高中数学复习方略课时提升作业单元评估检测(八)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)1.doc

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高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(十)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测（十）第十章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个口袋内有大小、形状相同的6个白球和5个黑球,从中随机取出3个球,则至少取到2个白球的概率为( )(A)(B)(C)(D)2.(2013·新余模拟)在(+)24的展开式中,x的幂指数为整数的项共有( )(A)3项(B)4项(C)5项(D)6项3.(2013·桂林模拟)从甲袋中摸出1个红球的概率为,从乙袋中摸出1个红球的概率为,从两袋中各摸出一个球,则等于( )(A)2个球都不是红球的概率(B)2个球都是红球的概率(C)至少有1个红球的概率(D)2个球中恰有1个红球的概率4.已知P箱中有红球1个,白球9个,Q箱中有白球7个(P,Q箱中所有的球除颜色外完全相同).现随意从P箱中取出3个球放入Q箱,将Q箱中的球充分搅匀后,再从Q箱中随意取出3个球放入P箱,则红球从P箱移到Q箱,再从Q箱返回P箱中的概率等于( )(A)(B)(C)(D)5.(2013·西安模拟)在区间[-,]上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为( )(A)(B)(C)(D)6.(2013·广州模拟)在正态分布N(0,)中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为( )(A)0.097 (B)0.046 (C)0.03 (D)0.0037.设随机变量X的分布列为P(X=i)=a()i,i=1,2,3,则a的值为( )(A)1 (B)(C)(D)8.一份数学试卷由25个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有1个选项是正确的,每题选正确得4分,不选或选错得0分,满分100分.小强选对任一题的概率为0.8,则他在这次考试中得分的期望为( )(A)60分(B)70分(C)80分(D)90分9.(能力挑战题)(2013·南昌模拟)某研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A,B,C,D,E五个实验,每位同学上、下午各做一个实验,且不重复.若上午不能做D实验,下午不能做E实验,其余实验都各做一个,则不同的安排方式共有( )(A)144种(B)192种(C)216种(D)264种10.(2013·合肥模拟)假设一直角三角形的两直角边的长都是区间(0,1)内的随机数,则斜边的长小于的概率为( )(A)(B)(C)(D)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.袋中有5个球,其中3个白球,2个黑球,现不放回地每次抽取1个球,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率为.12.(2013·铜陵模拟)下列四种说法中,①命题“存在x∈R,x2-x>0”的否定是“对于任意x∈R,x2-x<0”;②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;③已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于;④某路公共汽车每7分钟发车一次,某位乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间超过3分钟的概率是.说法正确的序号是.13.一位学生每天骑车上学,从他家到学校共有5个交通岗.假设他在每个交通岗是否遇到红灯是相互独立的,且每次遇到红灯的概率为,则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为,他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.14.(2013·西安模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是.15.(能力挑战题)为落实素质教育,某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k,那么二项式(1+kx2)6的展开式中,x4的系数为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·淮北模拟)在淮北市高三“一模”考试中,某校甲、乙、丙、丁四名同学,在学校年级名次依次为1,2,3,4名,如果在“二模”考试中的前4名依然是这四名同学.(1)求“二模”考试中这四名同学恰好有两名同学排名不变的概率.(2)设“二模”考试中这四名同学中排名不变的同学人数为X,求X分布列和数学期望.17.(12分)(2013·九江模拟)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别为6,4,2.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.(2)记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求X 的分布列及数学期望.18.(12分)(2012·江苏高考)设X为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,X=0;当两条棱平行时,X的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,X=1.(1)求概率P(X=0).(2)求X的分布列,并求其数学期望E(X).19.(12分)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球,从甲、乙两袋中各任取2个球.(1)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率.(2)若取到4个球中至少有2个红球的概率为,求n.20.(13分)(2013·汉中模拟)某工厂有120名工人,且年龄都在20岁到60岁之间,各年龄段人数按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组,其频率分布直方图如图所示.工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备,要求每名工人都要参加A,B两项培训,培训结束后进行结业考试.已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表所示.假设两项培训是相互独立的,结业考试成绩也互不影响.(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本,求各年龄段应分别抽取的人数.(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人,设这两人中A,B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X,求X的分布列和数学期望.21.(14分)(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望.(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)答案解析1.【解析】选D.P==.2.【解析】选C.T r+1=()24-r·()r==(r=0,1,2, (24)由题意得r=0,6,12,18,24时满足题意,共5项.3.【解析】选C.∵两个袋中都不是红球的概率为(1-)×(1-)=,∴至少有1个红球的概率为1-=.4.【解析】选B.可看作是两个独立事件A:红球从P箱移到Q箱,B:红球从Q箱返回P箱同时发生,可知P(A)==,对于B发生时,Q箱中有红球1个,白球9个,再从中取出2白1红,P(B)=P(A)=,根据独立事件同时发生的概率计算公式,有P=P(A)·P(B)=,故选B.【变式备选】(2013·长沙模拟)将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“向上的点数不是3的倍数”的概率是( )(A)(B)(C)(D)【解析】选C.出现“向上的点数是3的倍数”的概率为=.由对立事件的概率可知:出现“向上的点数不是3的倍数”的概率为1-=.5.【解析】选A.当-≤x≤时,由cosx∈[0,]得-≤x≤-或≤x≤.根据几何概型概率公式求得P==.6.【解析】选D.∵μ=0,σ=,∴P(X<-1或X>1)=1-P(-1≤X≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.997=0.003.【误区警示】由于不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误.若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),那么随机变量ξ在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别约为0.683,0.954,0.997,应熟练掌握这几个概率值,在解决正态分布问题时,经常遇到这类数值的计算问题.7.【解析】选D.P(X=1)=a·,P(X=2)=a·()2,P(X=3)=a·()3,由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,即a·+a·()2+a·()3=1,所以a=.8.【解析】选 C.设小强做对题数为X,则X～B(25,0.8),则他得分为4X,E(4X)=4E(X)=4×25×0.8=80.9.【解析】选 D.依题意,上午要做的实验是A,B,C,E,下午要做的实验是A,B,C,D,且上午做了A,B,C实验的同学,下午不再做相同的实验.先安排上午,从4位同学中任选一人做E实验,其余三人分别做A,B,C实验,有·=24种安排方式.再安排下午,分两类:①上午选E实验的同学,下午选D实验,另三位同学对A,B,C实验错位排列,有2种方法;②上午选E实验的同学,下午选A,B,C三个实验之一,另外三位从剩下的两个实验和D实验中选,但必须与上午的实验项目错开,有×3=9种方法.于是,不同的安排方式共有24×(2+9)=264种.故选D.10.【解析】选D.设两直角边的长分别为x,y,则0<x<1,0<y<1,斜边的长为<,所以与样本空间对应的区域为边长为1的正方形区域,其面积为1,而与满足条件的事件对应的区域面积为×π×()2=.因此,所求事件的概率为=.11.【解析】方法一:记第二次取到白球为事件B,则P(B)==.方法二:第一次取到白球为事件A,第二次取到白球为事件B,则P(A)=,P(AB)==,P(B|A)===.答案:12.【解析】对于①中,命题的否定是“对于任意x∈R,x2-x≤0”,∴①错误; 对于②中,显然“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件,∴②错误;对于③,由题意得2α=,∴α=-,∴f(4)==,∴③正确;对于④,问题可转化为在(0,7]内任取一个数,则该数落在(0,4]内的概率显然为P=.答案:③④13.【解析】该试验为独立重复试验,设遇到红灯次数为X,则P(X=3)=()3()2=,P(X≤4)=1-P(X=5)=1-()5=.答案:14.【解析】∵m,n均为正整数,∴当点A(m,n)位于直线y=x上及其下方第一象限的部分时,满足θ∈(0,],此时,点A(m,n)有6+5+4+3+2+1=21个,而点A(m,n)的总个数为6×6=36,故所求概率为=.答案:15.【解析】用直接法:k=++=15+30+15=60,x4的系数为k2=15×3 600=54 000.答案:54 00016.【解析】(1)“二模”考试中这四名同学恰好有两名同学排名不变的情况数为:=6(种),“二模”考试中排名情况总数为:=24,所以“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的概率为P==.(2)“二模”考试中这四名同学排名不变的同学人数X可能的取值为:4,2,1,0,P(X=4)==,P(X=2)==,P(X=1)==,P(X=0)=1-(++)=,X的分布列为X的数学期望EX=0×+1×+2×+4×=1.17.【解析】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i,B i,C i,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,A i,B j,C k(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(A i)=,P(B i)=,P(C i)=.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6×××=.(2)记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i,i=1,2,3.D1,D2,D3相互独立,且P(D i)=P(A i+C i)=P(A i)+P(C i)=+=,所以X～B(3,),即P(X=k)=()k()3-k,k=0,1,2,3.故X的分布列是EX=3×=2.【变式备选】某人抛掷一枚硬币,出现正面、反面的概率均为.构造数列{a n},使得a n=记S n=a1+a2+a3+…+a n(n∈N*).(1)求S4=2的概率.(2)若前两次均出现正面,求2≤S6≤6的概率.【解析】(1)某人抛掷一枚硬币4次,共有24种可能.设S4=2为事件A,则A表示抛硬币4次,恰好三次正面向上,一次反面向上,包含4种可能,所以P(A)==.