-1 0.27-1
(3)(-0.72)3 (-0.75)3
1
1
解：（1） 5.232 5.242
（2） 0.26-1 > 0.27-1 (3) (-0.72)3 < (-0.75)3
例3:
0.8
0.64
0.512 0.894427191
-2
0.85
0.7225 0.614125 0.921954446
0.9
0.81
0.729 0.948683298
-3
0.95
0.9025 0.857375 0.974679434
1
1
1
1
1.05
1.1025 1.157625 1.024695077
1.1
0.0625 0.015625
0.5
2
0.3
0.09
0.027 0.547722558
0.35
0.1225 0.042875 0.591607978
0.4
0.16
0.064 0.632455532
1
幂函数(第1课时)课件5
（2）在第一象限内，函数的图象随 x的增大而上升，
函数在区间 [0, ) 上是单调增函数.
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§2.4 幂 函 数
函数定义 方法回忆 简单举例 函数性质 应用举例 达标测试 小结作业
画幂函数 y x ( 0)图象
利用幂函数性质比较大小
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§2.4 幂 函 数
函数定义 方法回忆 简单举例 函数性质 应用举例 达标测试 小结作业
1、求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
1
(1) y x4 (2) y x4 (3) y x3
2
5
3
(4) y x5 (5) y x8 (6) y x 5
2、比较下列各组数中两个值的大小：
函数奇偶性判断的一般步骤： 1.看定义域是否关于原点对称； 2.在定义域关于原点对称的前提下判断：
满足 f (x) f (x) 是偶函数； 满足 f (x) f (x) 是奇函数.
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2.4 幂 函 数
函数定义 方法回忆 简单举例 函数性质 应用举例 达标测试 小结作业
幂函数 y x ( 0) 的性质
研究对象
函数的性质通常包含几个方面： 定义域、值域、单调性、奇偶性等等.
研究方法
研究函数时，我们通常从函数的定义或解 析式入手找出定义域，判断奇偶性，在通过图 像研究单调性和其它性质.
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§2.4 幂 函 数
函数定义 方法回忆 简简单单举举例例 函数性质 应用举例 达标测试 小结作业
求幂函数定义域的关键是：将分数指数幂写成根式； 优点：一幕了然
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§2.4 幂 函 数
函数定义 方法回忆 简单举例 函数性质 应用举例 达标测试 小结作业
幂函数(第一课时)
问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？ 问题3：再举出几个这样的函数．
函数特征分析
(1) 都是形如 y x a 的函数； (2) 指数为常数； (3) 均是以自变量为底的幂.
一般地，函数y＝xa叫做幂函数，
其中x是自变量，a是常数. 注意: 幂函数中a的可以为任意实数.
1 1 B．2，2，－2，－2 1 1 D．2，2，－2，－2
的图象.
1 2
1
O
x
幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1)． (2)α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是 增函数． 特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸； 当 0<α<1 时，幂函数的图象上凸． (3)α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一 象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正 半轴；当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．
变式函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
幂函数的图象
[例 2] (1)如图，图中曲线是幂函数 y＝xα
1 在第一象限的大致图象，已知 α 取－2，－2， 1 2，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3， C4 的 α 的值依次为 1 1 A．－2，－2，2，2 1 1 C．－2，－2,2，2 ( )
练习 1. 判断下列函数是否为幂函数
1 2
(1) y x
4
( 2) y x
2
2.5.1简单的幂函数第一课时(幂函数的概念)
(1)点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，求 f（x）的解析式 1 (2)点(－2，4)在幂函数 g(x)的图象上．求 g（x）的解析式
【思路点拨】 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式.
【解析】
设 f(x)＝xn，由题意得 2＝( 2)n，
∴n＝2，即 f(x)＝x2. 再设 g(x)＝xm， 1 由题意得4＝(－2)m， ∴m＝－2，即 g(x)＝x－2.
2
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 解:(1)y=
(3)
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5 x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
1．下列函数中是幂函数的是(
)
A．y＝3x2
B．y＝2x
C．y＝x－1＋1
D．y＝x3.14
【答案】 D
2 2 3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：则f(8)＝_______.
