2002年考研数学(三)真题及详细解析
考研数学：2002年考研数学三_真题及答案(精校版)
设
P
1
T T 1 ，则 B P A P PT AP 1 AP B
T
T
T
A PT BPT ， A ( PT BPT )
T 两边左乘 P ，得 B ( P ) P
T T
1
1
故知 B ( P AP ) 的对应于特征值 的特征向量为 PT ，即应选（B）.
T
1T
( PT ) PT A ( PT ) 成立.故应选（B）.
(5)设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 (A) X Y 服从正态分布 (C) X 和 Y 都服从 分布
2 2
2
（
2 2
）
2
(B) X Y 服从 分布 (D) X 2 / Y 2 服从 F 分布
答案应填
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上有定义，在开区间 (a, b) 内可导，则 (A)当 f (a) f (b) 0 时，存在 (a, b) ，使 f ( ) 0 . (B)对任何 (a, b) ，有 lim[ f ( x) f ( )] 0 .
x 1
x (1,1] x 1
f ( 1) f ( 1) ，但 1 f ( x) 1 (当 x (1,1) )，不满足罗
尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.
（2）设幂级数
an xn 与 bn x n 的收敛半径分别为
n 1 n 1
a2 n 5 1 与 ，则幂级数 2 n x 的收敛 3 3 i 1 b n
2002-数三真题、标准答案及解析
X 的简单随机样本，则未知参数 θ 的矩估计量为______
【答】
1 n ∑ X i −1 n i =1
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评
x y z
Fx' = ( x + 1)e x , Fy' = −( y + 1)e y , Fz' = −( z + 1)e z .
故
F' F' x + 1 x − z ∂z y + 1 y−z ∂z e , =− y = e ， =− x = F 'z z + 1 F 'z z + 1 ∂x ∂y
+∞
水木艾迪考研辅导班命题研究中心
【详解】因为 E ( X ) = 所以，由 E ( X ) = X =
∫
0
xe −( x −θ ) dx = θ + 1,
1 n 1 n , 1 X 即 θ + = ∑ i ∑ Xi, n i =1 n i =1 1 n ∑ X i − 1. n i =1
$= 得参数 θ 的矩估计量为 θ
x →ξ
(C) 对 f (a ) = f (b) 时,存在 ξ ∈ (a, b) ,使 f '(ξ ) = 0 (D) 存在. ξ ∈ (a, b) ,使 【答】 [ B] 【详解】 由题设, f ( x) 在 ξ (ξ ∈ (a, b) 处可导,从而连续, 故有 lim[ f ( x ) − f (ξ )] = 0. 应选(B).
n →∞
1 1 n (1− 2 a ) n − 2na + 1 n 1 1− 2 a = e1− 2 a ] = lim[1 + ] n →∞ n(1 − 2a ) n(1 − 2a) 1 n − 2na + 1 n 1 ] = ln e1− 2 a = n(1 − 2a ) 1 − 2a
2002考研数学一真题及答案解析
f2 (x)dx
2
1,
F1() F2 () 11 2 1.
数学(一)试题 第 7页(共 13 页)
对于选项(B),若
f1 ( x)
1, 2 x 0, 其他，
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)
e
dx x ln 2
x
=
.
(2)已知函数 y y(x) 由方程 e y 6xy x 2 1 0 确定,则 y(0) =
.
(3)微分方程 yy
0,
因而所考虑级数是交错级数,但不能保证
1 un
的单调性.
按定义考察部分和
Sn
n (1)k 1( 1
k 1
uk
1) uk 1
n
(1)k 1
k 1
1 uk
n
(1)k 1
k 1
1 uk 1
数学(一)试题 第 6页(共 13 页)
原级数收敛.
n
n1
un
1) un1
(A) 发散. (C) 条件收敛.
(B) 绝对收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.
数学(一)试题 第 1页(共 13 页)
(3)设函数 y f (x) 在 (0, ) 内有界且可导,则
(A) 当 lim f (x) 0 时,必有 lim f (x) 0 .
.
