浙教七下第1章三角形的初步知识 聚焦求角问题中的数学思想方法 辅导文章
浙教版七年级下册数学第一章三角形的初步知识复习讲义
学生：科目：第阶段第次课教师：课题三角的初步知识复习教学目标了解三角形的有关概念，会画任意三角形的角平分线、中线以及高，两个三角形的全等条件。
重点、难点三角形全等的条件教学内容知识框架考点一：典型例题【例1】如图，在△ABC中，∠A=∠ACB，CD为△ACB•的角平分线，•CE•是△ABC的高，（1）试说明∠CDB=3∠DCB；（2）若∠DCE=48°，求∠ACB的度数．【分析】（1）由CD为△ABC的平分线，可得∠ACD=∠DCB．再利用∠CDB•为△ACD的外角，可知∠CDB=∠A+∠ACD．（2）要求∠ACB只要求∠A，要求∠A只要求∠CDB．已知CE是高线和∠DCE=48°，利用三角形内角和定理便可求得．【解】（1）∵CD是△ACB的角平分线，且∠A=∠ACB∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB=12∠A．∵∠CDB=∠A+∠ACD∴∠CDB=3∠DCB．（2）∵CE是△ABC的高∴∠E=90°∵∠DCE=48°∴∠CDB=42°∴∠ACB=∠A=23∠CDB=28°．【例1】 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，说出∠1=∠2成立的理由．【分析】 利用全等三角形对应边相等，•对应角相等是证明线段或角相等的重要方法，要善于从组合图形中分解出基本图形，会用直观的方法寻找需要说明相等的线段或角所在的一对全等三角形，然后再说出全等的理由． 【解】 ∵BD=CE （已知） ∴BD-ED=CE-ED ， ∴BE=CD在△AEB 和△ADC 中(AB AC =⎧⎪⎨⎪⎩已知)AE=AD(已知)BE=CD∴△AEB ≌△ADC （SSS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．【例2】 如图，已知：AB=CD ，AC=BD ，试说明∠A=∠D ．【分析】 若把∠A 、∠D 放在△AOB 与△COD 中，•不能直接证明全等，•若连结BC ，这样已知的两边与公共边BC 构成△ABC 和△DCB ．根据条件两个三角形全等． 【解】 连结BC 在△ABC 与△DBC 中(AB CD =⎧⎪⎨⎪⎩已知)AC=BD(已知)BC=CB(公共边)∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠A=∠D （全等三角形对应角相等）．针对性练习1．如图，在△ABC中，高BD、CE相交于H，已知∠HBC-∠HCB=10°，∠1=12∠HBC，求∠A的度数．2．如图2，已知AB=CD，AD=BC，说出∠1=∠2的理由．解：在_______和_______中⎧⎪⎨⎪⎩________( ) ________( ) ________( )∴____________（）∴∠1=∠2（）3．如图3，已知△ABF≌△DEC，且AC=DF，说明△ABC≌△DEF的理由．解：∵△ABF≌△DEC∴AB=________ BF=________又∵BC=BF+_________，EF=CE+________．∴BC=_________．在△ABC与△DEF中⎧⎪⎨⎪⎩________ ________ ________∴△ABC≌△DEF（）4．如图1-5-9，已知AD=BC，OD=OC，O为AB中点，说出△AOD≌△BOC的理由．5．如图，△ABC 和△DBC 中，AB=CD ，AC=BD ，AC 和DB 相交于O ，说出∠1=∠2•的理由．考点二：典型例题【例1】 如图，已知AB 、CD 相交于O ，△ACO ≌△BDO ，AE=•BF ，•试说明CE=FD ．【分析】 本题考查SAS 公理的应用，要证CE=FD ，只要证△OCE ≌△ODF ．•显然∠EOC=∠FOD ．需证OE=OF ，OC=OD ．因AE=BF ，故需证OA=OB ，由已知△ACO ≌△BDO ，可得OC=OD ，OA=OB ． 【解】 ∵△ACO ≌△BDO ∴CO=DO ，AO=BO ∵AE=BF ，∴EO=FO 在△EOC 与△FOD 中CO DO COE DOF EC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△FOD ，∴EC=FD【例2】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上中线．试说明AD<（AB+AC ）． 【分析】 证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB 、AD 、AC 的等价线段放在一个三角形中．因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等． 【解】 延长AD 到E ，使DE=AD 在△ACD 与△EDB 中AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB∴BE=CA在△EBA 中，AE<AB+BE ∴2AD<AB+AC 即AD<12（AB+AC ）【例3】 如图，已知AB=AC ，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD=AE ，试说明：△BDF ≌△CEF ． 【分析】 在△BFD 与△CFE 中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE ，•只要证明它们的另一组对角∠C 与∠B 相等，就可证出结论，为了证∠C=∠B ，可以由△ACD•与△ABE 全等得到．【解】 在△ABE 与△ACD 中AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACD ，∴∠B=∠C ∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE在△BDF 与△CEF 中B C DFB EFC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF ．【例4】 如图，BD 、CE 交于O ，OA 平分∠BOC ，△ABD 的面积和△ACE 的面积相等，试说明BD=CE ． 【分析】 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法． 【解】 过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ． ∵OA 平分∠BOC∴AF=AG （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵S △ABD =S △ACE ∴12AF ·BD=12AG ·CE ∴BD=CE ．针对性练习：1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AD=BC 的理由． 解：∵_________，__________（已知） ∴∠1+∠3=_________． 即_______=_______． 在_________和________中∴△_______≌△_______（ ） ∴AD=BC （ ）2．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作AE•的垂线CF ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ．（1）试说明：AE=CD ； （2）AC=12cm ，求BD 的长．3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．4.如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+•BE=BC．5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AF是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，•∠C=60°，求∠FAB、∠AFD、∠FAD的度数．。
浙教七下第1章三角形的初步知识 聚焦全等三角形开放题 辅导文章
1聚焦全等三角形开放题江苏 庄亿农近年来，各地中考中出现了不少关于全等三角形开放试题。
这类题无论从题目形式上还是解题方式上都与传统题有所不同，常见的类型有条件开放型、结论开放型及策略开放型三种。
现以中考题为例，分类加以说明。
一、条件开放型例1（2006年·云南）如图，已知AB ∥DE ，且AB =DE 。
（1）请你只添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，你添加的条件是 。
（2）添加条件后，试说明△ABC ≌△DEF 。
分析：这是一道条件开放型题，解答时需要由已知条件结合图形，通过逆向思维，依据全等三角形的判定方法，补充所缺少的条件。
由AB ∥DE 可得∠B=∠DEF 。
又AB =DE ，要使△ABC ≌△DEF ，可添加∠A=∠D （ASA ）；或添加∠ACB =∠F （AAS ）；或添加BC=EF （SAS ）等。
解：（1）可添加BC=EF 。
（2）因为AB ∥DE ，所以∠B=∠DEF 。
在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ，∠B=∠DEF ，BC=EF ，所以△ABC ≌△DEF （SAS ）。
二、结论开放型例2（2006年·无锡）如图，△ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC=1，将△ABC 绕着C 逆时针旋转角α（0º＜α＜90º）得到△A 1B 1C ，连结BB 1设C B 1交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于点E 、F 。
（1对全等三角形，并加以说明（△ABC 与△A 1B 1C 全等除外）（2）当△BB 1D 是等腰三角形时，求α。
分析：这是一道结论开放型题，解答时应先根据题设条件，结合图形，准确地判断图中每对全等三角形，再任选一对加以证明。
此题不但给同学们创设了较大的思考空间，而且有利于思维能力和应变能力的培养。
解：（1）图中有3对全等三角形：△CBD ≌△CA 1F ，△AEF ≌△B 1ED ，△ACD ≌△B 1CF 。
七下第一章三角形初步认识复习课课件(浙教版)
3、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 _7_或__9__ 4、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 __1_7_c_m____
A
A
12
C 1E
D
B
D
C
B（第6题）
（第7题）
5、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 10度0
6、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
A
D
E
FB
C
1、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE，
∠BDC的度数。
400
800
A
E pD
B
C
2、如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是
△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC
的面积。 A
A
二、关于三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是 锐角
有一个角是 直角
有一个角是 钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐 角？
