2021年高考数学专题03 导数及其应用 (原卷版)

专题03 导数及其应用

易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系

A ，

B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图

所示，则一定有

A ．两机关单位节能效果一样好

B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好

C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大

D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.

因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．

【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．

【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B

1．平均变化率

函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为

2121

()()

f x f x x x --，若21x x x ?=-，2()y f x ?=-1()f x ，则平

均变化率可表示为y x

??. 2．瞬时速度

一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在

t 到t t +?这段时间内，当t ?无限趋近于0时，

??无限趋近的常数.

1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？

【答案】见解析.

【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝1001

5005

-=-，

山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15101

70504

-=-，

∴h BC >h AB ，

∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．

易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”

若经过点P (2,8)作曲线3

y x =的切线，则切线方程为

A ．12160x y --=

B ．320x y -+=

C ．12160x y -+=或320x y --=

D ．12160x y --=或320x y -+=

【错解】设()3f x x =，由定义得f ′(2)=12，

∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.

【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．

【试题解析】①易知P 点在曲线3

y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.

②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为2

03k x =.

∵A 在曲线上，∴3

00y x

=，∴

0832

x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()2

00120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，

∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=.

故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D

1．导数的几何意义

函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法

若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-；（2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；

第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；

第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．

2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1

C ．ln 2018

D ．e

【答案】B 【解析】

()(2018ln ),f x x x =+

()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，

又因为0()2019f 'x =，所以02019ln 2019x +=，解得01x =，故选B.

【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()

00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.

易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则

求下列函数的导数：

（1）2

()2f x a ax x =+-；（2）sin ()ln x x

f x x

【错解】（1）22

()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+；（2）2sin (sin )sin cos ()(

)sin cos 1ln (ln )x x x x x x x

f x x x x x x x x

'+''====+'

【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x ，a 是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1）2

()(2)22f x a ax x a x ''=+-=-；（2）22

sin (sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()(

)ln (ln )ln x x x x x x x x x x x x x x

f x x x x

''?-?+-''===. 【参考答案】（1）()22f x a x '=-；（2）2

sin ln cos ln sin ()ln x x x x x x

f x x

+-'=

1．导数计算的原则

先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法

①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

3．已知(

)f x =

1()2

f '=

A ．2ln2--

B ．2ln2-+

C ．2ln2-

D ．2ln2+

【答案】D

【解析】依题意有(

)()1

21122ln 22x x x f x x

???'=，故12ln22ln221f +??=??

'=+ ?，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.

易错点4 区分复合函数的构成特征

求下列函数的导数：

（1）(

)

1y x =+；（2）2

cos y x =. 【错解】（1）(

)

21y x '=+；（2）2sin

y =-. 【错因分析】这是复合函数的导数，若()(),y f u u h x ==，则x u x y y u '='?'.如（1）中，22

,1y u u x ==+，

()()222221241x y u x x x x x '=?=+?=+，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求

导公式求导．

【试题解析】解法一：（1）∵(

)

42121y x x x =+=++，∴344y x x '=+.

（2）∵2

21cos cos 2x y x +==

，∴1

sin 2

y x '=-. 解法二：（1）()()()

22221141y x x x x '=+?+'=+．

（2）1

2cos

cos 2cos sin sin 2222()()(22

)x x x x x y x '=?'=?-?'=-. 【参考答案】（1）()241y x x '=+；（2）1

sin 2

y x '=-.

1．求复合函数的导数的关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；

③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2．求复合函数的导数的方法步骤：

①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；

③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.

4? ??

处的切线方程是__________．

【答案】20x y -=

【解析】πcos 3y x '??=+

?，所以斜率为π1cos 032?

?+= ???

，切线方程为1,20.2y x x y =-+= 易错点5 审题不细致误

设函数()2ln a

f x ax x x

-. （1）若()20f '=，求函数()f x 的单调区间；

（2）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．【错解】（1）∵()22a f x a x x '=+-，∴()2104a f a '=+-=，∴4

a =. ∴()()2224422

252555f x x x x x x

+-=-+，令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得1

x <<，

∴函数()f x 的单调递增区间为122()()-∞+∞，，，单调递减区间为1

()2

2，．

（2）∵()f x 在定义域上为增函数，∴()0f x '≥恒成立，

∵()222

22a ax x a

f x a x x x

-+'=+-=，∴220ax x a -+≥恒成立， ∴2

440a a >???=-≤?

，∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R 上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x >0，故函数()f x 的定义域为(0，+∞)．

∵()22

a f x a x x '=+

-， ∴()2104

f a '=+-=，

∴45

a =.

∴()()2224422

252555f x x x x x x

'=+-=-+，

令()0f x '>，得2x >或12x <，令()0f x '<，得1

x <<，

∴函数()f x 的单调递增区间为()102)2(+∞,,,，单调递减区间为1

()2

2，．

（2）若()f x 在定义域上是增函数，则()0f x '≥对x >0恒成立，

∵()222

22a ax x a

f x a x x x -+'=+-=，

∴需x >0时220ax x a -+≥恒成立，即221

a x ≥+对x >0恒成立． ∵

222

1x x x x

=≤++，当且仅当x =1时取等号， ∴1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.

