高中数学排列组合课件
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高中数学排列组合几种基本方法PPT课件
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
2019/12/25
新疆奎屯市第一高级中学
8
特级教师王新敞
2019/12/25
9
5.隔板法（剪截法）：
变式1： 某校准备参加今年高中数学联赛，把16个 选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班，每班的名 额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有___种.
5
4.分组（堆）分配问题
分组（堆）分配问题的六个模型： 不分配： ①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分； (分配：④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 n个堆，要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以n!
②非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积.
2
特级教师王新敞
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般” 元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀
↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同 的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
变式2：x y z w 100
（1）求这个方程组的正整数解的组数？
3 C
99
（2）求这个方程组的自然数解的组数？
(x 1) ( y 1) (z 1) (w 1) 104
3 C
103
2019/12/25
或
3 12 21 3 C C C C C C
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
2019/12/25
新疆奎屯市第一高级中学
8
特级教师王新敞
2019/12/25
9
5.隔板法（剪截法）：
变式1： 某校准备参加今年高中数学联赛，把16个 选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班，每班的名 额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有___种.
5
4.分组（堆）分配问题
分组（堆）分配问题的六个模型： 不分配： ①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分； (分配：④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 n个堆，要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以n!
②非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积.
2
特级教师王新敞
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般” 元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀
↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同 的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
变式2：x y z w 100
（1）求这个方程组的正整数解的组数？
3 C
99
（2）求这个方程组的自然数解的组数？
(x 1) ( y 1) (z 1) (w 1) 104
3 C
103
2019/12/25
或
3 12 21 3 C C C C C C
高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
届高三数学一轮复习课件“排列组合”教学课件 (共13张PPT)
（19）这7名学生分别参加5个不同的学习 兴趣小组，每人只参加一个小组；
(C31A66(2)A22A55(3)72!!(4)A66(5)A66A22(6)A77 2A66 A55(7)A22A33A44(8)A55A33 (9)A44A33(10)A44C53A33(11)73!! (12)A22A44C52A22(13)74!!(14)A22A33A22A33A22 (1 5 )C 6 3(1 6 )C 7 2 C 2 5 ! 2 C 3 3(1 7 )C 7 2 C 5 2 C 3 3(1 8 )C 7 3 C 4 1 C 4 3 ! 1 C 2 1 C 1 1A 5 5 C 7 2 C 2 5 2 ! C 3 1 3 C !2 1 C 1 1A 5 5 (1 9 )5 7
“排列组合”重要知识点
李鸿鹄 栖霞市第一中学
1、排列：
一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
例题2、按下列要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分成三份，每份2本； （2）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）甲乙丙三人，一人得一本，一人得二本， 一人得3本； （4）分成3份，一份一本，一份2本，一份3本； （5）分成3份，一份4本，一份1本，一份1本； （6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外 两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
(C31A66(2)A22A55(3)72!!(4)A66(5)A66A22(6)A77 2A66 A55(7)A22A33A44(8)A55A33 (9)A44A33(10)A44C53A33(11)73!! (12)A22A44C52A22(13)74!!(14)A22A33A22A33A22 (1 5 )C 6 3(1 6 )C 7 2 C 2 5 ! 2 C 3 3(1 7 )C 7 2 C 5 2 C 3 3(1 8 )C 7 3 C 4 1 C 4 3 ! 1 C 2 1 C 1 1A 5 5 C 7 2 C 2 5 2 ! C 3 1 3 C !2 1 C 1 1A 5 5 (1 9 )5 7
“排列组合”重要知识点
李鸿鹄 栖霞市第一中学
1、排列：
一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号 Anm表示。
例题2、按下列要求分配6本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分成三份，每份2本； （2）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）甲乙丙三人，一人得一本，一人得二本， 一人得3本； （4）分成3份，一份一本，一份2本，一份3本； （5）分成3份，一份4本，一份1本，一份1本； （6）甲乙丙三人中，一人得4本，另外 两人每人得1本； （7）甲得1本，乙得1本，丙得4本。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
高中数学排列组合课件
分析1：第一步，从1,3,5,7,9中选出3个数字来；第二步，从 2,4,6,8中选出两个数字来；第三步，将选出的5个数字按一定顺序 排列，最终得到一个五位数，这是一个排列组合混合的问题
解：
C35C
2 4
P55
10 6 120
7200（个）
分析2：只需令个位是5即可
解：
C
24C
2 4
P44
6 6 24
解：P22P66 2 6 5 4 3 2 1 1440（种）
分析：先安排其余的5名同学进行排队，再将甲乙两人分别插入到其余5 人形成的空隙中.这种方法叫做“插空法”.○△○△○△○△○△○
解2：C1300 - C398 161700 -152096 9604（种）
讨论与练习
1、以下属于排列的是______，属于组合的是_______。 ①有10个车站，共准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的线段？ ④平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ⑤从1,2,3,4中任选三个数，可组成多少个无重复数字的三位数？ ⑥从1,2,3,4中任选三个数（可重复），可组成多少个三位数？
分析：数字可以重复，这是一个分步计数原理问题。第一步，选首位 数字，从2到9中任取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入 上述10个数字中的任意一个数．
解：810 7 80000000
小结
01 元素是否允许重复．元素不允许重复
的是排列与组合问题；元素允许重复的 是直接应用计数原理的问题．
排列与组合的应用举例
宋** 2020年9月6日
1 利用排列组合数公式 解决简单的应用问题
2 区分排列，组合，计数 原理的使用
解：
C35C
2 4
P55
10 6 120
7200（个）
分析2：只需令个位是5即可
解：
C
24C
2 4
P44
6 6 24
解：P22P66 2 6 5 4 3 2 1 1440（种）
分析：先安排其余的5名同学进行排队，再将甲乙两人分别插入到其余5 人形成的空隙中.这种方法叫做“插空法”.○△○△○△○△○△○
解2：C1300 - C398 161700 -152096 9604（种）
讨论与练习
1、以下属于排列的是______，属于组合的是_______。 ①有10个车站，共准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的线段？ ④平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ⑤从1,2,3,4中任选三个数，可组成多少个无重复数字的三位数？ ⑥从1,2,3,4中任选三个数（可重复），可组成多少个三位数？
