(完整版)高中数学排列组合题型归纳总结,推荐文档
(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档
m m m n ! n m知识内容1. 基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N +，并且 m ≤ n ．全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．表示．规定： 0! = 1 ．个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．1 / 20排列组合问题的常用方法总结 1m (m ≤ n ) m !C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) =n C mn ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤n ) N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m= n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) nm (m ≤n ) n -1组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1 ）nn⑶排列组合综合问题n +1nnn解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1. 特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2. 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6. 插板法： n 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排， 从 n - 1 个空中选 m - 1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．7. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！8. 错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题．1. 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2. 具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例 1】 从5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有 2 人参加，交通和礼仪各有1 人参加，则不同的选派方法共有 ．【例 2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14 名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为C【例 3】 在平面直角坐标系中， x 轴正半轴上有 5 个点，y 轴正半轴有 3 个点，将 x 轴上这 5 个点和 轴上这 3 个点连成15 条线段，这15 条线段在第一象限内的交点最多有（ ）B ． 35 个C ． 20 个【例 4】 一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，⑴从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 5】 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和1 个黑球．⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？3 / 20A ． C 12C 4 C 4 14 12 8B ．C 12A 4 A 4 14 12 8D ．C 12C 4 C 4A 3 14 12 8 3y A ． 30 个D ．15 个A ．15 B ．16 C ．28 D ．25 ⑶从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例 6】 有12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷， 4 人只会划右舷，其余 5 人既会划左舷也会划右舷．从这12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例 7】若 x ∈ A A 是伙伴关系集合，集合 ）【例 8】 从6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 ．D ． A 3 ⋅ A 2 6 4C ． C 5 10B ．C 2 ⋅ C 3 6 4A ．C 3 ⋅ C 2 6 45 128 16 128 15 128 20【例 9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 3 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例 10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7 步走完，则上楼梯的方法有 种．【例 11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例 12】 设含有10 个元素的集合的全部子集数为S ，其中由 3 个元素组成的子集数为T ，则的值为（ ）A. B ． C ． D ．5 / 2012821 STA ． 60B ． 80C ．120 D ．160 OB【例 13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5 次跳动质点落在点(1，0) （允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 ．【例 14】从10 名男同学，6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答）【例 15】在 AOB 的边 OA 上有 A 1 ，A ，2 ，A 3 A 4 四点， 边上有 B 1 ，B ，2 ，B 3，B 4 B 5 共 9 个点， 连结线段 A i B j (1≤ i ，4≤1≤ j5) ，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）【例16】从7 名男生5 名女生中，选出5 人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？⑴ A 、B 必须当选；⑵ A 、B 都不当选；⑶ A 、B 不全当选；⑷ 至少有2 名女生当选；⑸选出5 名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5 种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．【例17】甲组有5 名男同学，3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）【例18】从10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）【例19】某班级要从4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要求至少有1 名女生，那么不同的选派方案种数为（）7 / 20D．48 C．28B．24 A．14D．28 C．49B．56 A．85D．345 种C．300 种B．180 种A．150 种50 30 20 30 20C 5 - C 1 C 4 - C 4 C 1 30 20 46C 2 C 2 C 1【例 20】要从10 个人中选出4 个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例 21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例 22】 某班 5 位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）A ．