【参考答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()1

02)2(+∞,,,，单调递减区间为1()2

2，；

（2）[1,)+∞.

用导数求函数()f x 的单调区间的“三个方法”：

1．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)可解时， ①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数()y f x '='；

③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2．当方程()0f x '=可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；

②求导数()y f x '='，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；

④确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3．当不等式()0f x '>(或()0f x '<)及方程()0f x '=均不可解时， ①确定函数()y f x =的定义域；

②求导数并化简，根据()f x '的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定()f x '的符号； ③得单调区间．

5．已知函数()3

f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .

（1）若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；

（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()

e x

f x x k <+成立，求实数k 的取值范围.

【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在

2,3a ??-∞- ???和()0,+∞上单调递增；在2,03a ??- ???上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和

2,3a ??-+∞ ???上单调递增；在20,3a ??- ???

上单调递减；（3）[)2,-+∞. 【解析】（1）由题意，得22()32f 'x x ax b =+-.

由函数()f x 在点()()

1,1f 处的切线与30y -=平行，得(1)0f '=. 即2320a b +-=.

（2）当0b =时，2

()32f 'x x ax =+，

由()0f 'x =知240a ?=≥.

① 当0a =时，0?=，()0f 'x ≥在R 恒成立， ∴函数()f x 在R 上单调递增.

②当0a >时，由()0f 'x >，解得0x >或2

x a <-；由()0f 'x <，解得2

a x -<<. 函数()f x 在2,3a ??-∞-

???和()0,+∞上单调递增；在2,03a ??

- ???

上单调递减. ③当0a <时，()0f 'x >，解得2

x a >-或0x <；由()0f 'x <，解得203

x a <<-

. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ??-+∞ ???上单调递增；在20,3a ?

?上单调递减. （3）当0,1a b ==时，3()f x x x =-，

由()()

e x

f x x k <+，得()

e x

x x x k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.

0x ，21e x x k ∴-<+，

21e x k x ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.

设()()2

1e ,0x

g x x x =-->，则()2e x

g'x x =-，

令()2e x

h x x =-，则()2e x

h'x =-，

由()0h'x =，解得ln2x =. 由()0h'x >，解得0ln2x <<；由()0h'x <，解得ln2x >.

∴导函数()g'x 在区间()0,ln2上单调递增；在区间()ln2,+∞上单调递减，

()()ln22ln220g'x g'∴≤=-<，∴()g x 在()0,+∞上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.

故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.

本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或

()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

易错点6 极值的概念理解不透彻

已知()3

f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=________.

【错解】7-或0

由题得，2

()32f x x ax b '=++，由已知得2

(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =?+++=?∴??'=++=??

解得411a b =??=-?或33a b =-??=?，

所以a b ＋等于7-或0.

【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“()101f x '=≠>=是f (x )的极值点”的情况．

【试题解析】由题得，2

()32f x x ax b '=++，由已知得2(1)10110,,(1)0230f a a b f a b =?+++=?∴?

?'=++=??解得4

a b =??=-?或3

3a b =-??=?

，所以a b ＋等于7-或0.

当4,11a b ==-时，2

()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-在x =1两侧的符号相反，符合题意. 当3,3a b =-=时，2()3(1)f x x '=-在x =1两侧的符号相同，所以3,3a b =-=不合题意，舍去. 综上可知，4,11a b ==-，所以7a b +=-. 【参考答案】7-

对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑()00f x '＝，又要考虑在0x x =两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．

1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． 2．求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．

④检查()f x '在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值，如果()f x '在这个根的左右两侧符号不变，则

()f x 在这个根处没有极值．

3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

6．若1x =是函数()3

221()(1)33

f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．?2 B ．3

C ．?2或3

D ．?3或2

【答案】B 【解析】()()()()23

222()2(131)133

f 'x f x x a x a a x a x x a a =

++-+-?+-+=-+，由题意可知(1)0f '=，()

2(1)12(1)303f 'a a a a ?+-+=-?+==或2a =-，

当3a =时，(

)

389(9)(1)()2(1)f 'x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-，

当1,9x x ><-时，()0f 'x >，函数单调递增；当91x -<<时，()0f 'x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；

当2a =-时，(

)

()232(111))(0a a f 'x x a x x x x +-=-++=-=+≥-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.

【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.

（1）()f x 在0x x =处有极值时，一定有()00f x '=，()0f x 可能为极大值，也可能为极小值，应检验()f x 在0x x =两侧的符号后才可下结论；

（2）若()00f x '=，则()f x 未必在0x x =处取得极值，只有确认102x x x <<时，()()120f x f x ?<，才可确定()f x 在0x x =处取得极值．

（3）在本题中，不要遗漏掉3a =-这种特殊情况.

易错点7 被积函数与积分上、下限确定不准致误

由抛物线()2

80y x y =>与直线60x y +-=及y =0所围成图形的面积为

A ．163

- B ．163

+ C ．

403

D ．

143

【错解】D

由()2

80y x y =>得y =，由60x y +-=得6y x =-，

由2860y x x y ?=?+-=?