三、全等三角形
知识结构
全 定义：能够 完全重合 的两个三角形
等 对应元素：对应_顶__点__、对应 边 、对应 角。
三 角 形
性质：全等三角形的对应边 相等 、对应角相等 。 判定： SSS 、 SAS 、 ASA 、AAS 。
3、如图,在△ABC中, AD是△BAC的角平分 线，DE是△ABD的高线， ∠C=90 度。若 DE=2，BD=3，求线段BC的长。
A E
浙七下第一章《三角形的初步知识》综合指导
第一章《三角形的初步知识》综合指导一、复习目标1．掌握三角形三边的关系，会根据三角形的三边关系判断所给的三条线段能否构成三角形，确定与边有关的字母的取值范围．2．掌握三角形内角与外角的关系，能根据三角形内角与外角的关系进行有关角的计算，能根据角度将三角形分类．3．了解三角形的角平分线、高、中线的概念及特征，能在具体的三角形中作出它们．4．理解全等图形的概念和性质，并能根据全等三角形的性质解决有关的计算问题．5．掌握三角形全等的判定方法，能根据三角形全等的条件进行有条理的思考并进行简单的推理．6．能利用尺规根据所给的条件作三角形．7．能利用三角形全等的知识解决有关的实际问题．二、基础知识回顾1．三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边．2．三角形的内角与外角的关系(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3．三角形的分类(1)按边分类:①不等边三角形;②等腰三角形（包括等边三角形）．(2)按角分类:①锐角三角形;②直角三角形;③钝角三角形．4．三角形的“三线”(1)三角形的角平分线:三角形的角平分线是线段，三条角平分线交于三角形内一点．(2)三角形的中线:三角形的中线是线段，三条中线交于三角形内一点．(3)三角形的高:三角形的高是线段，钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高是两条直角边，三角形的三条高所在的直线交于一点．5．全等图形(1)能够完全重合的两个图形叫做全等图形．(2)全等三角形的对应边相等，对应角相等．6．全等三角形的判定方法(1)一般三角形全等的判定方法①SSS:三条边分别对应相等的两个三角形全等;②S A S:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;③A S A:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;④AA S:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．(2)直角三角形全等的判定方法①利用SSS或SAS或ASA或AAS;②HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．7．尺规作图(1)已知三边作三角形;(2)已知两边和这两边的夹角作三角形;(3)作直角三角形等．三、注意点及思想方法1．注意点（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置．（2）三角形全等的判定方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判定三角形全等的条件中至少应有一条边．（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所得到的相等关系．（4）求作三角形时应注意分析条件特征，对于稍复杂些的求作三角形问题可先画草图．（5）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由．（6）注意只有说明两个直角三角形全等时，才能使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”．2．思想方法（1）转化思想：如将实际问题转化为数学问题来解决等．（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题．（3）分类讨论思想：如求解等腰三角形的有关问题时，往往用到分类讨论思想．四、典型例题分析1．三角形的三边关系例1 下列每组数分别表示三根小木棒的长度（单位：cm），将它们首尾相接后能摆成三角形的是（）．（Ａ）1，2，3 （Ｂ）5，7，12 （Ｃ）6，6，13 （Ｄ）6，8，10析解：要判断所给的哪三根小木棒可首尾相接后摆成三角形，则需要看较短的两根木棒的长度的和是否大于第三根木棒的长，如果大于，则可以构成三角形，否则，不能构成三角形．观察选项（A）、（B）、（C）中木棒的长度，它们都不满足两较短木棒的长度和大于第三根木棒的长度，而（D）中的木棒长度满足：6+8>10，故选（D）．【评注】和三角形三边关系有关的题目，主要涉及根据三角形的三边关系确定所给的线段能否构成三角形，解决问题时应注意三角形三边关系的灵活运用．2．三角形的内角与外角例2 如图1，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于_____．分析：因为∠A=30°，∠DFE=45°，所以要求∠α的度数，可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来求解．解：因为∠A=30°，∠DFE=45°，所以∠α=∠DFE-∠A=45°-30°=15°．所以填15°．【评注】本题主要利用同学们比较熟悉的三角板构成图形，并利用三角形的内角与外角的关系进行角度的计算．3．全等三角形的判定例3 如图2，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．请说明EF∥CD的理由．分析：要说明EF//CD，观察图形可知，只要说明∠EF A=∠CDB即可，说明∠EF A=∠CDB的关键是说明△AEF≌△BCD，根据已知条件AD=BF，可以得到AF=BD，根据AE//BC 可得∠A=∠B，再由已知条件AE=BC，可根据“S A S”说明两个三角形全等．