288 种B ．72 种C ．42 种D ．36 种【例 23】某班有30 名男生， 30 名女生，现要从中选出 5 人组成一个宣传小组，其中男、女学生 均不少于2 人的选法为（ ） A ． B ． C ． D ．【例 24】用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字 1 不排在个位和千位⑵数字 1 不在个位，数字 6 不在千位．30 2030 20 C 3 C 2 + C 2 C 3 50 30 20 C 5 - C 5 - C 5）B ． 48 种 【例 25】 甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析， 5 人的名次排列共有 （用数字作答）种不同情况．【例 26】某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有【例 27】用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）【例 28】 某电视台连续播放5 个不同的广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（【例 29】 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．9 / 20D ． 18 种 C ． 36 种 A ． 120 种 D ．36 C ．48 B ．72 A ．120 （ ）A ．45 种 B ． 56 种C ． 90 种A ．108 种B ． 186 种C ． 216 种D ． 270 种A ． 48 个B ． 36 个C ． 24 个D ．18 个 【例 30】 从4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有 1 名女生，则选派方案共有（）【例 31】 甲组有5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（ ）【例 32】 将4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案 有种（用数字作答）．【例 33】用数字1,2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数共有（ ）【例 34】 一生产过程有道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人，则不同的安排方案共有（ ）【例 35】 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排．若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60D ． 72 种 C ． 48 种 B ． 36 种 A ． 24 种 D ． 345 种 C ． 300 种 B ． 180 种 A ． 150 种 4 6【例 36】 从6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 ．【例 37】 7 名志愿者中安排6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排 3 人，则不同 的安排方案共有 种（用数字作答）．【例 38】给定集合 ，映射 f : A n → A n 满足： ① 当 i , j ∈ A n , i ≠ j 时 ， f (i ) ≠ f ( j ) ；② m ∈{ f (1),f (2), , f (m )} ． 射”．“优映射”．例如：用表 1 表示的映射表 1： A 3 → A 3 是一个“优映表 2已知表件的映射）；⑵若映射 ： A 10 → A 10 是“优映射”，且方程 f (i ) = i 的解恰有 6 个，则这样的“优映射”的个11 / 20D ． A 3 ⋅ A 2 6 4C ． C 5 10B ．C 2 ⋅ C 3 6 4A ．C 3 ⋅ C 2 6 4f f A n = {1, 2 , 3, , n }4 数是 ．【例 39】将7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有种．【例 40】 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A ．10 种B ．20 种C ．36 种D ．52 种【例 41】一个口袋内有4 个不同的红球， 6 个不同的白球， ⑴从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 42】正整数a 1a 2 a n a 2n -2a 2n -1(n ∈ N ，n > 1) 称为凹数，如果 a 1 > a 2 > > a n ，且 ，其中 a i ∈{0 ，1，2， ，，9}，(i = 1 2 共有个（用数字作答）．) ，请回答三位凹数【例 43】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）a 1a 2 a 3 (a 1 ≠ a 3 ) a 2n -1 > a 2n -2 > > a n【例 44】 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）【例 45】 某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张为不同花色的 A ，有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例 46】 从 7 人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作，则不同的选派方法 有 （ ）【例 47】12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ ）C 4 C 4C 4A ． C 4 C 4C 4 种B ．3C 4 C 4C 4 种 C ． C 4 C 4A 3 种D ． 12 8 4A 种 12 8 4 12 8 4 12 8 3 33【例 48】袋中装有分别编号为1, 2, 3, 4 的4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编 号互不相同的取法有（ ）D ．36 种．【例 49】现有男、女学生共8 人，从男生中选2 人，从女生中选1 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 90 种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A. 男生2 人，女生 6 人 B ．男生3 人，女生 5 人 C ．男生5 人，女生 3 人 D ．男生6 人，女生 2 人．【例 50】将4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中，13 / 20D ． C 5 A 5 7 10C ．C 5 C 5 种 10 7B ． A 5C 5 P 5 种7 10 5 A ．C 5 A 5 A 5 种 7 10 5D ． 48 种 C ． 18 种 B ． 12 种 A ． 36 种 A ． 24 种 B ．28 种 C ．32 种4⑴若个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】将7 个小球任意放入4 个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1 、2 、3 、4 的四个盒子中．⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？⑵四个盒都不空的放法有多少种？⑶恰有一个空盒的放法有多少种？⑷恰有两个空盒的放法有多少种？⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1 个单位，若经过5 次跳动质点落在点(3，0)处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共种；若经过m 次跳动质点落在点(n，0)处（允许重复过此点），其中m≥n，且m -n 为偶数，则质点不同的运动方法共有种．