(2)抛6次,若前两次均出现正面,则可能结果有24种.设2≤S6≤6为事件B,S6=2表示4次中2次正面向上,2次正面向下,有6种可能;S6=4表示4次中恰好3次正面向上,1次反面向上,有4种可能;S6=6表示都是正面向上,有1种可能,则B包含6+4+1=11(种)可能,所以P(B)==.18.【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(X=0)===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(X=)==,于是P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=)=1--=,所以随机变量X的分布列是因此EX=0×+1×+×=.19.【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A.P(A)=·=×=.(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B,“取到的4个球只有1个红球”为事件B1,“取到的4个球全是白球”为事件B2,由题意,得P(B)=1-=.P(B1)=·+·=,P(B2)=·=,所以P(B)=P(B1)+P(B2)=+=,化简,得7n2-11n-6=0,解得n=2,或n=-(舍去),故n=2.【方法技巧】判断事件是否相互独立的方法(1)利用定义:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(3)具体背景下:①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的;②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.20.【思路点拨】(1)根据分层抽样是等比例抽样,求出抽取比例即可得出各段应抽出的人数.(2)显然X=0,1,2,且从[20,30)和[30,40)这两个年龄段中各取1人,这两人结业考试成绩是否优秀是相互独立的,根据相互独立事件的概率公式求解X=0,1,2的概率,然后根据数学期望的公式求解其数学期望.【解析】(1)由频率分布直方图知,在年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]内的人数的频率分别为0.35,0.4,0.15,0.1.∵0.35×40=14,0.4×40=16,0.15×40=6,0.1×40=4,∴在年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]内应抽取的人数分别为14,16,6,4.(2)∵在年龄段[20,30)内的工人数为120×0.35=42(人),从该年龄段任取1人,由表知,此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为=;B项培训结业考试成绩优秀的概率为=,∴此人A,B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为×=.∵在年龄段[30,40)内的工人数为120×0.4=48(人),从该年龄段任取1人,由表知,此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为=;B项培训结业考试成绩优秀的概率为=,∴此人A,B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为×=.由题设知,X的可能取值为0,1,2,∴P(X=0)=(1-)(1-)=,P(X=1)=×(1-)+(1-)×=,P(X=2)=×=.∴X的分布列为X的数学期望为EX=0×+1×+2×=.21.【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X=3)==.X的分布列为X的数学期望为EX=1×+1.5×+2×+2.5×+3×=1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,X i(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).由于各顾客的结算相互独立,所以P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1)=×+×+×=.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.【变式备选】某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数.(2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记X表示两人中成绩不合格的人数,求X的分布列及数学期望.(3)经过多次测试后,甲成绩在8～10米之间,乙成绩在9.5～10.5米之间,现甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远的概率.【解析】(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,∴此次测试总人数为=50(人).∴第4,5,6组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).(2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为=,∴X～B(2,).P(X=0)=()2=,P(X=1)=××=,P(X=2)=()2=.所求分布列为EX=0×+1×+2×=.(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x,y米,则基本事件满足的区域为事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x>y,如图所示.由几何概型得P(A)==.关闭Word文档返回原板块。

2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(八)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测(八)第八章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·宝鸡模拟)函数f(x)=+2x在x=1处切线的倾斜角为( )(A)(B)(C)(D)2.“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件3.(2013·南昌模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l过点P(1,1),且与直线OP垂直,则直线l的方程为( )(A)x+3y-4=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+y-2=04.连接椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x-2y+2=0,则该椭圆的离心率为( )(A)(B)(C)(D)5.(2013·蚌埠模拟)已知m∈R,则“m>2”是“方程+y2=1表示椭圆”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.设M(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x0的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(4,+∞)(C)(0,2) (D)(0,4)7.(2013·淮南模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( )(A)(x-2)2+(y-1)2=5(B)(x-4)2+(y-2)2=20(C)(x+2)2+(y+1)2=5(D)(x+4)2+(y+2)2=208.(2013·西安模拟)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且|+|=|-|,则实数a的值为( )(A)2 (B)-2(C)2或-2 (D)或-9.(2013·榆林模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( )(A)(,+∞) (B)[,+∞) (C)(1,] (D)(1,)10.(能力挑战题)已知圆(x-4)2+y2=a(a>0)上恰有四个点到直线x=-1的距离与到点(1,0)的距离相等,则实数a的取值范围为( )(A)12<a<16 (B)12<a<14 (C)10<a<16 (D)13<a<15二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·西安模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值为.12.已知椭圆C的离心率e=,且它的焦点与双曲线x2-2y2=4的焦点重合,则椭圆C的方程为.13.(2013·合肥模拟)已知直线ax+y+2=0与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,则这两条平行直线之间的距离是.14.(2013·九江模拟)已知圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点,直线4x-3y-3=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=8,则圆C的方程为.15.(能力挑战题)曲线C:y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知直线l:x=4与x轴相交于点M,圆的方程(x-2)2+y2=22(x≠0且x≠4),过直线l上一点D(与M不重合)作圆的切线,切点为E,与x轴相交点为F,若=,求切线DE的方程.17.(12分)(2013·咸阳模拟)已知△ABC的两个顶点B,C的坐标分别为(-1,0)和(1,0),顶点A为动点,如果△ABC的周长为6.(1)求动点A的轨迹M的方程.(2)过点P(2,0)作直线l,与轨迹M交于点Q,若直线l与圆x2+y2=2相切,求线段PQ的长.18.(12分)(2013·淮北模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆C的方程.(2)过点S(0,-)且斜率为1的直线l交椭圆C于M,N两点,求|MN|的值.19.(12分)(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程.(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2,当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.20.(13分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.21.(14分)已知椭圆C的离心率e=,长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)设直线x=my+1与椭圆C交于R,Q两点,直线A1R与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.答案解析1.【解析】选A.因为f′(x)=-+2,所以在x=1处切线的斜率k=f′(1)=-1+2= 1=tanα.又倾斜角α∈[0,π),所以α=.2.【解析】选A.a=3代入得,直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行,反之由直线ax+2y+2a=0和3x+(a-1)y-a+7=0平行得a(a-1)=2〓3,a=3或a=-2,可验证满足两直线平行,所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的充分不必要条件.3.【解析】选D.由已知直线l的斜率k l=-=-1,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.4.【解析】选 A.直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(-2,0),(0,1),依题意得c=2,b=1⇒a=,e=.5.【解析】选A.因为m>2,所以m-1>1,此时方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,而当该方程表示椭圆时有m-1>1或0<m-1<1,即m>2或1<m<2.故为充分不必要条件.6.【解析】选A.∵(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x0≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x0>2.7.【解析】选A.由题意得△OAB的外接圆是以OP为直径的圆,其圆心C(2,1),半径r=|OP|==,所以△OAB外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.8.【解析】选C.由|+|=|-|知,以,为邻边的平行四边形为正方形,所以△AOB为等腰直角三角形,即||=||=2,∠AOB=90°,∴|AB|=2,则点O到直线x+y-a=0的距离为,所以有=,解得a=〒2.9.【思路点拨】按照正难则反思想求解.【解析】选C.这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得斜率大于1,也就是离心率大于,求其大于1的补集得e∈(1,].【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧求离心率的值是解析几何中常见的问题,求解时,可根据题意列出关于a,b,c的相应等式,并把等式中的a,b,c转化为只含有a,c的齐次式,再转化为含e的等式,最后求出e.