解：因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因为AD=BF，所以AD+DF=BF+FD，即AF=BD，在△AEF和△BCD中，因为AF=BD，∠A=∠B，AE=BC，所以△AEF≌△BCD（SAS）．所以∠EF A=∠CDB，所以EF∥CD．【评注】当已知条件不能直接说明两个三角形全等时，首先要根据已知条件寻找三角形全等所具备的条件，然后再列出条件说明三角形全等．4．三角形全等的实际应用例4 如图3，有一池塘，要测量A、B两端的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC，并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长，就是A、B两点间的距离．请说明理由．分析：根据测量方法可知△ACB和△DCE满足AC=DC，BC=EC，根据图形中的隐含条件∠ACB和∠DCE是对顶角，可知∠ACB=∠DCE．此时可根据“SAS“说明两个三角形全等．解：在△ACB和△DCE中，因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ACB≌△DCE，所以DE=AB，因此测量DE的长就是点A、B间的距离．【评注】根据三角形全等测量距离，方法比较多，说理时，要根据测量方法所涉及到的相等条件，结合全等三角形的判定方法进行说明．5．综合应用例5 如图4，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为条件，余下的作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．分析：从四个论断中选择三个作为条件，另一个作为结论，写出一个正确的题目，其关键是根据图形，利用三角形全等的判定方法进行条件选择．从四个论断选择其中的三个，其方法有：①②③；①②④；①③④；②③④四种，其中可以得到三角形全等的有：①②③；①②④．从中选择一种说明理由即可．解：已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE．说明∠1=∠2的理由．理由:在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，AD=AE，BD=CE，所以△ABD≌△ACE（SSS），所以∠BAD=∠CAE，所以∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，所以∠1=∠2．【评注】编题型问题也是中考中的一个热点，在解决问题时，还应注意隐含条件的利用．。
数学第一章《三角形初步认识》教案(浙教版七年级下)
第一章三角形的初步知识（复习课）【教学目标】⑴认识三角形、三角形的角平分线和中线、三角形的高。
⑵全等三角形、三角形全等的条件、作三角形【教学分析】教学重点：熟练掌握三角形的内角和外角的性质和三边关系及两个三角形全等的条件.教学难点：利用三角形全等的有关知识解决一些实际简单的问题.【教学过程】（一）梳理知识，形成网络【学生活动】：以分组（四人一组）讨论的形式来回顾第一章的所有知识要点。
教师提问学生积极举手回答．1.三角形的概念和三角形中的主要线段：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高。
2.三角形的三边关系和三角关系以及三角形外角和内角的关系。
3.三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4.全等图形及全等三角形的概念。
5.全等三角形的性质和条件。
①SSS，②SAS ，③ASA，④AAS6.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知角，按给定条件作三角形。
【教师活动】在学生活动的过程中，教师可稍作提示或点拨。
【设计意图】: 梳理这一章的知识使学生知识系统化,可以使每位学生都参与到活动中来，达到人人参与的目的。
(二) 基础知识练习（由学生独立完成）1．下面各组长度的线段能首尾相接组成一个三角形的是:（）(A) (B) (C) (D)2．已知三角形三条边的长度为,化简:=.3. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=，∠B=，∠C=，这个三角形按角分类时，属于三角形.ACDF E4.把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE=度．5.如图在△ABC中，AB=AC=10，AB的垂直平分线交AC于G，BC=7，则△GBC的周长是_________.6.如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，S△BDO面积=1，则S△ABC=（）A.1B.3C.6D. 无法计算7．如图,在ΔABC中, ∠C=90O,BD平分∠ABC,交AC于D, 若AB=5,CD=2,则ΔABD的面积是.8．如图,AC与BD相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【教师活动】在学生活动的过程中，教师可稍作提示或点拨。
浙教七下第1章三角形的初步知识 三角形的高、中线和角平分线 辅
