高考数学难点35导数的应用问题

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高考数学中的求导与导数应用

高考数学中的求导与导数应用数学作为高中阶段的核心科目之一，在高考中所占比重较高。

而求导与导数应用作为数学中的重要部分，更是出现频率极高。

让我们深入探讨一下高考数学中的求导与导数应用。

一、求导的概念求导，在数学中是指求函数变化率的方法，是微积分中的一个重要概念。

具体来说，就是在函数的某一点上求函数的导数，导数表示函数在该点的变化速度。

而求导的过程就是用微小的自变量变化量除以函数值的变化量，当自变量变化量无限趋近于0时得到的极限就是函数在该点的导数。

二、导数应用之极值问题高考数学中的极值问题是求解函数最大值或最小值的问题，这个问题的求解与导数相关。

对于一个连续函数，如果在某处导数为0，也就是函数达到了极值点。

在求解过程中，我们可以先求函数的导数，然后令导数为0，解得该点的横坐标，再将横坐标代入函数中求纵坐标，就可以得到该点的极值。

三、导数应用之函数图像分析函数图像分析是高考数学中非常重要的一部分，导数应用也是其中很重要的一个组成部分。

我们可以通过导数来判断函数在某个区间内的单调性、平稳性、拐点等，从而画出函数的草图。

举个例子，对于函数y=2x^3-3x^2+1，我们可以先求出其导数y'=6x^2-6x，然后分析导数图像的拐点、单调性等，就可以得出函数的草图。

如下图所示：![function_graph](function_graph.png)四、导数应用之几何问题在几何问题中，导数应用也极其重要。

例如，对于一条直线和一个圆的相交问题，可以通过求导的方法得出直线与圆的切点，然后再结合相关几何知识来解决问题。

还有在物理问题中，导数也扮演了重要角色。

例如，我们可以通过对位移函数求导，得出物体的速度函数；再对速度函数求导，得出其加速度函数，从而解决物理问题。

五、总结与思考高考数学中的求导与导数应用可以说是非常广泛的，几乎贯穿了整个高考数学。

尤其是在考察考生的分析与解决问题能力时，求导与导数应用更能够展现出优秀考生的水平。

高中数学导数难题解题技巧

高中数学导数难题解题技巧导数是高考数学必考的内容，近年来高考加大了对以导数为载体的知识问题的考查，题型在难度、深度和广度上不断地加大、加深，从而使得导数相关知识愈发显得重要。

下面是小编为大家整理的关于高中数学导数难题解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!1高中数学导数难题解题技巧1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用利用导数来求函数的最值的一般步骤是：(1)先根据求导公式对函数求出函数的导数;(2)解出令函数的导数等于0的自变量;(3)从导数性质得出函数的单调区间;(4)通过定义域从单调区间中求出函数最值。

2.导数在函数极值中的应用利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。

利用导数求函数极值的一般步骤是：(1)首先根据求导法则求出函数的导数;(2)令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点;(3)从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;(4)根据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。

3.导数在求参数的取值范围时的应用利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。

在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。

2高中数学解题中导数的妙用导数知识在函数解题中的妙用函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数解题中应用导数简直就是手到擒来。

例如：函数f(x)=x3+3x2+9x+a，分析f(x)的单调性。

这是高中数学中常见的三次函数，在对这道题目进行单调性分析时，很多学生根据思维定式会采用常规的手法画图去分析单调区间，但由于未知数a 的存在而遇到困难。

如果考虑用导数的相关知识解决这一问题，解：f’(x)=-3x2+6x+9，令f’(x)>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是说函数在(-∞，-1)，(3，+∞)这个单调区间上单调递减，这样就能非常容易的判断函数的单调性。

如何解决高考数学中的函数求导问题

如何解决高考数学中的函数求导问题高考数学中的函数求导问题是一道常见而重要的考题。

解决这类问题，需要掌握一些基本方法和技巧。

本文将针对这个问题进行探讨，并提供一些解题思路和实践建议。

一、概念理解与基本原理要解决高考数学中的函数求导问题，首先需要对函数求导的概念进行理解。

函数求导即求函数的导数，表示函数在某一点的变化率。

导数的计算方法通常有以下几种：利用导数的定义、使用基本导数公式、链式法则和常用函数的导数法则等。

在解题过程中，我们需要掌握导数的基本性质和规则。

例如，常数函数的导数为0；多项式函数的导数可以通过对各项分别求导再相加的方式得到；指数函数、对数函数和三角函数等特殊函数的导数公式需要熟练掌握。

对于复合函数，可以运用链式法则求导。

掌握这些基本原理对于解决高考数学中的函数求导问题非常重要。

二、常见类型的函数求导问题在高考数学中，函数求导的问题多种多样。

下面列举并详细讨论几种常见的类型，以便更好地理解和解决这些问题。

1. 多项式函数的求导多项式函数是函数求导中最基本的类型之一。

多项式函数的导数可以通过对各项分别求导再相加的方式得到。

例如，对于函数f(x) = 3x^2+ 2x - 1，可以分别对3x^2、2x和-1求导，再将它们相加得到f'(x)的表达式。

在求导过程中，需要注意常数项的导数为0。

2. 指数函数和对数函数的求导指数函数和对数函数在高考数学中经常出现。

对于指数函数f(x) =a^x，其中a为常数，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln为自然对数。