【变式备选】已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且〃=c2,则此椭圆离心率的取值范围是.【解析】设P(x,y),则〃=(-c-x,-y)〃(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2①将y2=b2-x2代入①式解得x2=,又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈[,].答案:[,]10.【解析】选A.由已知,圆(x-4)2+y2=a(a>0)与抛物线y2=4x有四个不同的交点,则方程组消去y所得的一元二次方程x2-4x+16-a=0有两相异正实根即可,所以有解得:12<a<16.11.【解析】由已知当椭圆焦点在x轴上时,有4-m=1,得m=3.当椭圆焦点在y轴上时,有m-4=1,得m=5.综上可知,m=3或5.答案:3或512.【解析】由x2-2y2=4,得-=1,其中c2=4+2=6,在椭圆C中e==,∴=,∴a2=8, ∴b2=a2-c2=2,则椭圆的方程为+=1.答案:+=113.【解析】双曲线x2-=1的渐近线为x2-=0,不妨设双曲线x2-=1的一条渐近线为2x-y=0,ax+y+2=0与2x-y=0平行,∴a=-2,在直线2x-y=0上取一点A(1,2),A 到ax+y+2=0的距离就是这两条平行直线之间的距离,即=.答案:14.【解析】由y=x2,得x2=16y,其焦点为(0,4).即圆C的圆心C(0,4),其到直线4x-3y-3=0的距离d==3.又|AB|=8,设圆C的半径为r,所以r2=d2+42,得r2=32+42=25,∴圆C的方程为x2+(y-4)2=25.答案:x2+(y-4)2=2515.【解析】因为曲线C:y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以当a=1,b=1时望圆的方程可设为x2+(y-1)2=r2,面积最小的“望圆”的半径为(0,1)到y=上任意点之间的最小距离,d2=x2+(-1)2=x2+()2= (|x|-1)2++2(|x|-1)-+2≥3,所以半径r≥,最小面积为3π.答案:3π16.【解析】DE,DM都是圆(x-2)2+y2=22的切线,所以DE=DM.因为=,所以DF=2DE=2DM,所以∠DFM=,设C(2,0),在△CEF中,∠CEF=,∠CFE=,CE=2,所以CF=4,F(-2,0),切线DE的倾斜角α=或,所以切线DE的斜率k=或-,切线DE的方程为y=〒(x+2).17.【解析】(1)据题意有|AB|+|AC|=4,而4>|BC|=2,所以动点A的轨迹是以B,C 为焦点的椭圆,但须除去B,C两点,所以,轨迹M的方程为+=1(y≠0).(2)由于直线l不可能是x轴,故设其方程为x=my+2,由直线l与圆x2+y2=2相切,得=,解得m=〒1.把方程x=my+2代入方程+=1中得(3m2+4)y2+12my=0,即得7y2〒12y=0,解得y=0或y=〒.所以点Q的坐标为(,)或(,-),所以|PQ|=,即线段PQ的长为.18.【解析】(1)由⇒x2+(2b-4)x+b2=0.因直线x-y+b=0与抛物线y2=4x相切,∴Δ=(2b-4)2-4b2=0⇒b=1.∵椭圆+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴a=b=.故所求椭圆方程为+y2=1.(2)由已知得直线l的方程为y=x-,与+y2=1联立消y得3x2-2x-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1〃x2=-,∴(y1-y2)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,∴|MN|==.19.【解析】(1)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2.故圆C的圆心为点(2,0);从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c,由题设知c=2,e==,∴a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为:+=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得=.即[(2-x 0)2-2]+2(2-x0)y0k1+-2=0.同理可得[(2-x 0)2-2]+2(2-x0)y0k2+-2=0.从而k1,k2是方程[(2-x 0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+-2=0的两个实根,于是①且k1k2==.由得5-8x 0-36=0.解得x0=-2或x0=.由x0=-2得y0=〒3;由x0=得y0=〒,它们均满足①式,故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3)或(,)或(,-).20.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0, 则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以,直线AM的斜率为k AM=x1,所以,直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y 1,所以,直线AM的方程为x1x=2(y+y1) ①.同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2) ②.②-①并据x1≠x2得,点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).所以k MF==-,则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,所以x3+x4=-,x3x4=-4.又|AB|====4(k2+1).|CD|====4(+1).因为k MF〃k AB=-1,所以AB⊥CD,所以,S四边形ACBD=|AB|〃|CD|=8(+1)(k2+1)=8(k2++2)≥32,当且仅当k=〒1时,四边形ACBD的面积取到最小值32.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用方法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法: (1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】设椭圆M:+=1(a>)的右焦点为F 1,直线l:x=与x轴交于点A,若+2=0(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求〃的最大值.【解析】(1)由题设知,A(,0),F 1(,0),由+2=0,得=2(-),解得a2=6.所以椭圆M的方程为:+=1.(2)方法一:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,则〃=(-)〃(-)=(--)〃(-)=-=-1.从而求〃的最大值转化为求的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),所以+=1,即=6-3.因为点N(0,2),所以=+(y 0-2)2=-2(y0+1)2+12.[-,],所以当y0=-1时,取得最大值12.因为y所以〃的最大值为11.方法二:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0),因为E,F的中点坐标为(0,2),所以所以〃=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0)=-+-+4y1-4y0=+-4y+-4y1).因为点E在圆N上,所以+(y 1-2)2=1,即+-4y1=-3.因为点P在椭圆M上,所以+=1,即=6-3.所以〃=-2-4y 0+9=-2(y0+1)2+11.因为y[-,],所以当y0=-1时,(〃)max=11.21.【解析】方法一:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则由已知得a=2,=,所以a=2,c=,∴b2=a2-c2=4-3=1,∴椭圆方程为+y2=1.(2)①取m=0,若R(1,),Q(1,-),直线A1R的方程是y=x+,直线A 2Q的方程是y=x-,交点为S1(4,).若R(1,-),Q(1,),由对称性可知交点为S 2(4,-).若点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.②以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上.事实上,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.设A 1R与l交于点S0(4,y0),由=,得y0=.设A 2Q与l交于点S′0(4,y′0),由=,得y′0=.∵y0-y′0=-====0,∴y0=y′0,即S0与S′0重合,这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.方法二:(1)同方法一.(2)取m=0,不妨设R(1,),Q(1,-),则直线A1R的方程是y=x+,直线A2Q的方程是y=x-,交点为S 1(4,).取m=1,不妨设R(,),Q(0,-1),直线A1R的方程是y=x+,直线A2Q的方程是y=x-1,交点为S2(4,1).∴若交点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上.事实上,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,记R(x 1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.A1R的方程是y=(x+2),A2Q的方程是y=(x-2),消去y,得(x+2)=(x-2) ①,以下用分析法证明x=4时,①式恒成立.要证明x=4时,①式恒成立,只需证明=,即证3y1(my2-1)=y2(my1+3),即证2my1y2=3(y1+y2) ②,∵2my1y2-3(y1+y2)=-=0,∴②式恒成立.这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.方法三:(1)同方法一.(2)由,得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.A 1R的方程是y=(x+2),A2Q的方程是y=(x-2),由得(x+2)=(x-2),即x=2〃=2〃=2〃=2〃=4.这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.关闭Word文档返回原板块。

高中数学复习方略课时提升作业：5.4数列的求和(北师大

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课时提升作业(三十三)一、选择题1.(2013·南昌模拟)已知等比数列{a n}公比为q,其前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于( )(A)- (B)1(C)-或1 (D)-1或2.(2013·长春模拟)在等差数列{a n}中,a9=a12+6,则数列{a n}的前11项和S11等于( )(A)24 (B)48 (C)66 (D)1323.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3()n,则其前20项和为( )(A)380-(1-) (B)400-(1-)(C)420-(1-) (D)440-(1-)4.(2013·阜阳模拟)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第一项与第二项,若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则T10=( )(A) (B) (C) (D)5.(2013·太原模拟)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则= ( )(A) (B) (C) (D)6.数列{a n}的前n项和S n=3n+b(b是常数),若这个数列是等比数列,那么b为( )(A)3 (B)0 (C)-1 (D)17.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m= ( )(A)38 (B)20 (C)10 (D)98.(能力挑战题)数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则+++…+等于( )(A)(2n-1)2(B)(2n-1)2(C)4n-1 (D)(4n-1)二、填空题9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若a3=20-a6,则S8等于.10.数列{1+2n-1}的前n项和为.11.(2013·芜湖模拟)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S5= .12.(2013·哈尔滨模拟)在数列{a n}中,若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值(n∈N+),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{a n}的前100项的和S100= .三、解答题13.已知数列{log2(a n-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求和:S n=++…+.14.(2012·湖州模拟)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(1)求{a n},{b n}的通项公式.