【例54】设集合I = {1，2，3，，4 5} ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中x f (a ) + f (b ) + f (c ) + f (d ) = 8 N = {1，2，3} A ． 216 B ． 108 C ．48 D ． 24 最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A ．50 种B ．49 种C ．48 种D ．47 种【例 55】 是集合 M = {1，2，3， 4} 到集合 的映射， g 是集合 N 到集合 M 的映射，则不同的映射 的个数是多少？ 有多少？满足 的映射 f 有多 少？满足 f [g (x )] = x 的映射对( f ，g ) 有多少？【例 56】排球单循坏赛，胜者得1 分，负者0 分，南方球队比北方球队多 9 支，南方球队总得分是北方球队的9 倍， 设北方的球队数为 ．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分； ⑵证明： 或 x = 8 ；⑶证明：冠军是一支南方球队．【例 57】已知集合A = {1,2 , 3, 4}，函数 f (x ) 的定义域、值域都是 A ，且对于任意i ∈ A , f (i ) ≠ i ．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是1, 2 , 3, 4 的任意的一个排列，定义数表 ⎛ a 1 a 2 a 3 a ⎪4 ，⎫ ⎝ f (a 1) f (a )2 f (a )3f (a ) 4 ⎭若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同 的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）15 / 20f f x = 6 gA ． 36B ． 48C ． 52D ．54 A ． 78 a 1 < a 2 < a 3S = {1, 2 , 3 , , 9}，集间接法（直接求解类别比较大时） 【例 58】 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例 59】从0 , 2 , 4 中取一个数字，从1 , 3 , 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）【例 60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．【例 61】 设集合合 A = {a 1 , a 2 , a 3} 是 S 的子集，且 a 1 , a 2 , a 3 满足 ，a 3 - a 2 ≤ 6 ，那么满足条件的子集 A 的个数为（ ） B. 76 C ． 84 D ．83p < q 时有 i p < i q【例 62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）【例 63】某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参 加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）【例 64】 对于各数互不相等的正数数组(i 1 , i 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , i n )（ n 是不小于 2 的正整数），如果在，则称“ i p 与 i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组 (2 , 4 , 3 , 1)中有顺序“ 2 , 4 ”，“2 , 3 ”，其“顺序数”等于 2 ．若各数互不相等的正数数组(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 )的“顺序数”是 4 ，则(a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 )的“顺序数”是．【例 65】 已知集合A = {5} ，B = {1，2} ，C = {1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）【例 66】甲、乙、丙3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．17 / 20D ． 120 种 C ． 90 种 B ． 56 种 A ． 45 种 D ．36 C ．30 B ．24 A ．18 A ． 33 B ． 34 C ． 35 D ．36⎩A ． 36B ． 16C ． 24D ．32【例 67】设有编号为1 ，2 ，3 ，4 ，5 的五个球和编号为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五个盒子，现将这五个球放入5 个盒子内， ⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ ⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例 68】在排成4 ⨯ 4 的方阵的16 个点中，中心 4 个点在某一个圆内，其余12 个点在圆外，在16 个点中任选 3 个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）【例 69】从甲、乙等10 名同学中挑选4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1 人参加，则不同的挑选方法共有（ ）⎧ax + by = 1【例 70】 若关于 x ，y 的方程组 ⎨x 2 + y 2= 17 有解，且所有解都是整数，则有序数对(a ，b )的数目 为（ ）【例 71】从5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都 D ． 168 种 C ． 140 种 B ． 112 种 A ． 70 种 D ． 264 个 C ． 340 个 B ． 328 个 A ． 312 个A ． 70 种B ． 80 种C ．100 种 D ．140 种A ．20 B ．16 C ．10 D ．6 有，则不同的组队方案共有（ ）【例 72】 甲、乙两人从4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（ ）【例 73】A = {1，2， ， 9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的 A 的子集个数为．【例 74】在由数字 0，1，2，3，4 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有个．【例 75】在∠AOB 的 OA 边上取 4 个点，在 OB 边上取 5 个点（均除 O 点外），连同O 点共10 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例 76】 a ，b ，c ，，d e 共 5 个人，从中选1 名组长1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）【例 77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）19 / 20D ．36 C ．30 B ．24 A ．18 D ． 36 种 C ． 30 种 B ． 12 种 A ． 6 种【例 78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成 _个三角形．【例 79】 从5 名奥运志愿者中选出 3 名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）【例 80】某校从8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地1 人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）【例 81】从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有种（用数字作答）D ．670 C ．1530 B ． 288 A ．1320 D ． 60 种 C ． 48 种 B ． 36 种 A ． 24 种“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