对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

3. 三角函数的求导三角函数在函数求导中也是常见的类型之一。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数的导数公式需要熟练掌握。

例如，正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)；余弦函数f(x)= cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)；正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。

新高考数学复习基础知识专题讲义35 求导公式及运算(解析版)

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点35 求导公式及运算知识理解一．基本初等函数的导数公式二．导数的运算法则 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 三．求导原则1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法四．复合函数求导复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一基本函数的求导【例1】（2021·全国课时练习）下列各式中正确的是（） A ．(log a x )′=1x=B ．(log a x )′=ln10xC ．(3x )′=3xD ．(3x )′=3x ln3 【答案】D 【解析】由(log a x )′=1ln x a，可知A ，B 均错；由(3x )′=3x ln3可知D 正确.故选：D 【举一反三】1．（2021·陕西宝鸡市）以下求导正确的是（） A ．(cos )sin x x '=B ．21(log )x x ='C．211()x x'=-D ．1(1ln )1x x '+=+ 【答案】C【解析】A. (cos )sin x x '=-，故错误；B. 21(log )ln 2x x '=，故错误；考向分析C. 211()x x '=-，故正确；D. 1(1ln )x x '+=，故错误；故选：C2．（2021·全国单元测试）下列结论正确的个数为（） ①若y ＝ln2，则y ′＝12；②若f (x )＝21x ，则f ′（3）＝－227；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ln2；④若y ＝log 5x ，则y ′＝1ln 5x ． A ．4B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】在①中，(ln2)′＝0，错； ②32()f x x '=-，2(3)27f '=-，正确；③2x y =，2ln 2x y '=，正确； ④5log y x =，1ln 5y x '=，正确．共有3个正确，故选：D ．3．（2021·赣州市赣县第三中学）下列求导运算不正确的是（）A ．()22x x '=B ．()1ln 33x xe e '+=+C ．()33ln 3x x '=D ．()sin cos x x '=【答案】B【解析】根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知()ln 30'=，故选项B 不正确.故选：B4．（2021·全国课时练习）已知函数2()2xf x x x xe =+-，则(0)f '=（）A ．1B ．0C ．1-D ．2 【答案】A【解析】由2()2xf x x x xe =+-，则()()22xxf x x e xe'=+-+，所以(0)211f'=-=.故选：A考向二导函数的运算法则【例2】（2021·陕西咸阳市）下列求导运算正确的是（）A ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭B ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 2cos x x x x '=D ．()33x x '=【答案】A【解析】对于选项A ：()11e ln eln e =e ln xxx x xx x x x ⎛⎫'=+⋅+ ⎪⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：cos 0sin 33ππ'⎛⎫=≠- ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：()22sin 2sin cos 2cos x x x x x x x x '=+≠，故选项C 不正确；对于选项D ：()33ln 33x x x '=≠，故选项D 不正确，故选：A【举一反三】1．（2021·横峰中学）下列求导运算正确的是（）A ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()1x xx e e '⋅=+C ．2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭D ．()2cos 2sin x x x x '=- 【答案】C【解析】A. 22111ln ln ln x x xx x -'⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故A 错；B. ()x x x x e e xe '⋅=+，故B 错；C. 2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故C 正确；D. ()22cos 2cos sin x x x x x x '=-，故D 错.故选：C.2．（2021·扬州市第一中学高三月考）下列求导运算正确的是（） A ．'211()1x xx +=+B ．'21(log )ln 2x x = C ．x '3(3)3log xe =D ．2'(x cos )2sin x x x =-【答案】B【解析】A.2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 不正确；()21log ln 2x x '=，故B 正确； C.()33ln 3x x '=，故C 不正确；D.()22cos 2cos sin x x x x x x '=+-，故D 不正确.故选：B3．（2021·陕西省子洲中学）函数cos sin y x x x =-的导数为（） A ．2cos sin x x x +B ．2cos sin x x x -C ．sin x x -D ．sin x x 【答案】C 【解析】cos sin y x x x =-，求导()()()cos sin cos sin c n os si y x x x x x x x x x '''=-=+--=-故选：C.4．（2021·西藏山南二中高三月考）下列导数计算正确的是（）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()31log ln 3x x '=C ．()x x xe e '=D ．()cos 1sin x x x '+=+【答案】B【解析】A 项：'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错；B 项：()'31log ln3x x =，故B 正确； C 项：()x x x xe e xe =+'，故C 错；D 项：()cos 1sin x x x '+=-故D 错．故选：B.考向三复合函数的求导【例3】（2021·天津河西区·高二期末）函数()212cos x y e x x -+=-+的导数为（）A ．()()21222sin (21)cos x y ex x x x x -+⎡=-+--'⎣B ．()()21222cos (21)sin x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦ C ．()()21222sin (21)cos x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦D ．()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=-+--⎣⎦【答案】B 【解析】()212cos x y e x x -+=-+，()()()212212cos +cos x x e x x e x y x -+-+''⎡⎤-+-+'⎣∴⎦= ()()()2122122cos sin 2+1x x e x x e x x x -+-+=--+--+⋅-()()()2122cos +2+1si 2n x e x x x x x -+⎡⎤=--+--+⎣⎦()()21222cos (21)sin x e x x x x x -+⎡⎤=--+--⎣⎦.故选：B.【举一反三】1．（2021·全国课时练习）函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（） A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x 【答案】B【解析】y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x 故选：B 2．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中）函数x y e -=的导函数为（）A ．x y e =-B ．x y e -=-C ．x y e =D ．x y e -= 【答案】B【解析】()()()1x x x x y e e x e e ----'''==⋅-=⨯-=-，故选：B.3．（2021·江西南昌市·高二期末（理））函数()22423y x x =-+的导数是（）A ．()2823x x -+B ．()2216x -+C ．()()282361x x x -+-D ．