(2)求数列{}的前n项和S n.15.(能力挑战题)已知数列{a n}的通项公式是a n=n·2n-1,b n=,求数列{b n}的前n项和.答案解析1.【解析】选A.当q=1时,显然不可能;当q≠1时,根据已知得2×=+,即2q9=q6+q3,即2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍),或q3=-.2.【解析】选D.设公差为d,则a1+8d=a1+d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.3.【解析】选C.由a n=2n-3()n,得S20=2(1+2+…+20)-3(++…+)=2×-3×=420-(1-),故选C.4.【解析】选B.将直线方程化为(x+y-4)+m(3x-y)=0,令解得即直线过定点(1,3),所以a1=1,a2=3,公差d=2,∴a n=2n-1,∴b n==(-),∴T10=×(-+-+…+-)=×(-)=.5.【解析】选C.等差数列{a n}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为a1,a3,a9恰好构成某等比数列,所以有=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以该等差数列的通项为a n=nd.则的值为.6.【思路点拨】根据数列的前n项和减去前n-1项的和得到数列的第n项的通项公式,即可得到此等比数列的首项与公比,根据首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出前n项的和,与已知的S n=3n+b对比后,即可得到b的值.【解析】选C.因为a n=S n-S n-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项为2,公比为3的等比数列,则S n==3n-1,所以b=-1.7.【解析】选C.因为{a n}是等差数列,所以a m-1+a m+1=2a m,由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0,所以a m=2(a m=0舍),又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.8.【解析】选D.a n=S n-S n-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,∴a n=2n-1(n ∈N+),∴{}是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+++…+==(4n-1).9.【解析】因为a3=20-a6,所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.答案：8010.【解析】前n项和S n=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1=n+=n+2n-1. 答案：n+2n-111.【解析】由S n+1+S n-1=2(S n+S1)得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),数列{a n}从第二项起构成等差数列,则S5=1+2+4+6+8=21.答案：2112.【解析】设定值为M,则a n+a n+1+a n+2=M,进而a n+1+a n+2+a n+3=M,后式减去前式得a n+3=a n,即数列{a n}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{a n}的前100项的和S100=68+99+132=299.答案：29913.【解析】(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.(2)因为==,所以S n=++…+=+++…+==1-.14.【解析】(1)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且解得所以a n=1+(n-1)d=2n-1,b n=q n-1=2n-1.(2)=,S n=1+++…++, ①2S n=2+3++…++. ②②-①,得S n=2+2+++…+-=2+2×(1+++…+)-=2+2×-=6-.【变式备选】已知各项都不相等的等差数列{a n}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N+),且b1=3,求数列{}的前n项和T n. 【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),则解得∴a n=2n+3.(2)由b n+1-b n=a n,∴b n-b n-1=a n-1(n≥2,n∈N+),b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=n(n+2),当n=1时,b1=3也适合上式,∴b n=n(n+2)(n∈N+).∴==(-),T n=(1-+-+…+-)=(--)=.15.【解析】====-,k=1,2,3,…,n故++…+=(-)+(-)+…+[-]=-=4-.【方法技巧】裂项相消法的应用技巧裂项相消法的基本思想是把数列的通项a n分拆成a n=b n+1-b n或者a n=b n-b n+1或者a n=b n+2-b n等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列a n的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.关闭Word文档返回原板块。

高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(四)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测(四)第四章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2012·福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )(A)1=-(B)x=-1 (C)x=5 (D)x=0x22.(2013·西安模拟)复数z的实部为1,其在复平面上的对应点落在直线y=2x上,则= ( )(A)-i (B)-i(C)+i (D)+i3.已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为( ) (A)30° (B)-150°(C)150° (D)30°或150°4.(2013·九江模拟)如图,在△ABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,设=a,=b,=x a+y b,则(x,y)为( )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(,)5.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+m b)⊥a,则实数m的值为( )(A)1 (B) (C)2 (D)36.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z对应的点在( ) (A)第四象限 (B)第三象限(C)第二象限 (D)第一象限7.(2012·浙江高考)设a,b是两个非零向量. ( )(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb(D)若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|8.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )(A)- (B)- (C) (D)9.若任意k∈R,|-k|≥||恒成立,则△ABC的形状一定是( )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定10.如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:①+=2;②=2+2;③·=·;④(·)=(·).其中正确结论的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·合肥模拟)函数y=tan(x-)的部分图像如图所示,则(+)·= .12.已知平面向量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|= .13.(2012·新课标全国卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .14.(2013·吉安模拟)设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a的值为.15.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·咸阳模拟)两非零向量a,b满足:2a-b与b垂直,集合A={x|x2+(|a|+|b|)x+|a||b|=0}是单元素集合.(1)求a与b的夹角.(2)若关于t的不等式|a-t b|<|a-m b|的解集为空集,求实数m的值.17.(12分)(2013·南昌模拟)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1z2是实数,求z2.18.(12分)(2013·铜陵模拟)已知=(2asin2x,a),=(-1,2sinxcosx+1),O为坐标原点,a≠0,设f(x)=·+b,b>a.(1)若a>0,写出函数y=f(x)的单调递增区间.(2)若函数y=f(x)的定义域为[,π],值域为[2,5],求实数a与b的值.19.(12分)(能力挑战题)(1)如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,试用a,b表示,,并判断+与+的关系.(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,A n-1是AB的n(n≥3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.20.(13分)(2013·成都模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,3).(1)当m∥n时,求的值.(2)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,c=2asin(A+B),函数f(x)=(m+n)·m,求f(B+)的取值范围.21.(14分)已知在平面直角坐标系xOy中,向量j=(0,1),△OFP的面积为2,且·=t,=+j.(1)若4<t<4,求向量与的夹角θ的取值范围.(2)设以原点O为中心,对称轴在坐标轴上,以F为右焦点的椭圆经过点M,且||=c,t=(-1)c2,当||取最小值时,求椭圆的方程.答案解析1.【解析】选D.由向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0，所以x=0.2.【解析】选A.设z=1+bi,由题意(1,b)在直线y=2x上,故b=2.所以===-i.3.【解析】选C.S△ABC=||||sinA=|a||b|sinA=×3×5sinA=,∴sinA=.又a·b<0,∴A为钝角,∴A=150°.4.【解析】选A.∵=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.同理还可以表示为=+=+μ=μ+(1-μ),对应相等可得λ=.所以=+,即=a+b,故(x,y)=(,).【方法技巧】利用基向量表示向量的技巧在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.5.【解析】选D.由题意得(a+m b)·a=a2+m a·b=32+m×3×2×cos120°=9-3m=0,解得m=3.6.【思路点拨】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.【解析】选D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,∴z(1-i)=5, 设z=x+yi(x,y∈R),∴z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,(x+y)+(y-x)i=5,解得x=y=>0.故复数z对应的点在第一象限.7.【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.8.【解析】选 A.=2⇒P是AM的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP,·(+)=·=(-)·=-·2AM=-.9.【思路点拨】利用数形结合求解.【解析】选B.如图,设=k,则-k=-=,由对任意k∈R,都有||≥||恒成立知⊥,故△ABC为直角三角形.10.【解析】选C.+=+==2,故①对;取AD的中点O,则=2=2+2,故②对;设||=1,则·=×2×cos=3,而·=2×1×cos=1,故③错;④设||=1,则||=2,(·)=(2×1×cos60°)=.(·)=(1×1×cos120°)=-=,故④正确.综上,正确结论为①②④,故选C.【变式备选】给出下列命题:p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;q:存在x∈R,使得log2(x+1)<0;r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是( )(A)q (B)p (C)p,r (D)p,q【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x =-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0<x+1<1,即-1<x<0时,log2(x+1)<0,故命题q正确;a+b=(λ-1,λ2+1),故(a+b)∥c的充要条件为λ-1=-(λ2+1),解得λ=-1或λ=0,故命题r不正确.11.