3第三讲伯努利一章小结与离散随机变量(16)
离散型随机变量例子
离散型随机变量例子
随机变量是概率论中一个重要的概念，所谓随机变量，指的是一个可以取几种不同可能值的变量，其中每一种可能值的发生概率可以用概率论来描述。
离散型随机变量是指可能取值为有限数或者数目可算的有限或无穷多实数的随机变量。
下面我们就来看看几个典型的离散型随机变量例子。
1、伯努利随机变量：伯努利随机变量是指一个随机变量，它只有两种可能的结果，也就是只有 0 或 1。
它具有 0 的概率为 p，另一个结果就是 1 的概率也就是 1-p。
2、离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量的数学期望是指随机变量的均值。
它的计算方法是把变量的各种可能值乘以其对应的概率，然后求和，就可以得到数学期望的值。
3、二项分布：二项分布是指一个随机变量 X 的概率分布如果是一个多次独立试验的离散型结果，它的取值就是 0 到 n 之间的整数。
它的概率分布可以用下面的公式来表示：P（X=k）={nchoose k}p^kq^{nk}
4、泊松分布：泊松分布是一个特殊的二项分布，它只有两个参数，一个是λ，另一个是 n。
- 1 -。
伯努利不等式 离散
伯努利不等式离散伯努利不等式是数学中的一条重要不等式，它在离散情形下也有着广泛的应用。
本文将以伯努利不等式在离散数学中的应用为中心展开阐述。
首先，我们来回顾一下伯努利不等式的定义。
伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利在17世纪提出的。
它描述了一个重要的数学性质：在某些条件下，幂函数的次数越高，其值就越大。
具体地说，对于任意实数$x>-1$和任意正整数$n$，伯努利不等式可以表示为：$$(1+x)^n\geq1+nx$$这个不等式在离散数学中有着广泛的应用。
下面我们将通过几个具体的例子来展示它的应用。
首先，我们考虑一个经典的例子：证明$n$个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设这$n$个正实数分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的算术平均值和几何平均值分别为$A=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$和$G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$。
由伯努利不等式可知，对于任意正整数$n$和任意正实数$x_i$，有$(1+x_i)^n\geq1+nx_i$。
将这个不等式应用到每一个$1+x_i$上，我们可以得到：$$(1+x_1)(1+x_2)\dots(1+x_n)\geq1+n(x_1+x_2+\dots+x_n)$$注意到左边是$G^n$，右边是$1+nA$，我们可以得到：$$G^n\geq1+nA$$进一步整理可得：$$G\geq\sqrt[n]{1+nA}$$因此，我们证明了算术平均值不小于几何平均值的结论。
接下来，我们考虑一个更加具体的例子：证明$n$个正实数的和不小于它们的最大值乘以$n$。
设这$n$个正实数分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的和和最大值分别为$S=x_1+x_2+\dots+x_n$和$M=\max(x_1,x_2,\dots,x_n)$。
由伯努利不等式可知，对于任意正整数$n$和任意正实数$x_i$，有$(1+x_i)^n\geq1+nx_i$。
3第三讲伯努利一章小结与离散随机变量(16)
第三讲 二项分布与离散随机变量
例题3-1-7
设事件 A 与 B 独立， A 与 B 都不发生的概率为 不发生的概率与 的概率。 B 发生且 A 不发生的概率相等，求 1 9 A 发生 ， A 发生 B
解 P ( A B ) P ( A B ), P ( A ) P ( AB ) P ( A B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( BA ) P ( B A ) P ( B ) ＝ __________ _ 1 由 P(A B ) P( A B ) 1 P(A B) 9
两个步骤，第一步是 的 m 个房间发生
完成 A 恰发生 m 次这一事件则需要经过 选择 m 个房间，有
m
C n 种方法，第二步，选择
了 A , 剩下的 n m 个房间发生了 独立，则根据乘法原理
m
A ，而且 n 个房间的试验相互
，事件 A 发生 m 次的概率为：
m n nm
C n P ( A AA A ) C n P ( A)P
设在一次试验中，事件 A 至少发生 1 次的概率为 A 发生的概率为 p , 现进行 n 次独立试验，则 ____ . _____; 而事件 A 至多发生 1 次的概率为
【分析】 P ( A 至少发生 1 次 ) 1 P ( A 一次没有发生 1 P ( A 发生 0 次 ) 1 C n p ( 1 p )
1 P ( A ) P ( B ) P ( AB ) 1 P ( A ) P ( B ) P ( A )( B ) 1 2P ( A) P ( A)
2
[ 3 P ( A ) 4 ][ 3 P ( A ) 2 ] 0 , 0 P ( A ) 1 , P ( A )
高三数学第三册第一章《离散型随机变量的分布列》知识点
