2019年四川省资阳市中考数学试卷

2019年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意1. −3的倒数是（）A.−13B.13C.−3D.3【答案】A【考点】倒数【解析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】∵−3×(−13)＝1，∴−3的倒数是−13．2. 如图是正方体的展开图，每个面都标注了字母，如果b在下面，c在左面，那么d在（）A.前面B.后面C.上面D.下面【答案】C【考点】正方体相对两个面上的文字【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“a”与“f”是相对面，“b”与“d”是相对面，“d”在上面，“c”与“e”是相对面，“c”在左面，“e”在右面．3. 下列各式中，计算正确的是（）A.a3⋅a2＝a6B.a3+a2＝a5C.a6÷a3＝a2D.(a3)2＝a6【答案】D【考点】合并同类项同底数幂的除法【解析】根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方判断即可．【解答】A、a3⋅a2＝a5，错误；B、a3+a2不能合并，错误；C、a6÷a3＝a3，错误；D、(a3)2＝a6，正确；4. 如图，l1 // l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90∘，∠1＝35∘，则∠2的度数为（）A.65∘B.55∘C.45∘D.35∘【答案】B【考点】平行线的性质【解析】先根据∠1＝35∘，l1 // l2求出∠OAB的度数，再由OB⊥OA即可得出答案．【解答】∵l1 // l2，∠1＝35∘，∴∠OAB＝∠1＝35∘．∵OA⊥OB，∴∠2＝∠OBA＝90∘−∠OAB＝55∘．5. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A.4个B.5个C.不足4个D.6个或6个以上【答案】D【考点】可能性的大小【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．【解答】∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，6. 设x=√15，则x的取值范围是（）A.2<x<3B.3<x<4B【考点】估算无理数的大小【解析】根据无理数的估计解答即可．【解答】∵9<15<16，∴3<√15<4，7. 爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y（米）与爷爷离开公园的时间x（分）之间的函数关系是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象【解析】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了45分钟，则当x＝45时，y＝0；【解答】由题意，爷爷在公园回家，则当x＝0时，y＝900；从公园回家一共用了20+10+15＝45分钟，则当x＝45时，y＝0；结合选项可知答案B．8. 如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A.5πB.6πC.20πD.24π【答案】A【考点】扇形面积的计算【解析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，9. 4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A.2a＝5bB.2a＝3bC.a＝3bD.a＝2b【答案】D【考点】整式的混合运算完全平方式【解析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab−b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2(2ab−b2)，整理，得(a−2b)2＝0，所以a＝2b．【解答】S1=12b(a+b)×2+12ab×2+(a−b)2＝a2+2b2，S2＝(a+b)2−S1＝(a+b)2−(a2+2b2)＝2ab−b2，∵S1＝2S2，∴a2+2b2＝2(2ab−b2)，整理，得(a−2b)2＝0，∴a−2b＝0，∴a＝2b．10. 如图是函数y＝x2−2x−3(0≤x≤4)的图象，直线l // x轴且过点(0, m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A.m≥1B.m≤0C.0≤m≤1D.m≥1或m≤0【答案】C【考点】二次函数的最值二次函数图象与几何变换【解析】找到最大值和最小值差刚好等于5的m的值，则m的范围可知．【解答】如图1所示，当m等于0时，∵y＝(x−1)2−4，∴顶点坐标为(1, −4)，当x＝0时，y＝−3，∴A(0, −3)，当x＝4时，y＝5，∴C(4, 5)，∴当m＝0时，D(4, −5)，∴此时最大值为0，最小值为−5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为−4，最大值为1，当1<m<5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；综上所述：0≤m≤1，二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）截止今年4月2日，华为官方应用市场“学习强国”APP下载量约为88300000次．将数88300000用科学记数法表示为________．【答案】8.83×107【考点】科学记数法–表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】将88300000用科学记数法表示为：8.83×107．一组数据1，2，5，x，3，6的众数为5．则这组数据的中位数为________．【答案】众数中位数【解析】先根据众数的概念得出x的值，再将数据重新排列，从而根据中位数的概念可得答案．