()()242361x x x -+-【答案】C【解析】()()22422323y x x x x ''=⨯-+⋅-+()()282316x xx =-+-+.故选：C4．（2021·陕西省子洲中学）函数2cos(1)4y x =++的导数是（）A ．22sin(1)x x +B ．2sin(1)x -+C ．22cos(1)x +D ．22sin(1)x x -+ 【答案】D 【解析】2cos(1)4y x =++，2222cos(1)4sin(1)(1)02sin(1)y x x x x x ''''⎡⎤∴=++=-+⋅++=-+⎣⎦故选：D.考向四求导数【例4-1】（2021·江西鹰潭市·）已知()sin f x x x =⋅，则导数()f π'=（） A ．0B ．1-C ．πD ．π- 【答案】D 【解析】()sin f x x x =，()sin cos f x x x x '∴=+，因此，()f ππ'=-.故选：D.【例4-2】（2019·四川成都市树德协进中学高二期中（理））已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【解析】由题意可得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫=⎪⎝⎭，则cos sin 4444f ππππ''⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44f π'⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1()cos sin 2f x x x '=-，故1cos sin 6626f πππ'⎛⎫=-=⎪⎝⎭.【举一反三】1．（2021·河南平顶山市）已知函数()sin f x x x =，()'f x 为()f x 的导数，则2f π⎛⎫'=⎪⎝⎭（） A ．-1B ．1C ．2πD ．12π+ 【答案】B【解析】由题意，()sin cos f x x x x '=+，所以sin cos 12222f ππππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭.故选：B ． 2．（2021·安徽蚌埠市）已知()sin cos 3f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭__________．【答案】-1【解析】由题得()cos sin 3f x f x x π⎛⎫''=-⎪⎝⎭，所以133322f f ππ⎛⎫⎛⎫''=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3f π⎛⎫'=⎪⎝⎭所以()cos f x x x =+，所以3f π⎛⎫⎪⎝⎭112=+=-.故答案为：1-3（2021·通化县综合高级中学）已知()31f x x x=-+的导函数为()f x '，则()1f '-=________ 【答案】－4【解析】由题意，函数()31f x x x =-+，可得()2213f x x x'=--，则()213114f '=-⨯-=-.故答案为：4-.一、单选题1．（2021·全国单元测试）已知函数f (x )＝ln x ，则(3)f '＝（） A ．13B ．－13C ．ln3D ．－ln3 【答案】A【解析】()'f x ＝(ln x )′＝1x ，故(3)f '＝13．故选：A ． 2．（2021·全国课时练习）设函数f (x )=cos x ，则2f π'⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（） A ．0B ．1C ．-1D ．以上均不正确【答案】A【解析】因为cos 022f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭为常数，所以02f π'⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：A3．（2021·南昌市新建一中）下列求导运算中错误的是（） A ．(3)3ln 3x x '=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭D ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅ 【答案】C【解析】A 选项：(3)3ln 3x x'=，A 正确；强化练习B 选项：()22ln ln ln 1ln x x x x x x x x x '''⋅-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确； C 选项：2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，C 错误；D 选项：()()22(sin cos )sin cos cos sin cos sin cos 2x x x x x x x x x ''⋅-'=⋅+⋅==，D 正确故选：C4．（2021·河南驻马店市）下列求导结果正确的是（）A ．cos sin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()133xx x -'=C ．()22log log ex x'=D ．()sin 2cos 2x x '= 【答案】C【解析】对于A 选项，cos 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，()33ln 3x x '=，B 选项错误；对于C 选项，()22log 1log ln 2e x x x'==，C 选项正确；对于D 选项，()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，D 选项错误. 故选：C.5．（2021·江苏泰州市·泰州中学）设函数()sin 3xg x e x =++，则()()00g g '+=（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C 【解析】()sin 3x g x e x =++，()cos x g x e x '∴=+，则()04g =，()02g '=，因此，()()006g g '+=.故选：C. 6．（2021·全国课时练习）已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】()()22331xxe f x x e-'=++，()()()2222333()311xxxxe ef x x x ee----'-=+-=+++，所以()f x '为偶函数，所以()()202120210f f ''--=，因为()()33333331111x x x x x e f x f x x x e e e e -+-=++-=+=++++，所以()()202020203f f +-=，所以()()()()20202020202120213f f f f ''+-+--=．故选：C ．7．（2021·全国课时练习（文））已知()2xf x x e =+，则()0f '=（）A ．0B ．4-C ．2-D ．1 【答案】D【解析】由题意，得()2xf x x e =+'，则()01f '=，故选：D ．8．（2021·安徽六安市·六安二中高二月考（文））已知()ln f x x x =，若()00f x '=，则0x =（） A ．1eB ．1C ．eD ．2e 【答案】A 【解析】()ln f x x x =，()ln 1f x x '∴=+，()00f x '=，即0ln 10x +=，01x e∴=.故选：A9．（2021·山西）若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（） A ．1-B ．1C ．3-D ．3 【答案】C【解析】21()2f x x x '=-，则13f ．故选：C10．（2021·江苏启东市）已知函数()ln xf x e x =，()f x '为x 的导函数，则()1f '的值为（）A ．1eB ．eC ．1D ．0 【答案】B【解析】()ln x f x e x =，则()1ln x f x e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，因此，()1f e '=.故选：B.11．（2021·浙江金华市）若函数2()cos f x ax b x c =++满足(2)2f '=，则(2)f '-=（）A ．1-B ．2-C ．0D ．1 【答案】B 【解析】2()cos ()2sin f x ax b x c f x ax b x '=++∴=-，则()'f x 为奇函数，所以(2)(2)0f f ''+-=所以(2)f '-=-2故选：B12．（2021·湖南常德市）下列各式正确的是（） A ．()ln x x a a a '=B ．()cos sin x x '=C ．sincos88ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()5615x x --'=-【答案】A【解析】根据导数公式有()ln x x a a a '=，A 正确，()cos sin x x '=-，B 错误，sin 08π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 错误，()565x x --'=-，D 错误.故选：A.二、多选题13．（2021·全国课时练习）下列求导运算错误．．的是（） A ．233()1x x x '=++B ．21(log )ln 2x x '= C ．(3)3x x '=D ．2()n os si c 2x x x x '=- 【答案】ACD【解析】A.23331x x x x x ''⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，故错误；B.()21log ln 2x x '=，正确；C.()l 3n 33x x ⋅'=，故错误；D.()22cos 2cos sin x x x x x x '=-，故错误.故选：ACD.14．