【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性课件 理

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(2，＋∞) 1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是_________. 解析 函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex ＝(x－2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系， 得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增， 此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
失误与防范
1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内 否则漏解. b)”的区别. 3.讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点.
的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，
2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，
解析答案
3.若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围. 解 由引申探究1知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的范围是(－∞，－3]， 若g(x)在(－2，－1)上为增函数，
2 可知 a≥x＋ 在(－2，－1)上恒成立， x 2 又 y＝x＋x 的值域为(－3，－2 2 ]，
∴a 的范围是[－2 2，＋∞)，
解析
fx 设 g(x)＝ ex ，
f′xex－fxex f′x－fx 则 g′(x)＝ ＝ ， x x 2 e e 由题意g′(x)>0，所以g(x)单调递增，
当x1<x2时，g(x1)<g(x2)， f ( x1 ) f ( x2 ) 即 x x ， 所以 e x1 f x2 e x2 f x1 . e1 e2
所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2).
解析答案
引申探究
在本例3(3)中， 1.若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？
解析答案
2.若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值. 解 ∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)， ∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
思维升华 解析答案
跟踪训练1
1 2 (0,1] 函数 y＝2x －ln x 的单调递减区间为_______.
解析
2 x －1 x－1x＋1 1 2 1 y＝2x －ln x，y′＝x－x＝ x ＝ (x>0). x
令y′≤0，得0<x≤1，
∴递减区间为(0,1].
解析答案
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题型二 含参数的函数的单调性
解析答案
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间， 求实数a的取值范围. 解 g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立， 2 即 x∈(－2，－1)时，a<(x＋x)max＝－2 2， 2 当且仅当 x＝x即 x＝－ 2时等号成立.
§3.2 导数的应用
课时1 导数与函数的单调性
内容 索引
题型一 不含参数的函数的单调性 题型二 含参数的函数的单调性 题型三 利用函数单调性求参数 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
题型一 不含参数的函数的单调性
题型一
不含参数的函数的单调性
ln x 例1 求函数 f(x)＝ 的单调区间. x
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3.设函数 f(x)＝x－2sin x
围是_____________________.
π π 2kπ－ ，2kπ－ ，k∈Z 3 6
π t ， t ＋ 是区间 上的减函数，则实数 2
t 的取值范
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4.定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2， 则e x1 f x2 与
x1 x2 e f x e f x1 e f x1 的大小关系为________________. 2
x2
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数.
综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5).
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1 10.已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ ax＋b. 2 (1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式；
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3x 8.已知函数 f(x)＝ －2x2＋ln x(a>0).若函数 f(x)在[1,2] 上为单调函数， a 则 a 的取值范围是________.
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x a 3 9.已知函数 f(x)＝4＋x －ln x－2，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 1 处的切线垂直于直线 y＝2x. (1)求 a 的值；
1 1 x x 解 f′(x)＝e ln x＋e · － a e ＝ ( － a ＋ ln x )e ， x x 1 f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e· e＝－1，得 a＝2.
x x
解析答案
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.
解析答案
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思想与方法系列
思想与方法系列 5.分类讨论思想研究函数的单调性
∴函数 g(x)在(－2， －1)上单调时， a 的取值范围是(－∞， －3]∪[－2 2， ＋∞)，
故 g(x)在(－2，－1)上不单调，实数 a 的取值范围是(－3，－2 2).
思维升华 解析答案
跟踪训练3
已知函数 f(x)＝exln x－aex(a∈R). 1 (1)若 f(x)在点(1， f(1))处的切线与直线 y＝ x＋1 垂直， 求 a 的值； e
题型二
含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0). (1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值； 解 函数f(x)的定义域为R.
ex 由已知得 f′(x)＝ x －a. e ＋1 ∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，
∴f′(－x)＝－f′(x)，
ex 1 即 －x －a＝－ x ＋a，解得 a＝2. e ＋1 e ＋1 e
解析答案
－x
(2)求函数y＝f(x)的单调区间.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性.
解析答案
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题型三 利用函数单调性求参数
题型三
利用函数单调性求参数
1 3 a 2 设函数 f(x)＝3x －2x ＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切
解析 由题意得f′(x)＝1－2cos x≤0，
1 π π 即 cos x≥2，解得 2kπ－3≤x≤2kπ＋3 (k∈Z)， π ∵f(x)＝x－2sin x 是区间t，t＋2 上的减函数， π π π t ， t ＋ 2 k π － ， 2 k π ＋ ∴ ⊆ ， 2 3 3 π π ∴2kπ－3≤t≤2kπ－6 (k∈Z).
典例
(14分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)
的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系； (2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.
思维点拨 依据g(x)的切线条件可得g′(1)＝0得a，b关系，代g(x)后
消去b，对a进行分类讨论确定g′(x)的符号.
解 mx－1 mx－1 ∵φ(x)＝ －f(x)＝ －ln x 在[1，＋∞)上是减函数. x＋1 x＋1
2
－x ＋2m－2x－1 ∴φ′(x)＝ ≤0 在[1，＋∞)上恒成立. 2 xx＋1
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
1 1 则 2m－2≤x＋x ，x∈[1，＋∞)， ∵x＋ ∈[2，＋∞)， x
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
1－ln x ln x 因为 f(x)＝ ，所以 f′(x)＝ . 2 x x
当f′(x)>0，即0<x<e时，函数f(x)单调递增； 当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e，＋∞).
1 解 由已知得 f′(x)＝x ， 1 ∴f′(1)＝1＝2a，a＝2. 1 又∵g(1)＝0＝2a＋b，∴b＝－1，
பைடு நூலகம்
∴g(x)＝x－1.
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mx－1 (2)若 φ(x)＝ －f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的取值范围. x＋1