【解答】∵数据1，2，5，x，3，6的众数为5，∴x＝5，则数据为1，2，3，5，5，6，∴这组数据的中位数为3+5=4，2若正多边形的一个外角是60∘，则这个正多边形的内角和是________．【答案】720∘【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【解答】该正多边形的边数为：360∘÷60∘＝6，该正多边形的内角和为：(6−2)×180∘＝720∘．a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2−2a的值是________．【答案】8【考点】一元二次方程的解【解析】直接把a的值代入得出2a2−a＝4，进而将原式变形得出答案．【解答】∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2−a＝4，∴4a2−2a＝2(2a2−a)＝2×4＝8．如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′ // AB，则CE′＝________．【答案】95翻折变换（折叠问题）平行线的性质【解析】如图，作CH⊥AB于H．首先证明∠ACB＝90∘，解直角三角形求出AH，再证明CE′＝AH即可．【解答】如图，作CH⊥AB于H．由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90∘，∠ACE＝∠ACE′，∵CE′ // AB，∴∠ACE′＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝DA，∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACB＝90∘，∴AB=√AC2+BC2=5，∵12⋅AB⋅CH=12⋅AC⋅BC，∴CH=125，∴AH=√AC2−CH2=95，∵CE′ // AB，∴∠E′CH+∠AHC＝180∘，∵∠AHC＝90∘，∴∠E′CH＝90∘，∴四边形AHCE′是矩形，∴CE′＝AH=95，给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点A(−1, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)均在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y2<y3<y1；③若关于x的不等式组{x<−1x>a无解，则a≥−1；④将点A(1, n)向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90∘到点A2，则A2的坐标为(−n, −2)．其中所有真命题的序号是________．②③④【考点】命题与定理【解析】①平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；②由k<0，则函数在二、四象限，根据函数的增减性即可求解；③直接解不等式即可；④根据平移和旋转的性质即可求解．【解答】①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；②反比例函数y=kx(k<0)在二、四象限，当x<0时，y>0；x>0时，y<0，且x增大，y增大，故y1>y3>y2，故正确；③若关于x的不等式组{x<−1x>a无解，a≥−1，正确；④将点A(1, n)向左平移3个单位到点A1，则A1(−2, n)，将A1绕原点逆时针旋转90∘到点A2，A2的坐标为(−n, −2)，正确．以上正确的都为真命题，三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．化简求值：(x2x2−1−1)÷1x2+x，其中x＝2．【答案】原式＝[x 2(x+1)(x−1)−x2−1(x+1)(x−1)]•x(x+1)=1(x+1)(x−1)⋅x(x+1)=xx−1，当x＝2时，原式=22−1=2．【考点】分式的化简求值【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】原式＝[x 2(x+1)(x−1)−x2−1(x+1)(x−1)]•x(x+1)=1(x+1)(x−1)⋅x(x+1)=xx−1，当x＝2时，为了解“哈啰单车”的使用情况，小月对部分用户的骑行时间t（分）进行了随机抽查，将获得的数据分成四组(A:0<t≤30；B:30<t≤60；C:60<t≤120；D:t>120)，并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求D组所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；（2）小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．【答案】∵被调查的总人数为6÷30%＝20（人），∴C组人数为20×20%＝4（人），则D组人数为20−(6+7+4)＝3（人），∴D组所在扇形的圆心角的度数为360∘×320=54∘，补全图形如下：树状图如下：共有12种等可能的情况，其中选中一名男用户和一名女用户的情况有6种，∴选中一名男用户和一名女用户的概率为612=12．【考点】列表法与树状图法条形统计图扇形统计图【解析】据各组人数之和等于总人数求出D的人数，用360∘乘以D组人数所占比例；（2）依据树状图，可得共有12种等可能的情况，其中选中一名男用户和一名女用户的情况有6种，即可得到选中一名男用户和一名女用户的概率．【解答】∵被调查的总人数为6÷30%＝20（人），∴C组人数为20×20%＝4（人），则D组人数为20−(6+7+4)＝3（人），∴D组所在扇形的圆心角的度数为360∘×320=54∘，补全图形如下：树状图如下：共有12种等可能的情况，其中选中一名男用户和一名女用户的情况有6种，∴选中一名男用户和一名女用户的概率为612=12．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60∘．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．