（2021·全国课时练习）（多选题）下列求导运算错误．．的是（） A ．()cos sin x x '=B ．()333log x x e '=C ．()1lg ln10x x '=D ．()212x x --'=-【答案】ABD【解析】因为()cos sin x x '=-，所以A 不正确；因为()31ln 3333log xxx e⋅=⋅'=，所以B 不正确；因为()1lg ln10x x '=⋅，所以C 正确；因为()221322x x x ----'=-=-，所以D 不正确．故选：ABD15．（2021·河北邯郸市）下列导数运算正确的有（）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【解析】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=-⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确；对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确；对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.16．（2021·江苏高二期中）设()f x '是函数()y f x =的导函数，则以下求导运算中，正确的有（）A ．若()sin 2f x x =，则()cos2f x x '=B ．若()ln 2xf x xe =-，则()()1x f x x e '=+C ．若()21f x x '=-，则()2f x x x =-D ．若()tan f x x =，则()21cos f x x'=【答案】BD【解析】因为()sin 2f x x =，所以()()()''sin 222cos 2f x x x x '==，A 错；因为()ln 2x f x xe =-，所以()()()''01x x x f x x e x e x e '=+-=+，B 正确；若()21f x x '=-，则()2f x x x c =-+（c 为任意常数），C 错；因为()sin tan cos xf x x x==，所以()()()''22222sin cos sin cos cos sin 1cos cos cos x x x x x x f x xx x-+'===，D 正确，故选：BD. 三、填空题17．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）设函数()f x 的导函数是()'f x ，若2()sin 2f x f x x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】0【解析】∵π()2cos 2f x f x x ⎛⎫'='- ⎪⎝⎭∴πππ2222f f ⎛⎫⎛⎫'=' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π(1)02f π⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，∴π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．故答案为：018．（2021·安徽高三月考（文））已知()()32'0f x x xf =+，则()'1f =_______.【答案】3【解析】由题得()()2'32'0f x x f =+，令0x =可得：()'00f =，则()3f x x =，∴()2'3f x x =，所以()'13f =.故答案为：319．（2021·利辛县阚疃金石中学高三月考）已知2()x f x e x =+，则(1)(1)f f '+=________．【答案】23e +【解析】因为2()xf x e x =+，所以()2xf x e x '=+所以(1)1,(1)2f e f e '=+=+所以(1)(1)23f f e '+=+.故答案为：23e +. 20．（2021·吉林长春市）已知函数21()2(2021)2021ln 2f x x xf x '=-++，则()2021f '=___________. 【答案】2021【解析】∵21()2(2021)2021ln 2f x x xf x '=-++， ∴2021()2(2021)f x x f x''=-++，∴(2021)20212(2021)1f f ''=-++，∴(2021)2020f '=. 故答案为：2021．21．（2021·海口市第四中学高三期中）已知函数2()2(1)3f x x f x '=+-，则()1f '=________.【答案】2-【解析】由解析式知：()22(1)f x x f ''=+，即()()1221f f ''=+，解得()12f '=-. 故答案为：-2.22．（2021·全国高二单元测试）设f (x )＝ae x ＋bx ，且(1)f ＝1e，(1)f '＝e ，则a ＋b ＝________．【答案】1【解析】()'f x ＝ae x ＋b ，∴()11af b e e=-=+'，(1)e f '=＝ae ＋b ．∴a ＝1，b ＝0．∴a ＋b ＝1．故答案为：1．23．（2021·南昌市新建一中）已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足关系式2()3(2)f x x xf '=+,则(2)f '的值等于_______. 【答案】2-【解析】：由2()3(2)f x x xf '=+，得'()23(2)f x x f '=+，令2x =，则'(2)43(2)f f '=+，解得'(2)2f =-，故答案为：2-24．（2021·河南）已知函数()3f x ax =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【解析】由题意()23f x ax '=+，所以()1314f a '=+= 解得1a =故答案为：1 四、解答题25．（2021·陕西省黄陵县中学）求下列函数的导数． ①n 1l y x x=+； ②()()22131y x x =-+；③sin cos 22x y x x =-； ④cos xx y e =；【答案】①211y x x'=-；②21843y x x '=+-③11cos 2y x '=-；④y '=－sin cos x xex +. 【解析】①()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--，所以()326231y x x x ''=+--()()()()32262311843x x x x x ''''=+--=+-．③因为1sincos sin 222y x x x x x =-=-，所以111sin sin 1cos 222y x x x x x ''⎛⎫⎛⎫''=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ④()()()2cos cos cos sin cos x x x x x x e x e x x x y e e e '''-+⎛⎫'===- ⎪⎝⎭ ＝－sin cos x xex+.26．（2021·全国）求下列函数的导数．（1）()2321x y x =+；（2）sin 2x y e x -=；（3）ln 1y =-；（4）()21cos 23x y x +=-+．【答案】（1）()242221x x y x -'=+；（2）()2cos2sin 2xy ex x -'=-；（3）121y x '=+；（4）212sin 223ln 3x y x +'=-+⋅．【解析】（1）()2321x y x =+，()()()()3222642213212222121x x x x x x y x x ⋅+-⋅+⋅-∴'==++；（2）sin 2x y e x -=，()sin 22cos22cos2sin 2x x xy e x e x e x x ---∴'=-+=-；（3）()1ln 21ln 2112y x ==+-，()1112122121y x x x '∴=⨯+=+'⨯+；（4）()2121cos2cos 233x x x x y ++=+=-+，()21212sin 2213ln 32sin 223ln 3x x y x x x ++'∴=-++-+⋅'=.27．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y ＝103x －2；（2）y ＝ln(e x ＋x 2)；（3）y ＝.【答案】（1）y ′x ＝3×103x －2ln10；（2）y ′x ＝22++x x e x e x ；（3）y ′＝.22(121++x x【解析】（1）令u ＝3x －2，则y ＝10u .所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ln 10·(3x －2)′＝3×103x －2ln 10. （2）令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝22++x x e xe x.（3）y ′＝()′22'===x28．（2021·全国课时练习）求下列函数的导数．（1）22y x x-=+；（2）32x x xy e e=-+；（3）2ln1xyx=+；（4）2sin cos22x xy x=-．【答案】（1）322y x x-=-'；（2）(ln31)(3)2ln2x xy e=+-'⋅；（3）()222212ln1x x xyx x+-⋅=+'；（4）12cos2y x x'=-．【解析】（1）322y x x-=-'；（2）()()()()332x x x x xy e e e''=-'+''+()ln332ln32x x xx xe e=+-(ln31)(3)2ln2x xe=+⋅-；（3）()()()()()()()2222222222211ln2ln1ln112ln111x x xx x x x x x xxyx x x x''+-⋅+-++-⋅'===+++；(4)221sin cos sin222x xy x x x=-=-，12cos2y x x∴=-'．。

