2.3__幂函数_(第一课时)
《幂函数》PPT课件
(4) y x
1 2
(5) y x
1
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
-3
-4
a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数
y x的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域： [0,) 奇偶性： 在R上是偶函数
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
y x 中 x 前面的系数是1，后面没有其它项。
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做 x为自变量， 幂函数，其中 为常数。
新人教版必修一2.3幂函数课件
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数;
K<0
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0 1
思考：如何借 助幂函数在第 一象限的图像 做出完整的函 数图像？
0
四、例题研究
1、求下列幂函数的定义域,并画出其草图：
（1）y=x （3）y=x
奇函数
（-∞，0）和； （0，+∞）↘
y x 1
三、幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. 思考:通过以上特例，你能归纳出幂函数的一般性质 吗？ １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数;
2 5
3 4
（ 2 ） y =x
1 3
（4）y=x-2
2、已知幂函数 y f ( x )的图象过点 ( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
3、如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函数，
且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条件
形的边长 a S
1 2
y x
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x 1
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）均是以自变量为底 的幂； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
幂函数教案
2.3幂函数（一）教学目标： ㈠知识和技能1．理解幂函数的概念，会画幂函数的图象，并能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。
2．理解几个常见的幂函数的性质。
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图水平。
2．使学生进一步体会数形结合的思想。
㈢情感、态度与价值观1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，理解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分理解到现代技术在人们理解世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点常见幂函数的概念和性质 教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系 教学过程（一）引入新课(1) 假如张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；(2) 假如正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 假如立方体的边长为a ，那么立方体的体积V=a 3，这里V 是a 的函数；(4) 假如一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； (5) 假如某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=1-t km/s ，这里v 是t 的函数。
思考：这些函数有什么共同的特征？他们有以下共同特点：(1)都是函数；(2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； （二）新课讲授1、一般地，函数y=x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 注意：幂函数中α的能够为任意实数.2、练一练：1。
判断以下函数是否为幂函数.(1) 4x y = （2）21x y = （3）22x y = （4）2x y -= （5）23+=x y()。
m ，x m m x f m 的值求是幂函数已知例3221)(:1+-+=.),,2()(:22解析式试求出这个函数的的图像过点已知幂函数例x f y =3、在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x ，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象：观察图象，总结填写下表：x y = 2x y = 3x y = 21x y = 1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性 定点1.在第一象限内一定有幂函数的图像，第四象限肯定没有幂函数的图像，在第二象限、第三象限可能有也可能没有（根据幂函数的奇偶性来判断）。
高中数学 2.3 幂函数 第1课时 幂函数学案 新人教A版必
第一课时：幂函数一、课前准备 1．课时目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象. （2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. （3）重点：常见幂函数的概念、图象和性质 2．基础预探 （1）、所有幂函数在 都有定义，并且图象都过点 .（2）、①如果0α>，则幂函数的图象过 ，且在区间[)0,+∞上为 . ②0α<，则幂函数图象在区间()0,+∞上是 ，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近 ，当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上无限地逼近 . （3）、当α为奇数时，幂函数为 ；当α为偶数时，幂函数为 .（4）、下列形式的函数为幂函数的是：①(2)y x α=；②2y x α=；③22y x =+；④xy a =；⑤2y x =，则 . (5)、若函数22mm y x ++=在第一象限，其值随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 .(6)、幂函数的性质：y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性在 上单调递增. 在 上单调递减； 在 上单调递增.在 上单调递增. 在上单调递增.在 和上单调递增.定点二、基本知识习题化1. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0B ．α<0C ．α=0D ．不能确定2. 函数43y x =的图象是（ ）.A. B. C. D.3. 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）.A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a 4. 比大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--.5. 已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则它的解析式为 . 三、学习引领 1．幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
必修1教案2.3幂函数
2.3 幂函数（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3. 情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程然后再在多面体屏幕上弹出）.师板演．几个函数表达式有什么共同特征？（引入新课，书写课题）师：请同学们举出几个具体的.研究幂函数的图像x-1律，；找出原因吗？）吗？）..备选例题例1 已知221(22)23m y m m xn -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.【解析】由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m .【小结】做本题时，常常忽视m 2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x x y ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.例2 比例下列各组数的大小. （1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和.【解析】（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在(0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数， 又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.（3）幂函数y = x –0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1； 53)9.1(-＜0， ∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.。
高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件 新人教A版必修1
点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若
底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函
栏 目
链
数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大 接
小．
►跟踪训练
2．比较下列各组数的大小：
11 (1)1.53，1.73，1；
(2)－
22－32，－17023，1.1－43；
例1
函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当
x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解析：根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
栏
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
目 链
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求，故接
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
高中数学人教A版必修一2.3幂函数定义及性质 课件
出它们的函数图像.