【答案】∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90∘，∵∠APB＝60∘，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60∘，∴∠BAC＝90∘−∠BAP＝30∘；作OD⊥AB于D，切线的性质 圆周角定理 垂径定理 【解析】（1）由切线的性质得出PA ＝PB ，∠PAC ＝90∘，证出△APB 是等边三角形，得出∠BAP ＝60∘，即可得出答案；（2）作OD ⊥AB 于D ，由垂径定理得出AD ＝BD =12AB ，由等边三角形的性质得出AB＝PA ＝1，AD =12，由直角三角形的性质得出AD =√3OD =12，求出OD =√36即可．【解答】∵ PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ， ∴ PA ＝PB ，∠PAC ＝90∘， ∵ ∠APB ＝60∘，∴ △APB 是等边三角形， ∴ ∠BAP ＝60∘，∴ ∠BAC ＝90∘−∠BAP ＝30∘； 作OD ⊥AB 于D ，为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册．该宣传册每本共10页，由A 、B 两种彩页构成．已知A 种彩页制版费300元/张，B 种彩页制版费200元/张，共计2400元．（注：彩页制版费与印数无关）（1）每本宣传册A 、B 两种彩页各有多少张？（2）据了解，A 种彩页印刷费2.5元/张，B 种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者人手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？ 【答案】每本宣传册A 、B 两种彩页各有4和6张； 最多能发给1500位参观者 【考点】二元一次方程组的应用——行程问题 一元一次不等式的实际应用 二元一次方程的应用 【解析】（1）设每本宣传册A 、B 两种彩页各有x ，y 张，根据题意列出方程组解答即可； （2）设最多能发给a 位参观者，根据题意得出不等式解答即可． 【解答】设每本宣传册A 、B 两种彩页各有x ，y 张， {x +y =10300x +200y =2400 ， 解得：{x =4y =6， 答：每本宣传册A 、B 两种彩页各有4和6张；设最多能发给a 位参观者，可得：2.5×4a +1.5×6a +2400≤30900， 解得：a ≤1500，答：最多能发给1500位参观者．如图，直线y =x 与双曲线y =kx (x >0)相交于点A ，且OA =√2，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B ，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点． (1)求直线BC 的解析式及k 的值；(2)连结OB ，AB ，求△OAB 的面积．【答案】解：(1)根据平移的性质，将直线y =x 向左平移一个单位后得到y =x +1， ∴ 直线BC 的解析式为y =x +1，∵ 直线y =x 与双曲线y =kx (x >0)相交于点A ，∴ A 点的横坐标和纵坐标相等， ∵ OA =√2， ∴ A(1, 1)，∴ k =1×1=1；(2)作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，解{y =1x ,y =x +1, 得{x =−1+√52,y =1+√52 或{x =−1−√52,y =1−√52, ∴ B(−1+√52, 1+√52)，∵ S △AOB =S 梯形AEFB +S △BOF −S △AOE =S 梯形AEFB ， ∴ S △AOB =S 梯形AEFB =12(1+1+√52)(1−−1+√52)=12.【考点】反比例函数与一次函数的综合 三角形的面积待定系数法求反比例函数解析式 坐标与图形变化-平移 【解析】（1）根据平移的性质即可求得直线BC 的解析式，由直线y ＝x 和OA =√2即可求得A 的坐标，然后代入双曲线y =kx (x >0)求得k 的值；（2）作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，联立方程求得B 点的坐标，然后根据S △AOB ＝S 梯形AEFB +S △BOF −S △AOE ＝S 梯形AEFB ，求得即可．【解答】解：(1)根据平移的性质，将直线y =x 向左平移一个单位后得到y =x +1， ∴ 直线BC 的解析式为y =x +1，∵ 直线y =x 与双曲线y =kx (x >0)相交于点A ， ∴ A 点的横坐标和纵坐标相等， ∵ OA =√2， ∴ A(1, 1)，∴ k =1×1=1；(2)作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，解{y =1x ,y =x +1, 得{x =−1+√52,y =1+√52 或{x =−1−√52,y =1−√52,∴ B(−1+√52, 1+√52)，∵ S △AOB =S 梯形AEFB +S △BOF −S △AOE =S 梯形AEFB ， ∴ S △AOB =S 梯形AEFB =12(1+1+√52)(1−−1+√52)=12.如图，南海某海域有两艘外国渔船A 、B 在小岛C 的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B 沿北偏东30∘的方向航行至小岛C 的正东方向20海里处． （1）求渔船B 航行的距离；（2）此时，在D 处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B 渔船在点D 的南偏西60∘方向，A 渔船在点D 的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【答案】渔船B 航行的距离是40海里；中国渔政船此时到外国渔船B 的距离是40海里，到外国渔船A 的距离是(20√2+20√6)海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】（1）由题意得到∠CAB＝30∘，∠ACB＝90∘，BC＝20，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，得到四边形AEBC 和四边形BEHG是矩形，根据矩形的性质得到BE＝GH＝AC＝20√3，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到结论．