【解析】由tan(x-)=0结合图像知A(2,0);由tan(x-)=1结合图像得B(3,1),故(+)·=(5,1)·(1,1)=5+1=6.答案:612.【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,∴α·β=,∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,∴|2α+β|=.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.13.【解析】|2a-b(2a-b)2=10⇒4+|b|2-4|b|cos45°=10⇒|b |=3. 答案:314.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i,由(a+i)2i 为正实数得解得a=-1.答案:-115.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立.答案:616.【解析】(1)由2a-b与b垂直得(2a-b)·b=0⇒a·b =,由A={x|x2+(|a|+|b|)x+|a||b|=0}是单元素集合得:Δ=(|a|+|b|)2-4|a||b|=0⇒|a|=|b|.设a与b的夹角为θ,则cosθ=22112||||||2==ba ba b b⇒θ=.则a与b的夹角为.(2)关于t的不等式|a-t b|<|a-m b|的解集为空集,则|a-t b|≥|a-m b|的解集为R,从而a2-2a·b×t+t2b2≥a2-2a·b×m+m2b2对一切t∈R恒成立,将a2=b2,2a·b=b2代入上式得:t2-t+m-m2≥0对一切t∈R恒成立,∴Δ=1-4(m-m2)≤0⇒(2m-1)2≤0⇒m=.17.【解析】(z1-2)(1+i)=1-i⇒z1=2-i.设z2=a+2i,a∈R,则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1z2∈R,∴4-a=0,即a=4,∴z2=4+2i.18.【解析】(1)f(x)=-2asin2x+2asinxcosx+a+b=2asin(2x+)+b,∵a>0,∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z得,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数y=f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)x∈[,π]时,2x+∈[,],sin(2x+)∈[-1,],当a>0时,f(x)∈[-2a+b,a+b],∴得当a<0时,f(x)∈[a+b,-2a+b],∴得综上知,或【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),P(cosα,sinα),其中0≤α≤.(1)若cosα=,求证:⊥.(2)若∥,求sin(2α+)的值.【解析】(1)方法一:由题设,知=(-cosα,-sinα),=(-cosα,-sinα),∴·=(-cosα)(-cosα)+(-sinα)2=-cosα+cos2α+sin2α=-cosα+1.∵cosα=,∴·=0.∴⊥.方法二:∵cosα=,0≤α≤,∴sinα=,∴点P的坐标为(,).∴=(,-),=(-,-).∴·=×(-)+(-)2=0,∴⊥.(2)由题设,知=(-cosα,-sinα),=(-cosα,-sinα).∵∥,∴-sinα·(-cosα)-sinαcosα=0,∴sinα=0.∵0≤α≤,∴α=0,∴sin(2α+)=.19.【思路点拨】(1)把向量,都用,表示,再求和即可.(2)思路同(1).【解析】(1)=+=+=+(-)=+=a+b.同理=a+b,∴+=a+b=+.(2)+=+=…=+.证明如下:由(1)可推出=+=+=+(-)=+, ∴=a+b,同理=a+b,=a+b,=a+b,…因此有+=+=…=+.20.【解析】(1)由m∥n,可得3sinx=-cosx,于是tanx=-,∴===-.(2)∵在△ABC中,A+B=π-C,于是sin(A+B)=sinC,由正弦定理知:sinC=2sinA·sinC,∴sinA=,可解得A=,或A=,又△ABC为锐角三角形,于是A=,<B<.∵f(x)=(m+n)·m=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-2=+sin2x-2=sin(2x-)-,∴f(B+)=sin[2(B+)-]-=sin2B-.由<B<得<2B<π,∴0<sin2B≤1,得-<sin2B-≤-,即f(B+)∈(-,-].21.【解析】(1)由2=||·||sinθ,得||·||=,又cosθ==,得tanθ=,因为4<t<4,所以1<tanθ<.因为θ∈(0,π),所以夹角θ的取值范围是(,).(2)设P(x0,y0),则=(x0-c,y0),=(c,0).所以·=(x 0-c)c=t=(-1)c2,所以x 0=c,S△OFP=||·|y0|=2,所以y0=±,所以||==≥=2,当c=,即c=2时||取最小值2,此时=(2,±2),所以=(2,2)+(0,1)=(2,3)或=(2,-2)+(0,1)=(2,-1),椭圆长轴长2a=+=8,所以a=4,b2=12,或2a=+=1+,所以a=,b2=,故所求椭圆方程为+=1或+=1.关闭Word文档返回原板块。

高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(四)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测(四)第四章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2012·福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )(A) (B)x=-1 (C)x=5 (D)x=02.(2013·西安模拟)复数z的实部为1,其在复平面上的对应点落在直线y=2x上,则= ( )(A)-i (B)-i(C)+i (D)+i3.已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为( ) (A)30° (B)-150°(C)150° (D)30°或150°4.(2013·九江模拟)如图,在△ABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,设=a,=b,=x a+y b,则(x,y)为( )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(,)5.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+m b)⊥a,则实数m的值为( )(A)1 (B) (C)2 (D)36.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z对应的点在( ) (A)第四象限 (B)第三象限(C)第二象限 (D)第一象限7.(2012·浙江高考)设a,b是两个非零向量. ( )(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb(D)若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|8.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )(A)- (B)- (C) (D)9.若任意k∈R,|-k|≥||恒成立,则△ABC的形状一定是( )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定10.如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:①+=2;②=2+2;③·=·;④(·)=(·).其中正确结论的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·合肥模拟)函数y=tan(x-)的部分图像如图所示,则(+)·= .12.已知平面向量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|= .13.(2012·新课标全国卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .14.(2013·吉安模拟)设a∈R,且(a+i)2i为正实数,则a的值为.15.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·咸阳模拟)两非零向量a,b满足:2a-b与b垂直,集合A={x|x2+(|a|+|b|)x+|a||b|=0}是单元素集合.(1)求a与b的夹角.(2)若关于t的不等式|a-t b|<|a-m b|的解集为空集,求实数m的值.17.(12分)(2013·南昌模拟)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1z2是实数,求z2.18.(12分)(2013·铜陵模拟)已知=(2asin2x,a),=(-1,2sinxcosx+1),O为坐标原点,a≠0,设f(x)=·+b,b>a.(1)若a>0,写出函数y=f(x)的单调递增区间.(2)若函数y=f(x)的定义域为[,π],值域为[2,5],求实数a与b的值. 19.(12分)(能力挑战题)(1)如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,试用a,b表示,,并判断+与+的关系.(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,A n-1是AB的n(n≥3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.20.(13分)(2013·成都模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,3).(1)当m∥n时,求的值.(2)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,c=2asin(A+B),函数f(x)=(m+n)·m,求f(B+)的取值范围.21.(14分)已知在平面直角坐标系xOy中,向量j=(0,1),△OFP的面积为2,且·=t,=+j.(1)若4<t<4,求向量与的夹角θ的取值范围.(2)设以原点O为中心,对称轴在坐标轴上,以F为右焦点的椭圆经过点M,且||=c,t=(-1)c2,当||取最小值时,求椭圆的方程.答案解析1.【解析】选D.由向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0，所以x=0.2.【解析】选A.设z=1+bi,由题意(1,b)在直线y=2x上,故b=2.所以===-i.3.【解析】选C.S△ABC=||||sinA=|a||b|sinA=×3×5sinA=,∴sinA=.又a·b<0,∴A为钝角,∴A=150°.4.【解析】选A.∵=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.同理还可以表示为=+=+μ=μ+(1-μ),对应相等可得λ=.所以=+,即=a+b,故(x,y)=(,).【方法技巧】利用基向量表示向量的技巧在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.5.【解析】选D.由题意得(a+m b)·a=a2+m a·b=32+m×3×2×cos120°=9-3m=0,解得m=3.6.【思路点拨】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.【解析】选D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,∴z(1-i)=5,设z=x+yi(x,y∈R),∴z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,(x+y)+(y-x)i=5,解得x=y=>0.故复数z对应的点在第一象限.7.【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.8.【解析】选A.=2⇒P是AM的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP,·(+)=·=(-)·=-·=-.9.【思路点拨】利用数形结合求解.【解析】选B.如图,设=k,则-k=-=,由对任意k∈R,都有||≥||恒成立知⊥,故△ABC为直角三角形.10.【解析】选C.+=+==2,故①对;取AD的中点O,则=2=2+2,故②对;设||=1,则·=×2×cos=3,而·=2×1×cos=1,故③错;④设||=1,则||=2,(·)=(2×1×cos60°)=.(·)=(1×1×cos120°)=-=,故④正确.综上,正确结论为①②④,故选C.【变式备选】给出下列命题:p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;q:存在x∈R,使得log2(x+1)<0;r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是( )(A)q (B)p (C)p,r (D)p,q【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x =-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0<x+1<1,即-1<x<0时, log2(x+1)<0,故命题q正确;a+b=(λ-1,λ2+1),故(a+b)∥c的充要条件为λ-1=-(λ2+1),解得λ=-1或λ=0,故命题r不正确.11.