(完整word版)高中数学排列组合题型归纳总结,推荐文档
排列组合1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解： 522480A A A =练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解5456A A练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n nn m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高中排列组合知识点汇总及典型例题
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一1.公式：1.2.(1) (2) ；(3)三．组合：从n 个不同元素中任取m （m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
高二数学难点《排列组合》题型大全
高二数学难点《排列组合》题型大全1.排队问题1.你帅，你帅，你天下最帅，头顶一窝白菜，身披一条麻袋，腰缠一根海带，你以为你是东方不败，其实你是傻瓜二代。
2你的一笑，狼都上吊，你的一叫，鸡飞狗跳，你的一站，臭味弥漫，你一出汗，虱子灾难，你不打扮，比鬼难看，你一打扮，鬼吓瘫痪7人站成一排拍照，共有______种排法.答案：(1)甲必须站在中间的排法_______种. 答案：(2)甲、乙两人必须站在两端的排法_______种. 答案：(3)甲、乙两人必须相邻的排法_______种. 答案：(4)甲、乙不能相邻的排法_______种. 答案：(5)若甲、乙、丙三人必须相邻的排法______种. 答案：(6)其中3人站在前排，4人站在后排的排法_______种. 答案：(7)其中甲、乙、丙站前排，其余4人站后排的排法_______种. 答案：(8)甲、乙不能站两端的排法_______种. 答案：(9)甲、乙均不与丙相邻的排法_______种. 答案：，即分丙站两端和丙不站两端计算(10)最高者站中间，其余6人按从中间到两端依次降低站在两边的排法_______种. 答案：(11)若甲、乙、丙顺序一定，则共有_______种排法. 答案：3377A A (12)若7人站成一圈，有_______种站法. 答案：（固定起点）或777A 2.几何问题 直线、线段、有向线段、射线、弦问题、平面个数、交线条数、交点个数、对角线条数、四面体个数(1)从-11,-7,0,1,2,3,5这七个数中每次选三个作为直线的系数，，C ，且斜率小于0的直线有_______条.答案：70(2)平面内有10个点，可确定_______条线段，_______条有向线段. 答案：(3)空间八个点最多确定_______个平面，_______个四面体. 答案：(4)平面内n 条线段最多有_______个交点. 答案：(5)空间n 个平面最多有_______条交线. 答案：(6)以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有_______个. 答案：(7)以正方形的四个顶点、四边中点、中心共九个点中的三个点可作_______个三角形. 答案：76，即(8)四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同取法有_______个. 答案：33，即(9)正方体有_______对异面的棱;棱与对角线异面的有_______对；_______对异面的面对角线；面对角线与体对角线异面的有_______对. 答案：24；24；30；24（10）如果∠AOB 的两边上分别有3个点和4个点，则过这八个点(含点)可作_______个三角形. 答案：42，即，先算不含的，再算含的，（11）从正方体的六个面中选三个面，其中有两个面不相邻的选法_______个. 答案：12（12）过圆周上的2n 个等分点可作_______个直角三角形. 答案：（13）从正四面体的四个顶点及各棱中点共10个点中，任取4个不共面的点的取法有_______种. 答案：141，即3.概率问题（去序法）（1）5名运动员参加100米跑，如每人到达终点的顺序各不同，则甲比乙先到达终点的可有 ________种. 答案：60，即255A （2） A 、B 、C 、D 、E 五人站在一排，若A 必须站在B 的左边（A 、B 可以不相邻），那么不同的排法有_______种. 答案：60，即255A （3）用1、2、3、4、5可以组成_______个无重复数字的三位数，偶数有_______个. 答案：60；24，即4.人民币币值:（通法1：按最大币值考虑;通法2：按每种币值的的拿法考虑）（1）现有壹元、贰元、伍元、拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：15，即（2）有1角硬币3枚，贰元币6张，百元币6张，共组成_______种币值. 答案：195，（3）有壹元、贰元、拾元人民币数张，现要支付20元，有_______种支付方法. 答案：18（4）有壹元硬币6枚，伍元币3张，拾元币3张，伍拾元币3张，可组成_______种不同的币值. 答案：201（5）现有壹元币一张、贰元币两张、伍元和拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：205.集合映射个数问题（1）集合有个元素，则集合的子集中含有3个元素的集合有_______个；集合共有_______个子集；_______个真子集. 答案：（2）集合，集合，则从→的映射有_______个，从→的映射有_______个. 答案：（3）若集合，，则从A →B 的映射有_______个. 答案：（4）若集合,，若中不同的元素在中有不同的象，则这样从A →B 的映射有_______个. 答案：60，即（5）集合，，则中的元素在中都有原象的映射有_______个. 答案：（6）,映射:→，则使的映射有_______个. 答案：7（7），，对中任意元素x ，使均为偶数，则从→映射有_______个. 答案：126.多面手问题(1)9名翻译中，6人懂英语，4人懂日语，既懂英语又懂日语的1人，从中选3名英语，2名日语，有多少种不同选法. 答案：90，即按多面手分类：；按英语翻译分类：(2)11名工人，5人只会排版，4人只会印刷，2人都会，选出4人排版，4人印刷，有多少种不同选法. 答案：185，即按排版工人情况：7.约数问题(1)12有______个约数，60有______个约数（含1和其本身）. 答案：6；12(2)一个正整数的最大约数为24，则它有______个约数. 答案：8(3)数2n ×3m ×有____________个约数. 答案：8.分组分配问题（平均分组、部分均匀分组、非均匀分组）6本不同的书分给3个人，按以下要求有多少种不同的分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；答案：（2）分成三份，每份两本；答案：33222426A C C C（3）分给甲一本，乙两本，丙三本；答案：（4）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；答案：（5）分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；答案：（6）分给甲四本，乙、丙各一本；（7）分成三份，一份四本，其余两份各一本; 答案：22111246A C C C 或 （8）分给三个人，一人四本，其余两人各一本；答案：或或2233111246A A C C C （9）分给甲乙丙三人，每人至少一本. 答案：++9.空位连续问题(1)一人射击8枪，4枪命中，其中3枪连在一起的方法有______种. 答案：20，即(2)停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需停放，要求空位连在一起，则停车方法______.答案：9(3)马路上有8盏路灯，为省电，可熄灭其中的3盏，但不能连续熄灭两盏，两头的灯不能熄灭，则熄灭的方法有______种. 