2015高考真题数学考点48 矩阵与变换
高考数学试题分类汇编坐标系与参数方程矩阵与变换
专题二十一矩阵与变换1.（15年福建理科）已知矩阵2111,.4301A B 骣骣琪琪==琪琪-桫桫(Ⅰ)求A 的逆矩阵1A -；(Ⅱ)求矩阵C ，使得AC=B.【答案】(Ⅰ)312221； (Ⅱ)32223．【解析】试题分析：因为2143A 骣琪=琪桫，得伴随矩阵3142A ，且2A ，由11AA A可求得1A -；(Ⅱ)因为AC B ，故1CA B ，进而利用矩阵乘法求解．试题解析：(1)因为|A|=23-14=2创所以131312222422122A(2)由AC=B 得11()C A A A B --=,故1313112C==222012123A B 考点：矩阵和逆矩阵．2.（15年江苏）已知R y x,，向量11是矩阵1y x A的属性特征值2的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.【答案】112,另一个特征值为1．【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得2，即1112012x x yy，则122x y，即12x y，所以矩阵1120．从而矩阵的特征多项式21f，所以矩阵的另一个特征值为1．考点：矩阵运算，特征值与特征向量专题二十二坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23?到直线cos 3sin 6的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3极坐标化为直角坐标(1,3)，再把直线的极坐标方程cos 3sin 6化为直角坐标方程360x y ，利用点到直线距离公式136113d.考点：1.极坐标与直角坐标的互化； 2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2）π，点A 的极坐标为722,4A ，则点A 到直线l 的距离为【答案】522．【解析】依题已知直线l ：2sin24和点722,4A 可化为l ：10x y 和2,2A ，所以。
【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习 考点53 矩阵与变换提能训练(含2013年高考真题)
考点53 矩阵与变换一、选择题1.（2013·某某高考理科·T17）在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） A.18 B.28 C.48D.63 【解析】选A.,21i j i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ． 二、填空题2.（2013·某某高考理科·T3）若2211x x x y y y =--，则______x y += 【解析】2220x y xy x y +=-⇒+=．【答案】0.3.（2013·某某高考文科·T4）已知1x 12=0，1x 1y =1，则y= . 【解析】111 2021 12 =-==⇒=-=y x y x x x x ，又已知 ,1,2==y x 联立上式，解得【答案】 1.三、解答题4.（2013·某某高考数学科·Ｔ21）已知矩阵A =1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1206⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求矩阵1-A B . 【解题指南】先求出矩陈A 的逆矩陈再运算1A B -，主要考查逆矩阵、矩阵的乘法, 考查运算求解能力. 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦即22a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦故a=-1, b=0, c=0, d=12,从而 A 的逆矩阵为1A -=10102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以1A B -=10102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1206⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5.（2013·某某高考理科·Ｔ21）已知直线1:=+y ax l 在矩阵1201A ⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下变为直线1:'=+by x l（I ）某某数b a ,的值（II ）若点),(00y x P 在直线l 上，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000y x y x A ，求点P 的坐标 【解析】（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''' 由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0).。
高中数学选修4-2：矩阵与变换
高中数学选修4-2：矩阵与变换矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
一、内容与要求1．引入二阶矩阵2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。
（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3．变换的复合--二阶方阵的乘法（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。
（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。
4．逆矩阵与二阶行列式（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5．二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
6．变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
7．矩阵的应用（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。
（2）初步了解三阶或高阶矩阵。
（3）了解矩阵的应用。
8．完成一个学习总结报告。
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。
高三数学矩阵行列式试题
高三数学矩阵行列式试题1.矩阵与变换：已知a，b∈R，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵．【答案】【解析】根据矩阵乘法求变换：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得：其与完全一样得则矩阵则解：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得： 3分其与完全一样得则矩阵 6分则 10分【考点】矩阵变换，逆矩阵2.已知矩阵，点，．求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度．【答案】【解析】先根据逆矩阵公式求逆矩阵：，即，再根据矩阵运算求出对应点的坐标，由，，知点，最后根据两点间距离公式求长度，．设，则，所以，解得，即．由，，知点，所以．【考点】逆矩阵，矩阵运算3.关于方程的解为．【答案】2【解析】原方程为，即，，所以，．【考点】行列式，指数方程．4.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.5.已知，，则y=．【答案】1【解析】由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．【考点】二阶行列式的定义点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题6.对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）．【答案】相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.【解析】一个非零向量的反向量的反向量是它本身；一个命题的否命题的否命题是它本身；一个函数的反函数的反函数是它本身。
【创新方案】(人教通用版)2015高考数学 五年高考真题分类汇编 第十三章 矩阵与变换 理