【解析】由tan(x-)=0结合图像知A(2,0);由tan(x-)=1结合图像得B(3,1),故(+)·=(5,1)·(1,1)=5+1=6.答案:612.【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,∴α·β=,∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,∴|2α+β|=.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.13.【解析】|2a-b|=⇔(2a-b)2=10⇒4+|b|2-4|b|cos45°=10⇒|b|=3.答案:314.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i,由(a+i)2i为正实数得解得a=-1.答案:-115.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立. 答案:616.【解析】(1)由2a-b与b垂直得(2a-b)·b=0⇒a·b=,由A={x|x2+(|a|+|b|)x+|a||b|=0}是单元素集合得:Δ=(|a|+|b|)2-4|a||b|=0⇒|a|=|b|.设a与b的夹角为θ,则cosθ=22112||||||2==ba ba b b⇒θ=.则a与b的夹角为.(2)关于t的不等式|a-t b|<|a-m b|的解集为空集,则|a-t b|≥|a-m b|的解集为R,从而a2-2a·b×t+t2b2≥a2-2a·b×m+m2b2对一切t∈R恒成立,将a2=b2,2a·b=b2代入上式得:t2-t+m-m2≥0对一切t∈R恒成立,∴Δ=1-4(m-m2)≤0⇒(2m-1)2≤0⇒m=.17.【解析】(z1-2)(1+i)=1-i⇒z1=2-i.设z2=a+2i,a∈R,则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1z2∈R,∴4-a=0,即a=4,∴z2=4+2i.18.【解析】(1)f(x)=-2asin2x+2asinxcosx+a+b=2asin(2x+)+b,∵a>0,∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z得,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数y=f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)x∈[,π]时,2x+∈[,],sin(2x+)∈[-1,],当a>0时,f(x)∈[-2a+b,a+b],∴得当a<0时,f(x)∈[a+b,-2a+b],∴得综上知,或【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),P(cosα,sinα),其中0≤α≤.(1)若cosα=,求证:⊥.(2)若∥,求sin(2α+)的值.【解析】(1)方法一:由题设,知=(-cosα,-sinα),=(-cosα,-sinα),∴·=(-cosα)(-cosα)+(-sinα)2=-cosα+cos2α+sin2α=-cosα+1.∵cosα=,∴·=0.∴⊥.方法二:∵cosα=,0≤α≤,∴sinα=,∴点P的坐标为(,).∴=(,-),=(-,-).∴·=×(-)+(-)2=0,∴⊥.(2)由题设,知=(-cosα,-sinα),=(-cosα,-sinα).∵∥,∴-sinα·(-cosα)-sinαcosα=0,∴sinα=0.∵0≤α≤,∴α=0,∴sin(2α+)=.19.【思路点拨】(1)把向量,都用,表示,再求和即可.(2)思路同(1). 【解析】(1)=+=+=+(-)=+=a+b.同理=a+b,∴+=a+b=+.(2)+=+=…=+.证明如下:由(1)可推出=+=+=+(-)=+,同理=a+b,=a+b,=a+b,…因此有+=+=…=+.20.【解析】(1)由m∥n,可得3sinx=-cosx,于是tanx=-,∴===-.(2)∵在△ABC中,A+B=π-C,于是sin(A+B)=sinC, 由正弦定理知:sinC=2sinA·sinC,∴sinA=,可解得A=,或A=,又△ABC为锐角三角形,于是A=,<B<.∵f(x)=(m+n)·m=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-2=+sin2x-2=sin(2x-)-,∴f(B+)=sin[2(B+)-]-=sin2B-.由<B<得<2B<π,∴0<sin2B≤1,得-<sin2B-≤-,即f(B+)∈(-,-].21.【解析】(1)由2=||·||sinθ,又cosθ==,得tanθ=,因为4<t<4,所以1<tanθ<.因为θ∈(0,π),所以夹角θ的取值范围是(,).(2)设P(x0,y0),则=(x0-c,y0),=(c,0).所以·=(x0-c)c=t=(-1)c2,所以x0=c,S△OFP=||·|y0|=2,所以y0=±,所以||==≥=2,当c=,即c=2时||取最小值2,此时=(2,±2),所以=(2,2)+(0,1)=(2,3)或=(2,-2)+(0,1)=(2,-1),椭圆长轴长2a=+=8,所以a=4,b2=12,或2a=+=1+,所以a=,b2=,故所求椭圆方程为+=1或+=1.关闭Word文档返回原板块。

高中数学复习方略课时提升作业：集合北师大理通用

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课时提升作业(一)一、选择题1.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于( )(A)1 (B)0 (C)-2 (D)-32.已知集合A={x∈N|0≤x≤5},B={1,3,5},则集合B=( )A(A){2,4} (B){0,2,4} (C){0,1,3} (D){2,3,4}B)∪3.(2013·九江模拟)已知U=R,A={x|x>0},B={x|x≤-1},则(A∩U(B∩A)=( )U(A)∅(B){x|x≤0}(C){x|x>-1} (D){x|x>0或x≤-1}4.已知集合M={x|≤2x≤4},N={x|x-k>0},若M∩N=∅,则k的取值范围是( )(A)[2,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1]5.(2013·亳州模拟)已知M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},则M∩N=( )(A)∅(B)R (C)M (D)N6.(2013·合肥模拟)已知集合A={x|y=},B={y|y=},则A∩B=( )(A)[2,+∞) (B)[2,3)∪(3,+∞)(C)(1,+∞) (D)[1,3)∪(3,+∞)7.(2013·重庆模拟)设全集U=R,A={x|y=},B={y|y=2x,x∈R},则A)∩B=( )(R(A){x|x<0} (B){x|0<x≤1}(C){x|1<x≤2} (D){x|x>2}8.(2013·咸阳模拟)已知函数f(x)=lgx的定义域为M,函数y=的定义域为N,则M∩N=( )(A)(0,1) (B)(2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(0,1)∪(2,+∞)9.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合E={x|x2-3x+2=0,x∈R},F={x|cos=0,x∈R},则(E)∩F=( )U(A){-3,-1,0,3} (B){-3,-1,3}(C){-3,-1,1,3} (D){-3,3}10.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=∅,则实数m的取值范围是( )(A)m<4 (B)m>4(C)0≤m<4 (D)0≤m≤4二、填空题11.已知集合A={x∈N|∈N},则集合A的所有子集是.12.已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B≠∅,且B⊆A,则m的取值范围是.13.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a+b的值等于.14.(能力挑战题)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.其中真命题有(写出所有真命题的序号).三、解答题15.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(A)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.根据A⊆B,则只能是a+3=1,即a=-2.2.【解析】选B.集合A={0,1,2,3,4,5},所以B={0,2,4}.B={x|x>0}.3.【解析】选D.∵A∩UB∩UA={x|x≤-1}.∴(A∩U B)∪(B∩UA)={x|x>0或x≤-1}.4.【解析】选A.集合M=[-1,2],集合N=(k,+∞),M∩N=∅,只要k≥2.5.【解析】选D.集合M=(-∞,+∞),集合N=[-1,+∞),所以M∩N=N.6.【解析】选B.集合A=[2,+∞),集合B=(-∞,3)∪(3,+∞).所以A∩B=[2,3)∪(3,+∞).7.【解析】选D.集合A={x|0≤x≤2},B={y|y>0},RA={x|x<0或x>2},所以(RA)∩B={x|x>2}.8.【解析】选D.由已知得M=(0,+∞),N=(-∞,1)∪(2,+∞),所以M∩N=(0,1)∪(2,+∞).9.【解析】选B.E={1,2},UE={-3,-2,-1,0,3},F={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},所以(UE)∩F={-3,-1,3}.10.【解析】选C.本题的实质是:在有意义的前提下,方程x2+x+1=0没有实数根.故m≥0且()2-4<0,即0≤m<4.11.【解析】由题意可知6-x是8的正约数,所以6-x可以是1,2,4,8;相应的x可为5,4,2,即A={2,4,5}.∴A的所有子集为∅,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.答案:∅,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}12.【解析】由题设知解之得,2≤m≤3.答案:[2,3]13.【解析】A={x|x<-1或x>3},∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},∴B={x|-1≤x≤4},∴a=-(-1+4)=-3,b=(-1)×4=-4,∴a+b=-7.答案:-714.【解析】设x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2为整数,则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,由于a1,b1,a2,b2为整数,故a1±a2,b1±b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整数,所以x+y,x-y,xy∈S,故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若S 是封闭集,且x=y∈S,则根据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合S={0},显然是封闭集,故封闭集不一定是无限集,命题③不正确;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,容易验证集合T不是封闭集,故命题④不是真命题.答案:①②【方法技巧】集合新定义问题的解题技巧解答这种新定义的题目关键就是抓住新定义的本质,紧扣新定义进行推理论证,本题中就是根据封闭集满足其集合中的任意两个元素的和、差、积还是这个集合中的元素.判断一个元素是不是集合中的元素,就看这个元素是否符合集合中代表元素的特征.15.【解析】方法一:A={-2,-1},由(A)∩B=∅得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅,∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.∴m=1或2.【变式备选】设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=∅,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.关闭Word文档返回原板块。

高中数学复习方略课时提升作业：7.5空间几何体的面积