答案：4，即(4)在一块并排10垄的田地种，选择两垄分别种植2种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物之间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有______种. 答案：1210.贺卡问题（1） 标号为1、2、3的卡片放入标号为1、2、3的三个盒子里，且每个盒子的标号与卡片标号均不同的放法有______种. 答案：2（2） 室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有______种. 答案：9，即（3） 数字为1、2、3、4、5填到标号为1、2、3、4、5的格子里，且所填数字与其格子的标号均不同的填法有______种. 答案：44，即递推式D （n ）=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)](4)某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员，规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，则不同的任职方案______种. 答案：1111.巧插“隔板”问题（特点：要分配的元素是没有差别的）(1)要从6个班选出10个人参加校篮球比赛，每班都要有人参加的选法有______种. 答案：(2)方程的正整数解的个数，自然数解的个数各多少？答案：（）(3)将10个相同的球放入9个不同的盒子，且每盒都不空的放法有_____种，放入6个不同盒子有_____种. 答案：(4)将10个相同的球放入3个不同的盒子，盒子的编号为1、2、3，要使放入的球输不小于编号数的放法有_____种. 答案：12.数字问题常识：最高次位不能为0；奇数、偶数取决于末位是否被2整除；若一个正整数每一位上的数字之和能被3整除，则此数能被3整除；末位数为0和5的整数可被5整除.用0、1、2、3、4、5这六个数，（1）可以组成多少个五位数；答案：（2）可以组成多少个无重复数字的五位数；答案：（3）可以组成多少个无重复数字的五位奇数；答案：（4）可以组成多少个无重复数字的五位偶数；答案： （5）可以组成多少个比32000大的无重复数字的五位数；答案： （6）可以组成多少个比32451大的无重复数字的五位数；答案： （7）可以组成多少个能被5整除的无重复数字的五位数；答案： （8）可以组成多少个能被25整除的无重复数字的五位数；答案： （9）可以组成多少个能被3整除的无重复数字的五位数；答案： （10）可以组成多少个能被6整除的无重复数字的五位数；答案： （11）可以组成多少个能被4整除的无重复数字的五位数；答案： （12）求组成的无重复数字的五位数的个位数字之和；答案： （13）求组成的无重复数字的五位数的和. 13. 鞋子成双、单只问题（技巧：先取“双”，再取“只”） 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，求满足下列要求的情况数 (1)4只没有成双；答案：，即 (2)4只恰成两双；答案：45，即 (3)4只鞋子2只成双，2只不成双；答案：1440， 14.球队比赛问题 双循环赛（排列）、单循环赛（组合）、淘汰赛、对抗赛 (1)4支队进行淘汰赛以决出冠军共举行______场比赛. 答案：3 (2)现有8支球队，平均分成2个小组，每组4支队分别举行双循环赛决出前两名，再由他们举行淘汰赛决出冠军，共举行______场比赛. 答案：27，即 15.涂色问题（技巧：先涂相邻区域多的，该分类时再分类）(1)将3种颜色涂在如图方格中，相邻不涂相同颜色。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基来源根底理之五兆芳芳创作1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的办法数等于各类办法数相加.2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的办法数等于各步办法数相乘. 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求办法数时经常使用基来源根底理求解.二．排列：从n 个不合元素中，任取m （m≤n ）个元素，依照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不合元素中任取m （m≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不合的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn .1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定： ①；②；③；④若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序仍是无序 ③分步仍是分类.2．解排列、组合题的根本战略（1）两种思路：①直接法；②直接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不合适条件的所有情况去掉.这是解决排列组合应用题时一种经常使用的解题办法.（2）分类处理：当问题总体欠好解决时，常分红若干类，再由分类计数原理得出结论.注意：分类不重复不遗漏.即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集.（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体欠好解决时，经常分红若干步，再由分步计数原理解决.在处理排列组合问题时，经常既要分类，又要分步.其原则是先分类，后分步.（4）两种途径：①元素阐发法；②位置阐发法.3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列.（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不克不及相邻或某些元素要在某特殊位置时可采取插空法.即先安插好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间拔出.（5）、顺序一定，除法处理.先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数.即先全排，再除以定序元素的全排列.解法二：在总位置中选出定序元素的位置不介入排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采取先整体后局部战略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列.（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理.（8）．数字问题（组成无重单数字的整数）①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不克不及被2整除的数的特征：末位数是奇数.②能被3整除的数的特征：列位数字之和是3的倍数；③能被9整除的数的特征：列位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数. ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75. ⑦能被6整除的数的特征：列位数字之和是3的倍数的偶数.4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用直接排除法或分类法: （2）．“含”与“不含” 用直接排除法或分类法:3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘.即除法处理.非均匀分组：分步取，得组合数相乘.即组合处理.混杂分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘.4．分派问题：定额分派：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘.随机分派：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘.5．