(5)设随机变量 X 服从正态分布 N (, 2 )( 0) ,且二次方程 y 2 4 y X 0 无实根的概
考研真题【1987-2002考研数(三)真题及解析】2002考研数三真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和2Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B)(C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，将它们的并集记为D ． 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰．再将后者根据积分定义化为如下形式，即2102x y x x →→从，从，所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即 231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a ka a k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=(4)【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）(5)【答案】1X -．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =，即 111ni i X n θ=+=∑，解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑．二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤．当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解，故应选(D)．方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,，则()r B n =，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选(D)．(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故TA A =．设()1TP APB -=，则111()TTT T T T T B P A P P AP P A P ---===上式左乘1T P-，右乘TP ，得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=，即1T T A P BP -=，所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义，知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α，即应选(B)．方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故T A A =．设()1TP AP -属于特征值λ的特征向量为ξ，即()1TP APξλξ-=，其中()111TTTT T T P AP P A P P AP ---==对(A)，即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B)，1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立．故应选(B)．(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是：222212n X X X χ=+++，其中i X 要求满足：i X 相互独立，(0,1)iX N ．称2χ为参数为n 的2χ变量．(ii) F 变量的典型模式是：12//X n F Y n =，其中,X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，2212(),()Xn Yn χχ，称F 为参数为()12,n n 的F 变量．【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N ．故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布，答案应选(C)．方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，2X 与2Y的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，z y∂∂．由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x xz zz xe e x ze e∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz zz zu xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t t C=-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV xdx a ππ==-⎰22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰．(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点，令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=．七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为212[cossin ]22xy e C x C x -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[sin ]3x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]331110(20(2022311223e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-+⎨⎪⎪⎪=-++⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为221cos 323x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b ba b a a b -- -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=，基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．当a b ≠时，000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→-- ⎪⎪⎪--⎝⎭23110010101001a b a b n a b a b bb ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯-⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(1)0A a n b =+-≠，(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时，()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．方法2：方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b abb b ba=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b bb a n ba b b n a n b b ab a n b b ba+-+-+-+-把第，，列加到第列111[(1)]11b bb a bb an b b ab b ba +-提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b an ba bna b--+---第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时，0A ≠，()r A n =方程组只有零解． (2)当(0)a b =≠时，a a a a a a a a A a a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21000031000010000a a aa n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行 方程组的同解方程组为120n x x x +++=基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．(1)当(1)(0)a n b b =--≠时，(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1,2,...,11111111111111111n bn n nn ⨯-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪-⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别000011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-，其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ，得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而上式()()22220A Aαλλα+=+=，所以有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-．因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵Λ，且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成，且()()2r A r =Λ=，故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0，则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故()()3r A r =Λ=与已知矛盾；若有两个0，则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()1r A r =Λ=与已知矛盾；若三个全为0，则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 有特征值1232,0λλλ==-=．(2)A kE +是实对称矩阵，A 有特征值1232,0λλλ==-=，知A kE +的特征值为2,2,k k k --．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩2k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵．十一【分析】(,)X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和．依照题意，有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅= {}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是，(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+，所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律．对离散型随机变量，X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4；{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==．X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有，2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==． 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为：1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
2002年考研数学(三)真题及详细解析
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。
【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知A α与α线性相关，则______a =。
【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。
考研数学一真题解析 2002
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.【考点分析】：第一类广义积分的计算 【基础回顾】：第一类：无穷区间上的反常积分第二类：无界函数的反常积分【求解过程】：2211ln 1ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 【方法小结】：对广义积分的计算，可引入定积分的所有有效方法，只是注意积分上下限的代入，实质是极限的运算。
(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.【考点分析】：隐函数求导 【基础回顾】：在假定隐函数存在且可导的前提下，我们可以利用复合函数的求导的链式法则求出它的导数。
若方程(,)0F x y =确定了隐函数()y y x =，则将()y y x =代入原方程，方程成为恒等式(,())0F x y x =，在恒等式的两边对X 求导。
注意到左端是以X 为自变量的复合函数，便可以得到我们所要求的导数。
【求解过程】：注意方程中Y 为关于X 的函数，利用链式法则可以得到方程2610ye xy x ++-=两边对x 求导数，有：6620y y e xy y x ''+++=①再对上式两边求导数得：()212620y y y e y e y xy ''''''++++=②将x=0代入方程得y=0,再将x=y=0代入①得0y '=，再代入②得()02y ''=-，故填-2(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. 【考点分析】：可降阶的二阶微分方程的特解 【基础回顾】：三类可降解的高阶微分方程1．()()n y f x =型，逐层积分2．(,)y f y y '''=型，不含X 自变量，作代换(),dp dp dy dpy p y y pdx dy dx dy '''==== 3．(,)y f x y '''=型，不含Y 因变量，作代换(),dp y p y y dx'''==【求解过程】：⏹ 方法一：该微分方程属于缺x 的类型，令y p '=，dp dp dy dp y p dxdy dxdy''==⋅=原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+=。
2002年考研数学一真题及答案详解
(2)【分析】
1 1 0, 不妨认为 n, un 0, 因而所考虑级数是交错级数 ,但不能保证 的单 n u un n
lim
调性. 按定义考察部分和
Sn (1) k 1 (
k 1 n n n 1 1 1 1 ) (1) k 1 (1) k 1 uk uk 1 uk k 1 uk 1 k 1
1 1 1 发散 ( ) 发散.因此选(C). un 1 n 1 un n 1 n
(3)【分析】 理,
证明 (B) 对: 反证法 . 假设 lim f ( x) a 0 ,则由拉格朗日中值定
x
f (2 x) f ( x) f '( ) x ( x )
dP dy 0, P y
积分得
ln P ln y C ', 即 P
C1 ( P 0 对应 C1 0 ); y
1 1 由 x 0 时 y 1, P y ' , 得 C1 . 于是 2 2
y' P 1 , 2 ydy dx, 积分得 y 2 x C2 . 2y
af (h) bf (2h) f (0) o(h) ,试求 a , b 的值.