[高考数学]导数的应用

[高考数学]导数的应用
导数的应用主要可以分为物理、化学、经济、生物、管理等方面，这在我们日常学习和生活中起着十分重要的作用。

在物理方面，导数主要用于求解轨迹问题、运动学问题及某些其他物理问题。

比如重力加速度可以使用导数求解，当时间变化时，它可以表征速度和加速度之间的变化规律；另外，函数曲线在解决机械物理问题、电力学问题也是极为重要的。

在化学中，导数用于密度测定和反应速率的测定中，比如反应的速率和反应的势能可以用导数来表示，从而了解反应的规律等。

在经济学领域，导数可以用来计算收益率，比如我们可以利用导数来计算两个收益率之间的变化规律，从而了解收益率的发展趋势，使做出更好的决策；此外，还可以用导数来分析实时的变动价格，并根据这些变动情况来研究行业发展趋势，以及做出合理的投资决策。

在生物学领域，导数可以用来研究群落的构成及结构的变化，以及生物群落的动态演变规律；此外，导数也可以用来研究生物调节系统，及研究正常生活过程中生理过程和机体发展过程中活跃物质的变化，以及配比调节环境所产生的影响等。

在管理方面，我们可以使用导数研究不同管理措施对企业经营所产生的影响，比如改变经营模式、更改产品策略等，从企业经营状况中可以计算出对相关经营指标及收益的变化；此外，还可以用于预测财务及市场的变化，计算不同策略的收益或亏损率，从而有效实施市场经济策略。

总之，导数在物理、化学、经济、生物、管理等方面的应用非常广泛，它是解决具体问题和研究问题较好方法。

在高考数学中，对导数有一定的要求，对导数的应用要求学生不仅掌握基本概念，而且要能用做问题分析，从而解决具体问题，及为研究物理、化学、经济、生物和管理等方面提供重要的理论依据。