浙教七下第1章三角形的初步知识三角形的高、中线和角平分线辅三角形的高、中线和角平分线梳理山东于秀坤三角形的高、中线和角平分线是三种重要的线段.理解三角形的高、中线和角平分线应注意以下几点. 一、理解概念1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高线，简称三角形的高. 在学习三角形的高时，大家应用注意理解以下几点：三角形的高是线段，而不是射线，也不是直线. 一个三角形有三条高.三条高的位置因三角形的不同而不同.锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的有一条高在三角形的内部，它是直角三角形斜边上的高，另两条高和直角三角形的两条直角边重合；钝角三角形有一条高在三角形的内部，它是最长边上的高，另两条较短边上的高则在三角形的外部. 锐角三角形和直角三角形的三条高都交于一点.锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点在直角顶点.钝角三角形的三条高的所在的直线交于三角形外于一点. 图1图2图3 2．三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段，叫做三角形的中线. 理解三角形的中线应注意以下几点：三角形的中线是一条线段.不是射线，也不是直线. 无论是锐角三角形、直线三角形，还是钝角三角形，三角形的中线都交于三角形内部一点.如图4，线段AD、BE、CF是三角形的中线，它们交于三角形内于一点0. 图4 3．三角形的角平分线在一个三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 理解三角形的角平分线应注意以下几点：三角形的角平分线不同与一般角的平分线.三角形的角平分线是一条线段.而角的平分线是一条射线.1 一个三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，且交于三角形内部于一点.如图5，线段AD、BE、CF是三角形ABC的角平分线，它们交以点0. 图5 二、把握特征1．三角形的高具有以下特征：如图6，△ABC中，AD是△ABC的BC边上的高，则有AD⊥BC.∠ADB=∠ADC=90°；S△ABC=1BC·AD.2 图6图7图8 2．三角形的中线具有以下特征：如图7，△ABC 中，AD是△ABC的中线，则有BD=CD；S△ACD=S△ABD=1S△ABC. 23．三角形的角平分线具有的特征：如图8，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，则有：∠BAD=∠CAD=1∠BAC.22。
七年级数学(下)第一章 三角形的初步知识
第一章三角形的初步知识1.1 认识三角形一、背景介绍及教学资料三角形是几何图形中的基本图形，是构造较为复杂图形的基础。
学生在学习了图形的初步认识后安排了本教材的内容，是符合七年级学生认知规律的，也为进一步研究其它几何图形奠定基础。
教材安排了让学生观察铁塔的构造以及让学生动手做三角形等情景，使学生体验到学习和研究三角形是生产和生活的需要，了解到复杂的图形是由简单的图形构造而成的，激发学生学习数学的兴趣。
有关教学资料可查阅初中数学网。
（）二、教学设计第1课时教学内容分析：三角形是学生熟悉的图形，本节以学生观察房子的屋架等所包含的三角形出发，让学生体会用字母表示三角形的意义，认识三角形的基本要素（边、角和顶点）及其表示法，进一步展开对三角形性质的讨论。
学生在交流中感受到用字母表示三角形的必要性，教师还应鼓励学生用自己的语言概括出三角形的特点。
关于“三角形两边之和大于第三边”的结论的获得，教材安排了一个情景，通过学生的思考后提出问题，并引导学生动手测量，最后用“两点之间线段最短”的结论进一步说明，这样就将直观操作与简单推理结合在一起。
对于“三角形任意两边之差小于第三边”的性质，只需通过简单的变式得到结论即可。
教学目标：1、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及基本要素。
2、理解三角形三边关系的性质，并会初步应用它们来解决问题。
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念和推理能力。
教学重点与难点：教学重点：三角形的有关概念及三角形三边关系的性质。
教学难点：三角形三边关系的性质。
教学准备：刻度尺图钉若干细线硬纸板教学过程：设计思路通过一些实际中存在的三角形图案的演示，让学生认识到，我们所研究的问题来源于生活实际之中。
通过“做一做”，利用细绳绕三个图钉一周及改变图钉的位置，让学生在实验中进行思考，在自主学习的过程中体会学习的乐趣。
教学中注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作等探索过程。
浙教版七年级下册数学第1章 解直角三角形 全章热门考点整合应用
3 (1) tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；
解：原式＝
3 3×
23＋
232－
222×1＝12＋34－12＝34.
(2)14tan245°＋sin2130°－3cos230°＋tcaons6405°°－csions4500°°.
解：原式＝14×12＋1212－3×
在 Rt△BCE 中， BE＝cos∠BCCBE＝c5o0s 330°＝50 33＝100，
2
EC＝BC·tan∠CBE＝50 3×tan 30°＝50 3×33＝50. 在 Rt△DEF 中，DF＝tanEF D＝tanAB60°＝30 33＝30.
∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130.
7 如图，在△ABC 中，∠A＝30°，tan B＝ 23，AC＝2 3， 求 AB 的长．
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 在 Rt△ACD 中，∵AC＝2 3，∠A＝30°， ∴CD＝12AC＝ 3，AD＝AC·cos 30°＝2 3×23＝3. 在 Rt△BCD 中，tan B＝CDDB＝ 23， ∴DB＝2C3D＝2 33＝2，∴AB＝AD＋DB＝3＋2＝5.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝10， ∴sin∠BCD＝sin A＝BACB＝45， cos∠BCD＝cos A＝AACB＝35， tan∠BCD＝tan A＝BACC＝43.