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课时提升作业(四十六)一、选择题1.(2013·柳州模拟)长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x,且它的8个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为125π,则x的值为( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)102.(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )(A)π(B)4π(C)4π(D)6π3.(2013·合肥模拟)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是( )(A)3 (B)(C)2 (D)4.某几何体的三视图如图所示,且主视图、左视图都是矩形,则该几何体的体积是( )(A)16 (B)12 (C)8 (D)65.(2013·六安模拟)如图是一个几何体的三视图,其中主视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积为( )(A)π(B)π(C) (D)π6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A) (B)2 (C) (D)37.(2013·韶关模拟)三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的表面积等于( )(A)12+4 (B)6+2(C)8+4 (D)48.(2013·银川模拟)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )(A) (B)(C)(1+) (D)9.(2013·西城模拟)侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是( )(A)a2(B)a2(C)a2(D)a210.(2013·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何体的表面积是( )(A) (B)+6(C)11π(D)+311.(能力挑战题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形,主视图为直角梯形,则此几何体的体积V的大小为( )(A) (B)12 (C) (D)1612.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )(A)8π(B)6π(C)4π(D)2π二、填空题13.(2012·江苏高考)如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为cm3.14.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC 的体积为.15.(2013·南昌模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积是.16.如图是某几何体的三视图(单位:m),则其表面积为m2.三、解答题17.(2013·合肥模拟)如图,一空间几何体的一个面ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.(1)证明:平面ACD⊥平面ADE.(2)若AB=2,BC=1,tan∠EAB=,试求该空间几何体的体积V.答案解析1.【解析】选D.设球的半径为r,则4πr2=125π,∴r2=.又∵32+42+x2=(2r)2,∴9+16+x2=125,∴x2=100,即x=10.2.【解析】选B.如图,设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,则OO′=,O′M=1,∴OM==,即球的半径为,∴V=π()3=4π.3.【解析】选D.由三视图可知,该几何体是一个放倒了的三棱柱,V=×1××=.4.【思路点拨】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到的几何体.【解析】选B.该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为2×3×4-×2×3×4=12.【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)πcm3(B)3πcm3(C)πcm3(D)πcm3【解析】选D.由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm3). 5.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是如图所示的半圆锥,V=π×12××=π.6.【解析】选A.由图知,此几何体上部是一个棱长为1的正方体,其体积为1.下部是一个侧着放的四棱柱,其高为1,底面是一个高为1,上底为2,下底为3的直角梯形,故下部的体积是1××1=,故此几何体的体积是1+=.【误区警示】本题易错误地认为该几何体是由一个正方体和一个棱台构成的组合体.7.【解析】选A.由三视图的数据可知,三棱柱的表面积为S=2××2×2+(2+2+2)×2=12+4.8.【解析】选A.由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,其中半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形,它们的高均为,则V=×(+4)×=,故选A.9.【解析】选A.由于正三棱锥的侧面都是直角三角形,所以直角顶点应该就是棱锥的顶点,即棱锥的三条侧棱两两垂直,由于底面边长为a,所以侧棱长等于a,故该三棱锥的表面积S=a2+3××(a)2=a2.故选A.10.【解析】选D.这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1,下底面半径是2,高为,母线长是2,其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和,故S=π×12+π×22+π(1+2)×2+×(2+4)×=+3.11.【思路点拨】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.注意该几何体是底面为直角梯形且放倒了的四棱锥.【解析】选C.由三视图知,该几何体是一个四棱锥(如图),其底面是一个直角梯形,高h为4,∴四边形ABCD的面积S=×(4+1)×4=10,∴V=Sh=×10×4=.即该几何体的体积V为.12.【思路点拨】该几何体是底面为等腰直角三角形,且一条侧棱垂直于底面的三棱锥,可将该几何体补成一个长方体,然后解决.【解析】选A.设该几何体的外接球的半径为R.依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥 A -BCD,其中AB⊥平面BCD,AB=2,BC=CD=,BD=2,BC⊥DC,因此可将该三棱锥补成一个长方体,于是有(2R)2=22+()2+()2=8,即4R2=8,则该几何体的外接球的表面积为4πR2=8π.【变式备选】长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( )(A)π(B)56π(C)14π(D)64π【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,同时不妨设得设球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14,∴R2=,∴S球=4πR2=14π.13.【解析】连接AC交BD于O,在长方体中,∵AB=AD=3,∴BD=3且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD,∴BB1⊥AC.又DB∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D,∴AO为四棱锥A -BB1D1D的高且AO=BD=.∵=BD×BB1=3×2=6,∴=·AO=×6×=6(cm3).答案:614.【解析】设正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,沿AC折起后依题意得,当BD=a时,BE⊥DE,所以DE⊥平面ABC,于是三棱锥D -ABC的高为DE=a,所以三棱锥D -ABC的体积V=×a2×a=a3.答案:a315.【解析】由主视图和左视图可知,体积最大时,底层有9个小正方体,左上面有2个小正方体,共11个.答案:1116.【解析】依题意可得该几何体是一个组合体,它的上部分与下部分都是四棱锥,中间部分是一个正方体.则上部分的表面积为×4×4×2+×4×4×2=(16+16)m2,中间部分的表面积为4×4×4=64(m2),下部分的表面积为×4×4××4=16(m2),故所求的表面积为(80+16+16)m2.答案:(80+16+16)【变式备选】如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是.【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,上面是一个三棱柱,故所求体积为V=×3×4×6+16π×8=36+128π.答案:36+128π17.【解析】(1)∵DC⊥平面ABC,BC平面ABC,∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,且DC∩AC=C,∴BC⊥平面ADC.∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE∥BC,∴DE⊥平面ADC.又∵DE平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE.(2)所求几何体的体积:V=V E-ABC+V E-ADC.∵AB=2,BC=1,tan∠EAB==,∴BE=,AC==,∴V E-ADC=S△ADC·DE=AC·DC·DE=.V E-ABC=S△ABC·EB=AC·BC·EB=,∴该几何体的体积V=1.关闭Word文档返回原板块。

高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(二)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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单元评估检测(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=的定义域为( )(A)(0,8] (B)(-2,8] (C)(2,8] (D)[8,+∞)2.(2013·咸阳模拟)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是增加的函数是( ) (A)y=x3(B)y=|x|+1(C)y=-x2+1 (D)y=2-|x|3.已知实数a=log45,b=()0,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为( )(A)b<c<a (B)b<a<c(C)c<a<b (D)c<b<a4.若已知函数f(x)=则f(f(1))+f(log3)的值是( )(A)7 (B)2 (C)5 (D)35.(2013·合肥模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是( )(A)(,) (B)[,) (C)(,) (D)[,)6.(2013·芜湖模拟)函数f(x)=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增加的( )(A)(,) (B)(π,2π)(C)(,) (D)(2π,3π)7.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(0,3] (C)(0,2) (D)(0,2]8.(2013·抚州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且f(-1)=2,则f(2013)等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.(2013·大连模拟)函数f(x)=ln(1-x2)的图象只可能是( )10.(2013·长春模拟)若y=f(x)在x>0上可导,且满足:xf′(x)-f(x)>0恒成立,又常数a,b满足a>b>0,则下列不等式一定成立的是( )(A)bf(a)>af(b) (B)af(a)>bf(b)(C)bf(a)<af(b) (D)af(a)<bf(b)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.f(x)=3x+sinx+1(x∈R),若f(t)=2,则f(-t)的值为.12.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是.13.(2013·宝鸡模拟)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.14.方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为.15.(2013·上饶模拟)对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:①f(x)=e x;②f(x)=x3;③f(x)=cos x;④f(x)=lnx+1.其中存在“稳定区间”的函数有(填上所有符合要求的序号).三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),≤x≤4.(1)若t=log2x,求t的取值范围.(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x的值.17.(12分)(2013·太原模拟)若g(x)=x+(x>0),g(x)=m有零点,求m的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=log2(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数.(1)求a的值.(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的取值范围.19.(12分)(2013·黄山模拟)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产一千件,需要另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式.(2)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?20.