高中数学复习课(三)导数及其应用(含解析)1数学教案

复习课(三) 导数及其应用导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小．[考点精要](1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解． [典例] (2017·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．[解析] 由题意可知f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1，因为f (1)＝a ，所以切点坐标为(1，a )，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，即y ＝(a －1)x ＋1.令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1.[答案] 1[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．[题组训练]1．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.2．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393 解析：选D y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393，故选D. 导数与函数的单调性形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题．[考点精要]函数的单调性与导函数值的关系若函数f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )在(a ，b )任意子区间内部不恒等于0.f ′(x )＞0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递增；f ′(x )＜0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递减．反之，函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇒f ′(x )≥0；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇒f ′(x )≤0.即f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是f (x )为增(减)函数的充分不必要条件．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．[典例] (2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.讨论f(x)的单调性．[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a＜0，则当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a时，f′(x)＞0；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫－12a，＋∞时，f′(x)＜0，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－12a，＋∞上单调递减．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[注意] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．[题组训练]1．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，且x ＞0，由f ′(x )＞0，即4x 2－1＞0，解得x ＞12.故选C.2．已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x . (1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x ，则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝32－e ， f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫32－e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋12. (2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ， ∴f ′(x )＝－x ＋2－a e x ，于是有不等式－x ＋2－a e x ≥0在R 上恒成立，即a ≤2－x e x 在R 上恒成立，令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3ex ，令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下：x(－∞，3) 3 (3，＋∞) g ′(x )－ 0 ＋ g (x )－1e 3 故函数g (x )在x ＝3处取得极小值，亦即最小值，即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1e3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 3. 导数与函数的极值、最值的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．[考点精要]1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f ′(x )>0在(a ，b )上成立，是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．2．利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f ′(x 0)＝0时，x 0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e xcos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. [类题通法]1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值．[题组训练]1．函数f (x )＝1＋3x －x 3( )A ．有极小值，无极大值B ．无极小值，有极大值C ．无极小值，无极大值D ．有极小值，有极大值解析：选D f ′(x )＝－3x 2＋3，由f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＞0，∴f (x )的单调增区间为(－1,1)；同理，f (x )的单调减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x ＝－1时，函数有极小值－1，当x ＝1时，函数有极大值3，故选D.2．已知函数f (x )＝1＋ln x x(x ≥1)， (1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由；(2)若f (x )≥k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln x x2，∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0. 故函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵x ≥1，∴f (x )≥kx ＋1⇔x ＋11＋ln x x ≥k ，令g (x )＝x ＋11＋ln x x ， ∴g ′(x )＝[x ＋11＋ln x ]′x －x ＋11＋ln x x 2＝x －ln x x 2. 再令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x.∵x≥1，则h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.故实数k的取值范围为(－∞，2].生活中的优化问题既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．[考点精要]解答思路[典例] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y ＝f (x )，根据实际问题确定y ＝f (x )的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的所有实数根．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．[题组训练]1．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40， y ′＝－4 500x 2＋20＝20x ＋15x －15x 2，∴当0＜x ＜15时，y ′＜0，当15＜x ＜150时，y ′＞0. 故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：10 15 0002．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x (x ＞0)千米/时的燃料费用为Q 元，则Q＝kx 3，由6＝k ×103，可得k ＝3500.∴Q ＝3500x 3. ∴总费用y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x . ∵y ′＝6x 500－96x 2. 令y ′＝0，得x ＝20.∴当x ∈(0,20)时，y ′＜0，此时函数单调递减，当x ∈(20，＋∞)时，y ′＞0，此时函数单调递增．∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．1．下面求导运算正确的是( )A ．(2x )′＝2xlog 2eB ．(x 3sin x )′＝3x 2cos xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫x cos x ′＝－1sin x D ．(x ＋log 3x )′＝1＋1x ln 3解析：选D (2x )′＝2x ln 2，(x 3sin x )′＝3x 2sin x ＋x 3·cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x cos x ′＝cos x ＋x sin x cos 2x ，(x ＋log 3x )′＝1＋1x ln 3，所以选D.2．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c ＜14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14解析：选A 由题意得f ′(x )＝x 2－x ＋c ，若函数f (x )有极值，则Δ＝1－4c ＞0，解得c ＜14. 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．已知f (x )＝3x 2＋ln x ，则li m Δx →0 f 1＋2Δx －f 1－Δx Δx＝( ) A ．7B.73 C ．21 D ．－21解析：选C ∵f ′(x )＝6x ＋1x， ∴li m Δx →0 f 1＋2Δx －f 1－Δx Δx＝3li m 3Δx →0 f 1＋2Δx －f 1－Δx 3Δx＝3f ′(1)＝21. 5．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )A ．eB ．1C ．－1D ．－e解析：选C 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝1x －1＝1－x x，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增；当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1，故选C.6．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6]解析：选C f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．7．曲线y ＝cos x x 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0处的切线方程为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′⎪⎪⎪ x ＝π2＝－2π. ∴所求切线的方程为y －0＝－2π⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，即y ＝－2πx ＋1. 答案：y ＝－2πx ＋1 8．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.因为f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9，所以函数f (x )在区间[－3,3]上的最小值是－16.答案：－169．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1＜2＜x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1＜2＜x 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2＜0，解得2＜a ＜6.答案：(2,6)10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2＋4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极小值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x ＋4.