五年高考真题分类汇编：矩阵与变换1．（2013•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. 2．（2013•福建高考理）已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.①求实数a ，b 的值； ②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标． 解：(1)本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 'y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1. ②由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 3．（2012•江苏高考） 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4．（2012•福建高考理）设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a 0b 1⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫1 01 1， A 2＝⎝⎛⎭⎫1 01 1⎝⎛⎭⎫1 01 1＝⎝⎛⎭⎫1 02 1，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1 0－2 1.5．（2011•福建高考理）设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)． (Ⅰ)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(Ⅱ)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(Ⅰ)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 00 13. (Ⅱ)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00 b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a ＞0，b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.6．（2011•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.。
2015年全国各地高考数学分类汇编-18 几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1.（2015广东理）如图1，已知AB是圆O的直径，4AB=，EC是圆O的切线，切点为C，1BC=，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=图1P OECDAB【答案】8．【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．2.（2015广东文）如图1，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线CE的垂线，垂足为D．若4AB=，C23E=，则DA=．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．3．（2015湖北理）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似.4. (2015湖南理)（Ⅰ）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.5. (2015江苏) 如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析考点：三角形相似6.(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O 切线； （II ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小.ABCE DO（第21——A 题）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE =DC ，OE =OB ，利用等量代换可证∠DEC +∠OEB =90°，即∠OED =90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE =1,由OA =得，AB=AE =x，由勾股定理得BE =，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.7. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．GAEFONDB CM（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知得AD BC ⊥，欲证明//EF BC ，只需证明AD EF ⊥，由切线长定理可得AE AF =，故只需证明AD 是角平分线即可；（Ⅱ）连接OE ，OM ，在Rt AEO ∆中，易求得030OAE ∠=，故AEF ∆和AEF ∆都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积．四边形EBCF 的面积为两个等边三角形面积之差． 试题解析：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF 的面积221122⨯⨯=考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 8. (2015陕西文、理)如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C .(I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】 试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =222AB BC AC =+，解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC==，又BC =，从而AB =，所以4AC == 所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.9.(2015天津文、理)如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（ ）（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52E【答案】A【解析】 试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.考点：相交弦定理.10．(2015重庆理)如图，圆O 的弦AB ，C D 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.二、坐标系与参数方程：选修4-4：坐标系与参数方程1.（2015安徽理）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈2. （2015北京理）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.3.（2015福建理）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解． 试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．4．（2015广东理） 已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 【答案】2．【解析】依题已知直线l ：2sin 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为2d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．5. （2015广东文） 在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 16．（2015湖北理）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.7.(2015湖南理)（Ⅱ）已知直线5:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|. 【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用.8、(2015湖南文)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.【答案】2211x y +-=（） 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=，，它的直角坐标方程为222x y y += ， 2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）． 考点：圆的极坐标方程9.(2015江苏)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化10.(2015全国新课标Ⅰ卷文)在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.11. (2015全国新课标Ⅰ卷理)在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
高考数学真题考点50 矩阵与变换
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考点50 矩阵与变换
一、解答题
1.(2019·江苏高考·T21·A )A.[选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵A =[3 1
2 2].
(1)求A 2.
(2)求矩阵A 的特征值.
【命题意图】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.