【解答】由题意得，∠CAB＝30∘，∠ACB＝90∘，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20√3，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60∘，∠ADH＝45∘，∴DG=√3x，DH＝AH，3∴20√3+√3x＝x+20，3解得：x＝20√3，∴BG＝20√3，AH＝20+20√3，=40，∴BD=√32AD=√2AH＝20√2+20√6，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是(20√2+ 20√6)海里．在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB ＝BC ＝8时，①若点H 在△ABC 的内部，连结AH 、CH ，求证：AH ＝CH ；②当0<t ≤8时，设正方形EFGH 与△ABC 的重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（2）当AB ＝6，BC ＝8时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分，求t 的值． 【答案】 ①如图1中，∵ 四边形EFGH 是正方形，AB ＝BC ，∴ BE ＝BG ，AE ＝CG ，∠BEH ＝∠BGH ＝90∘， ∴ ∠AEH ＝∠CGH ＝90∘， ∵ EH ＝HG ，∴ △AEH ≅△CGH(SAS)， ∴ AH ＝CH ．②如图1中，当0<t ≤4时，重叠部分是正方形EFGH ，S ＝t 2．如图2中，当4<t ≤8时，重叠部分是五边形EFGMN ，S ＝S △ABC −S △AEN −S △CGM =12×8×8−2×12(8−t)2＝−t 2+16t −32．综上所述，S ={t 2(0<t ≤4)−t 2+16t −32(4<t ≤8)． 如图3−1中，设直线AH 交BC 于M ，当BM ＝CM ＝4时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分．∵EH // BM，∴AEAB =EHBM，∴6−t6=t4，∴t=125．如图3−2中，设直线长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH 将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，易证AD＝CK＝8，∵EH // BK，∴AEAB =EHBK，∴6−t6=t16，∴t=4811．如图3−3中，当点E在线段AC上时，设直线AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM ＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt△ABC中，AC=√62+82=10，∵EF // AB，∴CECA =EFAB，∴16−t10=EF6，∴EF=35(16−t)，∵EH // CN，∴EHCN =AEAC，∴35(16−t)8=t−610，解得t=727．当正方形EFGH 在AC 的左边时，由GHAB =GNBN ，可得35(16−t)6=4−35(16−t)4，解得t ＝12．综上所述，满足条件的t 的值为125或4811或727或12．【考点】 四边形综合题 【解析】（1）①如图1中，证明△AEH ≅△CGH(SAS)即可解决问题．②分两种情形分别求解：如图1中，当0<t ≤4时，重叠部分是正方形EFGH ．如图2中，当4<t ≤8时，重叠部分是五边形EFGMN ．（2）分三种情形分别求解：①如图3−1中，延长AH 交BC 于M ，当BM ＝CM ＝4时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分．②如图3−2中，延长AH 交CD 于M 交BC 的延长线于K ，当CM ＝DM ＝3时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分．③如图3−3中，当点E 在线段AC 上时，延长AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于N ．当CM ＝DM 时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分． 【解答】 ①如图1中，∵ 四边形EFGH 是正方形，AB ＝BC ，∴ BE ＝BG ，AE ＝CG ，∠BEH ＝∠BGH ＝90∘， ∴ ∠AEH ＝∠CGH ＝90∘， ∵ EH ＝HG ，∴ △AEH ≅△CGH(SAS)， ∴ AH ＝CH ．②如图1中，当0<t ≤4时，重叠部分是正方形EFGH ，S ＝t 2．如图2中，当4<t ≤8时，重叠部分是五边形EFGMN ，S ＝S △ABC −S △AEN −S △CGM =12×8×8−2×12(8−t)2＝−t 2+16t −32．综上所述，S ={t 2(0<t ≤4)−t 2+16t −32(4<t ≤8)． 如图3−1中，设直线AH 交BC 于M ，当BM ＝CM ＝4时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分．∵ EH // BM ， ∴ AEAB =EHBM ， ∴6−t 6=t4，∴ t =125．如图3−2中，设直线长AH 交CD 于M 交BC 的延长线于K ，当CM ＝DM ＝3时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分，易证AD ＝CK ＝8，∵ EH // BK ， ∴ AEAB =EHBK ， ∴6−t 6=t16，∴ t =4811．