∵曲线在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.∴f (0)＝－3，f ′(0)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＋b ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝e x(x －3)－x 2＋4x ， f ′(x )＝e x (x －2)－2x ＋4＝(x －2)(e x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2或x ＝2.∴当x ∈(－∞，ln 2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(ln 2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，ln 2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减．∴当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝4－e 2.11．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x.若每吨商品售价为ln x x万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x ，x ∈80，100]. (2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－x －50x ＋20x ，∴L (x )在[20,50)上单调递增，在[50,80)上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100－2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2＞1 750－1 000＞0，∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元．12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的导函数为h (x )，f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为3x －y ＋4＝0，且h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，又直线y ＝x 是函数g (x )＝kx e x 的图象的一条切线．(1)求函数f (x )的解析式及k 的值；(2)若f (x )≤g (x )－m ＋1对于任意x ∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，可知h (x )＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (x )在(－2，f (－2))处的切线方程为3x －y ＋4＝0可知，f (－2)＝－8a ＋4b －2c ＝－2，①f ′(－2)＝12a －4b ＋c ＝3，②又由h ′(x )＝6ax ＋2b 可知，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4a ＋2b ＝0，③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝1，c ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝12x 3＋x 2＋x . 由题意，g (x )＝kx e x与y ＝x 相切可知函数在原点或(－ln k ，－ln k )处切线斜率为1.因为g ′(x )＝k (e x ＋x e x )，所以g ′(0)＝k ＝1或g ′(－ln k )＝1，得k ＝1.综上可得k 的值为1.(2)若f (x )≤g (x )－m ＋1对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，即12x 3＋x 2＋x ≤x e x －m ＋1恒成立，则m －1≤x e x －12x 3－x 2－x 恒成立．设q (x )＝x e x－12x 3－x 2－x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1，令p (x )＝e x－12x 2－x －1， p ′(x )＝e x －x －1，再令φ(x )＝e x －x －1，φ′(x )＝e x－1＝0，解得x ＝0. 所以当x ∈[0，＋∞)时，φ′(x )≥0，所以φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，所以φ(x )≥φ(0)＝0，即p ′(x )≥0，所以p (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以p (x )≥p (0)＝0，所以当x ∈[0，＋∞)时，q (x )≥0恒成立，且q (0)＝0，因此，m －1≤0即可，则m ≤1.故m 的取值范围为(－∞，1]．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．函数y ＝－1x的图象在点(1，－1)处的切线的方程是( ) A ．x －y －2＝0B ．2x －2y ＋3＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y ＝0解析：选A ∵y ′＝1x2，∴y ′| x ＝1＝1，∴y ＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，∴切线的方程为y －(－1)＝x －1，即x －y －2＝0，故选A.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1a＝－8，∴a ＝－18.4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5．已知甲：a ，b ，c 成等差数列；乙：a b ＋cb＝2.则甲是乙的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a b ＋cb＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋cb＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.6．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝cm＝m ＋nm＝2，②联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.7．下列命题的否定是真命题的是( )A ．存在向量m ，使得在△ABC 中，m ∥AB ―→且m ∥AC ―→B ．对所有正实数x ，都有x ＋1x≥2C ．对所有第四象限的角α，都有sin α<0D ．有的幂函数的图象不经过点(1,1)解析：选D A 中，当m ＝0时，满足m ∥AB ―→且m ∥AC ―→，所以A 是真命题，其否定是假命题； B 中，由于x >0，所以x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，所以B 是真命题，其否定是假命题；C 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C 是真命题，其否定是假命题；D 中，对于幂函数f (x )＝x α，均有f (1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以D 是假命题，其否定是真命题．故选D. 8.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3，b ＝n＝3，故m ＋n ＝15.10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.23解析：选A由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得ca＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝14.故选A.11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4. 故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f xex′ex2＝f ′x －f xex，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：314．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]15．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线x 2＝4y的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ，抛物线的准线方程是y ＝－1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ，－1，(0,0)，该三角形的面积等于2×12×a b ×1＝ab＝2，因此该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. 答案：5216．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 000三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3.∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋p2＝5，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)把M (m,4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4，所以M 点的坐标为(±4,4)，∵抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，∴a ＝1，∴双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b ＞0)，代入M (±4,4)得b 2＝1615，b ＝415，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1415x ，即为y ＝±154x .19．(本小题满分12分)已知a ＜2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )·e x .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的极大值是6e －2，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x，则f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x. 由f ′(x )≥0得x 2＋3x ＋2≥0，即x ≥－1或x ≤－2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)． (2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a ]e x.由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝－a ，因为a ＜2，所以－a ＞－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：即(4－2a ＋a )e －2＝6e －2，所以a ＝－2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA ―→·OB―→＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋24－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.21．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为a 2＞1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2，则a 2＝58，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )，则F 2P ―→＝(x －c ，y )，QF 2―→＝(c ，－m )，F 1P ―→＝(x ＋c ，y )，F 1Q ―→＝(c ，m )．由F 2P ―→∥QF 2―→，F 1P ―→⊥F 1Q ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧m c －x ＝yc ，c x ＋c ＋my ＝0，所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1，所以x 2－y 2＝2a 2－1, 即y 2＝x 2－2a 2＋1. 将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2＋11－a2＝1，解得x 2＝a 4.因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点． (2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x＋4x －3，∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x－12x 2－1x.令g (x )＝e x－12x 2－1x，则g ′(x )＝e xx －1－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x－1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94， ∴a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e －94.。