四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y f ( x) 与 y 求极限 lim nf ( ) .
n
arctan x 0
et dt 在点 (0, 0) 处的切线相同.求此切线的方程,并
2
2 n
五、(本题满分 7 分) 计算二重积分
(5)设随机变量 X ~ N ( , 2 ) ,且二次方程 y 2 4 y X 0 无实根的概率为 0.5,则 =_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 f ( x, y ) 的四条性质: ① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续, ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的一阶偏导数连续, ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微, ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ③ ① (C)③ ④ ① (B)③ ② ① (D)③ ① ④
2002考研数学一真题及答案解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)⎰∞+exx dx2ln =.(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y 确定,则(0)y ''=. (3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件0011,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有(A ) ②⇒③⇒①. (B ) ③⇒②⇒①. (C ) ③⇒④⇒①.(D ) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=L ,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛.(C ) 条件收敛.(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(B ) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(C ) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D ) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=.(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与⎰-=x t dt e yarctan 02在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e Dy x⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记2221[1()][()1],L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!nx x y x x n =++++++-∞<<+∞L L 满足微分方程x e y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为10,cos ,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dP y P dy+=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是又由01x y==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n nn u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+ 11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞ 12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=(2)'(0)0,a b f =+=及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)221102 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y =+⎰. ⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==-七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++L L的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-L L ,所以2'''12!!nx x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,2122λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212(cossin )22x Y eC x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为xy Ae *=,将y *代入方程'''xy y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121(cossin )223xx y Y y eC x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.223y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-++⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()33x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h h h x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩ 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T-再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O B也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二、【解】 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=- θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得θ=1,2θ=>不合题意). 于是θ的最大似然估计值为ˆθ=。
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。
【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知A α与α线性相关，则______a =。
【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。
则2X 和2Y 的协方差22(,)_______Cov X Y =。
【分析】本题主要考查利用随机变量X 和Y 的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。