隔板法：不成分辩的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个告白，其中含4个不合的商业告白和2个不合的公益告白，要求首尾必须播放公益告白，则共有种不合的播放方法（结果用数值暗示）.例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不合的取法共有2．从5名男生和4名女生中选出4人去介入辩论角逐（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法1．6团体分乘两辆不合的汽车，每辆车最多坐4人，则不合的乘车办法数为() A．40B．50C．60D．702．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不合坐法有() A．36种B．48种C．72种D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规则这三个数必须同时使用，且同一数字不克不及相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不合的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规则从二楼到三楼用8步走完，则办法有()A．45种B．36种C．28种D．25种6．某公司招聘来8名员工，平均分派给下属的甲、乙两个部分，其中两名英语翻译人员不克不及分在同一个部分，另外三名电脑编程人员也不克不及全分在同一个部分，则不合的分派计划共有()A．24种B．36种C．38种D．108种7．已知荟萃A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个荟萃中各取一个元素组成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不合点的个数为()8．由1、2、3、4、5、6组成没有重单数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96 C．108 D．1449．如果在一周内(周一至周日)安插三所学校的学生不雅赏某展览馆，每天最多只安插一所学校，要求甲学校连续不雅赏两天，其余学校均只不雅赏一天，那么不合的安插办法有()A．50种B．60种C．120种D．210种10．安插7位任务人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不克不及安插在5月1日和2日，不合的安插办法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不合的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分红4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不合场馆办事，不合的分派计划有________种(用数字作答)．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不合的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不合的办法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种15. 某单位安插7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不合的安插计划共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种办法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种办法故共有1008种不合的排法排列组合 二项式定理1，分类计数原理 完成一件事有几类办法，各类办法相互独立每类办法又有多种不合的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步调，每一步的完成有多种不合的办法 2，排列排列定义：从n 个不合元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），3，组合组合定义 从n 个不合元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不合元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不合元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数 m n C m n C =!!()!n m n m - 性质 m nC =n m n C -11m m m n n n C C C -+=+ 排列组合题型总结一． 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位.Eg 有五张卡片，它的正背面辨别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不合的三位数？ Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）（2） 女生必须全分隔 （插空法 须排的元素必须相邻）（3） 两端不克不及排女生（4） 两端不克不及全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不合的排法二． 插空法 当需排元素中有不克不及相邻的元素时，宜用插空法.例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时拔出两个歌颂节目，且保持原节目顺序，有多少中拔出办法？捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法.1．四个不合的小球全部放入三个不合的盒子中，若使每个盒子不空，则不合的放法有种,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生不雅赏，但每天只能安插一所学校，其中有一所学校人数较多，要安插连续不雅赏2天，其余只不雅赏一天，则植物园30天内不合的安插办法有（1928129A C ）（注意连续不雅赏2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）三． 阁板法 名额分派或相同物品的分派问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12团体由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分派计划共种 .五 平均分推问题eg 6本不合的书按一下方法处理，各有几种分发？（1）平均分红三堆，（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆两本，一对三本（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种计划）（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本。
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又乘法原理满足条件的排法有： A44 × A44 =576
练习 1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（
C
2 4
A33
）
2． 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学
校人数较多，要安排连续参观
2
天，其余只参观一天，则植物园
二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法
A64 2 A53 A42 =252
例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张 并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列 组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得 以快速准确求解。