关于导数应用题型解题方法

关于导数应用题型解题方法
高考数学题型归纳：导数应用题型解题方法导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合
1.导数概念的理解。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的'求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,高中物理，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线【答案】AC 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题．【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33，f′(x)>0⇒x <−√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33<x <√33，所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33 为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A正确 ;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错．【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为，．【答案】y =x e y =−xe 【分析】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题．【解答】解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1x 1(x −x 1).若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ，此的切线方程为 y =xe ．当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1x 2(x −x 2) ．若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ，此时切线方程为 y =−xe ．【命题意图】考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。

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难点 35 导数的应用问题
利用导数求函数的极大 (小 )值，求函数在连续区间［ a,b］上的最大最小值，或利用求导
法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点 .本节内容主要是指导考生对这种方法的应用 .
●难点磁场 ( ★★★★★ )已知 f (x)=x2+c,且 f［ f( x)］ =f (x2+1) (1) 设 g(x)=f［ f(x)］ ,求 g(x)的解析式； (2) 设 φ(x)=g(x)－ λ f(x),试问：是否存在实数 λ ,使 φ(x)在 (－∞ ,－ 1)内为减函数，且在 (－ 1， 0)内是增函数 . ●案例探究［例 1］已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠ 0)在 x =± 1 时取得极值，且 f(1)= － 1. (1) 试求常数 a、 b、 c 的值；
∵ x=± 1 是函数 f(x)的极值点， ∴ x=± 1 是方程 f′ (x)=0, 即 3ax2+2bx+c=0 的两根 .
2b 0
①
由根与系数的关系，得
3a
c 1
②
3a
又 f(1)= － 1,∴ a+b+c=－1,
③
由①②③解得
a= 1 ,b
0, c
3 ,
2
2
(2) f(x)=
1 x3－
3 x,
进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化
.这是解答本题的闪光点 .
错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用
f′ (± 1)=0 的隐含条件，因而造成了解决
问题的最大思维障碍 .
技巧与方法：考查函数 f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过
极值点与导数的关系，建立由极值点 x=± 1 所确定的相等关系式，运用待定系数法求值 . 解： (1)f′ (x)=3 ax2+2 bx+c
(2) 试判断 x=± 1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由 . 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 .是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与
其导数关系的理解 .属★★★★★级题目 .
知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择 .本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构
x 2 402
又设总的水管费用为 y 元，依题意有：
y=30(5 a－ x)+5a
2
x
2
40
(0＜ x＜ 50)
5ax
y′ =－ 3a+
,令 y′ =0,解得 x=30
x2 402
在 (0,50) 上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x=30(km) 处取得最小值，此时 AC=50－ x=20(km)
取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的
y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；
若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为的极值点一定导数为 0.
0 的点处取得，但可得函数
3.可导函数的最值可通过 (a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如 y=|x|,在 x=0 处不可导，但它是最小值点 .
5 3cos =150 a+40 a·
sin ∴ f ′(θ)=40 a· (5 3cos ) sin ( 5 3cos ) (sin )
sin2
3 5cos 40a sin2
令 f′( θ)=0, 得 cosθ = 3 5
根据问题的实际意义，当
cosθ= 3 时，函数取得最小值，此时 5
sinθ = 4 ,∴ cotθ = 3 ,
.
技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，
合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系
.
解法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设
C
点距 D 点 x km,则
∵ BD =40,AC=50－x,
∴ BC= BD 2 CD 2
际问题的意识，思想方法以及能力 .
知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数
.把“问题情景”译为数
学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再
划归为常规问题，选择合适的数学方法求解 .
错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式
22
∴ f ′(x)= 3 x2－ 3 = 3 ( x－1)( x+1) 2 22
当 x＜－ 1 或 x＞ 1 时， f′ (x)＞ 0
当－ 1＜ x＜1 时， f′ (x)＜ 0
∴函数 f(x) 在(－∞ ,－ 1)和 (1,+∞ )上是增函数，在 (－ 1， 1)上是减函数 .
∴当 x=－ 1 时，函数取得极大值 f(－1)=1, 当 x=1 时，函数取得极小值 f(1)= － 1. ［例 2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边
5
4
∴ AC=50 － 40cotθ =20(km), 即供水站建在 A、 D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最
省.
●锦囊妙计
1.f (x)在某个区间内可导，若 f′ (x)＞ 0,则 f(x)是增函数；若 f′ (x)＜0,则 f(x) 是减函数 .
2.求函数的极值点应先求导，然后令 y′ =0 得出全部导数为 0 的点， (导数为 0 的点不一定都是极值点，例如： y=x3,当 x=0 时，导数是 0，但非极值点 )，导数为 0 的点是否是极值点，
∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省 .
解法二：设∠ BCD=Q,则 BC= 40 ,CD =40cot θ ,(0＜ θ ＜ ),∴ AC=50 －40cotθ
sin
2
设总的水管费用为 f(θ ),依题意，有
f (θ )=3 a(50－ 40· cotθ )+5a·0 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建
一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米
3a 元和 5a 元，问供水站 C
建在岸边何处才能使水管费用最省？
命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实