高三数学第三册第一章《离散型随机变量的分布列》知识点三、高等数学第三卷第一章《离散型随机变量的散布列》知识点一、离散随机变量分散列汇总1.离散随机变量的散射列(1)随机变量如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量就叫做随机变量，通常用字母X、Y等来表示。
(2)离散随机变量随机变量的可能值可以按照必然的顺序一一列出。
这种随机变量称为离散随机变量。
(3)散列设离散随机变量X的可能值为x1，x2，xi，xn，X取每个值的概率xi(i=1，2，n)为P(X=xi)=pi，称为表。
Xx1x2？xi？xnPp1p2？圆周率？Pn是随机变量x的概率分布序列，简称x的分布序列。
(4)散射柱的两个性质pi0，i=1，2，n；p1 p2 pn=_1_。
2.两点分布如果随机变量x的散布列是X10Ppq其中01，q=1-p，表示离散随机变量x服从参数为p的两点分布.注意：一类表格统计学是收集数据，用图表或其他方式处置数据，应用一些主要特征信息进行评价和决策，离散随机变量的分散列是数据处置的表格。
第一行数据是随机变量的值，它把所有的实验结果分成几个事件，随机变量的值就是这些事件的代码；第二行数据是由第一行数据表示的事件的概率。
应用离散随机变量的离散列，很容易找出它的期望值和方差等特征值。
两个属性(1)第二行数据中的数字都在(0，1)以内；(2)第二行所有数字之和等于1。
三种方式(1)从统计数据中获得离散随机变量的分散列；(2)从经典概率中寻找离散随机变量的离散序列；(3)从互斥事件和独立事件的概率计算离散随机变量的离散序列。
二、实例分析1.抛一次均匀硬币，随机变量为()。
A.正次数B.显示正面或背面的次数C.抛硬币次数D.前后演示时间总和分析：投掷一枚统一硬币一次露出正面的次数为0或1。
回答a2.如果x是一个离散的随机变量，那么下列命题中的伪命题就是()。
A.X取每个可能值的概率是非负实数。
B.x取所有可能值的概率之和为1。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
伯努利随机变量
伯努利随机变量离散型随机变量指的是随机变量X的取值是有限的（或无穷可列的）。
1.0-1分布（伯努利分布）0-1分布很简单，就是字面意思，即随机变量X的取值只有两个，0和1，表示每次试验的结果只有2种，非A即B。
比如像我们常说的抛一次硬币的结果，看用户是否使用某优惠券等，都是服从0-1分布的；其实，在我们的生活中任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布，记做X~B（1，p），它表示只进行一次试验，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
2.二项分布二项分布实际就是将上述的伯努利试验独立重复的进行n次，发生事件A的次数是服从二项分布的，记做X~B（n，p），其概率分布为:其含义为做n次伯努利试验，有k次发生事件A且有n-k次不发生事件A的概率。
3.几何分布几何分布实际上和“几何”没有任何关系，据说是很久很久以前大家叫错了名字，错把这种分布叫成了几何分布，但后来懒得改了，就还是叫这个名字了。
几何分布仍然是基于伯努利试验，但这次不是进行1次，也不是进行固定的n次，而是可以进行无穷次，那什么时候停止呢？几何分布试验结束的条件是：“首中即停止”，即一旦事件A发生则停止试验；比如：我们投篮，如果投中，则试验停止；如果一直投不中，则一直投一直投，投到天荒地老，直到投进我们的试验才算结束。
还比如我们日常生活中，求灯泡坏掉的概率，其实也都是几何分布。
几何分布的概率分布为：它的含义是：进行n次伯努利试验（n次可以是无穷大），试验k次才得到第一次成功的机率；即前k-1次事件A都不发生，第k次发生的概率。
4.泊松分布接下来就是离散型随机变量里的重中之重——“泊松分布”，之所以说它很重要，是因为它和我们的生活密切相关。
泊松分布是用于描述某场合某单位时间内，源源不断的质点来流的个数，比如：某大型超市晚上8-9点，源源不断进入商场的顾客数是服从泊松分布的。
还比如某段时间内网站的访问人数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等都是服从泊松分布的。
概率伯努利概型
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
伯努利定理基本内容
伯努利定理基本内容伯努利定理基本内容————————————伯努利定理是统计概率学的一个重要理论，它提出了一种实验的设计方法，提供了在实验中计算概率的一般方法。
它的主要内容是：在实验中，如果有一个变量的可能结果有n种，那么在这n种可能结果中，只要有k种可能结果能够发生，那么发生这k种可能结果的概率就是$\frac{k}{n}$。
伯努利定理的基本思想是：在实验中，如果有n种可能结果，其中有k种可能结果能够发生，那么发生这k种可能结果的概率就是$\frac{k}{n}$。
如果n为无限，则可以用极限来表示：$\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{k}{n} = 0$，这表明发生k种可能结果的概率越来越小。
伯努利定理的基本内容如下：1. 在一个随机试验中，如果有n个可能的结果，其中有k个可能的正确结果，那么正确结果发生的概率就是$\frac{k}{n}$。