得24x y =??=?或1812x y =??=-?(舍去)．

∴所求面积2

06(S x x =-?()3

222

0111468212|3

[]x x x =--=，故选D.

【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误．

【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示，

由2860y x x y ?=?+-=?得24x y =??=?或1812

x y =??

=-?(舍去)，所以抛物线()2

80y x y =>与直线60x y +-=的交点坐标为(2,4)，

方法一：(选y 为积分变量)

2404230111140

6d 624864822424(3

())|S y y y y y y =--=--=--?=

?. 方法二：(选x 为积分变量)

2202

602221d 6d ()|62

)3(|S x x x x x x =+-=+-??

2216114066662232)()]2[(3

+?-??-?=. 【参考答案】C

用定积分求较复杂的平面图形的面积时：

一要根据图形确定x 还是y 作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；

二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x 时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y 时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；三要找准原函数．

1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． 2．定积分与曲边梯形的面积的关系

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：

设阴影部分面积为S ,则 (1) ()d b

S f x x =

?；

(2) ()d b

S f x x =-?；

(3) ()()d d c

S f x x f x x =

?；

(4) ()()()()d d []d b b b

S f x x g x x f x g x x =

-=-???.

7．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为

A ．2

1π

- B ．

2π C ．

D ．221π

【答案】A

【解析】π1πS =?=矩形，又

()π

sin d cos |cos πcos02x x x =-=--=?

，

π2S ∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为

π22

1ππ

-=-. 故选A.

在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是

()d b a

f x x ?．

一、导数的概念及计算 1．导数的定义：00()()()lim

lim

x x y f x+x f x f x x x

?→?→??-'==??. 2．导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.

求曲线()y f x =的切线方程的类型及方法

（1）已知切点()00,P x y ，求()y f x =过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，通过方程()0k f x ='解得x 0，再

由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求()y f x =的切线方程：设切点()00,P x y ，利用导数求得切线斜率()0f x '，

再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，

再由()0k f x ='求出切点坐标()00,x y ，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.

②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上． 3．基本初等函数的导数公式

4．导数的运算法则

（1）()()()()u x v x u x v x ±'??'?±?'＝. （2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ????'''＝＋. （3）2()()()()()

[

](()0)()()

u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 5．复合函数的导数

复合函数()()

y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==,的导数间的关系为x u x y y u '='?'，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、导数的应用

1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a ,b )内：

①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．

（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；

（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条

件.例如，函数3

()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.

（3）函数()f x 在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )

的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数()f x 在区间内的单调性.

2．函数的极值与导数的关系一般地，对于函数()y f x =，

①若在点x = a 处有f ′(a )= 0，且在点x = a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x= a 为f (x )的极

小值点；()f a 叫做函数f (x )的极小值.

②若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x= b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．

③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 3．函数的最值与极值的关系

①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；

②在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；

③函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； ④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

求函数()y f x =在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(a ,b )内的极值；

②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

三、定积分与微积分基本定理 1．定积分的定义和相关概念

（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<

<=将区间[a ,b ]等分

成n 个小区间，在每个小区间[x i ?1,x i ]上任取一点()1,2,

,i i n ξ=，

作和式1

()()n

i i i i b a

f x f n

ξξ==-?=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作

()d b

f x x ?

，

即

()d b

f x x ?

= 1

lim ()n

i n i b a

f n

ξ→∞

=-∑

. （2）在

()d b

f x x ?

中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做

被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质（1）()()d d b

a a

kf x x k f x x =?

?(k 为常数)；

（2）[()()]d ()d ()d b

b b

a a

f x

g x x f x x g x x ±=±??

?；

（3）

()d =()d +()d b

b a

f x x f x x f x x ?

??(其中a

3．定积分的几何意义

（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分

a ? f (x )d x 的几何意义是由直线x = a ，x =

b (a ≠b )，y = 0

和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．

（2）一般情况下，定积分

a ? f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x = a ，x =

b 之间的曲边

梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方

的面积等于该区间上积分值的相反数．

定积分的物理意义

（1）变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d b

s v t t =

（2）变力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d b

W F x x =

4．微积分基本定理

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．【知识梳理】 1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是．注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性．注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3．函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的． 4．几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝； (2)(cos x )′＝； (3)(e x )′＝； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝； (6)(log e x )′＝； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析已知函数2()x f x e ax =-. （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析：本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。题目解答：（1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R，（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在0处的导数等于0；（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分）设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ．【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当1 12 x -<<-时，()0f x '<；当1 2 x >- 时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少．（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+．方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-．（ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ．当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值．（ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分）设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3．（Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

高三数学一轮复习导数的综合应用

导数的综合应用一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二、经典例题剖析考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案：学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题五导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题）考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13 易函数()2sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13 易已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（） 3.【2017课标II ，理11】考点14 易若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考考点14 中难若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中考点14 难已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）

高三数学导数压轴题

导数压轴一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数．（1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立；（2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性；（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1．（Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a；（Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 2019年：已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值．

2019：一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．

5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点．当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增答案 C 解析由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练班级姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明；（III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间；（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.