【解题指南】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A 2的值即可.
(2)首先求得矩阵的特征多项式,然后利用特征多项式求解特征值即可.
【解析】(1)因为A =[3 1
2 2],所以A 2=[
3 12 2][3 12 2
] =[3×3+1×2 3×1+1×2 2×3+2×2 2×1+2×2]=[11 510 6
]. (2)矩阵A 的特征多项式为
f (λ)=|λ-3 -1
-2 λ-2|=λ2-5λ+4.
令f (λ)=0,解得A 的特征值λ1=1,λ2=4.。
高三数学必做题--矩阵与变换
专题一 矩阵与变换二．主要内容解读 1．矩阵变换注意：矩阵AB 与矩阵BA 意义不同AB 是先施加矩阵B 对应的变换，再施加矩阵A 对应的变换； BA 是先施加矩阵A 对应的变换，再施加矩阵B 对应的变换． 2．矩阵的运算、逆矩阵逆矩阵的求法：（1）定义法；（2）公式法1-=A d b ad bc ad bc c a ad bcad bc -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦． 3．特征值和特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得A λ=αα，那么称λ为α的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．特征值和特征向量的求法：（1）写出A 的特征多项式()f λ，（2）求出()0f λ=的根，（3）将λ代入λ=A αα的二元一次方程组，（4）写出满足条件的一组非零解． 三．高考试题展示1．（08年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．[解析]本题主要考察曲线在矩阵变换下的变化特点，考察运算求解能力．满分10分． 解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下变为点 00(,)P x y '''，则有00002001x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00002x x y y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，所以00002x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而2200()()1x y ''+=，所以，曲线F 的方程是：221x y +=．2．（09年江苏）求矩阵3221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵．[解析] 本题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分． 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 3．（10年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A （0,0），B （-3,0），C （-2,1）,设k ≠0，k ∈R ，M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值．[解析] 本题主要考查矩阵的乘法运算及变换．满分10分．解：0010011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MN ， 由00320010001032k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知A 1（0,0），B 1（0，-3），C 1（k ，-2）． ∵1322ABC C S AB y ∆=⋅=，∴111111132322A B C C ABC S A B x k S ∆∆=⋅===，∴2k =±．4．（11年江苏）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β．求向量α，使得2=A αβ． [解析] 本题主要考查矩阵的乘法运算．满分10分．解：设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由2A =αβ得：321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，321432x y x y +=⎧∴⎨+=⎩，12x y =-⎧∴⎨=⎩，12-⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦α．四．试题分类汇总 1．矩阵变换 题1：（2010南京一模）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （2，0），C （2，1），求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵：2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ．题2：（2009年南京一模）已知矩阵0110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ．在平面直角坐标系中，设直线012=+-y x 在矩阵M N 对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．题3：（2011年苏、锡、常、镇二模）求圆22:4C x y +=在矩阵2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应变换作用下的曲线方程．题4：（2011年南京二模）求曲线C 1xy =：在矩阵1111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线1C 的方程．题5：（2011年南通二模）已知圆C ：221x y +=在矩阵0=(0,0)0a a b b ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为椭圆22194x y +=，求a ，b 的值．题6：（2010年南京二模）如果曲线2243x xy y ++在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换得到曲线221x y -=，求a b +的值．题7：（2011年苏、锡、常、镇一模）已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．2．矩阵的运算、逆矩阵题8：（2009南通二模）已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B , 求矩阵B .题9：（2010盐城二模）求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M 成立的矩阵M ．题10：（2009南京二模）已知二阶矩阵M 满足1112,0012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M M ，求211⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ．题11：（2010南通一模）若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．题12：（2010年盐城一模）已知二阶矩阵A 有特征值31=λ及其对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，特征值12-=λ及其对应的一个特征向量211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．3．特征值和特征向量题13：（2010年南通二模）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.题14：（2009年苏、锡、常、镇二模）已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a ∈R ，若点(1,2)P - 在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.