x f(x )
1 1
4 2
4.已知幂函数f（x）=(4m - 1)x1 - m (1) 若点(a , 3）在该函数的图像上，则a = 9 (2) f(x)的定义域是 [0，+ ∞ )
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
幂函数第一课时
幂函数（第1课时）学习目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．新知探究：（1）创设情境：思考下列实际问题问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要付的钱数y = 元， 问题2：如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积是y = ， 问题3：如果正方体的边长为x ，那么正方体的体积是y = ， 问题4:如果正方形场地的面积为x ，那么正方形的边长y= ，问题5：如果某人x h 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度y = km/h ， 思考1:这些函数有什么共同的特征？总结：幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数， 为未知数． 例1：判断下列函数是否为幂函数：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；(5) y=2x 2；(6) y=x 3+2；(7) y= -x 2 ；（8）y=1例2、幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2），试求解析式.例3、已知函数()221(2)m m f x m m x+-=+ 是幂函数，试确定m 的值。
(2)幂函数性质探究由具体幂函数的图像和性质来探究幂函数的性质：思考2：幂函数的图象能过第四象限吗？例3、求下列函数的定义域和值域．总结：在研究幂函数的定义域时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式，然后由根式、分式有意义求定义域；。
2.3__幂函数_(第一课时)
2．3 幂函数（第一课时）1、下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A.31x y =B. 21-=xy C. 35x y = D. 32x y =2、如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123、以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错4、已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．25、下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －346、已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( ) A ．－1或1 B ．－1,1或3 C ．1或3 D ．37、下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④8、在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9、幂函数f(x)＝x α满足x ＞1时f(x)＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠110、函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________．11、幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．12、设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R)的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．13、如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝a x 与幂函数g(x)＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．14、函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．15、已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？16、已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．17、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x 52；（2）y=x 43-；（3）y=x －2.18、比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－22）32-，（－710）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53； （4）31.4，51.5.19、幂函数f （x ）=ax mm82-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m.。
幂函数教学设计
课题：幂函数授课教师：***授课班级：高一（3）班授课时间：2010年10月26日上午第一节2.3.1幂函数（第一课时）【教学三位目标】1.知识与技能通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.2.过程与方法使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法.3.情感、态度、价值观通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。
【教学重点】幂函数的概念、图像和性质.【教学难点】将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质.【教学方法与手段】自主探究，合作交流，借助多媒体【教学基本流程】【教学过程设计】（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数（y=x2）(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a=12S a是S的函数（y=12 x）(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V 是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。
幂函数(课件)
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
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2.3 幂函数（第一课时）
【教学目标】 1.知识与技能：
通过实例，了解幂函数的概念；结合函数x y =；2
1x y =；2x y =；1-=x y ；3
x y =的图像，了解它们的变化情况。
2.过程与方法：
使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数的性质的方法。
3．情感、态度与价值观：
通过引导学生主动参与作图，分析图象的过程，培养学生的探究精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。
【教学重点】
函数幂的概念、图象和性质。
【教学难点】
将函数图象的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质。
【课 型】新授课 【教学工具】多媒体课件 教学过程 问题引入：
1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付的钱数p （元）和购买的蔬菜量w 千克）之间有何关系？（p w =元）
2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S 为: （2S a =）
3.如果正方体的棱长为a ，那么正方体体积V 为：（3V a =）
4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a 为:（12
a S =） 5.如果某人t 秒内骑车行进了1km,那么他的平均速度为:（1v t -=km/s ） 师生活动：学生：思考、交流、口答。
教师：板书。
问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征？ 师生活动：
学生：都是函数，底数是自变量，指数是常数。
教师：请学生类比指数函数、对数函数定义的方法归纳出幂函数定义。
（一般地，函数αx y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
） 练习：
1．下列是幂函数的有：
①
2x y x =；②22y x =；③y =；④
21y x =+；⑤0.2x y =.
2．已知函数2(1)(22)a y a a x +=-+是幂函数，求a 的值。
问题2：教师用幻灯片演示下列函数的图象。
（或让学生观察课本上P77图2.3-1的图象） （1）x y =；（2）
2
1
x
y =；（3）
2x y =；（4）1
-=x y ；（5）3x y =．
提问：观察上述幂函数的图象，你能得到幂函数的哪些性质？
师生活动：
学生：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）；
（2）当0>α时，幂函数的图象经过原点，并且在第一象限图象逐渐上升；
当0<α时，幂函数的图象在第一象限逐渐下降。
在第一象限内，当x 从
右边趋向原点时，图象在y 轴右侧无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。
（3）函数2x y =的图象关于Y 轴对称，函数x y =，1-=x y ，3x y =的图象关于原点对称，函数2
1
x y =的图象没有对称性。
教师：其实幂函数的性质还远远不止这些，大家继续观察思考下面的问题。
填表：
课堂练习：
1．求下列函数定义域：
（1）2
(31)y x =+；（2）12
(31)y x =+；（3）1(31)y x -=+. 2．若幂函数243m y m x +=的图象不过原点，求m 的值。
3.幂函数21a y x +=，当x ∈(0，+∞)时为减函数，求a 的值。
课堂小结:
1．幂函数的概念。
（
αx y =）
2．幂函数的图象及其性质。
（定义域、值域、奇偶性、单调性、定点） 作业布置：
1．课本P79 习题2.3 题1
2．已知2
1
22(22)23m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m,n 的值。
3．中学第一课堂 P65 基础巩固 题5 能力训练 题8、题10 4．求函数的定义域：（1）1
2
(312)y x =+ （2）21(712)y x x -=-+
反思：运用类比的方法引导学生学习幂函数，学生接受较快，在处理与指对函数同类型的题时熟练程度明显提高。