如图3−3中，当点E 在线段AC 上时，设直线AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于N ．当CM ＝DM 时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分，易证AD ＝CN ＝8．在Rt △ABC 中，AC =√62+82=10， ∵ EF // AB ， ∴ CECA =EFAB ，∴16−t 10=EF 6，∴ EF =35(16−t)， ∵ EH // CN ， ∴ EH CN =AEAC ， ∴35(16−t)8=t−610，解得t =727．当正方形EFGH 在AC 的左边时，由GHAB =GNBN ，可得35(16−t)6=4−35(16−t)4，解得t ＝12．综上所述，满足条件的t 的值为125或4811或727或12．如图，抛物线y =−12x 2+bx +c 过点A(3, 2)，且与直线y ＝−x +72交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4, m)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD +PA 的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使∠AQM ＝45∘？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】将点B 的坐标为(4, m)代入y ＝−x +72， m ＝−4+72=−12，∴ B 的坐标为(4, −12)，将A(3, 2)，B(4, −12)代入y =−12x 2+bx +c ， {−1×32+3b +c =2−1×42+4b +c =−1解得b ＝1，c =72，∴ 抛物线的解析式y =−12x 2+x +72； 设D(m, −12m 2+m +72)，则E(m, −m +72)，DE ＝(−12m 2+m +72)−(−m +72)=−12m 2+2m =−12(m −2)2+2， ∴ 当m ＝2时，DE 有最大值为2， 此时D(2, 72)，作点A 关于对称轴的对称点A ′，连接A ′D ，与对称轴交于点P ．PD +PA ＝PD +PA ′＝A ′D ，此时PD +PA 最小， ∵ A(3, 2)， ∴ A ′(−1, 2)，A ′D =√(−1−2)2+(2−72)2=32√5，即PD +PA 的最小值为32√5；作AH ⊥对称轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵ 抛物线的解析式y =−12x 2+x +72，∴ M(1, 4)，∵ A(3, 2)，∴ AH ＝MH ＝2，H(1, 2)∵ ∠AQM ＝45∘，∠AHM ＝90∘，∴ ∠AQM =12∠AHM ，可知△AQM 外接圆的圆心为H ，∴ QH ＝HA ＝HM ＝2设Q(0, t)，则√(0−1)2+(t −2)2=2，t ＝2+√3或2−√3∴ 符合题意的点Q 的坐标：Q 1(0, 2−√3)、Q 2(0, 2+√3)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）将点B 的坐标为(4, m)代入y ＝−x +72，m ＝−4+72=−12，B 的坐标为(4, −12)，将A(3, 2)，B(4, −12)代入y =−12x 2+bx +c ，解得b ＝1，c =72，因此抛物线的解析式y =−12x 2+x +72；（2）设D(m, −12m 2+m +72)，则E(m, −m +72)，DE ＝(−12m 2+m +72)−(−m +72)=−12m 2+2m =−12(m −2)2+2，当m ＝2时，DE 有最大值为2，此时D(2, 72)，作点A 关于对称轴的对称点A ′，连接A ′D ，与对称轴交于点P ．PD +PA ＝PD +PA ′＝A ′D ，此时PD +PA 最小；（3）作AH ⊥对称轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，由M(1, 4)，A(3, 2)，可得AH ＝MH ＝2，H(1, 2)因为∠AQM ＝45∘，∠AHM ＝90∘，所以∠AQM =12∠AHM ，可知△AQM 外接圆的圆心为H ，于是QH ＝HA ＝HM ＝2设Q(0, t)，则√(0−1)2+(t −2)2=2，t ＝2+√3或2−√3，求得符合题意的点Q 的坐标：Q 1(0, 2−√3)、Q 2(0, 2+√3)．【解答】将点B 的坐标为(4, m)代入y ＝−x +72，m ＝−4+72=−12，∴ B 的坐标为(4, −12)，将A(3, 2)，B(4, −12)代入y =−12x 2+bx +c ，{−12×32+3b +c =2−12×42+4b +c =−12解得b ＝1，c =72，∴ 抛物线的解析式y =−12x 2+x +72；设D(m, −12m 2+m +72)，则E(m, −m +72)， DE ＝(−12m 2+m +72)−(−m +72)=−12m 2+2m =−12(m −2)2+2， ∴ 当m ＝2时，DE 有最大值为2，此时D(2, 72)，作点A 关于对称轴的对称点A ′，连接A ′D ，与对称轴交于点P ．PD +PA ＝PD +PA ′＝A ′D ，此时PD +PA 最小， ∵ A(3, 2)，∴ A ′(−1, 2)，A ′D =√(−1−2)2+(2−72)2=32√5，即PD +PA 的最小值为32√5；作AH ⊥对称轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式y=−12x2+x+72，∴M(1, 4)，∵A(3, 2)，∴AH＝MH＝2，H(1, 2)∵∠AQM＝45∘，∠AHM＝90∘，∴∠AQM=12∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，∴QH＝HA＝HM＝2设Q(0, t)，则√(0−1)2+(t−2)2=2，t＝2+√3或2−√3∴符合题意的点Q的坐标：Q1(0, 2−√3)、Q2(0, 2+√3)．。