2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合直线方程与两直线的位置关系

【分析】结合所给条件选择适当的直线方程形式求解.
【解析】(1)所求直线的斜率为 ,故其方程为y-3= (x+1),即x-2y+7= 2 2 0.
(2)设直线在x轴上的截距为2a,则其在y轴上的截距为a. 当a=0时,直线的斜率k=- ,此时,直线方程为y=- x,即2x+5y=0.
2 2 5 5
根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4 a b ,从而 b ≤0(舍去)或 a b≥4,故ab a ≥16,即ab的最小值为16.
【答案】16
题型1直线的倾斜角和斜率
例1
直线2xcos α-y-3=0(α∈[ , ])的倾斜角的范围是 (
6 3

)
(A)[ , ].
6 3


(B)[ , ].
4


3
(C)[ , ].
4 2


(D)[ ]. ,
4

2 3
【分析】先求斜率的范围,再求倾斜角的范围.
【解析】 直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,由于α∈[ , ],因
6 3


此k=2cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1, ],由于 3
x x0 y y0 A B C 0, 2 2 y y0 B . A x x0
3.直线关于点对称和直线关于直线对称,可以转化为点关于点对称 和点关于直线对称来求解.
1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( (A)1. (B)4.
24 7
24 7
【答案】B
题型2直线的方程
( ) 例2 (1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为
(A)x-2y+7=0. (C)x-2y-5=0.
(B)2x+y-1=0. (D)2x+y-5=0.
(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线
方程是 .
【解析】(1)由已知可得l2的斜率必存在,∴k2=1-a. 若k2=0,则1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0. 又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0,即b=3a-4=-1≠0(不合题意), ∴k2≠0,则k1、k2都存在,∵k2=1-a,k1= 1⊥l2, ,l
m2
)
(C)1或3.
(D)1或4.
4 【解析】由于k= m =1,∴4-m=m+2,∴m=1.
【答案】A
2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)可能是
(
) (B)(3,-1). (D)(-1,3).
y 2 x, x y 3,
(A)(1,-3). (C)(-3,1).
x2 2 2
,即x+2y-4=0.
22 2
(2)设BC中点D的坐标为(x,y),则x=
=0,y= =2.
2
1 3
BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方 程为 + =1,即2x-3y+6=0.
x
y
3
2
(3)BC的斜率k1=- ,则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2,又由(2)知BC
形式(点斜式、两点式、截距式及一般式),了解斜截式
与一次函数的关系. 4 5 两条直线的交点 距离公式 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求 两条平行直线间的距离.
从近几年高考试题来看,直线方程的考查主要与平行、垂直的
条件以及直线与圆的位置关系相结合进行,两条直线的平行与垂直,
4 b
④
联立③④解得
a 2, b 2
或
2 a , 3 b 2.
【点评】研究直线的平行与垂直问题,通常需要讨论直线的斜率是 否存在.
变式训练3 值,使:
已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m、n的
(1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
3.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 倾斜角不是90°的直线,它 的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,常用k表示. 4.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k= ≠x1).
y 2 y1 x 2 x1
(x2
二、直线方程的几种形式
已知条件 点斜式 斜截式 两点式 P1(x1,y1),k k,b P1(x1,y1), 直线方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 适用范围 k存在 k存在
【解析】(1)∵m2-8+n=0,且2m-m-1=0,∴m=1,n=7.
(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由 = ≠ 得
m 2
8
n
m
1
m m 8 2 0,
8 1 n m 0,
∴
m 4,
n 2
或
m 4,
点到直线的距离、两点间的距离等是高考的热点,题型主要是选择 题、填空题,难度为中、低档,突出“小而巧”的特点,主要考查对概
念的理解及运算能力,可以预测2013年高考仍将以两条直线的平行
与垂直,点到直线的距离,两点间的距离为主要考点,重点考查运算能 力与分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合等思想
方法的灵活运用.
一、直线的倾斜角和斜率 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的 点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方 程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的 直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x轴平行或重 合时,我们规定直线的倾斜角为0°.
≠ = .
A1 B1 A2 B2
C1 C2
(2)两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是k1和k2,则这两
条直线垂直的充要条件是k1k2=-1.
若直线l1和l2的一般式方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 ⇔A1A2+B1B2=0. 3.两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
| C1 C 2 |
C2=0,则l1与l2的距离为d=
A B
2
.
2
五、对称问题 1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0);曲线C:f(x,y)=0关 于点A(a,b)的对称曲线方程为f(2a-x,2b-y)=0. 2.若求点P0(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P(x,y),可应用方程 组
变式训练2
△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).求:
(1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边上的垂直平分线DE的方程.
【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的 方程为 =
3 1 y 1
n 2.
即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
(3)当且仅当m· m=0,即m=0时,l1⊥l2. 2+8·
又 =-1,∴n=8.
8 n
即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
题型4两直线的交点与距离问题
例4 (1)求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直
x x1
P2(x2,y2) 截距式 a,b
x a
y y1
y 2 y1
=
x 2 x1
Hale Waihona Puke x1≠x2,y1≠y2+ =1
y b
a≠0且b≠0
一般式
A、B、C ∈R
Ax+By+C=0
A2+B2≠0
三、两直线平行与垂直
1.特殊情况下的两直线平行与垂直.
当两条直线中有一条没有斜率时:(1)当另一条的斜率也不存在时,两
1 2
中点D(0,2),由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2.
题型3两直线的平行与垂直
例3 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列
条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
【分析】两直线的位置关系如何用直线方程的系数来反映,是解题 的切入点.
A x B y C
1 1 1
0,
A2 x B 2 y C 2 0
是否有唯一解.
四、距离公式
1.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:d=
| A x0 B y0 C | A B
2 2
.
2.已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+
直线互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,两直线互相垂直. 2.斜率存在时两直线的平行与垂直: (1)两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等; 反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2. 若直线l1、l2的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2 C2≠0),则l1∥l2⇔