题15：（2011年盐城一模）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值．题16：（2011年南京一模）已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α为矩阵114a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及2A ．题17：（2010年苏、锡、常、镇二模）一个22⨯的矩阵M 有两个特征值：128,2λλ==，其中1λ对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，2λ对应的一个特征向量212⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，求M ．参考答案： 题1：解：200102021020MN --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由0203200220001064----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知1(0,0)A ，1(0,6)B -，1(2,4)C --，11111162A B C C S A B x ∆∴=⋅=．题2：解：由题设得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100101100110MN ,设),(y x 是直线012=+-y x 上任意一点,点),(y x 在矩阵MN 对应的变换作用下变为),(y x '',则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x y x 1001, 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x y x ,所以⎩⎨⎧'-='=y y x x ．因为点),(y x 在直线012=+-y x 上,从而01)(2=+'--'y x ,即：012=+'+'y x ，所以曲线F 的方程为 012=++y x ．题3：解：设(,)P x y 是圆22:4C x y +=上的任意一点，设(,)P x y '''是(,)P x y 在矩阵2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应变换作用下的新曲线上的对应点， 则20201x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………………………………3分 则2x x y y '=⎧⎨'=⎩，所以2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩， …………………………………6分将2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩代入224x y +=，得22()()44x y ''+=． …………………………………8分 所以所求曲线方程为221164x y +=． …………………………………10分 题4：解：设00(,)P x y 为曲线C 1xy =：上任意一点，它在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111M 对应的变换作用下得到点(,)Q x y ，由001111x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得0000x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩，解得0022x y x x yy -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ………………………5分 因为00(,)P x y 在曲线C 1xy =：上，所以001x y =，所以122x y x y -+⨯=，即224x y -=． 所以所求曲线1C 的方程为：224x y -=． …………………………………10分题5：解：设(,)P x y 为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点(,)P x y '''，则 00x a x y b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即,.x a x y b y '=⎧⎨'=⎩ …………………………………4分 又因为点(,)P x y '''在椭圆22194x y +=上，所以 2222194a xb y +=．由已知条件可知，221x y += ，所以 a 2=9，b 2=4．因为 a >0 ，b >0，所以 a =3，b =2． ………………………………10分题6：解：设00(,)P x y 是曲线22431x xy y ++=上的任意一点，点00(,)P x y 在矩阵11a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下，得到的点(,)Q x y 都在曲线221x y -=上． 由0011x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得0000x ay x bx y y +=⎧⎨+=⎩， 代入221x y -=，得：22220000(1)(22)(1)1b x a b x y a y -+-+-=， 又因为00(,)P x y 在22431x xy y ++=上，所以220000431x x y y ++=，所以221122413b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2a b +=．题7：解：这个变换的逆变换是先作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针45旋转变换，…2分其矩阵是10cos(45)sin(45)01sin(45)cos(45)⎡⎤---⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ …………………………………6分22⎡-⎢⎢=⎢⎢⎣ 。
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考点48 矩阵与变换
一、选择题
1.(2015·福建高考理科·T21)(1)(本小题满分7分)选修4-2;矩阵与变换
已知矩阵A=错误！未找到引用源。
,B=错误！未找到引用源。
.
①求A 的逆矩阵A -1
.
②求矩阵C,使得AC=B.
【解题指南】利用矩阵与逆矩阵的关系直接求解.
【解析】①因为错误！未找到引用源。
=2×3-1×4=2, 所以13131222242212
2A --⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ②由AC=B 得(A -1A)C=A -1B, 故1313112C ==222012123A B -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭---⎝⎭⎝⎭
二、解答题
2．(2015·江苏高考·T21已知x,y ∈R,向量α=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A=10x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的属性特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.
【解题指南】由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组,再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值.
【解析】由已知,得Αα=-2α,即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则12,2,x y -=-⎧⎨=⎩
即1,2,
x y =-⎧⎨=⎩ 所以矩阵Α=1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 从而矩阵Α的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵Α的另一个特征值为1.。