2 如图，在△ABC 中，BC＝12，tanA＝34，∠B＝30°，求 AC 的长和△ABC 的面积．
解：设CE＝y. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5， ∠B＝∠BCD＝∠D＝90°. ∵BP＝a，CE＝y，∴PC＝5－a，DE＝4－y， ∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°， ∴∠APB＋∠CPE＝90°，∵∠APB＋∠BAP＝90°， ∴∠CPE＝∠BAP，
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聚焦求角问题中的数学思想方法
四川 向茂江
在学习与三角形有关的角时，同学们会遇到许多求角的问题，其中有些题目看似简单，却很难入手，或者是由于思考不全而造成漏解，怎么办？要知道，数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙。
本文将谈谈数学思想方法在这类题目中的运用，希望对同学们的解题有所帮助。
一、整体思想
例1. 如图1，若P 为∠B 、∠C 的角平分线的交点，求12
BPC A ∠-∠的值。
分析：本题的关键在于从整体着眼，利用PBC PCB ∠+∠建立与A ∠与BPC ∠的关系。
解：∵11,,22PBC ABC PCB ACB BPC ∠=
∠∠=∠∠=180º()PBC PCB -∠+∠ ∴12BPC A ∠-∠=180º111222ABC ACB A ⎛⎫-∠+∠+∠ ⎪⎝⎭
=180º12-⨯180º=90º. 二、方程思想
例2. 如图2，在ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB=3∶4∶5，BD 、CE 分别是边AC 、
AB 上的高，BD 、CE 相交于H ，求∠BHC 的度数。
分析：根据三角形的内角和定理，结合已知条件可先求出∠A 、∠ABC 、∠ACB ，因为∠BHC 在BHC 中，则需先求出∠DBC 和∠ECB 的值。
解：设3A x ∠=，则4,5,ABC x ACB x ∠=∠=
∴345x x x ++=180º. ∴x =15º.
即∠A=45º，∠ABC=60º，∠ACB=75º，
在△DBC 中，由∠DBC=90º知△DBC 是直角三角形，∴∠DBC=90º-75º =15º。
在△ECB 中，由∠CEB=90º知△ECB 是直角三角形，∴∠ECB=90º-60º =30º。
在△BHC 中，∠BHC=180º-15º-30º=135º.
点评：由于∠A ∶∠ABC ∶∠ACB=3∶4∶5，设3A x ∠=，则4,5,A B C x A C B x ∠=∠=
再根据三角形内角和定理，就可以得到一个关于x 的方程，即345x x x ++=180º，从而求得∠A 、∠ABC 、∠ACB ，这种方法会经常用到，要注意掌握。
三、转化思想
例3. 如图3，求五角星五个顶角：∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 的度数和。
分析：利用“三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和”将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 转化到一个三角形中，从而用三角形内角和定理即可获解。
解：如图3，∠1=∠B+∠D ，∠2=∠A+∠C ，又∠1+∠2+∠E=180º，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º.
四、分类思想
例4. 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45º，高BD 和CE 所在的直线相交于H ，求
求∠BHC 的度数。
分析： 三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同。
当三角形为锐角三角形时，高的交点在其内部；当三角形为钝角三角形时，高的交点在其外部，故应分两种情况讨论。
解：（1）当△ABC 为锐角三角形时（如图4）。
∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A =45º，
∴∠ADB=∠BEH =90º，∠ABD=90º-45º= 45º.
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45º+90º=135º.
（2）当△ABC 为钝角三角形时（如图5）。
∵H 是△ABC 的两条高所在直线的交点，∠A =45º，
∴∠ABD=90º-45º= 45º.
∴在Rt △BHC 中，∠BHC=90º-∠ABD=90º-45º= 45º.
∴∠BHC 的度数是135º或45º.
五、构造法
例5. 如图6，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140º，∠BGC=110º，求∠A的度数。
分析：若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的内角，则必须构造三角形，结合图形不难发现，连结BC即可。
解：连结BC.
∵∠DBC+∠DCB +∠BDC =180º，∠BDC =140º，
∴∠DBC+∠DCB=40º.
又∵∠BGC+∠GBC +∠GCB =180º，∠BGC =110º，
∴∠GBD+∠GCD =180º-110º-40º=30º.
∵∠GBD=1
2
∠ABD，∠GCD=
1
2
∠ACD，
∴∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=60º
∴∠A=180º-∠ABC-∠ACB=180º-60º-40º=80º.
点评：此题还可延长CD交BE于一点，请同学们尝试一下这种解法。
所以，在进行角度的计算时，为了能使三角形内角和定理及内角与外角的关系，常常需要构造三角形或三角形的外角，这时需要连结某些线段或延长某些线段.。