2. 如果试验重复多次，则正确结果出现的次数将会趋于n。
3. 如果试验重复多次，则正确结果出现的概率将会趋于$\frac{k}{n}$。
4. 如果试验重复多次，则正确结果出现的频率将会趋于$\frac{k}{n}$。
伯努利定理是一个非常强大的理论，它使我们能够很好地分析随机试验中的各种因素，从而对随机试验的设计和运行都有很大的帮助。
由于伯努利定理强大的理论基础和广泛的应用领域，它在很多领域都被广泛应用。
应用领域———————伯努利定理在很多领域都有广泛应用。
在金融学中，伯努利定理可以用来分析不同证券价格波动的原因；在财务学中，伯努利定理可以用来分析金融工具价格变化的原因；在保险学中，伯努利定理可以用来估计不同保险产品的风险；在数学中，伯努利定理可以用来评估一个随机变量的期望值。
此外，伯努利定理在计算机科学中也有广泛应用。
在密码学中，伯努利定理可以用来分析密钥生成和密钥分发的安全性问题；在计算机图形学中，伯努利定理可以用来计算不同图形之间的相关性；在数据库中，伯努利定理也可以用来分析数据库表之间的关联性。
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第三讲 二项分布与离散随机变量
例题3-1-6
已知P( A) 0.92, P( B) 0.93, P( B / A) 0.85, 试求P( A / B )
【分析】 由于第4次射击恰好是第2次命中目标，所以第 次是必定 4 命中目标的。前3次是3次独立试验，即贝努里 概型。因此：设 A : 前3次恰命中 次目标；B : 第4次命中目标；则A、B独立且： 1
P(第4次射击恰2次命中目标) P( AB) P( A) P( B)
1 C3 p(1 p)2 p 3 p2 (1 p)2 .
例题3-1-11
第三讲 二项分布与离散随机变量
一批零件 10个，其中有 8个合格品， 个次品，每次任取 1个 2 零件装配机器，若第二 次取到合格品的概率为 p2 , 第三次取到 合格品的概率为 p3 , 则（ ） ( A) p2 p3 ;( B ) p2 p3 ;(C ) p2 p3 ; ( D ) p2与p3的大小不能确定。
Ai "任取的一箱中有i件残次品 。 " (1) P ( B ) P[ B( A0 A1 A2 )] P ( BA0 ) P ( BA1 ) P ( BA2 ) P ( Ai ) P ( B / Ai )
4 4 4 C 20 C19 4 C18 12 P ( B / A0 ) 4 1, P ( B / A1 ) 4 , P ( B / A2 ) 4 . C 20 C 20 5 C 20 19
故选(C )
例3-1-2 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局 甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4。比赛是可以采用 五局三胜制，求甲获胜的概率 解 若采用五局三胜制，则甲在下列情况下获胜： B1: 3 : 0（甲净胜三局）； B2: 3 : 1（前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜）; B3: 3 : 2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜）. 显然B1 , B2 , B3互斥，设A {甲胜}，则B1为3次独立试验，每次
0 5 0 5
1 1 1 10 p P ( A) 10 ( ) 6 6 6 6 6
故选C
第三讲 二项分布与离散随机变量
例题3-1-9
玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0,1,2只残次品 的概率相应为0.8,0.1,0.1。某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购 买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次 品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求 （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 解：设B＝“买下该箱”即“查看4只无次品”；
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 分析：P ( A) P ( AB ) P ( AB ), P ( A / B ) ; P(B ) 1 P( B)
解： P ( B ) P ( BA ) P ( BA )
P ( BA ) P ( B ) P ( AB ) 由已知0.85 P ( B / A ) P( A ) 1 P ( A) 0.85 0.08 0.93 P ( AB ), P ( AB ) 0.862
第三讲 二项分布与离散随机变量
（2）每次试验的结果是相互独立的， （3）每次试验只有两个可能结果： 与A A ，并且P( A) p 则称这个试验为n重贝努里(Bernoulli)试验，或称 为n次独立试验序列，相应的数学模型称为贝努里概型 2.二项分布定理
定理： n次独立试验序列中，每 在 次试验事件A发生的概率
第三讲 二项分布与离散随机变量
本次课讲授第一章的1.5和第二章的 2.1-2.2 下次课讲授第二章的2.2-2.3.