分析：数字可以重复，这是一个分步计数原理问题。第一步，选首位 数字，从2到9中任取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入 上述10个数字中的任意一个数．
解：810 7 80000000
小结
01 元素是否允许重复．元素不允许重复
的是排列与组合问题；元素允许重复的 是直接应用计数原理的问题．
排列与组合的应用举例
宋** 2020年9月6日
1 利用排列组合数公式 解决简单的应用问题
2 区分排列，组合，计数 原理的使用
高中数学(排列组合)课件PPT
知识清单 知识点二 排列
3.排列数公式
Pnm
(n
n! m)!
n (n
1) (n
m 1)
4.全排列公式
Pnn n!
记住下列几个阶乘数：0!=1,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.
知识清单
知识点三 组合
1.组合 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素为一组，称为从n个不 同的元素中任意取出m个元素的一个组合. 2.组合数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为
知识清单
知识点二 排列
1.排列 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列. 2.排列数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，称为从n
个不同的元素中任意取出m个元素的排列数，记作 Pnm.
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
从n个不同的元素中任意取出m个元素的组合数，记作 Cnm
知识清单 知识点三 组合
3.组合数公式
Cnm
Pnm Pmm
n! m!(n m!)
n(n 1) (n m 1) m (m 1) 21
4.组合数的性质
Cnm Cnnm
Cnr1 Cnr Cnr1
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
高中 数学
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作业：
?《单元练习》
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特 殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.
解 空 法档为可先插排A学,8选8 生A其74共中有种的A.4个88种空排档法,共,然有后A把74老种师选插法入.根学据生乘之法间原的理空,档共，有共的有不同7个坐
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用 插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插 入排好元素的空档之中即可.
解 不加任何限制条件,整个排法有A99 种,“语文安排在数学之前考”,与
“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的
排法共12 有A99
种.
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全 体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一 人在内的抽法有多少种?
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解 决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同 时要注意合并元素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1 人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价 的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
排列组合解题技巧综合复习
主讲：黎川职业中专范明之
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本方法; 2.让学生掌握基本的排列组合应用题的解
题技巧; 3.学会应用数学思想分析解决排列组问题.
பைடு நூலகம் 一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面 就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.
例题1 例题2 例题3 例题4 例题5 例题6
1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排
成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列.
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
3.排列数公式: An m ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ?
? 互斥分类 --分类法 ? 先后有序 --位置法 ? 反面明了 --排除法 ? 相邻排列 --捆绑法 ? 分隔排列 --插空法
小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等 法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就 可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂 的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们 迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想 方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等, 要在应用中注意掌握.
3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 C233 ? C213 ?C110 种取法.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一 一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺 序?
分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序 只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中 的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的 复杂性.
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元 钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也 显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的 话,就会很容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下
?
n!
( n ? m )!
(n ? m ? 1)
4.组合数公式: C n m ?
An m Am m
?
n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) m!
n! ?
m! ( n ? m )!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺 序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个生，4个老师，要 求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元 素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作
全 种排不列同的,A有排33法种. 排法,其中女生内部也A有66 种排法,根据乘法原理,共A有66 A33
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题, 因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档
最 案多有放C17一1种个.,即可将白球分成8份,显然有C171种不同的放法,所以名额分配方
结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题， 可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 .
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的 话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去 考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化 计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有 C453种,正副班长,团支部书记都不在内的抽
法种.有C450
种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法C有453
?
C
5 40
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面,再从整体中排除.
? 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．