【详解】法一：由题设可得10.40.6X⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1010.150.50.35Y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2010.40.6X ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2010.50.5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2210.720.28X Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而 2()0.6E X =， 2()0.5E Y =，22()0.28E X Y =故 222222(,)()()()0.280.30.02COV X Y E X Y E X E Y =-=-=- 法二：由题设可得10.40.6X⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1010.150.50.35Y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而222()00.410.60.6E X =⨯+⨯=，2222()(1)0.1500.510.350.5E Y =-⨯+⨯+⨯=2222222222()(1)00.07(1)10.08000.18010.32E X Y =-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2222100.15110.200.28+⨯⨯+⨯⨯= 故 222222(,)()()()0.280.30.02COV X Y E X Y E X E Y =-=-=-⑸ 设总体的概率密度为(),(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______【分析】根据矩估计的定义计算即可. 【详解】由于()()()(;)lim tx x t E X xf x dx xed xde θθθθθθ+∞+∞-----∞→+∞===-⎰⎰⎰()lim 1tx t edx θθθθ--→+∞=+=+⎰ 根据矩估计量的定义,满足()E X X =的ˆθ即为θ的矩估计量,因此11ˆ11ni i X X n θ==-=-∑ 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴ 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 （A ）当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ= （B ）对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=（Ｃ）当()()f a f b =时，(,)a b ξ∈，使()0f ξ'= （Ｄ）存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。
【详解】由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，只能说明()f x 在开区间(,)a b 内连续且可导，不能保证函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，从而零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A ）、（C ）、（D ）三选项都错； 由于可导必定连续，从而()f x 在开区间(,)a b 内连续，所以对任何(,)a b ξ∈，有lim ()()x f x f ξξ→=，从而应选（Ｂ）⑵ 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221n nn na xb ∞=∑的收敛半径为（Ａ）5（Ｃ）13 （Ｄ）15【分析】本题借用加强法来完成，即假设1limn n n a a +→∞与1lim n n nbb +→∞都存在。
【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：111lim n n n n n a x x a x +-+→∞=， 1111lim ()3n n n n n b x x b x +-+→∞=从而2112222222111122222112lim lim lim lim ((3)53n n n n n n n n n n n n n n n n n na xb a b a b x x x x a a b a b x b ++---+++→∞→∞→∞→∞++==== 所以应选（A ）。
⑶ 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组（Ａ）当n m >时仅有零解（Ｂ） 当n m >时必有非零解 （Ｃ）当m n >时仅有零解 （D ）当m n >时必有非零解【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。
【详解】齐次线性方程组0ABx =有非零解的充要条件是()r AB m <。
而当m n >时 ()()r AB r A n m ≤≤<所以当m n >时线性方程组0ABx =必有非零解。
故应选（D)。
⑷ 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。
已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵1()TP AP -属于特征值λ的特征向量是（A ） 1P α- （B ）TP α （C ） P α （D ）1()TP α-【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。
利用特征值的定义检验。
【详解】由已知A αλα=，于是T T P A P αλα=， 1()T T T T P A P P P αλα-=又由T A A =，可得1()TTTP AP P P αλα-=，可见矩阵1()TP AP -属于特征值λ的特征向量是TP α。
故应选（B)⑸ 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22X Y +服从2χ分布（C ）2X 和2Y 都服从2χ分布 （D ）22X Y服从F 分布【分析】主要考查正态分布的性质及2χ分布、F 分布的定义。
利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从2χ分布、F 分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。
【详解】由于X 和Y 不一定相互独立，故（A ）、（B ）、（D ）不一定成立。
由于随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，所以2X 和2Y 都服从2χ分布。
故应选（C ）。
三、（本题满分5分）求极限2[arctan(1)]lim(1cos )xu x t dt du x x →+-⎰⎰【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。
对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。
【详解】法一：222[arctan(1)][arctan(1)]limlim1(1cos )2xu xu x x t dt du t dt du x x x x →→++=-⋅⎰⎰⎰⎰22002arctan(1)2arctan(1)limlim 3362x x x t dt x x x x π→→++===⎰ 法二：22[arctan(1)]arctan(1)limlim(1cos )1cos sin xu x x x t dt du t dtx x x x x→→++=--+⎰⎰⎰22002arctan(1)2arctan(1)limlim sin 2sin cos 62cos x x x x x xx x x x xπ→→++===++ 四、（本题满分7分）设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。
【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得(1)(1)(1)x y z x y zdu f dx f dy f dzx e dx y e dy z e dz '''=++⎧⎪⎨+-+=+⎪⎩从而 (1)(1)(1)x y x y z z x e dx y e dydu f dx f dy f z e +-+'''=⋅+⋅+⋅+(1)(1)()()(1)(1)x yx z y z z zx e y e f f dx f f dy z e z e++''''=+⋅+-⋅++五、（本题满分6分）设2(sin )sin x f xx =，求()x dx 【分析】先求出()f x 的表达式，再计算不等积分。
【详解】法一：令2sin u x =，则sin x =x=，从而()f u=于是()2x dx ==-⎰dx=-C =-法二;令2sin xt =，则22sin ()(sin )2sin cos 2sin cos sin t t x dx f t t tdt t dt t t =⋅⋅=⋅⎰⎰2sin 2cos 2cos 2sin t tdt td t t t t C ==-=-++⎰⎰、C =-六、（本题满分7分）设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0,y x a ==所围成的平面区域，其中02a <<（Ⅰ）试求1D 绕x 轴旋转而成旋转体的体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成旋转体的体积2V ；（Ⅱ）当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值。