一．直接法
1． 特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少 个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。
30
天内不同的安排方法有（
C
1 29
A19 28
）
（注意连续参观
2
天，即需把
30
天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
1 29
其余的就是
19
所学校选 28 天进行排列）
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34 4 4 3 45 2 25 7 3 C 10甲 乙丁要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C 1然后排首位共有C 1最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A3= 288131443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有 A 5 A 2A 2 = 480 种不同的排法练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 种 A 4 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A5A 4种65 6练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： A 7/ A 3(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 4 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 A 4种77方法。
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练习题：某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略 例 3.、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序
有多少种？ 解 A556A 4 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
解: 由分步计数原理得C1C4 314A3 288
练习题：7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略 例 2、 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解： A55 2A22 A2 480
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素 合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
练习题：1、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2、 x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数
C1303
十一.正难则反总体淘汰策略
例 11.、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种？
练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例 4.、 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然
A2
2 5
5A5
A5
种
十.元素相同问题隔板策略 例 10.、有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
一 班
二
三
四
五
六
七
将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插 入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为Cmn11
方法
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理
1
练习题: 10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C150
五.重排问题求幂策略 例 5.、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为mn 种
后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： A77/ A33
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法，其余的三个位置甲乙丙
共有 1 种坐法，则共有 A47种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有
C 52 A
4 4
练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一
种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,５在两个奇数之间,这样的五 位数有多少个？
解：共有
A
2 2
A2 22
A
2
种排法
练习题：
. 1524
3
2Hale Waihona Puke １、计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,４幅油画,５幅国画,
排成一行陈列,要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
A
2 2
5A45
A
4
2、
5 男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶
解:,则共有
A4
2 4
5A1
A5
种
练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座
位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例 8.、有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
练习题： 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节
目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78
六.环排问题线排策略
例 6.、 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 A4 4 并从此位置
…，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1、.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
1.分类计数原理(加法原理)
排列组合
完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m2 种不同
的方法，…，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有m2 种不同的方法，
把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即7 ！
C
D
B
E
A
F
H
G
ABCDE FGHA
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素 作圆形排列共有 1 Am
nn
练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例 7.、8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法