(13分)(2013·榆林模拟)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx,求f(x)的单调区间.21.(14分)(2012·湖北高考)设函数f(x)=ax n(1-x)+b(x>0),n为整数,a,b 为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的最大值.(3)证明:f(x)<.答案解析1.【解析】选B.由⇒⇒-2<x≤8.2.【解析】选B.对于A:y=x3是奇函数,不合题意;对于C,D:y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上是减少的,不合题意;对于B:y=|x|+1的图像如图所示,知y=|x|+1符合题意,故选B.3.【解析】选D.由题知,a=log45>1,b=()0=1,c=log30.4<0,故c<b<a.4.【解析】选 A.f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f(log3)=+1=+1=+1=+1=4+1=5,所以f(f(1))+f(log3)=2+5=7,故选A.5.【解析】选A.f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,又f(x)在[0,+∞)上是增加的,∴f(2x-1)<f()⇔f(|2x-1|)<f(),则|2x-1|<,解得<x<.6.【解析】选B.f′(x)=(xcosx-sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由函数是增加的,则f′(x)≥0,又各选项均为正实数区间,所以sinx≤0,故选B.7.【解析】选D.∵f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,∴解得0<a≤2.8.【解析】选B.在f(x+4)=f(x)+2f(2)中,令x=-2得f(2)=f(-2)+2f(2), 即f(2)=f(2)+2f(2),故f(2)=0.因此f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.又2013=4×503+1,所以f(2013)=f(1)=f(-1)=2.9.【解析】选A.函数f(x)=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),且f(x)为偶函数,当x∈(0,1)时,函数f(x)=ln(1-x2)为减少的;当x∈(-1,0)时,函数f(x)为增加的,且函数值都小于零,所以其图象为A.10.【思路点拨】令g(x)=,根据g(x)的单调性比较大小.【解析】选A.令g(x)=,则g′(x)=,由已知得,当x>0时,g′(x)>0.故函数g(x)在(0,+∞)上是增加的,又a>b>0,故g(a)>g(b),即bf(a)>af(b).11.【解析】由f(t)=3t+sint+1=2得3t+sint=1,所以f(-t)=-3t-sint+1=-1+1=0.答案:012.【解析】由f(x)=lnx+2x⇒f′(x)=+2x ln 2>0(x∈(0,+∞)),所以f(x)在(0,+∞)上是增加的,又f(x2+2)<f(3x)⇒0<x2+2<3x⇒x∈(1,2).答案:(1,2)13.【解析】因为f′(x)=3x2+6ax+3b,又所以解得因此f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),由f′(x)=0得x=0或x=2.所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:414.【解析】设f(x)=2x3-6x2+7,则f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为x∈(0,2),所以有f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)内是减少的,又f(0)=7>0,f(2)=-1<0,所以在(0,2)内存在唯一的x0,使f(x0)=0,因此,方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为1.答案:115.【思路点拨】由“稳定区间”的定义可知存在“稳定区间”的函数即为定义域和值域相同的函数.【解析】①若存在稳定区间[a,b],因为f(x)=e x在R上是增函数,则即方程e x=x有两个不等实根,即函数y=e x-x的图像与x轴有两个不同的交点,y′=e x-1,x∈(-∞,0),y′<0;x∈(0,+∞),y′>0,且x=0时,y=1,所以y≥1,即函数y=e x-x的图像与x轴没有交点,所以假设不成立,即不存在稳定区间;②显然存在稳定区间[0,1]或[-1,0]或[-1,1];③显然存在稳定区间[0,1];④因为y=lnx+1-x的导函数y′=-1=,在(0,1)上,y′>0;在(1,+∞)上,y′<0,且x=1时,y=0,所以y=lnx+1-x≤0在(0,+∞)上恒成立,即函数y=lnx+1,y=x只有1个交点,所以不存在稳定区间,故存在稳定区间的是②③.答案:②③16.【解析】(1)∵t=log2x,≤x≤4,∴log2≤t≤log24即-2≤t≤2.(2)f(x)=(log2x)2+3log2x+2,∴令t=log2x,则y=t2+3t+2=(t+)2-,当t=-,即log2x=-,x=时,f(x)min=-.当t=2,即x=4时,f(x)max=12.17.【解析】方法一:∵g(x)=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.方法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象.如图,可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.方法三:由g(x)=m得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根且e2>0,故根据根与系数的关系得m>0,故等价于故m≥2e.18.【解析】(1)∵f(x)=log2(-1≤x≤1)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)⇒log2=-log2,⇒=对x∈[-1,1]恒成立,所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)⇒a=±1,因为a为不等于1的常数,所以a=-1.(2)∵f(x)=log2(-1≤x≤1),设t=(-1≤x≤1),∴f(t)=log2t,因为t==-1+在[-1,1]上是减少的,所以≤t≤,又因为f(t)=log2t在[,]上是增加的,所以f(t)min=log2.因为对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,所以f(x)min>m,所以m<log2.19.【解析】(1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.∴年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为W=(2)当0<x≤10时,由W′=8.1->0⇒0<x<9,即年利润W在(0,9)上增加,在(9,10)上减少,∴当x=9时,W取得最大值,且W max=38.6(万元).时取“=”,综上可当x>10时,W=98-(+2.7x)≤98-2=38,仅当x=1009知,当年产量为9千件时,该公司这一品牌服装的生产中所获年利润最大,最大值为38.6万元.【变式备选】(2013·宿州模拟)据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,若线段AB上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=xkm.(1)试将y表示为x的函数.(2)若a=1,x=6时,y取得最小值,试求b的值.【解析】(1)由题意知点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k>0.从而点C处的污染指数y=+(0<x<18).(2)因为a=1,所以y=+,y′=k[+],令y′=0,得x=,又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意.所以,污染源B的污染强度b的值为8.20.【思路点拨】求导后转化为二次不等式问题,结合二次项系数的符号,相应二次方程根的大小,以及两根是否大于0进行分类讨论.【解析】f′(x)==(x>0).∴①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,故f(x)的递增区间是(0,2),递减区间是(2,+∞).②当0<a<时,>2,在区间(0,2)和(,+∞)上,f′(x)>0;在区间(2,)上,f′(x)<0,故f(x)的递增区间是(0,2)和(,+∞),递减区间是(2,).③当a=时,f′(x)=≥0,故f(x)的递增区间是(0,+∞),④当a>时,0<<2,在区间(0,)和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间(,2)上,f′(x)<0,故f(x)的递增区间是(0,)和(2,+∞),递减区间是(,2).【方法技巧】分类讨论思想分类讨论是基本逻辑方法之一,也是一种数学思想,在近几年的高考中,都把分类讨论列为重要的思想方法来考查,当我们面临的数学问题不能用统一形式解决或因为一种形式无法进行概括,不分类就不能再进行下去,这时,就要使用分类讨论思想了,分类时要遵循不重不漏的分类原则,对于每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤:(1)确定标准.(2)恰当分类.(3)逐类讨论.(4)归纳结论.21.【思路点拨】本题(1)易解,(2)问中直接求导,根据零点讨论单调性求解;(3)要构造函数利用函数的单调性证明.【解析】(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0.因为f′(x)=anx n-1-a(n+1)x n,所以f′(1)=-a,又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.(2)由(1)知,f(x)=x n(1-x)=x n-x n+1,f′(x)=(n+1)x n-1(-x).令f′(x)=0,解得x=,即f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点x0=.在(0,)上,f′(x)>0,f(x)是增加的;而在(,+∞)上,f′(x)<0,f(x)是减少的.故f(x)在(0,+∞)上的最大值为f()=()n(1-)=.(3)令φ(t)=lnt-1+(t>0),则φ′(t)=-=(t>0).在(0,1)上,φ′(t)<0,φ(t)是减少的;在(1,+∞)上,φ′(t)>0,φ(t)是增加的.故φ(t)在(0,+∞)上的最小值为φ(1)=0,所以φ(t)>0(t>1),即lnt>1-(t>1).令t=1+,得ln>,即ln()n+1>ln e,所以()n+1>e,即<.由(2)知,f(x)≤<,故所证不等式成立.【变式备选】已知函数f(x)=e x-1-x.(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若存在x∈[-1,ln],使a-e x+1+x<0成立,求a的取值范围.(3)当x≥0时,f(x)≥tx2恒成立,求t的取值范围.【解析】(1)f′(x)=e x-1,f(1)=e-2,f′(1)=e-1.∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-e+2=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1. (2)a<e x-1-x,即a<f(x).令f′(x)=e x-1=0,x=0.∵x>0时,f′(x)>0,x<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上是减少的,在(0,+∞)上是增加的.又x∈[-1,ln],∴f(x)的最大值在区间端点处取到.f(-1)=e-1-1+1=,f(ln)=-1-ln,f(-1)-f(ln)=-+1+ln=-+ln>0,∴f(-1)>f(ln),∴f(x)在[-1,ln]上的最大值为,故a的取值范围是a<.(3)由已知得x≥0时,e x-x-1-tx2≥0恒成立,设g(x)=e x-x-1-tx2,∴g′(x)=e x-1-2tx.由(2)知e x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故g′(x)≥x-2tx=(1-2t)x,从而当1-2t≥0,即t≤时,g′(x)≥0(x≥0),∴g(x)是增加的,又g(0)=0,于是当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥tx2,∴t≤时符合题意.由e x>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0),从而当t>时,g′(x)<e x-1+2t(e-x-1)=e-x(e x-1)(e x-2t),故当x∈(0,ln 2t)时,g′(x)<0,∴g(x)是减少的,又g(0)=0,于是当x∈(0,ln 2t)时,g(x)<0,即f(x)≤tx2,故t>,不符合题意.综上可得t的取值范围为(-∞,].关闭Word文档返回原板块。

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高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(八)(北师大版)(北师大版·数学理·通
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