3
5
4
(1) y x 2 (2) y x 3 (3) y x 3
分析：(1)① x[0， )
y
②奇偶性： 非奇非偶函数
2.8
③ 单调性：
任取x 1 ， x 2 [0 ， )且 x 1 x 2
0x1x2x13x23x13 x23 1
即 f(x1)f(x2)
0.4
fx 在 [0 ， )上 单 调 递 增 . 0 0.5 1
③ 单调性：
任取 x 1 ， x 2 (0 ， )且 x 1 x 2
0x1x23 x13
x2
1 3 x1
1 3 x2
即 f(x1)f(x2)
f(x)在 (0， )上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2
y 1.3 1 0.8
1
(8) y x 2
y
1.3 1 0.8
0 0.5 1
2 x
4
(7) y x 3
〔2〕当 >0时，
p q
奇数 偶数
时，f(x)为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如：
1
yx2
3
yx4
p q
偶数 奇数
时，f(x)为偶函数，图像在第一和第二象限；
2
如： yx3
p q
奇数 奇数
时，f(x)为奇函数，图像在第一和第三象限；
1
如： yx3
4
yx3
3
yx5
〔3〕当 <0时，f(x)呈双曲线型。
〔0，+∞〕上是减函数。
〔3〕在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
练习2、比较大小：
3
高中数学《幂函数》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才 是幂函数，否则就不是幂函数． (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝ xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且： ①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝ (3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过 来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
2 2
D． 2
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 设幂函数为 y＝xα，∵幂函数的图象经过点4，12，∴12＝
4α，∴α＝－12，∴y＝x－12
1
，∴f(2)＝2－2
＝
22，故选 C．
答案 C
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
1
A．y＝x3
1
B．y＝x－2
5
C．y＝x3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图 低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简 记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在
D．－1,1,3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解析 当 a＝－1 时，y＝x－1 的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；
当 a＝1 时，函数 y＝x 的定义域是 R 且为奇函数；当 a＝12时，
1
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2．3 幂函数（第一课时）
1、下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A.3
1x y =
B. 2
1-
=x
y C. 35x y = D. 3
2x y =
2、如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，1
2
，2四个值，则相应
于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－12，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
3、以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )
A ．一条直线
B ．一条射线
C ．除点(0,1)以外的一条直线
D ．以上皆错
4、已知幂函数f(x)的图象经过点(2，2
2
)，则f(4)的值为( )
A ．16 B.116 C.1
2
D ．2
5、下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( )
A ．y ＝x 2
3 B ．y ＝x 3
2 C ．y ＝x －1
3 D ．y ＝x －3
4
6、已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( ) A ．－1或1 B ．－1,1或3 C ．1或3 D ．3
7、下列结论中，正确的是( )
①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④
8、在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9、幂函数f(x)＝x α
满足x ＞1时f(x)＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠1
10、函数f(x)＝(1－x)0
＋(1－x)12的定义域为________．
11、幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．
12、设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R)的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．
13、如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝a x 与幂函数g(x)＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．
14、函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．
15、已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？
16、已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．
17、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x 5
2；（2）y=x 4
3-
；（3）y=x －2.
18、比较下列各组数的大小：（1）1.53
1
，1.73
1，1； （2）（－22）32
-，（－7
10）32
，1.134
-；
（3）3.83
2-
，3.952
，（－1.8）5
3； （4）31.4，51.5.
19、幂函数f （x ）=ax m
m
82
-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m.。