下次上课时交作业P9—10
重点：伯努利概型，常用离散分布 难点：二项分布和泊松分布
第三讲 二项分布与离散随机变量
复习：
并至少，交都好，互斥 积空补全了， 子集导，差补交，并交 互换摩根了。
为p(0 p 1)，则在n次试验中事件A恰发生m次的概率为：
m Pn (m) Cn pmqnm
其中q 1 p
证明：n次重复试验，相当于有 个房间同时进行同样 n 试验。每个房间都有 发生，A 发生两种可能。 A
完成A恰发生m次这一事件则需要经过 两个步骤，第一步是
m 选择m个房间，有C n 种方法，第二步，选择 m个房间发生 的
第三讲 二项分布与离散随机变量
了A, 剩下的n m个房间发生了A ，而且n个房间的试验相互 独立，则根据乘法原理 ，事件A发生m次的概率为：
m m m C n P ( A AA A ) C n P n ( A) P n m ( A ) C n p n (1 p)n m
注解：由于n次独立试验所有可能的 结果就是事件A恰好 发生0，2， ，n次，这些结果互斥，所 Pn ( m ) 1 1， ....... 以
P B1 P3 3 0.63 0.216, 2 P B2 P3 2 0.6 C 3 0.62 0.4 0.6 0.259. 2 P B3 P4 2 0.6 C4 0.62 0.42 0.6 0.207.
例题3-1-10（2012数学一，4分）
i 0
解：因 A与C互不相容，故 AC , 则ABC ,即P( ABC) 0, P( AB / C ) P( ABC ) P( AB) P( ABC) P( AB) 1/ 2 3 P(C ) 1 P(C ) 1 P(C ) 1 1 / 3 4
m n 因为Cn p m q n m恰为二项式（q px） 的展开式的x m的系数
m 1 n
所以，又将伯努利概型 称为二项分布
第三讲 二项分布与离散随机变量
例3-1-1（2007数学一，4分）
某人向同一目标独立重 复射击，每次射击命中 目标的概率为 p(0 p 1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ） （A） p(1 p ) 2 ; （B） p(1 p ) 2 ; （C） p 2 (1 p ) 2 ; （D） p 2 (1 p ) 2 . 3 6 3 6
第三讲 二项分布与离散随机变量
P( A) P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) 0.216 0.259 0.207 0.682
例3-1-3（1987数学一，4分）
设在一次试验中，事件 发生的概率为p, 现进行n次独立试验，则 A A至少发生 次的概率为_____; 1 而事件A至多发生 次的概率为____. 1
古典概，量算好，加乘 原理少不了， 几何概，度量比，作图 求积坐标了。
全集拆，子集小，互斥 相加和求了； 一般加法减去交，多项 加法正负了。
全概两步要走好，第一 互斥要全了， 责任推断贝叶斯，乘法 全概都用了
积概率等概率积，四组 独立莫忘了。 组独不同两两独， n次独立组合了。
一、贝努里概型（n次独立试验概型） 1.贝努里概型定义 若一个试验满足下列条件 （1）试验重复n次，
又 P ( A) P ( AB ) P ( AB ), P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 0.92 0.862 P( A / B ) ＝ 0.988; P( B ) 1 P ( B) 1 0.93
第三讲 二项分布与离散随机变量
例题3-1-7
第三讲 二项分布与离散随机变量
甲胜即A发生P3 ( 3)。B2分两步完成，第一步是3次独立试验， 甲胜2次即A发生2次为P3 ( 2),第二步是1次独立试验甲胜，A发生 P1 (1), B3 也分两步完成，第一步是 4次独立试验，甲胜2次即A发 生2次为P4 ( 2),第二步是1次独立试验甲胜，A发生1次P1 (1)
0 1 C n 0.96 0 0.04 n 0.999
0.04n 0.001
n lg 0.04 lg 0.001
lg 0.001 n 2.15 lg 0.04
即至少需要发射3枚导弹.
n 3
第三讲 二项分布与离散随机变量 例3-1-5 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
2பைடு நூலகம்
i 0
第三讲 二项分布与离散随机变量
P ( B ) P ( BA0 ) P ( BA1 ) P ( BA2 ) P ( Ai ) P ( B / Ai )
i 0 2
4 12 0.8 1 0.1 0.1 0.94 5 19 属于逆概率问题，即求 ( A0 / B ) P
第三讲 二项分布与离散随机变量
例3-1-4 已知每枚敌对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96,问需
要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机 的概率大于0.999?
解：设需要发射n枚导弹，则问题相当于 n次独立试验 求 事件A(击中)至少发生一次的概率， 即： Pn ( m 1) 1 Pn (0)
__________ _ 1 由 P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 9 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ) 1 P ( A) P ( B ) P ( A)(B )
1 2 P ( A) P 2 ( A)
【分析】P ( A至少发生1次) 1 P ( A一次没有发生)
0 1 P ( A发生0次) 1 C n p 0 (1 p)n 1 (1 p)n
P ( A至多发生1次) P ( A发生0次或1次) P ( A发生0次) P ( A发生1次)